重難點17幾何壓軸突破四幾何最值問題

費馬點與瓜豆模型

（2種模型詳解+5種題型匯總+針對訓練）

【題型匯總】

會費馬點模型

類型一費馬點

費馬點概念：三角形內部滿足到三個頂點距離之和最小的點，稱為費馬點.A

結論：

1）對于一個各角不超過120。的三角形，費馬點是對各邊的張角都是120。的點；

2）對于有一個角超過120。的三角形，費馬點就是這個內角的頂點.

（注意：通常涉及費馬點的試題中三角形的最大頂角小于120。）

【解題思路】運用旋轉的方法，以AABC任意一條邊向外旋轉60°構造等邊三角形，根據兩點之間線段最短,

得出最短長度.

【擴展】與等腰三角形、等邊三角形、直角三角形常見的費馬點結論

如圖所示，以邊AB、AC分別向△ABC外側作等邊三角形，連接DC、EB,交點為點P,點P為費馬點.

圖形結論

等腰三角形A①NAPB=/BPC=NAPC=120°；

②4ABP與4ACP全等；

③ABCP為等腰三角形；

?△ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

等邊三角形D-4E①AP=BP=CP；

②NAPB=/BPC=NAPC=120°；

③AABP、AACP,Z\BCP全等；

W④點P是垂心，是△ABC各邊的高線的交點；

⑤點P是4ABC各邊的中線的交點；

⑥點P是內心，是在三角形三個內角的角平分線的

交點；

⑦4ABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小.

直角三角形E①AABC的三頂點的距離之和為AP+BP+CP,且點P

為費馬點時和最小；

②NAPB=NBPC=/APC=120°

BC

【進階】

加權費馬點模型概述：前面學的PA+PB+PC最小值的費馬點問題線段前面系數都是1,如果現在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系數不是1,那么此類題目就叫做“加權費馬點”.

【模型拓展】

類型一單系數類

當只有一條線段帶有不為1的系數時，相對較為簡單，一般有兩種處理手段，

類型二多系數類

其實當三條線段的三個系數滿足勾股數的關系時，都是符合加權費馬點的條件的。

以不同的點為旋轉中心，旋轉不同的三角形得到的系數是不同的，對于給定的系數，我們該如何選取旋轉

中心呢？我們總結了以下方法：

1.將最小系數提到括號外；

2.中間大小的系數確定放縮比例；

3.最大系數確定旋轉中心（例如最大系數在PA前面，就以A為旋轉中心），旋轉系數不為1的兩條線段所

在的三角形。

例：已知：在RtZkABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,Z\ABC內部有一點P,連接PA,PB,PC

A

4

B

問題求解圖形作法

求PA+PB+PC最D△CAP繞點C順時針旋轉60°得4CDE

/

小值BD長度即為所求，在RtABCD中有勾股定理可得

BD=VBC2+CD2=V61

BC

求PA+PB+V2PC△CAP繞點C順時針旋轉90°得4CDE

最小值此時4PCE為等腰直角三角形，即PE=V^PC

金因止匕原式=PA+PB+&PC=ED+PB+PE,則當B、P、E、D

四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，在RtZkBFD

B

3、“靖中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=V91

求PA+PB+V3PCE△CAP繞點C順時針旋轉120°得4CDE

2

最小值此時4PCE為等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+百PC=ED+PB+PE,則當

B

.??????"B、P、E、D四點共線時取得最小值，BD長度即為所求，

V-"

T.在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

,60+30V3

求思路：原式=2(PA+ipB+^PC)

22

2PA+PB+V3PC

1)將PC邊繞點C旋轉60°,然后過點P作PFLCE于

最小值

點F,則PF=^PC;2)：PB利用三角形中位線來處理；3)

PA前的系數是1,不需要轉化，所以旋轉4PCB.

