自動控制原理朱亞萍zhuyp@杭州電子科技大學自動化學院第七章線性離散系統的分析7.1引言7.2信號的采樣與保持7.3z變換理論7.4離散系統的數學模型7.5離散系統的穩定性和穩態誤差7.6離散系統的動態性能分析

7.5

離散系統的穩定性和穩態誤差1.從s平面到z平面的映射關系由z變換的定義若令則有一、離散系統的穩定性可見：虛軸映射為單位圓（實部為零）左半平面映射為單位圓內（實部小于零）右半平面映射為單位圓外（實部大于零）s平面上虛軸在z平面上的映象系統的特征根為即為閉環傳遞函數極點2.z域的穩定條件和穩定性判據對于下圖所示的采樣控制系統，其特征方程式為結論：閉環采樣系統穩定的充分必要條件是，系統特征方程的所有根均分布在z平面的單位圓內，或者所有根的模均小于1，即在分析連續系統時，曾應用勞斯穩定判據判斷系統的特征根位于s右半平面的個數，并依此來判斷系統的穩定性。對于采樣系統，也可用勞斯判據分析其穩定性，但由于在z域中穩定區域是單位圓內，而不是左半平面，因此不能直接應用勞斯判據。雙線性變換可建立z平面單位圓與變換后坐標系虛軸之間的對應關系。

3.雙線性變換（w變換）則同時令可見，對于w平面上的虛軸，實部u=0，即—z平面上單位圓的方程令和單位圓內x2+y2＜1，對應于w平面上實部u為負數，即為w平面的左半平面；單位圓外x2+y2＞1，對應于w平面上實部u為正數，即為w平面的右半平面。可見，離散系統穩定的充分必要條件，由特征方程1+GH(z)=0的所有根位于z平面的單位圓內，轉換為特征方程1+GH(w)=0的根位于w平面的左半平面。因此，可以直接應用勞斯穩定判據判斷離散系統的穩定性——w域中的勞斯穩定判據。例7-20設采樣系統如下圖所示，采樣周期T=0.25s，求能使系統穩定的K值范圍。解：開環傳遞函數為：開環脈沖傳遞函數為：閉環脈沖傳遞函數為：特征方程為：令，T=0.25s，代入上式得整理后得：要使系統穩定，必須使勞斯表中第一列各項大于零，因此得：勞斯表為：對于本例的二階系統，如果沒有采樣作用，則不論K取何值，系統都是穩定的；但引入采樣以后，系統可能不穩定。4.采樣周期與開環增益對穩定性的影響連續系統的穩定性取決于系統的開環增益K、系統的零極點分布和傳輸延遲等因素。影響離散系統穩定性的因素，除與連續系統相同的因素外，還有采樣周期T的值。例7-21

設有零階保持器的離散系統如下圖所示，試求：

(1)當采樣周期T分別為1s和0.5s時，系統的臨界開環增益Kc；

(2)當r(t)=1(t)，K=1，T分別為0.1s，1s，2s，4s時，系統的輸出響應c(kT)。離散系統解

系統的開環脈沖傳遞函數閉環特征方程：整理得：當T=1s時，有令z=(w+1)/(w－1)

