用銳角三角函數(shù)解決實際問題6類壓軸訓(xùn)練

01思維導(dǎo)圖

目錄

壓軸題型一解直角三角形應(yīng)用仰角俯角問題......................................................1

壓軸題型二解直角三角形應(yīng)用方位角問題.......................................................9

壓軸題型三解直角三角形應(yīng)用坡度坡比問題....................................................15

壓軸題型四解直角三角形應(yīng)用與三角形的綜合..................................................22

壓軸題型五解直角三角形應(yīng)用與四邊形的綜合..................................................27

壓軸題型六解直角三角形應(yīng)用與其他圖形的綜合................................................34

02壓軸題型

壓軸題型一解直角三角形應(yīng)用仰角俯角問題

例題：（24-25九年級上?山東聊城?期中）某數(shù)學(xué)興趣小組到一公園測量塔樓的高度，如圖所示，塔樓剖面圖

與斜坡剖面圖在同一平面內(nèi)，在斜坡底部C處測得塔頂2的仰角為54.5。，沿斜坡走13米到達斜坡

。處，測得塔頂8的仰角為26.7。，且斜坡CD的坡度i=1:2.4,其中點/,C,G,尸在同一條水平直線

上.求：

B

EDX26.T/

FGCA

(1)點。到地面/C的距離；

(2)塔48的高.(精確到0.1米)(參考數(shù)據(jù)：tan54.5°?1.40,sin54.5°?0.81,cos54.5°?0.58,

tan26.7°?0.50,sin26.7°?0.45,cos26.7°?0.89)

【答案】(1)5米

(2)17.1米

【知識點】用勾股定理解三角形、仰角俯角問題（解直角三角形的應(yīng)用）、坡度坡比問題（解直角三角形的應(yīng)

用）

【分析】本題考查解直角三角形的實際應(yīng)用，勾股定理.

（1）根據(jù)坡度和CD的長進行求解即可；

（2）過點。作垂足為“，設(shè)/C=機米，則/G=（%+12）米，在RtZk/8C中，

/B=/C?tan54.5°修1.4m米,在RtZkBDH中,32/=?tan26.7。0.5（機+12）米，根據(jù)+=建

立方程求解，得到”的值，即可解答.

【詳解】（1）解：???斜坡CO的坡度i=l:2.4,設(shè)。G=x,CG=2.4x,

.-.x2+（2.4x）2=132,

解得x—5,

答：點。到地面/C的距離為5米；

（2）解：如圖，過點。作垂足為",

EDX26.T

FGCA

由題意得：0G=/〃=5米，DH=AG,DGLAF,

?.?斜坡CD的坡度，=1:2.4,OG=5米，

設(shè)AC=加米，

：.AG=DH=CG+AC=[m+\i)^z,

在RtzX/BC中，ABCA=54.5°,

AB=/C■tan54.5。?IAm米，

在中，ZBDH=26.7°,

BH=DHXan26.1°a0,5(m+12)米,

???BH+AH=AB,

0,5(??+12)+5=1.4m,

解得：m=—

.?.48=1.4"伊17.1米，

；?塔高48約為17.1米.

1.（24-25九年級上?山東淄博?期中）如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度CD.如圖所

示，一架水平飛行的無人機在A處測得正前方河流的左岸C處的俯角為a,無人機沿水平線Z尸方向繼續(xù)飛

行50米至8處，測得正前方河流右岸。處的俯角為30。.線段NM的長為無人機距地面的鉛直高度，點

M、C、。在同一條直線上.其中tana=2,兒/C=50百米.

（1）求無人機的飛行高度（結(jié)果保留根號）

（2）求河流的寬度CD.（結(jié)果保留根號）

【答案】⑴100G米

（2）（350-506）米

【知識點】仰角俯角問題（解直角三角形的應(yīng)用）

【分析】（1）由題意得，AF//DM,AMYDM,即得N/CM=NC4F=a,//MC=90。，再解直角

即可求解；

（2）如圖，過點B作877_1。河于貝1」3〃=/川=100』米，MH=4B=50米,ZBHD=90°,解直角

△BHD可得DH=BH=300,即得M3=M/+D"=350,進而根據(jù)CO=MD-MC即可求解；

tan30

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用日仰角俯角問題，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】（1）解：由題意得，AF//DM,AMLDM,

/.ZACM=ZCAF=a,ZAMC=90°,

AM…3

---=tan/ACM=tana=2,

MC

???/M=2MC=100/米；

(2)解：如圖，過點B作a于4,則8，=/河=100g米，MH=AB=50^,ZBHD=90°,

DH

DH=，=卑=300

tan30°y/3米,

3

:.MD=MH+DH=50+300=350^:,

CD=A?-MC=（350-50百）米

2.（24-25九年級上?上海閔行?階段練習(xí)）嘉嘉使用桌上書架如圖1所示.嘉嘉發(fā)觀，當(dāng)書架與桌面的夾角

4408=150。時，頂部邊緣A處離桌面的高度NC的長為15cm,此時舒適度不太理想.嘉嘉調(diào)整書架與桌

面的夾角大小繼續(xù)探究，最后發(fā)現(xiàn)當(dāng)張角44'。3=120。時（點4是A的對應(yīng)點），舒適度較為理想.