過程：ABCP繞點C順時針旋轉60°得ACDE,然后過

D點P作PF±CE于點F,止匕時4PCE為等邊三角形，即

pF=V3pc)過點F作FG〃DE,貝！］FG=工PB,則當A、P、

22

F、G四點共線時取得最小值，AG長度即為所求，在Rt

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V34,原式

=2(PA+|PB+^PC)=2聞

求D過程：AACP繞點C順時針旋轉60°得ACDE,然后過

2PA+4PB+2V3PC點P作PFXCE于點F,此時4PCE為等邊三角形，即

最小值PF上Ipc,過點F作FG〃DE,貝1」FG=-AP,則當B、P、

22

F、G四點共線時取得最小值，BG長度即為所求，在Rt

B。△BCG中有勾股定理可得BG=VCG+AC2=7.5,原式=4

YPA+PB+立PC)=26

22

備注：若變形后的系數不是特殊值，則可借助位似的相關知識進行求解.

題型01普通費馬點模型

1.(2024廣東.二模)若銳角三角形2BC內的點P滿足乙4P8=ABPC="PA=120。，則稱點P為△48C的

費馬點.如圖，在AABC中，AB=AC=V7,BC=<3,則△4BC的費馬點P到4B,C三點的距離之和為

()

2.(21-22九年級上.四川成者B.階段練習)如圖，在AABC中，^CAB=90°,AB=AC1,P是△ABC內一

點，求P4+PB+PC的最小值為

3.（2021九年級.全國?專題練習）如圖，已知矩形ABC。，AB=4,BC=6,點M為矩形內一點，點、E為BC

邊上任意一點，則MA+MD+ME的最小值為

4.（2024?陜西榆林?二模）如圖，在團4BCD中，AD=6,連接4C,AB=AC=5,以點C為圓心，丁。長為

半徑畫弧，弧分別交BC、AC.CD于點M、H、N,點P是mV上方△ACD內一動點，點Q是用V上一動點，連

接AP、DP、PQ,則4P+DP+PQ的最小值為

5.（2024.湖北.模擬預測）閱讀以下材料并完成問題

材料一：數形結合是一種重要的數學思想如BTR可看做是圖一中的長，J（a+l）2+b2可看做是力。的

長.

材料二：費馬點問題是一個古老的數學問題.費馬點即在△ABC中有一點P使得P4+PB+PC的值最小.著

名法學家費馬給出的證明方法如下:

將A4BP繞B點向外旋轉60。得到AaiBiCi，并連接PPi易得APP/是等邊三角形、PA=PrAr,則PB=P0,

則PA+PB+PC=PMi+PPi+PC,所以PA+PB+PC的值最小為&C.

請結合以上兩材料求出+y2_|_J比2+y2+1_2%+x2+y2+12-4遮、的最小值

題型02加權費馬點模型-單系數

6.(2023?湖北隨州?中考真題)1643年，法國數學家費馬曾提出一個著名的幾何問題：給定不在同一條直線

上的三個點A,B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位置，意大利數學家和物理學家托里拆

利給出了分析和證明，該點也被稱為“費馬點”或“托里拆利點”，該問題也被稱為“將軍巡營”問題.

(1)下面是該問題的一種常見的解決方法，請補充以下推理過程：(其中①處從“直角”和“等邊”中選擇填空,

②處從“兩點之間線段最短”和“三角形兩邊之和大于第三邊”中選擇填空，③處填寫角度數，④處填寫該三

角形的某個頂點)

當4ABC的三個內角均小于120。時，

如圖1,將A4PC繞，點C順時針旋轉60。得到連接PP',

由PC=P￡,^PCP'=60°,可知APCP'為①三角形,故PP，=PC,又P，4=P4,故P4+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,當8,P,P',A在同一條直線上時，P4+PB+PC取最小值，如圖2,最小值為4B,此時

的尸點為該三角形的“費馬點”，且有NAPC=乙BPC=^APB=⑶；

已知當△力BC有一個內角大于或等于120。時，“費馬點”為該三角形的某個頂點.如圖3,若ABAC2120。,

則該三角形的“費馬點”為⑷點.

