第23頁（共23頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期中必刷常考題之三角函數(shù)的應(yīng)用一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?萊州市期末）2024年我國糧食產(chǎn)量首次突破1.4萬億斤，秋糧收購點全面開放收糧，某收購點用輸送帶AB把糧袋從地面輸送到高處，若輸送帶的坡度i=34，輸送帶的長度AB＝20米．①用計算器求輸送帶AB部分與地面的夾角，要求結(jié)果以“度、分、秒”為單位，按鍵順序為：；②一袋糧食從底部輸送到頂部，升高了12米；③坡角為∠B；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC＝25cm，∠ABC＝α，則高AD為（）cm．A．25tanα B．50cosα C．25tanα D．25sin3．（2024秋?南關(guān)區(qū)校級期末）2024年11月19日，長春四大滑雪場之一的天定山滑雪場舉行了開板首滑儀式，標(biāo)志著長春市2024﹣2025新雪季正式開始．如圖，是一條坡角為18°的滑雪道，滑雪道AC長為500米，則滑需道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長為（）A．500sin18°米 B．500sin18°C．500cos18°米 D．500cos4．（2024秋?宛城區(qū)期末）一束光從空氣中以不同的角度射入水中，會發(fā)生反射和折射現(xiàn)象，如圖1是光束在空水中的徑跡，如圖2，現(xiàn)將一束光以一定的入射角α(tanα=43)射入水面GK，此時反射光線與折射光線夾角恰為90°，直線l為法線，A、O、D三點共線，若水深OEA．2m B．4m C．74m D5．（2024秋?聊城期末）如圖，當(dāng)太陽光線與地面成60°的角時，測得空中熱氣球在地面上的影長是10m，則熱氣球的直徑是（）A．20m B．103m C．53m 二．填空題（共5小題）6．（2024秋?湘潭期末）如圖是傳送帶和水平地面所成斜坡的示意圖．若該傳送帶把某物體從地面?zhèn)魉偷诫x地面10米高的地方，該物體所經(jīng)過的路程恰好是20米，那么傳送帶和地面所成斜坡的坡度i為（答案寫成1：m的形式）．7．（2024秋?榆樹市期末）如圖，一個小球由地面沿著坡度為i＝3：4的坡面向上前進(jìn)了25cm，則此時小球水平方向前進(jìn)的距離是cm．8．（2024秋?海陵區(qū)期末）如圖，一輛汽車在坡度i＝1：2（即tanα=12)的斜坡上沿斜坡前進(jìn)了100米，則該汽車豎直方向升高了9．（2024秋?冷水江市期末）如圖，將圓桶中的水倒入一個直徑為4dm，高為5dm的圓口容器中，放置時圓桶頂部與水平線的夾角為60°，且容器中的水面不能與圓桶接觸，則該容器中水的深度至多為dm．10．（2024秋?廣饒縣期末）某商場準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把坡角由37°減至30°，已知原樓梯長為5米，則調(diào)整后的樓梯會加長米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos37°≈45，三．解答題（共5小題）11．（2024秋?煙臺期末）某小區(qū)在綠化改造項目中，要將一棵已經(jīng)枯萎的樹AB砍伐掉，通過測量知道，圖中∠BCD＝30°，∠DCA＝35°，BD＝3米，這棵樹周圍10米處有花園和雕塑．在操作過程中，若不能損毀周圍的花園和雕塑，李師傅能否直接從根部把樹放倒？請通過計算說明理由：如果不行，請計算最少距離根部多長放倒？（結(jié)果保留到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1，312．（2025?雁塔區(qū)校級一模）風(fēng)力發(fā)電作為一種清潔、可再生的能源，正逐步成為全球范圍內(nèi)的重要產(chǎn)業(yè)．周末某校數(shù)學(xué)興趣小組對一架風(fēng)力發(fā)電機的塔桿PD的高度進(jìn)行了測量．塔桿PD安裝在斜坡CD上，且PD垂直于地面AC．利用無人機分別在點A和點B處觀察塔桿的頂端P，發(fā)現(xiàn)恰好滿足AP∥CD，AP⊥BP．已知點B在點A的正上方，AB⊥AC，AB＝40米，斜坡CD的長為10米，其坡度為2．求該風(fēng)力發(fā)電機塔桿PD的高度．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，513．（2024秋?