第26頁（共26頁）2024-2025學年下學期初中數學華東師大新版九年級期中必刷?？碱}之圓周角一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?碑林區校級期末）如圖，圓內接四邊形ABCD中，兩組對邊的延長線分別相交于點E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，則∠A的度數為（）A．40° B．45° C．50° D．60°2．（2024秋?煙臺期末）以O為中心點的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的0刻度線與斜邊AB重合，D為斜邊AB上一點，作射線CD交弧AB于點E，如果點E所對應的量角器上的讀數為80°，那么∠ACE的大小為（）A．20° B．30° C．40° D．50°3．（2024秋?海曙區期末）如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB，OC的中垂線交AC于點E，連結AE、EC、CB，則下列結論錯誤的是（）A．∠AEC＝135° B．∠BCE＝105° C．EC=2EA D．EC＝24．（2025?浙江一模）如圖，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，則∠BOC的度數為（）A．130° B．100° C．120° D．110°5．（2024秋?錫林郭勒盟期末）已知如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CDB＝40°，則∠CBA的度數為（）A．60° B．50° C．40° D．30°二．填空題（共5小題）6．（2024秋?克州期末）如圖，在⊙O中，弦BC＝2，點A是圓上一點，且∠BAC＝30°，則⊙O的半徑是．7．（2024秋?煙臺期末）如圖，A、B、C是⊙O上三點，且C是弧AB的中點，弦CD⊥OA于點E，若sin∠CDB＝0.4，OA＝5，則CD的長為．8．（2025?雁塔區校級一模）如圖，BC為⊙O直徑，點D為⊙O上一點，連接OD，過點C作CA∥OD交⊙O于點A，連接AB，BD．若∠ABC＝20°，則∠CBD的度數為．9．（2024秋?芝罘區期末）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD＝45°，BC=2，CD＝2，則⊙O的半徑長度是10．（2024秋?內鄉縣期末）如圖，AB是半圓的直徑，點C是AB上一點，cos∠CAB=45，點D是AC的中點，連結DB、CA交于點E，則DEBE三．解答題（共5小題）11．（2024秋?武漢期末）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB上一點，點D是BC的中點，連接AD．（1）求證：AC∥OD；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的長．12．（2024秋?煙臺期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，點P是斜邊AC上一個動點，以BP為直徑作⊙O，交BC于點D，與AC的另一個交點為E，連接DE，DP，BE．（1）當點P為DE的中點時，求BD的長度；（2）點P在CE上移動時，請探究有幾處位置使得△BDE是等腰三角形，并求出對應的CP的長度．13．（2024秋?遵化市期末）如圖，⊙O的半徑OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一點．（1）求證：∠ADC=12∠（2）若AE＝2，BC＝6，求OA的長．14．（2024秋?富縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是BD的中點，連接BC，CD，DA，OC，OD．求證：OC∥AD．15．（2024秋?濱江區期末）如圖，在⊙O中，直徑BD與弦AC交于點E，且AB＝AC．（1）求證：∠BAC＝2∠ABD．（2）若△ADE是以AD為腰的等腰三角形，求∠ABD．（3）若AB＝5，BC＝6，求AE．

2024-2025學年下學期初中數學華東師大新版九年級期中必刷?？碱}之圓周角參考答案與試題解析題號12345答案ACDBB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?碑林區校級期末）如圖，圓內接四邊形ABCD中，兩組對邊的延長線分別相交于點E、F，且∠E＝40°，∠F＝60°，則∠A的度數為（）A．40° B．45° C．50° D．60°【考點】圓內接四邊形的性質；圓周角定理．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】A【分析】根據三角形的外角性質得到∠EDF＝∠A+60°，∠EBF＝∠A+40°，根據圓內接四邊形的性質列式計算得到答案．