(2)如圖4,在AA8C中，三個內角均小于120。，且4C=3,BC=4,AACB=30°,己知點尸為△力BC的“費

馬點”，求24+P8+PC的值；

CBCB

(3)如圖5,設村莊A,B,C的連線構成一個三角形，且已知4c=4km,BC=2V3km,乙4cB=60。.現欲

建一中轉站尸沿直線向A,B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站尸到村莊A,B,C的鋪設成本分別為。

元/km,。元/km,元/km,選取合適的P的位置，可以使總的鋪設成本最低為___________元.(結果用

含a的式子表示)

7.(23-24八年級下?重慶銅梁?期中)在回4BCD中，乙4BC=45。，連接4C,已知AB=AC=&，點E在線

段4C上，將線段DE繞點。順時針旋轉90。為線段DF.

(1)如圖1,線段力C與線段BD的交點和點E重合，連接EF,求線段EF的長度；

(2)如圖2,點G為OC延長線上一點，使得GC=EC,連接FG交4。于點辦求證：立AH=CD；

(3)如圖3,在(2)的條件下，平面內一點P,當口2+。「+&8「最小時，求Af/PB的面積.

8.(2024?廣東廣州?一模)如圖，在矩形48。。和矩形46尸￡'中，20=4,2E=2,AB=y/3AD,AG=WAE.矩

形力GFE繞著點A旋轉，連接BG,CF,AC,AF.

CDCD

備用圖

(1)求證：△4BG-AACF；

(2)當CE的長度最大時，

①求BG的長度；

②在AACF內是否存在一點P,使得CP+AP+gPF的值最小?若存在，求。2+45+舊「F的最小值；若

不存在，請說明理由.

題型03加權費馬點模型-多系數

9.(2023九年級下?全國?專題練習)如圖，正方形ZBCD的邊長為4,點P是正方形內部一點，求PA+2PB+

而PC的最小值.

Ar----------

10.(2024.湖北武漢.模擬預測)如圖，在△48C中，^ACB=30°,BC=4,在AABC內有一點0,連接04,

OB,OC,若204+OB+近OC的最小值為4曲，貝的值為.

B

11.（2021九年級?全國?專題練習）如圖，"BC中，NBAC=45。，A8=6,AC=4,尸為平面內一點，求2a8P+

V5AP+3PC最小值

12.（2024?重慶?二模）已知AOBC中4B=BC,點。和點E是平面內兩點，連接BD,DE和BE,乙BED=90°.

“D

ACAC

圖2備用圖

（1）如圖1,若BD=BA,AABC=2ZD,BE=2,求4C的長度；

（2）如圖2,連接AD和CD,點F為4D中點，點G為CD中點，連接EF和BG,若EF=BG,求證：4BAC=乙DBE；

（3）若〃BC=60°,AB=2,當，。+當BD+CD取得最小值，且力E取得最大值時，直接寫出ABDE的面積.

【針對訓練】

1.（2021?遼寧丹東?中考真題）己知：到三角形3個頂點距離之和最小的點稱為該三角形的費馬點.如果△力BC

是銳角（或直角）三角形，則其費馬點尸是三角形內一點，且滿足乙4PB=乙BPC=乙CPA=120°.（例如：

等邊三角形的費馬點是其三條高的交點）.若AB=AC=近,BC=2W,P為AABC的費馬點，貝|P4+PB+

PC=；若力8=2e,8C=2,AC=4,尸為△ABC的費馬點，貝“PA++PC=.

2.（2021九年級?全國?專題練習）如圖，在△4BC中，"CB=30°,BC=6,AC=5,在△ABC內部有一點P,

連接24、PB、PC.（加權費馬點）求：

B

(1)P2+PB+PC的最小值；

(2)PH+PB+/PC的最小值

(3)PA+PB+舊PC的最小值；

(4)2P4+P8+WPC的最小值

(5)1PA+PB+^PC的最小值；

(6)2P4+4PB+2gPC的最小值

(7)4P4+2PB+2百PC的最小值；

(8)3P4+4PB+5PC的最小值

3.(2024.陜西西安?模擬預測)(1)問題背景

如圖1,尸為AABC內部一點，連接P4PB、PC,將△力PC繞，點C順時針旋轉60。得至以4P'C,連接PP',

由PC=P￡,APCP'=60°,可知APCP'為__________三角形，故PP'=PC,又PA=P4故P4+PB+

PC=PA'+PB+PP'>A'B,由___________可知，當B,P,P',4在同一條直線上時，P4+PB+PC取最

小值，如圖2,最小值為48,此時的尸點為該三角形的“費馬點”.