（圖1）（圖2）

（1）書架在旋轉(zhuǎn)過程中，求頂部邊緣A點到4走過的路徑長.

（2）如圖2這個平面圖形，如果嘉嘉的眼睛在E處，書上有一點尸，旋轉(zhuǎn)點。到點尸的距離為20cm,嘉嘉

看點下的俯角為18。，眼睛到桌面高度為胡，點。到點8的距離為25cm,求此時眼睛到尸點的距離，即所

的長度.（結(jié)果精確到1cm；參考數(shù)據(jù)：sinl8°?0.31,cosl8°?0.95,tanl8°?0.32）

【答案】（1）5萬cm

⑵斯*37cm

【知識點】仰角俯角問題（解直角三角形的應(yīng)用）

【分析】（1）利用平角定義先求出乙4。。=30。，然后在RMZC。中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出/。的

長，從而求出0。的長，進而利用弧長公式求解即可.

（2）過點尸作萬FNLBE于點、M、N,則四邊形M3NF是矩形，ZFNE=90°,在Rt^REN中,

解直角三角形即可得解.

【詳解】（1）解：?.?408=150。，

ZAOC=180°一"03=30°,

在RM/C。中，AC=15cm,

AO=2AC=30cm,

由題意得：AO=A'O=30cm,

■:ZA'OB=120°,

ZA'OA=1500-ZA'OB=30°,

20X77"X40

???邊緣A點到A'走過的路徑長工：=5萬cm.

180

（2）解：過點尸作FN1BE于點、M、N,則四邊形"8NF是矩形，NFNE=/FMO=90°,

VOF=20cm,/尸（W=l80。—120。=60。,

OM=—OF=10cm,

2

：.FN=BM=OM+OB=35cm,

??,向下看的俯角為18°,

：./EFN=18。，

【點睛】本題主要考查了解直角三角形、30度直角三角形的性質(zhì)、求弧長以及矩形的判定及性質(zhì)，熟練掌

握解直角三角形、30度直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

3.（24-25九年級上?山東泰安?階段練習(xí)）某中學(xué)鳳棲堂前一尊孔子雕像矗立于萋萋芳草間，小剛站在雕像

前，自C處測得雕像頂Z的仰角為53。，小強站鳳棲堂門前的臺階上，自。處測得雕像頂4的仰角為45。,

此時，兩人的水平距離石。為0.45m,已知鳳棲堂門前臺階斜坡CO的坡比為2=1:3.（參考數(shù)據(jù)：

434

sin53°?—,cos53°?-,tan53°?—）

553

(1)計算臺階DE的圖度；

(2)求孔子雕像42的高度.

【答案】⑴0.15m

(2)2.4m

【知識點】仰角俯角問題(解直角三角形的應(yīng)用)、坡度坡比問題(解直角三角形的應(yīng)用)

【分析】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角，解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，掌握仰角

俯角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)鳳棲堂門前臺階斜坡8的坡比為，=1：3計算即可；

(2)設(shè)48的對邊為肱V,作。RLACV于尸，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到尸N=DE=0.15m,。尸=NE,根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)、正切的定義計算，得到答案.

【詳解】(1)解：??,鳳棲堂門前臺階斜坡8的坡比為i=l：3,EC為0.45m,

DE\

——，

EC3

EC

DE=----=0.15m,

3

即臺階的高度為0.15m：

(2)解：如圖所示，設(shè)4B的對邊為肱V,作。尸_LM?V于尸，

鳳

棲

堂

孔

子

雕

像

尸..一?如

________53叭^n

BNCE

???由題意得，四邊形NFDE是矩形,

FN=DE=0.15m,DF=NE,

設(shè)=,則A/F=(%一0.15)m,

在RMMFD中，/MDF=45。，

.,ro=A^=(x-0.15)m,

.-.2VC=2VE-EC=(x-0.15)-0.45=(x-0.6)m,

…MN44

tan53=-----?—即小

NC33

解得尤=2.4,

經(jīng)檢驗，x=2.4是原方程的解，

答:孔子雕像的高度約2.4m.

4.（23-24九年級下?江西宜春?期中）風(fēng)能是一種清潔無公害的可再生能源，利用風(fēng)力發(fā)電非常環(huán)保.如圖1

所示，是一種風(fēng)力發(fā)電裝置；如圖2為簡化圖，塔座。。建在山坡。下上（坡比i=3:4,垂直于水平地

面E尸，O,D,E三點共線），坡面。尸長10m,三個相同長度的風(fēng)輪葉片CM,OB,OC可繞點。轉(zhuǎn)動,

每兩個葉片之間的夾角為120。；當(dāng)葉片靜止，04與。。重合時，在坡底尸處向前走25米至點”處，測得

點。處的仰角為53。，又向前走23.5米至點N處，測得點A處的仰角為30。（點E,F,M,N在同一水

平線上）.

