第20頁（共20頁）2024-2025學年下學期初中數學華東師大新版九年級期中必刷常考題之點與圓的位置關系一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?嘉興期末）已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O外，則OP的長可能是（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2024秋?宿城區期末）已知⊙O的半徑為3，當OP＝5時，點P與⊙O的位置關系為（）A．點在圓內 B．點在圓外 C．點在圓上 D．不能確定3．（2024秋?招遠市期末）在△ABC中，∠A＝40°，點0是△ABC的外心，則∠BOC的度數是（）A．40° B．80° C．100° D．80°或100°4．（2024秋?江漢區期末）在平面中，已知⊙O的半徑為8cm，OP＝4cm，點P與⊙O的位置關系是（）A．點P在⊙O外 B．點P在⊙O上或⊙O外 C．點P在⊙O內 D．點P在⊙O上5．（2024秋?萊州市期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，且AB⊥OC，P為圓上一動點，M為AP的中點，連接CM．若⊙O的半徑為2，則CM長的最大值是（）A．25+1 B．5+1 C．4 二．填空題（共5小題）6．（2024秋?通州區期末）已知⊙O的直徑為8cm，如果在⊙O所在平面內有一點P且OP＝5cm，那么點P在⊙O.（填內、外或上）7．（2024秋?萊州市期末）已知點P為平面內一點，若點P到⊙O上的點的最長距離為5，最短距離為1，則⊙O的半徑為．8．（2024秋?集賢縣期末）已知O為△ABC的外心，∠BOC＝70°，則∠A＝．9．（2024秋?陽谷縣期末）如圖，△ABC內接于⊙O，∠A＝45°，BC＝6，則⊙O的直徑為．10．（2024秋?陽谷縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AB⊥OC，P為圓上一動點，M為AP的中點，連接CM，若⊙O的半徑為4，則CM長的最大值是．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?沈丘縣期末）如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，若∠BAC＝90°，BD＝4．求△ABC外接圓的半徑．12．（2024秋?杭州期末）如圖是一條弧形道路和兩塊三角形的空地組成的區塊．A，E，B三點在一條直線上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝60°，BE＝AD．（1）求證：△ADE≌△BEC；（2）若DE=3且E點在弧CD所在的圓上，在劣弧CD上找一點P，使得四邊形13．（2024秋?崇川區期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直徑DE⊥AC，垂足為點F，連接AD，BD．（1）求證：∠ABD＝∠DAC；（2）若tan∠ABD＝2，⊙O的半徑為5，求AC的長．14．（2024秋?迪慶州期末）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，過點B作BD⊥AB交AC的延長線于點D，點E在⊙O上，連結AE，CE，∠CAE＝∠D．（1）求證：AC＝CE．（2）若∠CAB＝25°，求∠ACE的度數．15．（2024秋?天津期末）如圖，△ABC內接于⊙O，AE是⊙O的直徑，AE⊥BC，垂足為D．（1）求證：∠ABO＝∠CAE；（2）已知⊙O的半徑為5，DE＝2，求BC長．

2024-2025學年下學期初中數學華東師大新版九年級期中必刷常考題之點與圓的位置關系參考答案與試題解析題號12345答案DBBCB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?嘉興期末）已知⊙O的半徑為5，點P在⊙O外，則OP的長可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考點】點與圓的位置關系．【專題】與圓有關的位置關系．【答案】D【分析】根據題意可以求得OP的取值范圍，從而可以解答本題．【解答】解：∵O的半徑為5，點P在⊙O外，∴OP＞5，故選：D．【點評】本題考查點和圓的位置關系，解答本題的關鍵是明確題意，求出OP的取值范圍．2．（2024秋?宿城區期末）已知⊙O的半徑為3，當OP＝5時，點P與⊙O的位置關系為（）A．點在圓內 B．點在圓外 C．點在圓上 D．不能確定【考點】點與圓的位置關系．【專題】常規題型；與圓有關的位置關系；推理能力．【答案】B【分析】根據題意得⊙O的半徑為4，則點P到圓心O的距離大于圓的半徑，則根據點與圓的位置關系可判斷點P在⊙O外．【解答】解：∵OP＝5、r＝3，∴OP＞r，則點P在⊙O外，故選：B．【點評】本題考查了點與圓的位置關系：設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內?d＜r．3．（2024秋?招遠市期末）在△ABC中，∠A＝40°，點0是△ABC的外心，則∠BOC的度數是（）A．40° B．80° C．100° D．80°或100°【考點】三角形的外接圓與外心；圓周角定理．【專題】運算能力．【答案】B【分析】已知點O是△ABC的外心，那么∠A、∠BOC即為同弧所對的圓周角和圓心角，根據圓周角定理即可求解．