(2)問題解決

如圖3,在中，三個內角均小于120。，且AC=3,BC=4,乙4cB=30。，求R4+PB+PC的最小值；

(3)問題應用

如圖4,設村莊4B,C的連線構成一個三角形，且2C=6km,BC=4V3km,乙4cB=30。.現欲在△4BC

內部建一中轉站P沿直線向4B,C三個村莊鋪設電纜，已知由中轉站尸到村莊4B,C的鋪設成本分別

為1000元/km,1000元/km,lOOOb萬元/km,是否存在合適的尸的位置，可以使總的鋪設成本最低，若

存在請求出成本的最小值.

圖3圖4

4.（2024?福建廈門.二模）根據以下思考，探索完成任務

費馬點的思考

17世紀有著“業余數學家之王”美譽的法國律師皮耶?德?費馬，提出一個問題：求作三角形內的一個點,

使它到三角形三個頂點的距離之和最小，后來這點被稱之為“費馬點”.

解決這種問題的經典方法，就是利用旋轉變換，將三條線段P4PB,PC行轉化:

如圖：把AAPC繞點A逆時針旋轉60度得到△連接PP，，這樣就把確定P4+PB+PC的最小

值的問題轉化成確定BP+PP'+P'C'的最小值的問題了.當B,P,P，，廠四點共線時，線段8「的長

為所求的最小值，容易證明乙4PB=N8PC=NCP力=120。，此時點P為A4BC的“費馬點”.

素

材1

圖中所示的是一個正方形的廠區，其中頂點A,B,C,。分別為辦公區、生產區、物流區和生活區,

正方形邊長為2km,準備在廠區內修建一研發區E,且從研發區E修建三條直線型道路直通辦公區A,

素生產區B和物流區C修路的成本為200元/米.

材2

任

請你根據素材1所給解決思路，證明所求線段轉化的正確性.證明：P4+PB+PC=

務感悟證明定理

BP+PP'+P'C

—'

任在素材2中，請問研發區E建在哪片區域比較合適？()

務初步探索位置A.AaBC內的區域

B.△2CD內的區域

任

為了節約建設成本，問該研發區E應該修建在廠區的什么地方，才能使得花費最少，

務擬定恰當方案

最少費用為多少？

5.(21-22八年級上.江蘇蘇州?期中)背景資料：在己知△力BC所在平面上求一點P,使它到三角形的三個頂

點的距離之和最小.這個問題是法國數學家費馬1640年前后向意大利物理學家托里拆利提出的，所求的點被

人們稱為“費馬點如圖1,當△ABC三個內角均小于120。時，費馬點尸在A/IBC內部，當乙4PB=NAPC=

乙CPB=120。時，則PA+PB+PC取得最小值.

(1)如圖2,等邊△ABC內有一點P,若點尸到頂點A、B、C的距離分別為3,4,5,求乙4PB的度數，為了

解決本題，我們可以將AABP繞頂點A旋轉到AACP，處，此時△4CP，mAABP這樣就可以利用旋轉變換，

將三條線段P4、PB、PC轉化到一個三角形中，從而求出N/1PB=；

知識生成：怎樣找三個內角均小于120。的三角形的費馬點呢？為此我們只要以三角形一邊在外側作等邊三

角形并連接等邊三角形的頂點與AABC的另一頂點，則連線通過三角形內部的費馬點.請同學們探索以下問

題.

(2)如圖3,A4BC三個內角均小于120。，在AABC外側作等邊三角形AABB，，連接CB，，求證：CB'^ABC

的費馬點.