⑴求葉片04的長；

⑵在圖2狀態(tài)下，當(dāng)葉片繞點。順時針轉(zhuǎn)動90。時（如圖3）,求葉片OC頂端C離水平地面E廠的距離.（參

434

考數(shù)據(jù)：sin530?-,cos53。。），tan53。。］,$1.7,結(jié)果保留整數(shù)）

【答案】⑴12m

（2）葉片OC頂端C離水平地面EF的距離為34nl

【知識點】用勾股定理解三角形、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、仰角俯角問題（解直角三角形的應(yīng)用）、

坡度坡比問題（解直角三角形的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定及性質(zhì)，勾股定理，熟練利用三角函數(shù)解直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

(1)利用坡比，=3:4可求出DE、E尸的長，在RtAOME或中，利用NOME和/N的正切值分別

求出OE、/E的長即可得答案；

(2)過點C作CHLOE于點CG1NE于G,可得四邊形HEGC是矩形，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出

NCOH=3Q°,利用NCOH的余弦值可求出OH的長，進而可得答案.

【詳解】(1)解：垂直于水平地面E尸，

：.ZE=90°,

,:坡比，=3:4,

DE

EF4

設(shè)DE=3xm,則EF=4xm,

???坡面。廠長10m,

???(3x)2+(4x)2=1()2,

解得：x=2,(負(fù)值舍去)

:.DE=6m,EF=8m,

?/MF=25m,

：.ME=MF+EF=33m,

由題意得：/OME=53。,

4

.??O￡=ME-tan530p33x—=44m,

3

???MV=23.5m,

：.NE=ME+MN=56.5m.

由題意得：NN=30。，

h

???AE=NE?tan30°=56.5x——?32m，

3

OA=OE-AE=44-32=12m.

(2)如圖，過點C作。于點CG工NE于G,

/CHE=ZHEG=ZCGE=ZCHO=90°,

???四邊形HEGC是矩形，

??.EH=CG,

???葉片繞點。順時針轉(zhuǎn)動90。,

.?.ZAOE=90°,

vZAOC=120°f

??.ZCOH=30°,

由題意得：0c=04=12m,

■OH=OCcosZCOH=12x—=6廚，

2

■-CG=HE=OE-OH=44-6y/3-34m.

葉片OC頂端C離水平地面EF的距離為34m.

壓軸題型二解直角三角形應(yīng)用方位角問題

例題：（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）某市要在東西方向M,N兩地之間修建一條道路.如圖，C點周圍180m

范圍內(nèi)為文物保護區(qū)，在龍亞上點/處測得C在/的北偏東60。方向上，從/向東走500m到達2處，測得

C在8的北偏西45。方向上，則是否穿過文物保護區(qū)？為什么？

【答案】不能.理由見解析

【知識點】方位角問題（解直角三角形的應(yīng)用）

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，過點C作CO1/8于點。，求出C到4B的距離為并與180m

比較即可得出結(jié)論.

【詳解】解：不能.理由如下:

由題意可得/C48=30。，ZCBA=45°,AB=500,

設(shè)C到48的距離為,如圖，過點C作C￡>_L48于點D,

M

則CD=/z,

CDh

貝有tan30°=,tan45°=

ADAD茄訪

AD=yl3h,BD=h,

■-AD+BD=AB=500,

???揚+〃=500,

解得力=250（百-1卜183（m）,

■,-A>180,

???MN不穿過文物保護區(qū).

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?重慶九龍坡?開學(xué)考試）小明和小玲游覽一處景點，如圖，兩人同時從景區(qū)大門A出發(fā),

小明沿正東方向步行60米到一處小山5處，再沿著3C前往寺廟C處，在5處測得亭臺。在北偏東15。方向

上，而寺廟C在8的北偏東30。方向上，小玲沿著A的東北方向上步行一段時間到達亭臺。處，再步行至正

東方向的寺廟C處.

（1）求小山8與亭臺。之間的距離；（結(jié)果保留根號）

（2）若兩人步行速度一樣，則誰先到達寺廟。處.（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：V2x1.41,g21.73,V6?2.45）

【答案】(1)小山8與亭臺。之間的距離60亞米

(2)小玲先到達寺廟C處

【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵.

(1)作BE，/。于點E,在中求出3￡=4￡=30也，然后在RtaBDE中即可求解;

(2)延長4B,作_LA4于點尸，作CGJ_H4于點G,則NC8G=60。，在中求出

。歹=/尸=30+30月，CG=。尸=30+30百米，在RMBCG中求出3G=106+30,8C=206+60,進

而求出兩人行走的路程可得答案.

【詳解】(1)作于點E,

由題意知，AB=60,ZA=45°,乙4區(qū)0=90°+15°=105°,/CB/=90°+30°=120°,

ZADB=180°-105°-45°=30°

在RtZ\/5E中，BE=AE=-j==30V2

在Rt△區(qū)DE中,ED=6BE=3076，BD=2BE=6072，

.?.小山B與亭臺。之間的距離60A/2米

卜30VI

(2)延長4B,作。尸，A4于點尸，作CGL氏4于點G,則/CBG=180。-/C84=60。，

由題意知，CD//AB,

???四邊形CDFG是矩形,

,-.CG=DF,CD=FG.