【解答】解：∵∠EDF是△ADF的外角，∠F＝60°，∴∠EDF＝∠A+∠F＝∠A+60°，同理可得：∠EBF＝∠A+∠E＝∠A+40°，∵四邊形ABCD為圓內接四邊形，∴∠ADF+∠ABE＝180°，∴∠EDF+∠EBF＝180°，∴∠A+60°+∠A+40°＝180°，解得：∠A＝40°，故選：A．【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟記圓內接四邊形的對角互補是解題的關鍵．2．（2024秋?煙臺期末）以O為中心點的量角器與直角三角板ABC按如圖方式擺放，量角器的0刻度線與斜邊AB重合，D為斜邊AB上一點，作射線CD交弧AB于點E，如果點E所對應的量角器上的讀數為80°，那么∠ACE的大小為（）A．20° B．30° C．40° D．50°【考點】圓周角定理．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】C【分析】連接OE，由題意可得∠AOE＝80°，再由圓周角定理計算即可得解．【解答】解：如圖，連接OE，由條件可知∠AOE＝80°，∵AB為直徑，∠ACB＝90°，∴點C在⊙O上，∴∠ACE故選：C．【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解此題的關鍵．3．（2024秋?海曙區期末）如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB，OC的中垂線交AC于點E，連結AE、EC、CB，則下列結論錯誤的是（）A．∠AEC＝135° B．∠BCE＝105° C．EC=2EA D．EC＝2【考點】圓周角定理；線段垂直平分線的性質；圓心角、弧、弦的關系．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】D【分析】連接OE，找EC的中點F，連接EF，CF，從而可得EF=CF，根據垂直定義可得：∠COA＝∠COB＝90°，從而可得∠OCB＝∠OBC＝45°，然后根據圓內接四邊形對角互補可得：∠AEC＝135°，再根據中垂線的性質可得EO＝EC，從而可得EO＝EC＝OC，進而可得△OEC是等邊三角形，最后利用等邊三角形的性質可得∠EOC＝∠ECO＝60°，從而可得∠ECB＝105°，∠AOE＝30°，進而可得∠EOC＝2∠AOE，再根據圓心角、弧、弦的關系可得：EF＝CF＝AE，從而利用三角形的三邊關系可得：EF+CF＞CE，進而可得2AE＞【解答】解：連接OE，找EC的中點F，連接EF，CF，∴EF=∵半徑OC⊥AB，∴∠COA＝∠COB＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∵四邊形AECB是半圓O的內接四邊形，∴∠AEC+∠ABC＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠ABC＝135°，∵ED是OC的中垂線，∴EO＝EC，∵OE＝OC，∴EO＝EC＝OC，∴△OEC是等邊三角形，∴∠EOC＝∠ECO＝60°，∴∠ECB＝∠ECO+∠OCB＝105°，∠AOE＝∠AOC﹣∠EOC＝30°，∴∠EOC＝2∠AOE，∴EC=2AE∴EF=∴EF＝CF＝AE，在△EFC中，EF+CF＞CE，∴AE+AE＞CE，∴2AE＞CE，所以，上述結論錯誤的是EC＝2EA，故選：D．【點評】本題考查了圓周角定理，線段垂直平分線的性質，圓心角、弧、弦的關系，根據題目的已知條件并結合圖形添加適當的輔助線是解題的關鍵．4．（2025?浙江一模）如圖，在⊙O中，AB＝AC，若∠ABC＝65°，則∠BOC的度數為（）A．130° B．100° C．120° D．110°【考點】圓周角定理；等腰三角形的性質；圓心角、弧、弦的關系．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】B【分析】根據等腰三角形性質求出∠ACB，根據三角形內角和定理求出∠A，根據圓周角定理求出即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠ABC＝65°，∴∠ACB＝∠ABC＝65°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝50°，∴由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A＝100°，故選：B．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦之間的關系，圓周角定理，等腰三角形的性質和三角形內角和定理等知識點，能求出∠A的度數和根據定理得出∠BOC＝2∠A是解此題的關鍵．5．（2024秋?錫林郭勒盟期末）已知如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，∠CDB＝40°，則∠CBA的度數為（）A．60° B．50° C．40° D．30°【考點】圓周角定理．【答案】B【分析】首先連接AC，由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB＝90°，然后由圓周角定理，求得∠A＝∠D，繼而求得答案．