用銳角三角函數解決實際問題6類壓軸訓練

01思維導圖

目錄

壓軸題型一解直角三角形應用仰角俯角問題......................................................1

壓軸題型二解直角三角形應用方位角問題........................................................9

壓軸題型三解直角三角形應用坡度坡比問題.....................................................15

壓軸題型四解直角三角形應用與三角形的綜合..................................................22

壓軸題型五解直角三角形應用與四邊形的綜合..................................................27

壓軸題型六解直角三角形應用與其他圖形的綜合................................................34

02壓軸題型

壓軸題型一解直角三角形應用仰角俯角問題

例題：(24-25九年級上?山東聊城?期中)某數學興趣小組到一公園測量塔樓的高度，如圖所示，塔樓剖面圖

與斜坡剖面圖在同一平面內，在斜坡底部C處測得塔頂2的仰角為54.5。，沿斜坡走13米到達斜坡

。處，測得塔頂8的仰角為26.7。，且斜坡CD的坡度i=1:2.4,其中點/,C,G,尸在同一條水平直線

上.求：

(1)點。到地面/C的距離;

(2)塔48的高.(精確到0.1米)(參考數據：tan54.5°?1.40,sin54.5°?0.81,cos54.5°?0.58,

tan26.7°?0.50,sin26.7°q0.45,cos26.7°?0.89)

1.（24-25九年級上?山東淄博?期中）如圖，某校數學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度CD.如圖所

示，一架水平飛行的無人機在A處測得正前方河流的左岸。處的俯角為無人機沿水平線4尸方向繼續飛

行50米至8處，測得正前方河流右岸。處的俯角為30。.線段的長為無人機距地面的鉛直高度，點

C、。在同一條直線上.其中tana=2,MC=50百米.

ABF

\、、、

\、、

\、、

\、、

\、、

\、、

\、、

\、、

MC-------------『D-

（1）求無人機的飛行高度NM;（結果保留根號）

（2）求河流的寬度CD.（結果保留根號）

2.（24-25九年級上?上海閔行?階段練習）嘉嘉使用桌上書架如圖1所示.嘉嘉發觀，當書架與桌面的夾角

乙4。3=150。時，頂部邊緣A處離桌面的高度/C的長為15cm,此時舒適度不太理想.嘉嘉調整書架與桌

面的夾角大小繼續探究，最后發現當張角乙4'08=120。時（點4是A的對應點），舒適度較為理想.

（圖1）（圖2）

（1）書架在旋轉過程中，求頂部邊緣A點到?走過的路徑長.

（2）如圖2這個平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在E處，書上有一點尸，旋轉點。到點尸的距離為20cm,嘉嘉

看點尸的俯角為18。，眼睛到桌面高度為防,點。到點5的距離為25cm,求此時眼睛到尸點的距離，即E尸

的長度.（結果精確到1cm；參考數據：sinl8°?0.31,cosl8°?0.95,tanl8°?0.32）

3.(24-25九年級上?山東泰安?階段練習)某中學鳳棲堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草間，小剛站在雕像

前，自C處測得雕像頂/的仰角為53。，小強站鳳棲堂門前的臺階上，自。處測得雕像頂4的仰角為45。,

此時，兩人的水平距離EC為0.45m,已知鳳棲堂門前臺階斜坡8的坡比為，=1:3.(參考數據:

孔

子

雕

像

(1)計算臺階?！甑母叨?

(2)求孔子雕像的高度.

4.（23-24九年級下?江西宜春?期中）風能是一種清潔無公害的可再生能源，利用風力發電非常環保.如圖1

所示，是一種風力發電裝置；如圖2為簡化圖，塔座。。建在山坡。尸上（坡比，=3:4,￡）￡垂直于水平地

面EF,O,D,E三點共線），坡面。尸長10m,三個相同長度的風輪葉片CM,OB,OC可繞點。轉動,

每兩個葉片之間的夾角為120。；當葉片靜止，CM與。。重合時，在坡底尸處向前走25米至點M處，測得

點。處的仰角為53。，又向前走23.5米至點N處，測得點A處的仰角為30°（點E,F,M,N在同一水

平線上）.