???AE=30V2-ED=3。底,

■■AD=3042+3046,

ADr~

在中，DF=AF=近=30+30yl3,CG=Z）尸=30+304米,

CG

在Rtz^CG中，BG=-^=\QQ+3Q,BC=2BG=204+60

：.CD=FG=AB+BG-AF=6。-2。6

;.S玲=40+。=30&+30?+60-20月。141.2米,

S明=/8+8C=60+60+20?154.6米，

?■?141.2<154.6且兩人速度一致，

丁小玲先到.

答：小玲先到達寺廟C處.

2.(23-24九年級上?重慶榮昌?期末)今年暑假，媽媽帶著明明去草原騎馬，如圖，媽媽位于游客中心/的

正北方向的8處，其中〃?=2km,明明位于游客中心/的西北方向的。處.烈日當(dāng)空，媽媽準(zhǔn)備把包里的

太陽帽給明明送去，于是，媽媽向正西方向勻速步行，同時明明騎馬向南偏東60。方向緩慢前進.15分鐘

后，他們再游客中心/的北偏西37。方向的點。處相遇.

(1)求媽媽步行的速度；

⑵求明明從C處到。處的距離.

【答案】⑴媽媽步行的速度為6km/h

(2)明明從C處到。處的距離約為1±^目km

2

【知識點】方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)

【分析】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形,

掌握方向角定義.

(1)根據(jù)正切函數(shù)求出3。的長，即路程，則速度=路程+時間，代入計算即可；

(2)過點C作交延長線于點E,設(shè)/E=CE=akm,過點。作于點尸，得矩形

BEFD,可得跖=D8=1.5(km),表示出。尸，CF,進而得出結(jié)論.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意可知：43=2km,4840=37。，

BD=/Atan37°~2x0.75=1.5(km),

.,.1.5+篇=6(km/h),

答：媽媽步行的速度為6km/h；

(2)解：如圖，過點C作交延長線于點E,

ZCAE=45°,ZAEC=90°,

.?.△/EC是等腰直角三角形,

AE=CE,

設(shè)Z￡=CE=〃km,

過點。作。尸，CE于點尸，得矩形8成辦,

EF=DB=1.5(km),DF=BE=AE-AB=(a-2)km,

.-.CF=CE-EF=(a-l.5)km,

在RtZ\CZ)尸中，tanZDCF=——，

CF

：.tan30°=―—―,

ct—1.5

h

**,-(Q—1.5)=Q-2,

9+V3

??a=--------,

4

2=叱^,

4

1/i

■■CD=2DF=(km),

答：明明從。處到。處的距離約為叱3km.

2

3.(2024?湖南長沙?模擬預(yù)測)螞蟻是一種靠嗅覺尋找食物的生物，它們的嗅覺比較發(fā)達，最遠(yuǎn)能聞出距離

幾十米處遠(yuǎn)的食物的味道某天李華同學(xué)在戶外觀察螞蟻覓食時，發(fā)現(xiàn)他所在位置/點的北偏西66。方向距”

點60cm的3點有一只正在覓食的螞蟻(如圖)，N點北偏東45。方向距/點20百cm的C點有一塊糖，螞蟻

正沿正東方向朝著C點處的糖前進.

(1)請求出螞蟻所在位置B點與糖所在位置C點之間的距離；

(2)若在/點北偏東75。方向距/點40cm的。點處剛好有一只蜘蛛，求螞蟻在找到糖時與蜘蛛的距離.(結(jié)

果取整數(shù)，參數(shù)數(shù)據(jù)：sin45°?0.707,cos45°?0.707,sin66°?0.914,cos66°?0.407,tan66°a2.246,

GaL732)

【答案】(1)3點與糖所在位置C點之間的距離為79cm

⑵螞蟻在找到糖時與蜘蛛的距離為20cm

【知識點】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、方位角問題(解直角三角形的應(yīng)用)

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，方位角的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意正確找出直角三角

形利用三角函數(shù)進行解題即可.

(1)記正北方向為NE,BC與4E交于點、M,利用正弦求出的長，即可得出結(jié)果;

(2)過點C作CNL4D與點N,根據(jù)題意可得/C4N=30。，再根據(jù)含30。角的直角三角形特征求出NC的

長，再根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果.

【詳解】(1)解：記正北方向為NE,BC與AE交于點、M,

AB=60cm,

BM

sin66°=—?0.914,

AB60

BMn54.84cm,

在RtZXZMC中，ZMAC=45°JAC=2043,

MCMC

...sin45°=?0.707,

AC-2073

MCx0.707x2073?24.49cm,

/.BC=BM+MC=54.48+24.49=79.33?79cm

答：8點與糖所在位置。點之間的距離為79cm；

(2)如圖，過點。作CNL4。與點N,

ZMAD=75°,ZMAC=45°f

/CAN=30。，

?/AC=20百cm,

:.CN=-AC=10y/3cmf

2

/.AN=yjAC2-CN2=^(20A/3)2-(1073)2=30cm,

?/AD=40cm,

:.ND=AD-AN=40-30=lQcm,

在RtZ\CDN中，CD=>]CN2+ND2=^(1073)\102=20cm,

答：螞蟻在找到糖時與蜘蛛的距離為20cm.