，得w域特征方程根據勞斯判據，得Kc=2.4。當T=0.5s時，w域特征方程根據勞斯判據，得Kc=4.37。可見，采樣周期減小，臨界開環增益增大。閉環系統脈沖傳遞函數為當輸入r(t)=1(t)，即R(z)=z/(z－1)時，可求得C(z)表達式。令K=1，T分別為0.1s，1s，2s，4s，可由C(z)的反變換求出c(kT)，分別畫于下圖中。離散系統在不同采樣周期下的階躍響應由例可見，K與T對離散系統穩定性有如下影響：當采樣周期一定時，加大開環增益會使離散系統的穩定性變差，甚至使系統變得不穩定；當開環增益一定時，采樣周期越長，丟失的信息越多，對離散系統的穩定性及動態性能均不利，甚至可使系統失去穩定性。由于離散系統沒有唯一的結構圖形式，所以誤差脈沖傳遞函數Φe(z)也給不出一般的計算公式。離散系統的穩態誤差需要針對不同形式的離散系統來求取。設單位反饋誤差采樣系統如下圖所示。系統采樣誤差信號的z變換函數為：二、離散系統的穩態誤差在離散系統中，也可把開環傳遞函數G(z)具有z=1的極點數，作為劃分系統型別的標準。把G(z)中ν=0，1，2…的系統稱為0型、Ⅰ型和Ⅱ型（離散）系統等。在連續系統中，如果開環傳遞函數G(s)具有ν個s=0的極點，則由z=eTs可知相應G(z)必有ν個z=1的極點。設閉環系統穩定，根據終值定理可以求出在輸入信號作用下采樣系統的穩態誤差終值：1.單位階躍輸入時的穩態誤差式中稱為靜態位置誤差系數。當系統輸入為單位階躍函數r(t)=1(t)時，其z變換函數為：穩態誤差為：對0型離散系統（沒有z=1的極點），則Kp≠∞，從而e(∞)≠0；對I型、II型以上的離散系統（有一個或一個以上z=1的極點），則Kp=∞，從而e(∞)=0。因此，在單位階躍函數作用下，0型離散系統在采樣瞬時存在位置誤差；I型或II型以上的離散系統，在采樣瞬時沒有位置誤差。這與連續系統十分相似！2.單位斜坡輸入時的穩態誤差稱為靜態速度誤差系數。式中當系統輸入為單位斜坡函數r(t)=t時，其z變換函數為：穩態誤差為：對0型離散系統，則Kv=0，從而e(∞)=∞；對I型離散系統，則Kv≠∞，從而e(∞)≠0；對II型及II型以上的離散系統，則Kv=∞，從而e(∞)=0。因此，0型離散系統不能承受單位斜坡函數作用；I型離散系統在單位斜坡函數作用下，在采樣瞬時存在速度誤差；II型或II型以上的離散系統，在采樣瞬時沒有速度誤差。3.單位加速度輸入時的穩態誤差稱為靜態加速度誤差系數。式中當系統輸入為單位加速度函數r(t)=t2/2時，其z變換函數為：穩態誤差為：對于0型及I型離散系統，Ka=0，從而e(∞)=∞；II型離散系統的為Ka≠∞

，從而e(∞)≠0；

III型及III型以上系統的，Ka=∞，從而e(∞)=0。

0型及I型離散系統不能承受單位加速度函數作用；II型離散系統在單位加速度函數作用下存在加速度誤差，只有III型及III型以上的離散系統在單位加速度函數作用下，才不存在采樣瞬時的加速度誤差。系統型別位置誤差r(t)=1(t)速度誤差r(t)=t加速度誤差r(t)=t2/20型1/Kp∞∞Ⅰ型0T/Kv∞Ⅱ型00T2/KaⅢ型000單位反饋離散系統的穩態誤差采樣周期為0.2s，求在輸入信號r(t)=1+t+t2(t>0)的作用下，系統的穩態誤差。例7-22已知系統的結構如下圖所示，其中采樣系統的閉環特征方程為：解采樣系統的開環脈沖傳遞函數為：w域的閉環特征方程為：可見，該離散系統穩定。因此，在輸入r(t)=1+t+t2作用下的穩態誤差為在階躍和斜坡函數作用下的穩態誤差為零，靜態加速度誤差系數為7.6離散系統的動態性能分析在已知離散系統結構和參數情況下，應用z變換法分析系統動態性能時，通常假定外作用為單位階躍函數1(t)。如果可以求出離散系統的閉環脈沖傳遞函數Φ(z)=C(z)/R(z)，其中R(z)=z/(z－1)，則系統輸出量的z變換函數：一、離散系統的時間響應將上式展成冪級數，通過z反變換可以求出輸出信號的脈沖序列c*(t)。由于離散系統時域指標的定義與連續系統相同，故根據單位階躍響應曲線c*(t)可以方便地分析離散系統的動態和穩態性能。如果無法求出離散系統的閉環脈沖傳遞函數Φ(z)，但由于R(z)是已知的，且C(z)的表達式總是可以寫出的。例7-23