【解答】解：連接AC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∵∠A＝∠CDB＝40°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝50°．故選：B．【點評】此題考查了圓周角定理．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?克州期末）如圖，在⊙O中，弦BC＝2，點A是圓上一點，且∠BAC＝30°，則⊙O的半徑是2．【考點】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．【專題】與圓有關的計算；推理能力．【答案】2．【分析】連接OB、OC，根據圓周角定理得∠BOC＝2∠BAC＝60°，而OB＝OC，于是可判斷△OBC為等邊三角形，所以OB＝BC＝1．【解答】解：連接OB、OC，如圖，∵∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°，而OB＝OC，∴△OBC為等邊三角形，∴OB＝BC＝2，即⊙O的半徑為2．故答案為：2．【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的判定與性質．7．（2024秋?煙臺期末）如圖，A、B、C是⊙O上三點，且C是弧AB的中點，弦CD⊥OA于點E，若sin∠CDB＝0.4，OA＝5，則CD的長為8215【考點】圓周角定理；解直角三角形；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】821【分析】作直徑CF，連接BF，CA，由弧弦圓心角的關系可得AC＝BC，由圓周角定理可得sin∠CFB＝sin∠CDB＝0.4，即得AC＝BC＝4，設OE＝x，則AE＝5﹣x，由勾股定理得52﹣x2＝42﹣（5﹣x）2，得到OE=175，進而得CE【解答】解：如圖，作直徑CF，連接BF，CA，∵OA＝5，∴OC＝5，CF＝10，由題意可得：AC=∴AC＝BC，由題意可得：∠CBF＝90°，∵∠CFB＝∠CDB，∴sin∠CFB＝sin∠CDB＝0.4，∴BC＝CF?sin∠CFB＝10×0.4＝4，∴AC＝4，設OE＝x，則AE＝5﹣x，∵CD⊥OA，∴∠AEC＝∠OEC＝90°，CD＝2CE，∵由勾股定理可得：OC2﹣OE2＝AC2﹣AE2，∴52﹣x2＝42﹣（5﹣x）2，∴x=∴OE=∴CE=∴CD=2故答案為：821【點評】本題考查了圓周角定理，弧弦圓心角的關系，垂徑定理，三角函數，勾股定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．8．（2025?雁塔區校級一模）如圖，BC為⊙O直徑，點D為⊙O上一點，連接OD，過點C作CA∥OD交⊙O于點A，連接AB，BD．若∠ABC＝20°，則∠CBD的度數為35°．【考點】圓周角定理．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】35°．【分析】根據直徑所對的圓周角是直角可得：∠BAC＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠ACB＝70°，再利用平行線的性質可得∠ACB＝∠COD＝70°，最后利用圓周角定理進行計算，即可解答．【解答】解：∵BC為⊙O直徑，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝20°，∴∠ACB＝90°﹣∠ABC＝70°，∵OD∥AC，∴∠ACB＝∠COD＝70°，∴∠CBD=12∠COD＝故答案為：35°．【點評】本題考查了圓周角定理，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．9．（2024秋?芝罘區期末）如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，∠BAD＝45°，BC=2，CD＝2，則⊙O的半徑長度是5【考點】圓內接四邊形的性質；勾股定理；等腰直角三角形；圓周角定理．【專題】與圓有關的計算；推理能力．【答案】5．【分析】過B點作BE⊥CD，交DC的延長線于點E，連接BD，OB，OD，通過證明△OBD為等腰直角三角形可得OB=22BD，通過證明△BCE為等腰直角三角形可得BE＝CE＝1，即可求出ED的長，再利用勾股定理求解【解答】解：過B點作BE⊥CD，交DC的延長線于點E，連接BD，OB，OD，∵∠BAD＝45°，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，∠BCD＝180°﹣45°＝135°，∴∠BCE＝180°﹣135°＝45°，∵OB＝OD，∴△OBD為等腰直角三角形，∴OB=∵BE⊥CD，∠BCE＝45°，∴△BCE為等腰直角三角形，∴BE=∵CD＝2，∴ED＝CE+CD＝3，∴BD=∴OB=故答案為：5．【點評】本題考查了圓內接四邊形，等腰直角三角形，圓周角定理，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．