壓軸題型三解直角三角形應(yīng)用坡度坡比問題

例題：（2024?湖北?模擬預(yù)測）某鎮(zhèn)為創(chuàng)建特色小鎮(zhèn)，助力鄉(xiāng)村振興，決定在轄區(qū)的一條河上修建一座步行

觀光橋.如圖，該河旁有一座小山，山高2c=80m,坡面4B的坡度i=107（注：坡度i是指坡面的鉛直

高度與水平寬度的比），點C、A與河岸E、尸在同一水平線上，從山頂8處測得河岸E和對岸尸的俯角分

別為408￡=45°,NDBF=31°.（參考數(shù)據(jù)：sin31°^0.52,cos31°^0.86,tan31°?0.60）

（1）求山腳A到河岸E的距離；

（2）若在此處建橋，試求河寬所的長度.（結(jié)果精確到0.1m）

【答案】（1）山腳A到河岸E的距離為24m

（2）河寬E尸的長度約53.3m

【知識點】仰角俯角問題（解直角三角形的應(yīng)用）、坡度坡比問題（解直角三角形的應(yīng)用）

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知識，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

（1）在中，根據(jù)的坡度求出/C,在RM5CE中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得C￡=3C,

由線段的和差即可求得/E;

（2）在RtABCF中，由三角函數(shù)的定義求出CF的長，根據(jù)線段的和差即可求出E尸的長度.

【詳解】（1）解：在RtZ\/3C中，BC=80,

■■■的坡度i=1:0.7,

.BC_1

"就一訪‘

,801

"34C"07,

AC=56,

在RM3CE■中，5c=80,ZBEC=ZDBE=45°,

NCBE=90°-ZBEC=90°-45°=45°,

ZBEC=ZCBE,

CE=BC=80,

/E=CE-NC=80-56=24（m）,

答：山腳A到河岸E的距離為24m；

（2）解：在Rt/iBC/中，5。=80,/BFC=/DBF=31。，tanZBFC=——,

CF

QQ

——?0.60,

CF

.-.CF?133.33,

EF=CF-CE=133.33-80=53.33?53.3（m）,

答：河寬”的長度約53.3m.

鞏固訓(xùn)練

1.（2024?山西長治?模擬預(yù)測）“暢游山西，逛代縣邊靖樓”成為今年山西旅游新特色，某數(shù)學(xué)興趣小組用無

人機測量邊靖樓的高度,測量方案如圖：在坡底D處測得塔頂/的仰角為45。,沿坡比為5:12的斜坡CD

前行26米到達平臺C處，在C處測得塔頂A的仰角為60。.

A

（1）求坡頂C到地面的距離；

（2）計算邊靖樓的高度.

【答案】（1）坡頂C到地面的距離為10米;

（2）邊靖樓的高度為（21+7石）米.

【知識點】仰角俯角問題（解直角三角形的應(yīng)用）、坡度坡比問題（解直角三角形的應(yīng)用）、解直角三角形的相

關(guān)計算、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長

【分析】本題主要考查了解直角三角形應(yīng)用一坡比，仰角、俯角問題.熟練掌握等腰直角三角形性質(zhì)，

銳角三角函數(shù)解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，是解決問題的關(guān)鍵.

（1）延長交P。于點E,過點C作C尸，于點尸，證明四邊形3EFC是矩形，根據(jù)坡比設(shè)

BE=CF=5X,則DF=12X,在RtAQCF中，由勾股定理求得x=2,即得坡頂C到地面的距離為10米.

（2）設(shè)8C=EF=y米，Rt4/BC中，求得/8=也了，得到NE=10+6y,DE=24+y.根據(jù)等腰直角

三角形性質(zhì)得到10+回=24+了，解得片7便+1）,

即得邊靖樓42的高度為（21+76）米.

【詳解】（1）解：延長交尸。于點E,過點C作C尸，尸。，垂足為點尸，

則/CFE=90°,

VAE±BC,BC\\DE,

??.AELDE,

/.ABEF=ZCBE=NCFE=90°,

.??四邊形8EFC是矩形，

CF=BE,EF=BC,

CF5

:.設(shè)BE=CF=5x,

則。產(chǎn)=12%，

?在RMDC尸中，DC=26米，CF2+DF2=CD2,

.??（5x）2+（12x）2=262,

解得，x=2（負(fù)值舍去），

.?.CF=5x=10,

即坡頂C到地面的距離為10米.

（2）設(shè)8C=EF=y米，

???ZACB=60°,

.?.在RtZUBC中，=8C-tan60°=島，

由（1）知，EF=1Q,DF=12x=24,

.■.AE=lQ+43y,DE=2^+y.

,在RM4DE中，ZADE=45°,ZAED=90°,

/DAE=90°-ZADE=45°,

AE=DE,

''?10+yf^y=24+y,

解得，y=7（V3+l）,

...48=島=m7（道+1）=（21+7⑹，

即邊靖樓4B的高度為（21+76）米.