【解答】解：∵點O是△ABC的外心，∴在△ABC的外接圓⊙O中，∠BAC、∠BOC同對著弧BC；由圓周角定理得：∠BOC＝2∠A＝2×40°＝80°．故選：B．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心、圓周角定理的相關知識，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．4．（2024秋?江漢區期末）在平面中，已知⊙O的半徑為8cm，OP＝4cm，點P與⊙O的位置關系是（）A．點P在⊙O外 B．點P在⊙O上或⊙O外 C．點P在⊙O內 D．點P在⊙O上【考點】點與圓的位置關系．【專題】與圓有關的位置關系；推理能力．【答案】C【分析】直接根據點與圓的位置關系解答即可．【解答】解：∵⊙O的半徑為8cm，OP＝4cm，8＞4，∴點P在⊙O內．故選：C．【點評】本題考查的是點與圓的位置關系，熟知點與圓的位置關系有3種，設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有：①點P在圓外?d＞r；②點P在圓上?d＝r；①點P在圓內?d＜r是解題的關鍵．5．（2024秋?萊州市期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，且AB⊥OC，P為圓上一動點，M為AP的中點，連接CM．若⊙O的半徑為2，則CM長的最大值是（）A．25+1 B．5+1 C．4 【考點】點與圓的位置關系；三角形三邊關系；勾股定理；三角形中位線定理；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關概念及性質；運算能力；推理能力．【答案】B【分析】根據題意得出點M的移動軌跡，再根據圓外一點到圓上一點最大距離進行計算即可．【解答】解：如圖，當點P在⊙O上移動時，AP的中點M的軌跡是以OA為直徑的⊙O′，因此CO′交⊙O′于點M，此時CM的值最大，由題意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′=12OA＝1＝O′在Rt△O′OC中，OC＝2，OO′＝1，∴O′C=2∴CM＝CO′+O′M=5+故選：B．【點評】本題考查點與圓的位置關系，勾股定理，理解“圓外一點到圓上任意一點的最大距離”的計算方法是解決問題的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?通州區期末）已知⊙O的直徑為8cm，如果在⊙O所在平面內有一點P且OP＝5cm，那么點P在⊙O外.（填內、外或上）【考點】點與圓的位置關系．【專題】與圓有關的位置關系；推理能力．【答案】外．【分析】點與圓心的距離d．則d＞r時，點在圓外；當d＝r時，點在圓上；當d＜r時，點在圓內．【解答】解：∵⊙O的直徑為8cm，⊙O的半徑為4cm，因為5＞4，即點到圓心的距離大于半徑，則該點在圓的外部．故答案為：外．【點評】此題考查了點和圓的位置關系與數量關系之間的聯系：設圓的半徑是r，點到圓心的距離是d，若d＜r，則點在圓內；若d＞r，則點在圓外；若d＝r，則點在圓上．7．（2024秋?萊州市期末）已知點P為平面內一點，若點P到⊙O上的點的最長距離為5，最短距離為1，則⊙O的半徑為2或3．【考點】點與圓的位置關系．【答案】見試題解答內容【分析】解答此題應進行分類討論，點P可能位于圓的內部，也可能位于圓的外部．【解答】解：當點P在圓內時，則直徑＝5+1＝6，因而半徑是3；當點P在圓外時，直徑＝5﹣1＝4，因而半徑是2．所以⊙O的半徑為2或3．故答案為：2或3．【點評】本題考查的是點與圓的位置關系，在解答此題時要注意進行分類討論．8．（2024秋?集賢縣期末）已知O為△ABC的外心，∠BOC＝70°，則∠A＝35°或145°．【考點】三角形的外接圓與外心．【專題】三角形；運算能力．【答案】見試題解答內容【分析】分圓心O與點A在BC的同側和圓心O與點A在BC的兩側兩種情況解答，利用一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半即可求得結論；延長BO交⊙O于點D，連接CD，利用一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半即可求得∠D，再利用圓內接四邊形的性質即可求得結論．【解答】解：如圖，當圓心O與點A在BC的同側時，∴∠BAC如圖，當圓心O與點A在BC的兩側時，延長BO交⊙O于點D，連接CD，∵∠D∴∠D＝35°．∵四邊形ACDB為圓的內接四邊形，∴∠BAC+∠D＝180°．∴∠BAC＝180°﹣∠D＝180°﹣35°＝145°．綜上，∠BAC＝35°或145°．故答案為：35°或145°【點評】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓內接四邊形的性質，利用分類討論的思想方法解答是解題的關鍵．9．（2024秋?陽谷縣期末）如圖，△ABC內接于⊙O，∠A＝45°，BC＝6，則⊙O的直徑為62．【考點】三角形的外接圓與外心．【專題】等腰三角形與直角三角形；圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】連接OB，OC，利用“同一條弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半”得出∠BOC＝90°，再用勾股定理即可求解．