蓬萊區(qū)期末）隨著時代的發(fā)展，手機“直播帶貨”已經(jīng)成為當(dāng)前最為強勁的購物新潮流．某種手機支架如圖1所示，立桿AB垂直于地面，其高為115cm，BC為支桿，它可繞點B旋轉(zhuǎn)，其中BC長為30cm，CD為懸桿，滑動懸桿可調(diào)節(jié)CD的長度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）如圖2，當(dāng)B、C、D三點共線，CD＝40cm時，且支桿BC與立桿AB之間的夾角∠ABC為53°，求端點D距離地面的高度；（2）調(diào)節(jié)支桿BC，懸桿CD，使得∠ABC＝60°，∠BCD＝97°，如圖3所示，且點D到地面的距離為148cm，求CD的長．（結(jié)果精確到1cm）14．（2024秋?海門區(qū)校級期末）2019年12月23日，湖南省政府批準(zhǔn)，全國“十三五”規(guī)劃重大水利工程一邵陽資水犬木塘水庫，將于2020年開工建設(shè)施工測繪中，飲水干渠需經(jīng)過一座險峻的石山，如圖所示，AB，BC表示需鋪設(shè)的干渠引水管道，經(jīng)測量，A，B，C所處位置的海拔AA1，BB1，CC1分別為62m，100m，200m．若管道AB與水平線AA2的夾角為30°，管道BC與水平線BB2夾角為45°，求管道AB和BC的總長度（結(jié)果保留根號）．15．（2024秋?吳忠期末）某中學(xué)圖書館的通道閘機如圖①所示，當(dāng)它的雙翼展開時，示意圖如圖②所示，雙翼邊緣的端點A與D之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC＝DF＝54cm，且與閘機箱的夾角∠ACB＝∠DFE＝30°，求當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)北師大新版九年級期中必刷常考題之三角函數(shù)的應(yīng)用參考答案與試題解析題號12345答案BDACC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?萊州市期末）2024年我國糧食產(chǎn)量首次突破1.4萬億斤，秋糧收購點全面開放收糧，某收購點用輸送帶AB把糧袋從地面輸送到高處，若輸送帶的坡度i=34，輸送帶的長度AB＝20米．①用計算器求輸送帶AB部分與地面的夾角，要求結(jié)果以“度、分、秒”為單位，按鍵順序為：；②一袋糧食從底部輸送到頂部，升高了12米；③坡角為∠B；④A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題；計算器—三角函數(shù)．【專題】三角形．【答案】B【分析】根據(jù)科學(xué)計算器按鍵順序和解直角三角形的應(yīng)用等知識點逐項判斷解答即可．【解答】解：①按鍵順序不對，最后兩個步驟“DMS”和“＝”應(yīng)該互換位置，故①錯誤；②∵i=∴tanA=∴sinA=在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BC＝ABsinA＝12米，故②正確；③坡角為∠A，故③錯誤；④∵i=∴tanA=∴cosA=45故選：B．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，用計算器由三角函數(shù)值求銳角度數(shù)，掌握以上知識點是解答本題的關(guān)鍵．2．（2024秋?城關(guān)區(qū)校級期末）如圖所示的衣架可以近似看成一個等腰三角形ABC，其中AB＝AC＝25cm，∠ABC＝α，則高AD為（）cm．A．25tanα B．50cosα C．25tanα D．25sin【考點】解直角三角形的應(yīng)用；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】D【分析】在Rt△ABD中，根據(jù)sin∠【解答】解：在Rt△ABD中，sin∠∵AB＝AC＝25cm，∠ABC＝α，∴AD＝25sinαcm．故選：D．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是等腰三角形性質(zhì)的熟練掌握．3．（2024秋?南關(guān)區(qū)校級期末）2024年11月19日，長春四大滑雪場之一的天定山滑雪場舉行了開板首滑儀式，標(biāo)志著長春市2024﹣2025新雪季正式開始．如圖，是一條坡角為18°的滑雪道，滑雪道AC長為500米，則滑需道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長為（）A．500sin18°米 B．500sin18°C．500cos18°米 D．