2.（2024九年級下?遼寧?專題練習(xí)）圖1所示是屹立在于都縣紀(jì)念廣場的中央紅軍長征出發(fā)紀(jì)念碑，它是由

呈雙帆造型的碑身與方形底座兩部分組成的，底座下方是臺階，臺階的橫截面如圖2所示.已知臺階的坡

面DE的坡度i=l:6,坡面DE的長為2.4m.

A

（1）計算坡面DE的鉛直局度；

（2）如圖3,為了測量紀(jì)念碑的高度，亮亮站在紀(jì)念碑正前方廣場上的點G處用高1.64m的測角儀G8,測得

紀(jì)念碑碑身頂端/的仰角是35。，繼續(xù)向紀(jì)念碑前進8.1m到達點K處，此時測得紀(jì)念碑頂端45。，求紀(jì)念

碑的實際高度4C.（結(jié)果精確到0.01,參考數(shù)據(jù)：sin35°?0.574,cos35°?0.819,tan35°?0.700）

【答案】（1）坡面DE的鉛直高度為L2m；

（2）紀(jì)念碑的實際高度AC為19.34m.

【知識點】仰角俯角問題（解直角三角形的應(yīng)用）、坡度坡比問題（解直角三角形的應(yīng)用）

【分析】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用，

（1）過點。作于點〃，根據(jù)坡比設(shè)=EH=43xm,由勾股定理得到0爐+跳2=狽2,

則一+（瓜了=2.42,解方程即可求出答案;

(2)設(shè)=證明M==由tan35。=■得至lj2二，由=得到

MH0.7

言解得J^18.9,進一步即可求出答案.

【詳解】（1）解：如圖所示:

CD

7\z=l：V3

FHE

過點。作。旌于點

,DH1

?/I——~r=,

EHV3

，設(shè)DH=xm,EH=Gxm，

???ZDHE=90°,DE=2Am,

；?DH?+HE?=DE?，

.-.X2+(V3X)2=2.42,

解得：％=±L2,(負(fù)值舍去)，

.-.CF=DH=1.2m,

???坡面。￡的鉛直高度為1.2m；

(2)設(shè)，〃=ym,

/AMI=90°,NAIM=45°,

.?./MAI=45°,

；?ZMAI=ZAIM,

MI=AM=ym,

vZAHM=35°,ZAMH=90°,

___AM

/.tan35=-----,

MH

???上*0.700,

MH

0.7

-MH-MI=SA,

上_y=8.1

0.7

y=18.9,

AM=18.9m,

+MF=18.9+1.64=20.54(m),

AC=AF-CF=20.54-1.2=19.34（m）.

???紀(jì)念碑的實際高度NC為19.34m.

3.（22-23九年級上?重慶?階段練習(xí)）圖（1）為某大型商場的自動扶梯、圖（2）中的N8為從三樓到五樓

的扶梯的側(cè)面示意圖.小明站在扶梯起點A處時，測得天花板上日光燈C的仰角為37。，此時他的眼睛。與

地面的距離4D=1.7m,之后他沿三樓扶梯到達頂端5后又沿皮（皮〃MV）向正前方走了1.6m,發(fā)現(xiàn)日光燈

C剛好在他的正上方.

----------券—天花板

D.J-L

N地面

圖⑴圖（2）

已知自動扶梯AB的坡度為1:2.4,48長度是13m.(參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.6,cos37°~0.8,tan37°~0.75)

（1）求圖中8到三樓地面的高度.

（2）求日光燈C到三樓地面的高度.（結(jié)果精確到整數(shù)）

【答案】（l）5m

(2)12m

【知識點】用勾股定理解三角形、仰角俯角問題（解直角三角形的應(yīng)用）、坡度坡比問題（解直角三角形的應(yīng)

用）

【分析】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角和坡度坡比問題，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角

形是解題的關(guān)鍵.

（1）過點8作于點￡,由坡度的定義和勾股定理求解即可；

（2）過點C作于點尸，過點。作“J-C尸于J交班于“，四邊形8EFG、四邊形4。卬是矩形,

求出4月的長，再由三角函數(shù)定義求出C7的長，即可得出結(jié)果.

【詳解】（1）解：如圖，過點2作BELMV于點E,

----------------￡—天花板

設(shè)AE=xm,

???AB的坡度為1:2.4,

BE_1

"AE~Z4f

/.BE=—xm,

12

在中，由勾股定理得：AE2+BE2=AB2,即=132,

解得:x=12,

二.BE=5m,

答：3到三樓地面的高度為5m.

(2)如圖，過點C作CFLMN于點尸，過點。作尸于J交班于

由題意可知2G=L6m,NCDJ=37。,四邊形BE尸G、四邊形/。卬是矩形，

EF=BG=\.6m,AD=FJ=

■：4F=/E+E尸=12+1.6=13.6m,

DJ=AF=13.6m,

CJ

在RtACDJ中，tan/CDJ=a0.75,

:.CJ?0J5DJx0.75x13.6=10.2m,

C尸=G/+JF=10.2+1.7=11.9B12m.