圖1圖2圖3

⑴求葉片CM的長；

⑵在圖2狀態下，當葉片繞點。順時針轉動90。時（如圖3）,求葉片OC頂端C離水平地面E尸的距離.（參

434

考數據：sin53°?-,cos53°?-,tan53°?-,6^1.7,結果保留整數）

壓軸題型二解直角三角形應用方位角問題

例題：（2024?湖北武漢?模擬預測）某市要在東西方向M,N兩地之間修建一條道路.如圖，C點周圍180m

范圍內為文物保護區，在肱V上點/處測得C在/的北偏東60。方向上，從/向東走500m到達2處，測得

C在3的北偏西45。方向上，則是否穿過文物保護區？為什么？

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?重慶九龍坡?開學考試）小明和小玲游覽一處景點，如圖，兩人同時從景區大門A出發,

小明沿正東方向步行60米到一處小山B處，再沿著BC前往寺廟C處，在8處測得亭臺D在北偏東15。方向

上，而寺廟C在8的北偏東30。方向上，小玲沿著A的東北方向上步行一段時間到達亭臺。處，再步行至正

東方向的寺廟C處.

北

東

（1）求小山8與亭臺。之間的距離；（結果保留根號）

（2）若兩人步行速度一樣，則誰先到達寺廟C處.（結果精確到個位，參考數據：收21.41，6。1.73,指它2.45）

2.(23-24九年級上?重慶榮昌?期末)今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心力的

正北方向的2處，其中48=2km,明明位于游客中心/的西北方向的C處.烈日當空，媽媽準備把包里的

太陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時明明騎馬向南偏東60。方向緩慢前進.15分鐘

后，他們再游客中心/的北偏西37。方向的點。處相遇.

A

(1)求媽媽步行的速度;

(2)求明明從C處到。處的距離.

3.（2024?湖南長沙?模擬預測）螞蟻是一種靠嗅覺尋找食物的生物，它們的嗅覺比較發達，最遠能聞出距離

幾十米處遠的食物的味道某天李華同學在戶外觀察螞蟻覓食時，發現他所在位置/點的北偏西66。方向距/

點60cm的2點有一只正在覓食的螞蟻（如圖），/點北偏東45。方向距/點20月cm的C點有一塊糖，螞蟻

（1）請求出螞蟻所在位置3點與糖所在位置C點之間的距離；

（2）若在N點北偏東75。方向距/點40cm的。點處剛好有一只蜘蛛，求螞蟻在找到糖時與蜘蛛的距離.（結

果取整數，參數數據：sin45°?0.707,cos45°?0.707,sin66。士0.914,cos66°?0.407,tan660?2.246,

Ga1.732)

壓軸題型三解直角三角形應用坡度坡比問題

例題：（2024?湖北?模擬預測）某鎮為創建特色小鎮，助力鄉村振興，決定在轄區的一條河上修建一座步行

觀光橋.如圖，該河旁有一座小山，山高8C=80m,坡面AB的坡度i=1:0.7（注：坡度i是指坡面的鉛直

高度與水平寬度的比），點C、A與河岸E、廠在同一水平線上，從山頂8處測得河岸E和對岸廠的俯角分

別為ND2E=45°,/DBF=31°.（參考數據：sin31°^0.52,cos31°^0.86,tan31°?0.60）

⑴求山腳A到河岸E的距離；

（2）若在此處建橋，試求河寬E廠的長度.（結果精確到0.1m）

鞏固訓練

1.(2024?山西長治?模擬預測)“暢游山西，逛代縣邊靖樓”成為今年山西旅游新特色，某數學興趣小組用無

人機測量邊靖樓的高度,測量方案如圖：在坡底D處測得塔頂/的仰角為45°,沿坡比為5:12的斜坡CD

前行26米到達平臺C處,在C處測得塔頂/的仰角為60。.

A

(1)求坡頂C到地面的距離;

(2)計算邊靖樓48的高度.

2.(2024九年級下?遼寧?專題練習)圖1所示是屹立在于都縣紀念廣場的中央紅軍長征出發紀念碑，它是由

呈雙帆造型的碑身與方形底座兩部分組成的，底座下方是臺階，臺階的橫截面如圖2所示.已知臺階的坡

面DE的坡度i=坡面DE的長為2.4m.