（3）如圖4,在RTAABC中，ZC=90°,AC=1,AABC=30。，點P為△ABC的費馬點，連接AP、BP、CP,求

PA+P8+PC的值.

（4）如圖5,在正方形ABC。中，點E為內部任意一點，連接ZE、BE、CE,且邊長4B=2；求力E+BE+CE的

最小值.

6.（2023?貴州遵義?三模）（1）【問題發現】如圖①，在AOAB中，若將AOAB繞點。逆時針旋轉120。得到

△OA'B',連接BB，；求NOBB'=_；

（2）【問題探究】如圖②，已知△48C是邊長為4國的等邊三角形，以8c為邊向外作等邊三角形BCD,P

為ANBC內一點，將線段CP繞點C逆時針旋轉60。，點尸的對應點為點Q.

①求證：ADCQ三4BCP；

②求P2+PB+PC的最小值；

（3）【實際應用】如圖③，在矩形A8CD中，48=600,力。=800,P是矩形內一動點=2SAPBC，Q為

△ADP內任意一點，是否存在點尸和點。，使得4Q+DQ+PQ有最小值？若存在求其值；若不存在，請說

類型二瓜豆模型

型定義：瓜豆模型也叫“主從聯動模型”，即：一個動點隨另一動點的運動而運動，分別叫做“主動點”與

“從動點”，它們的運動軌跡相似。出自成語''種瓜得瓜,種豆得豆”，在幾何上叫“種線得線,種國得圓”.

【條件】瓜豆原理運用滿足的三個條件（”一定兩動、定角、定比”儲

①有一個定點、兩個動點，且一個動點（從動點）因另一個動點（主動點）的運動而隨之運動；

②兩個動點與定點所連線組成的夾角是定角；

③兩個動點到定點的距離的比值是定值.

1）本模型一般出現在選擇題或填空題的壓軸題中，可以直接利用結論秒殺.

2）在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據點線最值，點圓最值來求線段

最值.

3）部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于“瓜豆”模型，就可以利用路徑之比等于相似比，根據主動

點的軌跡長直接求得.

【模型一】點在直線上

（aWO）且岑=k,如果A點的運動軌跡是直線

I

結論：B點的運動軌跡也是直線，卷=冷=匕直線BB，與直線AA，的夾角為a

OAOA

【模型二】點在圓上

條件;如圖，點0是定點，點A、B是動點，/AOB=a且整=k,A點在001上運動

結論：

1）當a=0,①B點的運動軌跡是圓，②A,B,0始終是一條直線，③主動圓與從動圓的半徑之比為黑=

k（定值）.

2）當aWO,①B點的運動軌跡是圓，②主動圓與從動圓的半徑之比為瞿=k,

③主從動圓的圓心與定點連線構成的夾角為a（定值）.

【總結】

1）在線段最值問題中，有時可先利用“瓜豆”模型確定動點的軌跡，再根據點線最值，點圓最值來求線段

最值；

2）部分求動點軌跡長的問題中，只要確定屬于"瓜豆”模型，就可以利用路經之比等于相似比，根據主動

點的軌跡長直接求得

題型01點的運動軌跡是直線

1.（2021?山東泰安?中考真題）如圖，在矩形4BCD中，AB=5,BC=5百，點尸在線段BC上運動（含B、

C兩點），連接AP,以點4為中心，將線段4P逆時針旋轉60。到力Q,連接DQ,則線段DQ的最小值為（）

A.-B.5V2C.—D.3

23

2.（2022?安徽合肥?三模）如圖，在放AABC紙片中，ZACB=90°,AC=4,BC=3,點D,E分別在8C,

4B邊上，連接。E,將ABDE沿。E翻折，使點B落在點尸的位置，連接AR若四邊形BEFD是菱形，則

A尸的長的最小值為（）

A.V5B.V3C.-D.-

22

3.（2023?廣東廣州?二模）如圖，正方形ABCD的邊長為4&,E為BC上一點，且BE=/，F為4B邊上的一

個動點，連接EF,以EF為邊向右側作等邊AE/G,連接CG,則CG的最小值為—.