答：日光燈C到三樓地面的高度為12m.

壓軸題型四解直角三角形應(yīng)用與三角形的綜合

例題：中國傳統(tǒng)建筑屋頂設(shè)計是中國古代建筑之瑰寶.常見的屋頂種類主要有院殿頂、歇山頂、硬山頂、

懸山頂、攢尖頂、卷棚頂和平頂?shù)?如圖1的古代建筑屋頂，被稱為“懸山頂”，它的側(cè)視圖呈軸對稱圖形,

如圖2所示，已知屋檐胡=6米，屋頂E到支點C的距離EC=5.4米，墻體高CF=3.5米，屋面坡角

/ECT)-28°.(參考數(shù)值：sin28°?0.47,cos28°?0.88,tan28°?0.53)

(1)求房屋內(nèi)部寬度FG的長;

(2)求點A與屋面FG的距離.

【答案］⑴99米

⑵3.2米

【分析】（1）如圖，過￡作E/7LCD,交于CO點。，交FG于點H,則￡打，尸G,運用三角函數(shù)解直角

三角形可得C。。4.752,然后再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得CD=2C。土9.5,然后再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可解

答；

（2）如圖，過N作//，9，交9/于點/.再解直角三角形可得以,￡。的長，然后再求得即，最后根

據(jù)m=EH-EI,即可解答.

【詳解】（1）解：如圖，過K作EH_LC。，交于CD點。，交FG于點、H,則硒_LBG,

則在RtZkCEO中，CO=CE-cosNECO=5.4xcos28。x4.752（米），

???AECA是等腰三角形，

CD=2C。a9.5（米）.

?.?四邊形CDG尸是矩形，

...FG=CD=9.5（米）；

（2）解：如圖，過N作N/_LE〃，交EH于點、I.

在中，EI=AE-sinAEAI=6xsin28°2.82（米），

在RtAECO中，EO=CE-sinZECO=5Axsin28°?2.538（米），

:.EH=EO+OH=EO+CF=6.038（米），

.?.田=￡"-￡/=3.218a3.2（米），

即點A到屋面尸G的距離約為3.2米.

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用、等腰三角形的性質(zhì)等知識點，靈活運用三角

函數(shù)解直角三角形成為解答本題的關(guān)鍵.

鞏固訓(xùn)練

1.露營愛好者在露營時為遮陽和防雨會借助垂直于地面的樹干搭建一種“天幕”，其截面示意圖是軸對

稱圖形，對稱軸是垂直于地面的支撐桿CO,用繩子拉直CE后系在樹干42上的點/處，使得/,C,￡在

一條直線上，通過調(diào)節(jié)點/的高度可控制“天幕”的開合，若CE=CF=3米，。￡），斯于點。

（參考數(shù)據(jù)：sin75。土0.966,cos75。a0.259,tan75°?3.732）

圖1圖2

⑴天晴時打開“天幕”，若N/CF=150。，求遮陽寬度EG（結(jié)果保留一位小數(shù)）

（2）下雨時收攏“天幕”，44c尸由150。減小到120。，求點。下降的高度.（結(jié)果保留一位小數(shù)）

【答案】（1）5.8米

⑵0.7米

【分析】（1）根據(jù)三線合一求出N/CO=75。，解直角三角形求出E。，可得E尸；

（2）解直角三角形求出OC,過點、￡作E'H1CD交CD于點、再解直角三角形求出CH,根據(jù)

=求解即可.

【詳解】（1）解：???CE=CF,且C￡>_LE尸，

.?.8平分//3,EF=2EO,

;NACF=150°,

AACO=-ZACF=75°,

2

在RtZ\CE。中，EO=CE-sinZACO,

?；CE=3米，

.?.EO=3x0.966=2.898米，

貝UEF=2EO=5.796?5.8米，

故遮陽寬度E尸為5.8米.

(2)???在RtZsCEO中，OC=CE-cosNACO,

；.OC=3x0.259=0.777米，

當(dāng)44CF從150。變?yōu)?20°,

如圖所示：CE旋轉(zhuǎn)到CE，，

貝!ICE'=CE=3,

過點E'作E'HLCD交CD于點H,則=60°,

?.?在RGE'CH中，CE=CE'cos60°,

W=1.5米，

■：OH=CH-OC,

OH=1.5-0.777=0.723a0.7米，

??.O點下降到〃點的距離為0.7米.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì).解題的關(guān)鍵在于抽象出直角三角形并正確

的運算.

2.油紙傘有著逾千年的歷史，被列入國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄；在一次活動中，小文了解了油紙傘文化的

內(nèi)涵，決定進行設(shè)計傘的實踐活動.小文依據(jù)黃金分割的美學(xué)設(shè)計理念，設(shè)計了中截面如圖所示的傘骨結(jié)

構(gòu)(其中也々0.618)：傘柄始終平分/R4C,AB=AC=20cm,當(dāng)乙B/C=120。時，傘完全打開，

AH

此時25。。=90。?