10．（2024秋?內鄉縣期末）如圖，AB是半圓的直徑，點C是AB上一點，cos∠CAB=45，點D是AC的中點，連結DB、CA交于點E，則DEBE【考點】圓周角定理；解直角三角形；圓心角、弧、弦的關系．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】13【分析】設AB＝10a，由余弦函數的定義結合勾股定理求得AC和BC的長，利用垂徑定理求得AF＝CF＝4a，OF＝3a，推出DF＝2a，證明△DFE∽△BCE，據此求解即可．【解答】解：設OD與AC交于點F，AB＝10a，由條件可知∠ACB＝90°，∵cos∠∴ACAB設AB＝10a，則AC＝8a，BC=∵點D是AC的中點，∴OD⊥AC，AF=∴OF=∴DF＝OD﹣OF＝2a，由條件可知DF∥BC，∴△DFE∽△BCE，∴DEBE故答案為：13【點評】本題考查了解直角三角形，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理以及相似三角形的判定和性質．熟練掌握以上知識點是關鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?武漢期末）如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB上一點，點D是BC的中點，連接AD．（1）求證：AC∥OD；（2）若AB＝10，AC＝8，求AD的長．【考點】圓周角定理；平行線的判定；勾股定理；垂徑定理．【專題】線段、角、相交線與平行線；與圓有關的計算；運算能力．【答案】（1）證明見解析過程；（2）310【分析】（1）先根據點D是BC的中點，結合圓周角定理得出∠CAD＝∠BAD，進一步得出∠BOD＝∠BAC即可解決問題．（2）連接BC，交OD于點M，先根據勾股定理求出BC，進而得出BM的長，再利用勾股定理求出OM的長，進而得出DM的長，再連接BD，求出BD的長，最后在Rt△ABD中利用勾股定理即可解決問題．【解答】（1）證明：∵點D是BC的中點，∴CD=∴∠CAD＝∠BAD，則∠CAB＝2∠BAD，又∵∠BOD＝2∠BAD，∴∠CAB＝∠BOD，∴AC∥OD．（2）解：連接BC交OD于點M，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°．在Rt△ABC中，BC=A∴BM=1在Rt△OBM中，OM=5∴DM＝5﹣4＝1．在Rt△DBM中，BD2＝BM2+DM2＝32+12＝10．在Rt△ABD中，AD=A【點評】本題主要考查了垂徑定理、圓周角定理、勾股定理及平行線的判定，熟知垂徑定理、圓周角定理及平行線的判定是解題的關鍵．12．（2024秋?煙臺期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，點P是斜邊AC上一個動點，以BP為直徑作⊙O，交BC于點D，與AC的另一個交點為E，連接DE，DP，BE．（1）當點P為DE的中點時，求BD的長度；（2）點P在CE上移動時，請探究有幾處位置使得△BDE是等腰三角形，并求出對應的CP的長度．【考點】圓周角定理；等腰三角形的判定；勾股定理；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關系．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】（1）4.8；（2）CP＝2.8或CP＝4或CP＝5、【分析】（1）由勾股定理可得AC=AB2+（2）分三種情況：①當BD＝BE時．②當DB＝DE時，③當ED＝EB時，分別求解即可得解．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，AB＝6，BC＝8，∴AC=∴sinC=由題意可得：∠BEP＝90°．∴BE=由題意可得：BD=∴BD＝BE＝4.8．（2）①當BD＝BE時．∵BD＝BE＝4.8，則CD＝BC﹣CD＝8﹣4.8＝3.2，由題意可得：∠PDB＝90°，cosC=又∵cosC=∴3.2CP=45，②當DB＝DE時，∠DBE＝∠DEB，連接DP，由題意可得：∠PDB＝90°，∴∠DCE＝∠DEC，∴DB＝BE＝DC＝4．∵cosC=∴4CP=45，③當ED＝EB時，如圖所示，連接DP，過點E作EF⊥BD于點F．∴∠C＝∠BEF，∴BF=∵ED＝EB，EF⊥BD，∴DF＝FB＝2.88，∴CD＝8﹣2.88﹣2.88＝2.24，∴2.24CP∴CP＝2.8．綜上所述，CP＝2.8或CP＝4或CP＝5．【點評】本題考查了解直角三角形、圓周角定理、勾股定理、等腰三角形的性質，熟練掌握以上知識點并靈活運用，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．13．（2024秋?遵化市期末）如圖，⊙O的半徑OA⊥弦BC于E，D是⊙O上一點．（1）求證：∠ADC=12∠（2）若AE＝2，BC＝6，求OA的長．【考點】圓周角定理；勾股定理；垂徑定理．【專題】與圓有關的計算；幾何直觀．