4.（2024.河北邢臺?模擬預測）如圖，△ABC是邊長為2的等邊三角形，點E為中線8。上的動點.連接CE,

將CE繞點C順時針旋轉60。得到CF.連接2F,貝IJNCAF=,連接DF,則ACDF周長的最小值是

5.（2023?江蘇徐州?模擬預測）等邊△ABC邊長為6,。是BC中點，E在4。上運動，連接BE,在BE下方作等

邊4BEF,貝!）ABDF周長的最小值為

6.（2024.江蘇揚州?中考真題）如圖，點4、B、M、E、F依次在直線2上，點力、B固定不動，且4B=2,分

另I」以4B、EF為邊在直線2同側作正方形4BCD、正方形EFGH,乙PMN=90°,直角邊MP恒過點C,直角邊MN

恒過點H.

（2）如圖1,若BE=10,當點M在點B、E之間運動時，求HE的最大值；

（3）如圖2,若BF=22,當點E在點8、尸之間運動時，點M隨之運動，連接CH,點。是CH的中點，連接HB、MO,

則2OM+HB的最小值為.

題型02點的運動軌跡是圓

1.（2024.安徽淮北?三模）如圖，線段48=4,點”為AB的中點，動點P到點M的距離是1,連接PB,線段PB

繞點P逆時針旋轉90。得到線段PC,連接AC,則線段AC長度的最大值是（）

A.3B.4C.2企D.3企

2.（2023?浙江寧波?模擬預測）如圖，△力BC中，ZXBC=90°,tan/BAC=5點。是48的中點，尸是以A

為圓心，以4。為半徑的圓上的動點，連接PB、PC,則賓的最大值為（）

A

a7c

AVloD3何V13-1cV13+1

A.D.C.--------D.-------

31044

3.（2023?山東泰安?中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，RtAAOB的一條直角邊0B在x軸上，點A的坐

標為（—6,4）；RtAC。。中，ZCOO=90°,0D=4A/3,ZD=30°,連接BC,點M是BC中點，連接4M.將

RtaCOD以點。為旋轉中心按順時針方向旋轉，在旋轉過程中，線段4M的最小值是（）

4.（21-22九年級上?江蘇南京?期中）如圖，在RSABC中，zACB=90°,AC=16,BC=12,點尸在以AB

為直徑的半圓上運動，由點B運動到點A,連接CP,點加是CP的中點，則點〃經過的路徑長為—.

5.（2022?山東日照?中考真題）如圖，在平面直角坐標系尤Oy中，點A的坐標為（0,4）,尸是無軸上一動點,

把線段B4繞點P順時針旋轉60。得到線段PR連接OF,則線段。尸長的最小值是.

6.（2023?四川宜賓?中考真題）如圖，M是正方形2BCD邊CD的中點，P是正方形內一點，連接BP,線段BP以

B為中心逆時針旋轉90。得到線段BQ,連接MQ.若4B=4,MP=1,則MQ的最小值為.

7.（2020?江蘇連云港?中考真題）如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的。。與x軸的正半軸交于點2,

點B是。。上一動點，點C為弦4B的中點，直線y=—3與x軸、y軸分別交于點。、E,貝必CDE面積的最

,正方形ABCD的邊長為5,以C為圓心，2為半徑作OC,點P為OC上的動

點，連接8P,并將BP繞點B逆時針旋轉90。得到BPI連接CP，，在點P運動的過程中，CP，長度的最大值是.

9.（21-22九年級上.浙江紹興.期末）如圖，在RN4BC中，zACB=90°,AC=3,BC=6,BD=2,以點B

為圓心，8。長為半徑作圓，點E為OB上的動點，連結EC,作尸C1CE,垂足為C,點F在直線BC的上

方，且滿足CF=3CE,連結8足當點E與點。重合時，8尸的值為.點E在OB上運動過程中，BF

存在最大值為.