500cos【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】A【分析】根據(jù)正弦的定義解答即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝18°，AC＝500米，∵sinC=AB∴AB＝AC?sinC＝500sin18°（米），故選：A．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?宛城區(qū)期末）一束光從空氣中以不同的角度射入水中，會發(fā)生反射和折射現(xiàn)象，如圖1是光束在空水中的徑跡，如圖2，現(xiàn)將一束光以一定的入射角α(tanα=43)射入水面GK，此時反射光線與折射光線夾角恰為90°，直線l為法線，A、O、D三點共線，若水深OEA．2m B．4m C．74m D【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，從而可得∠EOC+∠ECO＝90°，再利用平角定義可得∠FOB+∠EOC＝90°，從而可得∠FOB＝∠ECO，進(jìn)而可得∠α＝∠ECO，再利用對頂角相等可得∠EOD＝∠α，從而可得tanα=tan∠ECO=tan∠EOD=43，然后分別在Rt△ECO【解答】解：如圖：由題意得：∠α＝∠FOB，∠OEC＝90°，∴∠EOC+∠ECO＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠FOB+∠EOC＝180°﹣∠BOC＝90°，∴∠FOB＝∠ECO，∴∠α＝∠ECO，∵∠EOD＝∠α，∴tanα=在直角三角形ECO中，OE＝3m，∴CE=在直角三角形EOD中，DE=∴CD=故選：C．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．5．（2024秋?聊城期末）如圖，當(dāng)太陽光線與地面成60°的角時，測得空中熱氣球在地面上的影長是10m，則熱氣球的直徑是（）A．20m B．103m C．53m 【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再解直角三角形即可．【解答】解：如圖，∠ABC＝60°，AB＝10m，∴AC＝AB?sin60°＝53m，∴MN＝AC＝53m，故選：C．【點評】本題主要考查了解直角三角形的實際應(yīng)用，理解題意是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?湘潭期末）如圖是傳送帶和水平地面所成斜坡的示意圖．若該傳送帶把某物體從地面?zhèn)魉偷诫x地面10米高的地方，該物體所經(jīng)過的路程恰好是20米，那么傳送帶和地面所成斜坡的坡度i為1：3（答案寫成1：【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；幾何直觀；應(yīng)用意識．【答案】1：【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，作出合適的輔助線，明確坡度的定義．根據(jù)題意作出合適的輔助線，由坡度的定義可知，坡度等于坡角對邊與鄰邊的比值，根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)可以得到坡度，本題得以解決．【解答】解：把某物體從地面?zhèn)魉偷诫x地面10米高的地方，該物體所經(jīng)過的路程恰好是20米，如圖，根據(jù)題意知AB＝20米，AC＝10米，在直角三角形ABC中，由勾股定理得：BC=∴斜坡的坡度i=故答案為：1：【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．7．（2024秋?榆樹市期末）如圖，一個小球由地面沿著坡度為i＝3：4的坡面向上前進(jìn)了25cm，則此時小球水平方向前進(jìn)的距離是20cm．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；數(shù)據(jù)分析觀念．【答案】20．【分析】過B作BC⊥AC于C，由i＝BC：AC＝3：4，設(shè)BC＝3xcm，AC＝4xcm，則AB＝5xcm，即可求解．【解答】解：如圖，過B作BC⊥AC于C，由i＝BC：AC＝3：4，設(shè)BC＝3xcm，AC＝4xcm，則AB＝5x＝25，解得x＝5，∴AC＝4×5＝20（cm）．故答案為：20．【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，能從實際問題中整理出直角三角形是解答本題的關(guān)鍵．8．（2024秋?