設采樣系統如下圖所示，采樣周期T=0.1s，大致繪出系統階躍響應曲線。

解閉環脈沖傳遞函數為

系統的階躍響應為用長除法得

輸出信號的脈沖序列將c*(t)在各采樣時刻的值用“*”標于圖上，光滑地連接圖中各點，便得到了系統輸出響應曲線c(t)的大致波形。由該波形曲線可得，注意：由于離散系統的時域性能指標只能按采樣周期整數倍采樣值來計算，所以是近似的。二、采樣器和保持器對動態性能的影響例7-24

設采樣系統如下圖所示，采樣周期T=1s，K=1，試分析采樣器和保持器對系統性能的影響。

解：(1)如果沒有采樣器和零階保持器，則成為連續系統，其閉環傳遞函數為：單位階躍響應為：(2)只有采樣器而沒有零階保持器，則系統的開環脈沖傳遞函數為：相應的閉環脈沖傳遞函數為：代入R(z)=z/(z－1)，得系統輸出z變換：(3)既有采樣器又有零階保持器，則系統的開環傳遞函數為：開環脈沖傳遞函數為：代入R(z)=z/(z－1)，得系統輸出z變換：閉環脈沖傳遞函數為：連續與離散系統的時間響應曲線曲線1為連續系統；曲線2為只有采樣器而無保持器的離散系統；曲線3為既有采樣器又有保持器的離散系統。上圖中：系統類型時域指標連續系統離散系統（只有采樣器）離散系統（有采樣器和保持器）峰值時間/s3.63.04.0調節時間/s5.35.012超調量/%16.320.740.0振蕩次數0.50.51.5連續與離散系統的時域指標采樣器可使系統的峰值時間和調節時間略有減小，但超調量增大，故采樣造成的信息損失會降低系統的穩定程度。然而，在某些情況下，例如在具有大延遲的系統中，誤差采樣反而會提高系統的穩定程度。零階保持器使系統的峰值時間和調節時間都加長，超調量和振蕩次數也增加。這是因為除了采樣造成的不穩定因素外，零階保持器的相角滯后降低了系統的穩定程度。可見，采樣器和保持器對系統動態性能的影響有：三、閉環極點與動態響應的關系設閉環脈沖傳遞函數為：式中，zi(i=1,2,…,m)為Φ(z)的零點；pk

(k=1,2,…,n)為Φ(z)的極點。當r(t)=1(t)時；離散系統輸出的z變換將C(z)/z展開成部分分式，有式中常數于是上式中等號右端第一項的z反變換為M(1)/D(1)是c*(t)的穩態分量；第二項的z反變換為c*(t)瞬態分量。1.正實軸上的閉環單極點設pk為正實數，pk對應的瞬態分量求z反變換得若令，則若pk>1，閉環單極點位于z平面上單位圓外的正實軸上，有a>0，故動態響應ck(nT)是按指數規律發散的脈沖序列；若pk=1，閉環單極點位于z平面上單位圓周上，有a=0，故動態響應ck(nT)=ck，為等幅脈沖序列；若0<pk<1，閉環單極點位于z平面上單位圓內的正實軸上，有a<0，故動態響應ck(nT)是按指數規律收斂的脈沖序列，且pk越接近原點，|a|越大，ck(nT)衰減越快。若pk<－1，閉環單極點位于z平面上單位圓外的負實軸上，則動態響應ck(nT)為交替變號的發散脈沖序列；若pk=－1，閉環單極點位于z平面上單位圓周上，ck(nT)為交替變號的等幅脈沖序列；若－1<pk<0，閉環單極點位于z平面上單位圓內的負實軸上，ck(nT)為