(1)/54。=,/ADB=；

(2)求線段ND的長；(結(jié)果保留整根號)

(3)請問最少需要準(zhǔn)備多長的傘柄？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：V3?1.732)

【答案】⑴60°,45°；

(2)(10+10^3jcm

(3)72cm

【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義可得N3/D=NC/D=；NB/C=60。，再證明泌NCO(SAS),然后

利用全等三角形的性質(zhì)可得=ZADC=g/BDC=45°,即可解答；

(2)過點8作垂足為E,先在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出4E,8E的長，再

在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，然后利用線段的和差關(guān)系進行計算，即可解答;

(3)利用黃金分割的定義，進行計算即可解答.

【詳解】(1)解：(1)〈AH平分NBAC,ZBAC=nO0,

：.NBAD=ACAD=-ZBAC=60°,

2

,/AB=AC,AD=4D,

；.AABDSUCD(SAS),

...NADB=NADC=-ZBDC=45°,

2

故答案為：60°；45。；

(2)解：(2)過點2作BE_L4D,垂足為K,

在RtAABE中，/BAE=60°,AB=20cm,

/.BE=ABxsin60。=20x曰=104(cm),

AE=ABxcos60°=20x；=10(cm),

在RtABED中，DE=BE=1oV3(cm),

tan45

AD=AE+DE=(\Q+\0V3)cm,

線段AD的長為(10+100)cm；

(3)解：(3)V—?0.618,

AH

.AH-AD

,.------------x0.618,

AH

.4〃二(10—106)

>?---------------------------?U.01o,

AH

解得：AH=72,

最少需要準(zhǔn)備72cm長的傘柄.

【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，黃金分割，熟練掌握銳角三角函數(shù)

的定義，以及全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

壓軸題型五解直角三角形應(yīng)用與四邊形的綜合

例題：圖1是某長征主題公園的雕塑，將其抽象成如圖2所示的示意圖，己知〃尸G,A,D,H,

G四點在同一直線上，測得/五EC=44=72.9。,/。=1.6m,￡尸=6.2m.(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)

(1)求證：四邊形DEFG為平行四邊形;

(2)求雕塑的高(即點G到N3的距離).

（參考數(shù)據(jù)：sin72.9°?0.96,cos72.90工0.29,tan72.90名3.25）

【答案】(1)見解析

(2)雕塑的高為7.5%,詳見解析

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的定義可得結(jié)論;

(2)過點G作GPVAB于P,計算/G的長，利用乙4的正弦可得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：???4B〃CO〃/G,

：.Z-CDG=/-A,

"FEC=△A,

：.AFEC=^CDG,

■■.EF//DG,

-FG//CD,

???四邊形DEFG為平行四邊形;

(2)如圖，過點G作G?1/8于尸,

???四邊形DEFG為平行四邊形,

：.DG=EF=6.2,

??弘。=1.6,

???4G=OG+"=6.2+1.6=7.8,

*?.PG

在Rt/^APG中，sinA=——,

AG

PG

*'?----=0.96,

7.8

.?.PG=7.8xO.96=7.488-7.5.

答：雕塑的高為7.5辦

圖2

【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，正確作輔助線構(gòu)建直角三角形解決問題.

鞏固訓(xùn)練

1.（24-25九年級上?河北衡水?期中）某小區(qū)門口安裝了汽車出入道閘.道閘關(guān)閉時，如圖1,四邊形N8C。

為矩形，48長3米，ND長1米，點。距地面為0.2米.道閘打開的過程中，邊ND固定，連桿,CD

分別繞點N,D轉(zhuǎn)動,且邊3c始終與邊4。平行.

（1）如圖2,當(dāng)?shù)篱l打開至ZADC=45°時，邊CD上一點P到地面的距離PE為1.2米,求點尸到MN的距離PF

的長.

（2）一輛轎車過道閘，已知轎車寬1.8米，高1.6米.當(dāng)?shù)篱l打開至//DC=35。時，轎車能否駛?cè)胄^(qū)？請說

明理由.（參考數(shù)據(jù)：sin35°?0.5736,cos35°~0.8192,tan35°?0.7002）

【答案】（1）2米

（2）能，理由見解析

【知識點】根據(jù)矩形的性質(zhì)求線段長、其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）

【分析】（1）在Rt△尸。。中，由/尸。。=45。，DQ=PQ=l,進而求出EP即可；

（2）當(dāng)N/OC=36。，尸E=1.6米時，求出尸尸，與1.8米比較即可得出答案.

本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提.

【詳解】（1）解：如圖，過點。作。。，尸E,垂足為。，

由題意可知，ZADC=45°,PE=1.2米，。￡=0.2米，

在中，ZPDQ=45°,20=1.2-0.2=1（米），

:.DQ=PQ=1（米），

:.PF=AB-DQ=3-1=2（米），

即點P到MN的距離PF的長為2米；

（2）解：依題意，

當(dāng)/4DC=35。,PE=L6米時，且4。〃尸。，

則/DP0=35。，

???點。距地面為0.2米

PQ=1.6—0.2=1.4（米），

。。=P。?tan35°?1.4x0.7002=0.9803（米），

二.尸尸=3-0.9803a2.02（米），

???2.02>1,8,

???能通過