海陵區(qū)期末）如圖，一輛汽車在坡度i＝1：2（即tanα=12)的斜坡上沿斜坡前進(jìn)了100米，則該汽車豎直方向升高了【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】205．【分析】設(shè)汽車豎直方向上升的高度為x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出汽車前進(jìn)的水平寬度，再根據(jù)勾股定理計算即可．【解答】解：設(shè)汽車豎直方向上升的高度為x米，∵斜坡的坡度i＝1：2，∴汽車前進(jìn)的水平寬度為2x米，有勾股定理得：x2+（2x）2＝1002，解得：x＝205（負(fù)值舍去），則汽車豎直方向上升的高度為205米，故答案為：205．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，熟記坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?冷水江市期末）如圖，將圓桶中的水倒入一個直徑為4dm，高為5dm的圓口容器中，放置時圓桶頂部與水平線的夾角為60°，且容器中的水面不能與圓桶接觸，則該容器中水的深度至多為（5-3）dm【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】（5-3【分析】根據(jù)已知條件得到依題意得△ABC是一個斜邊為4dm的直角三角形，得到∠ABC＝60°，AB＝4dm，解直角三角形得到BC=12AB＝2dm，AC=AB2-BC2【解答】解：如圖，∵圓桶放置的角度與水平線的夾角為60°，∠BCA＝90°，∴依題意得△ABC是一個斜邊為4dm的直角三角形，∴∠ABC＝60°，AB＝4dm，∴BC=12AB＝2dm，AC=AB2∴此三角形中斜邊上的高應(yīng)該為AC?BCAB∵圓口容器的高為5dm，∴該容器中水的深度至多為（5-3）dm故答案為：（5-3【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵．10．（2024秋?廣饒縣期末）某商場準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把坡角由37°減至30°，已知原樓梯長為5米，則調(diào)整后的樓梯會加長1米．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈35，cos37°≈45，【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)正弦的定義求出AC，再根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AD，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝37°，AB＝5米，∵sin∠ABC=AC∴AC＝AB?sin∠ABC≈5×35在Rt△ADC中，∠ACB＝90°，∠ADC＝30°，則AD＝2AC＝6米，∴調(diào)整后的樓梯增加的長度為：6﹣5＝1（米），故答案為：1．【點評】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?煙臺期末）某小區(qū)在綠化改造項目中，要將一棵已經(jīng)枯萎的樹AB砍伐掉，通過測量知道，圖中∠BCD＝30°，∠DCA＝35°，BD＝3米，這棵樹周圍10米處有花園和雕塑．在操作過程中，若不能損毀周圍的花園和雕塑，李師傅能否直接從根部把樹放倒？請通過計算說明理由：如果不行，請計算最少距離根部多長放倒？（結(jié)果保留到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，tan65°≈2.1，3【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】不能，直接從根部把樹放倒，最少距離根部0.8米放倒．【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出BC長，再利用65°的正切值可得樹高AB，與10進(jìn)行比較，即可得出答案．【解答】解：由條件可知tan30°=∵∠DCA＝35°，∴∠ACB＝65°．∴AB=∵10.71＞10，10.71﹣10≈0.71米，∴李師傅不能直接從根部把樹放倒．最少距離根部0.8米放倒．【點評】本題考查解直角三角形在實際生活中的應(yīng)用，題目新穎，得到兩個直角三角形的公共邊的長度是解決本題的關(guān)鍵．12．（2025?