【解答】解：如圖，連接OB，OC，∵∠A＝45°，∴∠BOC＝2∠A＝90°，∴OC2+OB2＝BC2＝62，∵OB＝OC，∴OB=3∴⊙O的直徑為62，故答案為：62．【點評】此題考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，勾股定理，正確地作出輔助線是解題的關鍵．10．（2024秋?陽谷縣期末）如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AB⊥OC，P為圓上一動點，M為AP的中點，連接CM，若⊙O的半徑為4，則CM長的最大值是25+2【考點】點與圓的位置關系；三角形三邊關系；三角形中位線定理；圓周角定理．【專題】與圓有關的位置關系；運算能力．【答案】見試題解答內容【分析】根據題意得出點M的移動軌跡，再根據圓外一點到圓上一點最大距離進行計算即可．【解答】解：如圖，當點P在⊙O上移動時，AP的中點M的軌跡是以OA為直徑的⊙O'，因此CO′交⊙O'于點M，此時CM的值最大，由題意得，OA＝OB＝OC＝2，OO′=12OA=2=在Rt△O′OC中，OC＝42，OO′＝2，O'C=∴CM＝CO′+O′M＝25+2故答案為：25+2【點評】本題考查點與圓的位置關系，勾股定理，正確進行計算是解題關鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?沈丘縣期末）如圖，∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于點D，若∠BAC＝90°，BD＝4．求△ABC外接圓的半徑．【考點】三角形的外接圓與外心；勾股定理；圓周角定理．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】22【分析】先根據圓周角定理可知∠BDC＝90°，BC為⊙O的直徑，再結合題意得到BD＝CD，利用勾股定理求出BC的長，從而得出答案．【解答】解：連接CD．由題意可得：BC為⊙O的直徑，∴∠BDC＝90°，由題意可得：BD=∴BD＝CD，∵BD＝4，∴BC=∴△ABC外接圓的半徑為12【點評】本題主要考查了三角形的外接圓，圓周角定理，勾股定理等知識，正確進行計算是解題關鍵．12．（2024秋?杭州期末）如圖是一條弧形道路和兩塊三角形的空地組成的區塊．A，E，B三點在一條直線上，且∠A＝∠B＝∠DEC＝60°，BE＝AD．（1）求證：△ADE≌△BEC；（2）若DE=3且E點在弧CD所在的圓上，在劣弧CD上找一點P，使得四邊形【考點】點與圓的位置關系；全等三角形的判定與性質；圓周角定理．【專題】圓的有關概念及性質．【答案】（1）證明見解析；（2）2+23【分析】（1）由已知條件得出∠ADE＝∠BEC，即可證明△ADE≌△BEC；（2）連接CD，過點E作EF⊥CD于點F，EF交CD于點P'，即為所求點P，用垂徑定理、勾股定理即可求解．【解答】（1）證明：∵∠A＝∠DEC＝60°，∴在△ADE中，∠ADE+∠AED＝120°，∠BEC+∠AED＝120°，∴∠ADE＝∠BEC，∵∠A＝∠B＝60°，BE＝AD，∴△ADE≌△BEC（ASA）；（2）解：由（1）知，△ADE≌△BEC，∴DE＝EC，∵C四邊形CPDE＝CP+PD+DE+EC＝CP+PD+2DE，連接CD，過點E作EF⊥CD于點F，EF交CD于點P'，即為所求點P，∵E點在CD所在的圓上，∴EP'是直徑，CD是弦，∴∠EDP'＝∠ECP'＝90°，∵DE＝EC，∠DEC＝60°，EF⊥CD，∴∠DEP'＝∠CEP＝30°，∴DP'＝CP'，在Rt△EDP'中，設DP'＝x，則EP′＝2x，由勾股定理得x2解得，x＝1，∴DP'＝CP'＝1，最大值為CP+綜上所述，周長最大值為2+23【點評】本題主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、垂徑定理的推論及30°角三角形的性質，熟知相關性質定理、正確作出輔助線是正確解答此題的關鍵13．（2024秋?崇川區期末）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，直徑DE⊥AC，垂足為點F，連接AD，BD．（1）求證：∠ABD＝∠DAC；（2）若tan∠ABD＝2，⊙O的半徑為5，求AC的長．【考點】三角形的外接圓與外心；解直角三角形；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】圓的有關概念及性質；推理能力．【答案】（1）證明見解答過程；（2）8．【分析】（1）連接DC，根據垂徑定理、線段垂直平分線的性質得到DA＝DC，得到∠DAC＝∠DCA，根據圓周角定理得到∠DBA＝∠DCA，證明∠ABD＝∠DAC；（2）連接OA，設AF＝x，根據正切的定義得到DF＝2x，根據勾股定理列式計算即可．【解答】（1）證明：如圖，連接DC，∵直徑DE⊥AC，∴AF＝CF，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，由圓周角定理得：∠DBA＝∠DCA，∴∠ABD＝∠DAC；（2）解：如圖，連接OA，∵tan∠ABD＝2，∠ABD＝∠DAC，∴tan∠DAC＝2，即DFAF=設AF＝x，則DF＝2x，∴OF＝2x﹣5，在Rt△AOF中，OA2＝OF2+AF2，即52＝（2x﹣5）2+x2，解得：x1＝0（舍去），x2＝4，∴AF＝4，∵直徑DE⊥AC，∴AC＝2AF＝8．【點評】本題考查的是三角形的外接圓與外心、解直角三角形，掌握圓周角定理、正切的定義是解題的關鍵．