【答案】見試題解答內容【分析】（1）根據垂徑定理得到AB=（2）根據垂徑定理得到BE＝CE=12BC=12×6＝3，設⊙O的半徑為r，利用勾股定理得到32+（r﹣2）【解答】（1）證明：∵OA⊥BC，∴AB=∴∠ADC=12∠（2）解：∵OA⊥BC，∴BE＝CE=12BC=12設⊙O的半徑為r，則OA＝OB＝r，OE＝r﹣2，在Rt△OBE中，32+（r﹣2）2＝r2，解得r=13即OA的長為134【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．也考查了垂徑定理．14．（2024秋?富縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C是BD的中點，連接BC，CD，DA，OC，OD．求證：OC∥AD．【考點】圓周角定理．【專題】與圓有關的計算；推理能力．【答案】見解析．【分析】由題意可得BC=CD，從而得出∠BOC=∠COD=1【解答】證明：∵點C是BD的中點，∴BC=∴∠BOC∴∠DAB∴OC∥AD．【點評】本題考查了圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關鍵．15．（2024秋?濱江區期末）如圖，在⊙O中，直徑BD與弦AC交于點E，且AB＝AC．（1）求證：∠BAC＝2∠ABD．（2）若△ADE是以AD為腰的等腰三角形，求∠ABD．（3）若AB＝5，BC＝6，求AE．【考點】圓周角定理；等腰三角形的性質．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】（1）見解答；（2）18°或22.5°；（3）12539【分析】（1）連接OA并延長交BC于H點，如圖，利用垂徑定理的推論得到AH垂直平分BC，則根據等腰三角形的性質得到AH平分∠BAC，即∠BAC＝2∠BAH，然后利用∠ABD＝∠BAH得到結論；（2）設∠ABD＝α，則∠BAC＝2α，∠AED＝3α，根據圓周角定理得到∠BAD＝90°，當AD＝AE時，∠ADB＝∠AED＝3α，所以α+3α＝90°；當DA＝DE時，∠DAE＝∠AED＝3α，則2α+3α＝90°，然后分別據解方程求出α即可；（3）利用垂徑定理得到BH＝CH＝3，則利用勾股定理可計算出AH＝4，設⊙O的半徑為r，則OA＝OB＝r，OH＝4﹣r，在Rt△OBH中利用勾股定理得到32+（4﹣r）2＝r2，解得r=258，所以BD=254，接著在Rt△ABD中計算出AD=154，在Rt△BCD中計算出C=74，然后證明△【解答】（1）證明：連接OA并延長交BC于H點，如圖，∵AB＝AC，∴AB=∴AH垂直平分BC，∴AH平分∠BAC，即∠BAC＝2∠BAH，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAH，∴∠BAC＝2∠ABD；（2）解：設∠ABD＝α，則∠BAC＝2α，∴∠AED＝∠ABD+∠BAC＝α+2α＝3α，∵AB為直徑，∴∠BAD＝90°，當AD＝AE時，∠ADB＝∠AED＝3α，∴α+3α＝90°，解得α＝22.5°；當DA＝DE時，∠DAE＝∠AED＝3α，∴2α+3α＝90°，解得α＝18°，綜上所述，∠ABD的度數為18°或22.5°；（3）解：∵AH⊥BC，∴BH＝CH=12BC＝在Rt△ABH中，AH=52設⊙O的半徑為r，則OA＝OB＝r，OH＝4﹣r，在Rt△OBH中，32+（4﹣r）2＝r2，解得r=25∴BD＝2r=25在Rt△ABD中，AD=(在Rt△BCD中，CD=(∵AH∥CD，∴△AEO∽△CED，∴AECE∴AEAC∴AE=2539×【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．也考查了等腰三角形的判定與性質．

考點卡片1．平行線的判定（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內錯角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內角互補，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．2．線段垂直平分線的性質（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．（2）性質：①垂直平分線垂直且平分其所在線段．②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．3．等腰三角形的性質（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．4．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．6．等腰直角三角形（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為內切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；（3）若設等腰直角三角形內切圓的半徑r＝1，則外接圓的半徑R=2+1，所以r：