雁塔區(qū)校級一模）風(fēng)力發(fā)電作為一種清潔、可再生的能源，正逐步成為全球范圍內(nèi)的重要產(chǎn)業(yè)．周末某校數(shù)學(xué)興趣小組對一架風(fēng)力發(fā)電機的塔桿PD的高度進(jìn)行了測量．塔桿PD安裝在斜坡CD上，且PD垂直于地面AC．利用無人機分別在點A和點B處觀察塔桿的頂端P，發(fā)現(xiàn)恰好滿足AP∥CD，AP⊥BP．已知點B在點A的正上方，AB⊥AC，AB＝40米，斜坡CD的長為10米，其坡度為2．求該風(fēng)力發(fā)電機塔桿PD的高度．（結(jié)果精確到1米）（參考數(shù)據(jù)：2≈1.414，3≈1.732，5【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題；相似三角形的應(yīng)用．【專題】圖形的相似；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識．【答案】該風(fēng)力發(fā)電機塔桿PD的高度約為23米．【分析】延長AC，PD交于H，則∠H＝90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠B＝∠PAC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DCH＝∠PAH，求得∠DCH＝∠B，解直角三角形得到DH＝45米，在Rt△ABP中，tanB＝tan∠DCH=APPB=2，求得【解答】解：延長AC，PD交于H，則∠H＝90°，∵AP⊥BP，∴∠APB＝∠H＝90°，∵AB⊥AC，∴∠BAP+∠CAP＝∠B+∠BAP＝90°，∴∠B＝∠PAC，AP∥CD，∴∠DCH＝∠PAH，∴∠DCH＝∠B，∵斜坡CD的長為10米，其坡度為2．∴tan∠DCH=DHCH∴DH＝2CH，∵DH2+CH2＝CD2，∴5CH2＝100，∴CH＝25（負(fù)值舍去），∴DH＝45米，在Rt△ABP中，tanB＝tan∠DCH=∴AP＝2PB，∵AP2+PB2＝AB2，∴5PB2＝1600，∴PB＝85，∴AP＝165米，∵CD∥AP，∴△HCD∽△HAP，∴DHPH∴45∴PH＝32米，∴PD＝PH﹣DH＝32﹣45≈23答：該風(fēng)力發(fā)電機塔桿PD的高度約為23米．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度平角問題，相似三角形的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．13．（2024秋?蓬萊區(qū)期末）隨著時代的發(fā)展，手機“直播帶貨”已經(jīng)成為當(dāng)前最為強勁的購物新潮流．某種手機支架如圖1所示，立桿AB垂直于地面，其高為115cm，BC為支桿，它可繞點B旋轉(zhuǎn)，其中BC長為30cm，CD為懸桿，滑動懸桿可調(diào)節(jié)CD的長度．（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）如圖2，當(dāng)B、C、D三點共線，CD＝40cm時，且支桿BC與立桿AB之間的夾角∠ABC為53°，求端點D距離地面的高度；（2）調(diào)節(jié)支桿BC，懸桿CD，使得∠ABC＝60°，∠BCD＝97°，如圖3所示，且點D到地面的距離為148cm，求CD的長．（結(jié)果精確到1cm）【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】（1）端點D距離地面的高度為73（cm）；（2）CD的長為60（cm）．【分析】（1）如圖所示，過點D作EF⊥AF，過點B作BE⊥EF于點E，則EF＝AB＝115cm，由題意得到BD＝BC+CD＝30+40＝70cm，∠BDE＝∠ABC＝53°，在Rt△BDE中，cos∠BDE=cos53°=DEBD，則DE≈42（2）如圖所示，過點D作DG⊥AG，過點C作KH⊥AG，交AB，DG于點K，H，則BK=12BC=12×30=15cm，AK＝GH＝AB﹣BK＝115﹣15＝100（cm），DH＝DG﹣GH＝148﹣100＝48【解答】解：（1）如圖所示，過點D作EF⊥AF，過點B作BE⊥EF于點E，則EF＝AB＝115cm，∵CD＝40cm，AB＝115cm，BC＝30cm，∴BD＝BC+CD＝30+40＝70cm，∠BDE＝∠ABC＝53°，在Rt△BDE中，cos∠∴DE＝BD?cos53°≈70×0.60＝42（cm），∴DF＝115﹣42＝73（cm），∴端點D距離地面的高度為73（cm）；（2）如圖所示，過點D作DG⊥AG，過點C作KH⊥AG，交AB，DG于點K，H，∵∠ABC＝60°，BC＝30cm，∴∠BCK＝30°，cos∠∴BK=∴AK＝GH＝AB﹣BK＝100（cm），∵DG＝148cm，∴DH＝DG﹣GH＝48（cm），∵∠BCD＝97°，∴∠DCH＝180°﹣∠BCD﹣∠BCK＝53°，∴在Rt△CDH中，sin∠∴CD=∴CD的長為60（cm）．