14．（2024秋?迪慶州期末）如圖，△ABC是⊙O的內接三角形，AB是⊙O的直徑，過點B作BD⊥AB交AC的延長線于點D，點E在⊙O上，連結AE，CE，∠CAE＝∠D．（1）求證：AC＝CE．（2）若∠CAB＝25°，求∠ACE的度數．【考點】三角形的外接圓與外心；三角形內角和定理；等腰三角形的判定與性質；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關的計算；幾何直觀；運算能力；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】（1）首先根據“直徑所對的圓周角為直角”可得∠ACB＝90°，進而可得∠BCD＝90°，即有∠CBD+∠D＝90°，結合BD⊥AB，可得∠CBD+∠CBA＝90°，進一步可得∠D＝∠CBA，然后根據∠CBA＝∠E，∠CAE＝∠D可知∠CAE＝∠E，即可證明結論；（2）首先確定∠CBA＝65°，再根據“同弧或等弧所對的圓周角相等”可知∠E＝∠ABC＝65°，結合AC＝CE易得∠CAE＝65°，然后根據三角形內角和定理求解即可．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝90°，∴∠CBD+∠D＝90°，∵BD⊥AB，∴∠CBD+∠CBA＝90°，∴∠D＝∠CBA，∵∠CBA＝∠E，∠CAE＝∠D，∴∠CAE＝∠E，∴AC＝CE；（2）解：∵∠CAB＝25°，∠ACB＝90°，∴∠CBA＝90°﹣25°＝65°，∵AC=∴∠E＝∠ABC＝65°，∵AC＝CE，∴∠CAE＝65°，∴∠ACE＝180°﹣∠CAE﹣∠E＝50°．【點評】本題主要考查了三角形的外接圓與外心，圓周角定理，等腰三角形的判定與性質，三角形內角和定理等知識，熟練掌握圓周角定理是解答本題的關鍵．15．（2024秋?天津期末）如圖，△ABC內接于⊙O，AE是⊙O的直徑，AE⊥BC，垂足為D．（1）求證：∠ABO＝∠CAE；（2）已知⊙O的半徑為5，DE＝2，求BC長．【考點】三角形的外接圓與外心；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理．【專題】等腰三角形與直角三角形；與圓有關的位置關系；推理能力．【答案】見試題解答內容【分析】（1）由垂徑定理得出BD＝CD，AB＝AC，由等腰三角形的性質得出∠BAE＝∠CAE，由OB＝OA得∠BAE＝∠ABO，即可得出結論；（2）求出OD＝OE﹣DE＝3，利用勾股定理求出BD＝4，由垂徑定理即可得BC＝2BD＝8．【解答】（1）證明：∵AE是⊙O的直徑，AE⊥BC，∴BD＝CD，∴AB＝AC，∵AE⊥BC，∴∠BAE＝∠CAE，∵OB＝OA，∴∠BAE＝∠ABO，∴∠ABO＝∠CAE；（2）解：∵⊙O的半徑為5，DE＝2，∴OD＝OE﹣DE＝3，∵AE⊥BC，∴BD=OB∵AE是⊙O的直徑，AE⊥BC，∴BC＝2BD＝8．【點評】本題考查了圓周角定理、垂徑定理，三角形的外接圓，等腰三角形的性質，熟練掌握圓周角定理，垂徑定理是解決問題的關鍵．

考點卡片1．三角形三邊關系（1）三角形三邊關系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關系判定三條線段能否構成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．2．三角形內角和定理（1）三角形內角的概念：三角形內角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內角，且每個內角均大于0°且小于180°．（2）三角形內角和定理：三角形內角和是180°．（3）三角形內角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設法將三角形的三個內角移到一起，組合成一個平角．在轉化中借助平行線．（4）三角形內角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數．①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．3．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當的判定條件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．4．等腰三角形的判定與性質1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優先選擇簡便方法來解決．5．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．6．三角形中位線定理（1）三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．（2）幾何語言：如圖，∵點D、E分別是AB、AC的中點∴DE∥BC，DE=127．垂徑定理（1）垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧．（2）垂徑定理的推論推論1：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧．推論2：弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧．推論3：平分弦所對一條弧的直徑，垂