(1)計算坡面DE的鉛直身度；

(2)如圖3,為了測量紀念碑的高度，亮亮站在紀念碑正前方廣場上的點G處用高1.64m的測角儀GH,測得

紀念碑碑身頂端/的仰角是35。，繼續向紀念碑前進8.1m到達點K處，此時測得紀念碑頂端45。，求紀念

碑的實際高度NC.(結果精確到0.01,參考數據：sin35°?0.574,cos35°?0.819,tan35°?0.700)

3.（22-23九年級上?重慶?階段練習）圖（1）為某大型商場的自動扶梯、圖（2）中的為從三樓到五樓

的扶梯的側面示意圖.小明站在扶梯起點A處時，測得天花板上日光燈C的仰角為37。，此時他的眼睛。與

地面的距離4D=L7m,之后他沿三樓扶梯到達頂端3后又沿瓦：（〃：〃MV）向正前方走了1.6m,發現日光燈

C剛好在他的正上方.

圖⑴圖⑵

已知自動扶梯48的坡度為1:2.4,48長度是13m.（參考數據：sin37°?0.6,cos37°?0.8,tan37°?0.75）

（1）求圖中B到三樓地面的高度.

（2）求日光燈C到三樓地面的高度.（結果精確到整數）

壓軸題型四解直角三角形應用與三角形的綜合

例題：中國傳統建筑屋頂設計是中國古代建筑之瑰寶.常見的屋頂種類主要有院殿頂、歇山頂、硬山頂、

懸山頂、攢尖頂、卷棚頂和平頂等.如圖1的古代建筑屋頂，被稱為“懸山頂”，它的側視圖呈軸對稱圖形,

如圖2所示，已知屋檐口=6米，屋頂￡到支點C的距離EC=5.4米，墻體高CF=3.5米，屋面坡角

/￡CD=28。.(參考數值:sm28°?0.47,cos28°?0.88,tan280?0.53)

(

俯J3

視

方

向G

圖2

(1)求房屋內部寬度尸G的長;

(2)求點A與屋面FG的距離.

鞏固訓練

1.露營愛好者在露營時為遮陽和防雨會借助垂直于地面的樹干42搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對

稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支撐桿8,用繩子拉直CE后系在樹干N8上的點/處，使得C,E在

一條直線上，通過調節點/的高度可控制“天幕”的開合，若C￡=CF=3米，CDLEF于點、O

（參考數據：sin75°?0.966,cos75。它0.259,tan75°?3.732）

圖1圖2

⑴天晴時打開“天幕”，若乙4。斤=150。，求遮陽寬度ER（結果保留一位小數）

（2）下雨時收攏“天幕”，/ZC5由150。減小到120。，求點。下降的高度.（結果保留一位小數）

2.油紙傘有著逾千年的歷史，被列入國家非物質文化遺產名錄；在一次活動中，小文了解了油紙傘文化的

內涵，決定進行設計傘的實踐活動.小文依據黃金分割的美學設計理念，設計了中截面如圖所示的傘骨結

DH

構（其中772。618）：傘柄/〃始終平分/3ZC,AB=AC=20cm,當N8/C=120。時，傘完全打開，

AH

此時/8DC=90。.

(1)NB4D=,ZADB=

（2）求線段的長；（結果保留整根號）

（3）請問最少需要準備多長的傘柄？（結果保留整數，參考數據：V3?1,732）

壓軸題型五解直角三角形應用與四邊形的綜合

例題：圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，已知尸G,A,D,H,

G四點在同一直線上，測得/五EC=44=72.9。,/。=1.6m,￡尸=6.2m.(結果保留小數點后一位)

(1)求證：四邊形DEFG為平行四邊形；

(2)求雕塑的高(即點G到N3的距離).

(參考數據：sin72.9°?0.96,cos72.9°?0.29,tan72.9°?3.25)

鞏固訓練

1.(24-25九年級上?河北衡水?期中)某小區門口安裝了汽車出入道閘.道閘關閉時，如圖1,四邊形

為矩形，長3米，/D長1米，點。距地面為0.2米.道閘打開的過程中，邊ND固定，連桿NB,CD

分別繞點N,D轉動,且邊3c始終與邊4。平行.

圖1圖2

⑴如圖2,當道閘打開至ZADC=45°時，邊CD上一點P到地面的距離PE為1.2米,求點尸到MN的距離PF

的長.

(2)一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米.當道閘打開至/MX：=35。時，轎車能否駛入小區？請說

明理由.（參考數據：sin35°?0.5736,cos35°?0.8192,tan35°?0.7002）

2.如圖⑴是一個晾衣架的實物圖，支架的基本圖形是菱形，是晾衣架的一個滑槽，點P在滑槽上、

下移動時，晾衣架可以伸縮，其示意圖如圖（2）所示，已知每個菱形的邊長均為20c%,且

AB=CD=CP=DM=20cm.