10.（2024?吉林長春?二模）【問題呈現】數學興趣小組遇到這樣一個問題：如圖①，。。的半徑為2,點力是

。。外的一個定點，。4=4.點2在。。上，作點P關于點4的對稱點Q,連接P4、AQ.當點P在。。上運動

一周時，試探究點Q的運動路徑.

【問題解決】經過討論，小組同學想利用全等三角形的知識解決該問題；如圖②,延長。4至點M,使AM=0A,

連接。P、MQ,通過證明AOAP三AMAQ,可推出點Q的運動路徑是以點M為圓心、2為半徑的圓.下面是

部分證明過程：

證明：延長。4至點M,使4"=。4連接。P、MQ.

1。當點P在直線。4外時，

證明過程缺失

2。當點P在直線04上時，

易知。P=MQ=2.

綜上，點Q的運動路徑是以點M為圓心、2為半徑的圓.

請你補全證明中缺失的過程.

【結論應用】如圖③，在矩形4BCD中，點尸分別為邊4B、CD的中點，連接EF,點。是EF中點，點M是

線段。F上的任意一點，AB=4,BC=8.點P是平面內一點，AP=2,連接4P.作點P關于點M的對稱點Q,

連接PM、MQ.

（1）當點M是線段0F中點時，點Q的運動路徑長為________________.

（2）當點M在線段0F上運動時,連接EQ.設線段EQ長度的最大值為a,最小值為6,貝打+

b=________________.

圖①圖②圖③G

【針對訓練】

1.（2022?山東泰安?二模）如圖,矩形力BCD的邊AB=￡,BC=3,E為2B上一點，且4E=1,尸為4D邊上

的一個動點，連接EF,若以EF為邊向右側作等腰直角三角形EFG,EF二=EG,連接CG,貝。CG的最小值為（）

2￡

AEB

A.V5C.3D.2V2

2.（2024?河南周口?一模）如圖，平行四邊形4BCD中，AB=16,AD=12,ZX=60°,E是邊力。上一點，

且4E=8,9是邊48上的一個動點，將線段EF繞點E逆時針旋轉60。，得到EG,連接BG、CG,則8G+CG的

最小值是（）.

A.4B.4V15C.4V21D.V37

3.如圖，等腰RtAABC中，斜邊AB的長為2,O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ1OP交BC于

點Q,M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經過的路線長為

C

4（2023?四川成都?一模）如圖，四邊形4BCD為矩形，對角線4c與相交于點。，點E在邊OC上，連接4E,

過D做垂足為F,連接OF,若ND4E=30。，DE=10,貝1|。尸的最小值為.

5.（21-22九年級下.福建福州.階段練習）如圖，在平面直角坐標系中，Q是直線y=^x+2上的一個動點，將

Q繞點P（-l,0）逆時針旋轉90。，得到點0,連接。Q',則。Q'最小值為.

6.（23-24九年級上?遼寧沈陽?期末）【問題初探】

數學課上張老師在講完正方形的性質之后提出了一個問題:

四邊形力BCD是邊長為3的正方形，點E是邊4。上的一動點，連接CE,以CE為一邊作正方形CEFG（點C,

E,F,G按順時針方向排列），連接BF,DG.

(1)如圖1,求點G至！JCD的距離，請寫出解答過程；

【類比分析】愛動腦的數學興趣小組在研討的過程中，也提出了一個問題：

(2)如圖2,當BF經過點。時，求DG的長，請寫出解答過程；

【學以致用】看到同學們興致勃勃的樣子，張老師說：“角相等可以是三角形全等的條件，也能推導出相似”,

于是給同學們留了一道思考題：

(3)求代數式或DG+BF的最小值.經過小組研討，組長小明進行了整理，給出了部分解題思路；

解題思路：如圖3,作等腰直角AaCFi，使4016=90。，連接AC,CF,AF,則點C,D,a三點共線，

由=費一=&，可得△aCPQDCG,

由N&CF=N4CE,察=||=魚，可得△C&FC力E,........

請完成“……”部分的解答過程.

F]

7.(2024.安徽合肥.模擬預測)如圖，分別經過原點。和點4(8,0)的動直線a,b,其夾角=30。，點

〃