【點評】本題主要考查解直角三角形的運用，掌握銳角三角函數(shù)的計算是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?海門區(qū)校級期末）2019年12月23日，湖南省政府批準(zhǔn)，全國“十三五”規(guī)劃重大水利工程一邵陽資水犬木塘水庫，將于2020年開工建設(shè)施工測繪中，飲水干渠需經(jīng)過一座險峻的石山，如圖所示，AB，BC表示需鋪設(shè)的干渠引水管道，經(jīng)測量，A，B，C所處位置的海拔AA1，BB1，CC1分別為62m，100m，200m．若管道AB與水平線AA2的夾角為30°，管道BC與水平線BB2夾角為45°，求管道AB和BC的總長度（結(jié)果保留根號）．【考點】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】(76+1002【分析】先根據(jù)題意得到BO，CB2的長，在Rt△ABO中，由三角函數(shù)可得AB的長度，在Rt△BCB2中，由三角函數(shù)可得BC的長度，再相加即可得到答案．【解答】解：根據(jù)題意知，四邊形AA1B1O和四邊形BB1C1B2均為矩形，∴OB1＝AA1＝62m，B2C1＝BB1＝100m，∴BO＝BB1﹣OB1＝100﹣62＝38m，CB2＝CC1﹣B2C1＝200﹣100＝100m，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝38m，∴AB＝2BO＝2×38＝76m；在Rt△CBB2中，∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝100m，∴BC=∴AB+即管道AB和BC的總長度為：(76+1002【點評】考查了解直角三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)得到AB和BC的長度．15．（2024秋?吳忠期末）某中學(xué)圖書館的通道閘機如圖①所示，當(dāng)它的雙翼展開時，示意圖如圖②所示，雙翼邊緣的端點A與D之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC＝DF＝54cm，且與閘機箱的夾角∠ACB＝∠DFE＝30°，求當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度．【考點】解直角三角形的應(yīng)用；含30度角的直角三角形．【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力．【答案】當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為64cm．【分析】過點A作AG⊥BC，垂足為G，過點D作DH⊥EF，垂足為H，根據(jù)垂直定義可得：∠AGC＝∠DHF＝90°，然后在Rt△ACG和Rt△DHF中，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)求出AG和DH的長，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．【解答】解：過點A作AG⊥BC，垂足為G，過點D作DH⊥EF，垂足為H，∴∠AGC＝∠DHF＝90°，∵∠ACB＝∠DFE＝30°，AC＝DF＝54cm，∴AG=12AC＝27（cm），DH=12DF＝∵雙翼邊緣的端點A與D之間的距離為10cm，∴27+10+27＝64（cm），∴當(dāng)雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為64cm．【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，含30度角的直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．2．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．（2）此結(jié)論是由等邊三角形的性質(zhì)推出，體現(xiàn)了直角三角形的性質(zhì)，它在解直角三角形的相關(guān)問題中常用來求邊的長度和角的度數(shù)．（3）注意：①該性質(zhì)是直角三角形中含有特殊度數(shù)的角（30°）