圖⑴

⑴當點尸向下滑至點N處時，測得NDCE=600時

①求滑槽"N的長度；

②此時點A到直線DP的距離是多少？

（2）當點P向上滑至點/處時，點/在相對于⑴的情況下向左移動的距離是多少？

（結果精確到0.01cm,參考數據&a1.414,6a1.732）

3.某景區草地上豎立著一個如圖（1）所示的雕塑，現將其中兩個近似大小相同的矩形框架抽象成如圖（2）

所示的圖形，矩形FECG可由矩形/BCD繞點C旋轉得到，點E在4。上，延長ED交FG于點H.連接

BE,CH.

（1）判斷四邊形的形狀并給予證明；

（2）若點G在水平地面上，與水平地面平行，ZBCE=48°,AB=3cm,BC=4cm,求點A到水平地面的

距離.（結果精確到0.1m.）參考數據：

sin48°a0.75,cos48°~0.67,tan48°s1.11,cos24°?0.91,tan24°?0.45

4.圖1是某校教學樓墻壁上文化長廊中的兩幅圖案，現將這兩個正方形轉化為平面圖形得到圖2,并測得正

方形與正方形跖GH的面積相等，且Z3=100cm,CD〃砂，ZC￡)￡=140°,ZCGF=25°

⑴判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由.

(2)求CG的長.(參考數據：sin25°?0.42,cos25°?0.91,tan25°?0.47)

壓軸題型六解直角三角形應用與其他圖形的綜合

例題：(24-25九年級上?山西長治?階段練習)如圖1是公交車的站臺，主要由頂棚、站牌、底座構成.圖2

是其截面示意圖，站牌截面是矩形/BCD,邊4。平行于地面"V,邊CD垂直于地面MV,頂棚4E與站牌

上端的夾角功小=22。，底座CF與地面的夾角/CFM=60。.經測量

/￡=195cm,4D=49cm,CD=166cm,CF=76cm.(結果精確到1cm；參考數據:

sin22°。0.374,cos22°?0.926,tan22°°0.404,73-1.73)

圖1

(1)求站牌邊緣點D與棚頂邊緣點E的水平距離;

(2)求棚頂邊緣點E到地面的距離.

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?遼寧沈陽?期中）如圖1是一臺放置在水平桌面上的筆記本電腦，將其側面抽象成如圖2

所示的幾何圖形，若顯示屏所在面的側邊4。與鍵盤所在面的側邊2。長均為24cm,點尸為眼睛所在位置,

。為49的中點，連接尸當刊〃/O時，稱P點為“最佳視角點”，此時乙40c=120。，作尸CLO5,垂

足C在。8的延長線上，且8C=12cm.

圖1

（1）求點。到08的距離；（結果保留根號）

（2）求PC的長.（結果精確到0.1cm,參考數據021.414,1.732）

2.（24-25九年級上?江蘇蘇州?期中）實驗是培養學生創新能力的重要途徑.如圖是小亮同學安裝的化學實

驗裝置，安裝要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應固定在距試管口的三分之一處.現將左側的實驗裝置圖抽

象成右側示意圖，已知試管/2=24cm,BE=；AB,試管傾斜角448G為12。.（參考數據：sinl2°?0.21；

cosl2°?0.98）

（1）求試管口B與鐵桿DE的水平距離BG的長度；

（2）實驗時，導氣管緊靠水槽壁延長8M交CN的延長線于點尸，且KNLC尸于點N（點C,D,N,

尸在一條直線上），經測得：DE=28cm,MN=Scm,ZABM=147°,求線段DN的長度.

3.(2024?上海寶山?一模)如圖1是某款籃球架，圖2是其示意圖，立柱04垂直地面08,支架8與。N

交于點A,支架CGLCD交。/于點G,支架平行地面OB,籃篋E尸與支架。E在同一直線上，

OA=2.5m,/D=0.8m,ZAGC=32°.

(1)求：/G/C的度數.

(2)某運動員準備給籃筐掛上籃網，如果他站在凳子上，最高可以把籃網掛到離地面3米處，那么他能掛上

籃網嗎？請通過計算說明理由.(參考數據：sin32°?0.53)

4.（24-25九年級上?山東濰坊?期中）圖1是我國古代提水的器具桔棒（jiegao）,創造于春秋時期.它選擇

大小兩根竹竿，大竹竿中點架在作為杠桿的竹梯上.大竹竿末端懸掛一個重物，前端連