專題09圓的綜合問題

千硝立【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一利用圓性質求角的度數】...........................................................1

【考向二利用圓性質求線段的長度】........................................................2

【考向三利用圓性質求圓的半徑】..........................................................4

【考向四利用圓性質求線段的最值】........................................................5

【考向四利用圓性質求陰影部分的面積1................................................................................6

【考向五切線的證明綜合應用】.............................................................6

【直擊中考】

【考向一利用圓性質求角的度數】

例題：（2022秋?浙江杭州?九年級校聯考階段練習）如圖，四邊形ABCO內接于。。，AB=CD,A為皿中

點，ZBDC=60°,則N4汨等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【變式訓練】

1.（2022?湖北省直轄縣級單位??？级＃┤鐖D，一塊直角三角板的30。角的頂點尸落在。。上，兩邊分別

交。。于A3兩點，連結AQBO,則—AO3的度數是（）

2.（2022,黑龍江哈爾濱?校考二模）如圖，A、B、C、。四個點均在00上，ZAOD=70°,AO//DC,

3.（2022?內蒙古通遼?模擬預測）如圖所示，已知四邊形ABCD是。。的一個內接四邊形，且N3OD=110。,

貝=.

【考向二利用圓性質求線段的長度】

例題：（2022?四川綿陽?東辰國際學校?？寄M預測）如圖，點A,B,C,。在。。上，點A為8c的中點,

交弦BC于點E.若加）C=30。，AE=1,則8C的長是（）

C.2y/3D.3A/2

【變式訓練】

1.（2022?江蘇鹽城?鹽城市第四中學（鹽城市藝術高級中學、鹽城市逸夫中學）?？寄M預測）如圖，以A3

為直徑的。。與AC相切于點A,點E在。。上，連接AE、ED、DA,連接并延長交AC于點C,

AE與BC交于點F.

⑴求證：ZDAC=ZDEA；

(2)若點E是弧3。的中點，。。的半徑為3,BF=2,求AC的長.

2.(2022?內蒙古通遼?模擬預測)如圖，與AABC的BC邊相切于點B,與AC、A3邊分別交于點。、E,

DE//OC,EB是。。的直徑.

⑴求證：AC是。。的切線；

(2)若AD=2,AE=1,求CD的長.

3.(2022,湖北省直轄縣級單位?校考一模)如圖，。。是AABC的外接圓，AD是。。的直徑，下是AD延長

線上一點，連接。。，CF,B.ZDCF=ZCAD.

(1)求證：CF是。。的切線;

3

(2)若cos2=g,AD=5,求FD的長.

4.（2022?四川綿陽?東辰國際學校?？寄M預測）如圖，為。。的直徑，AC為弦，過點C的切線與A3

的延長線交于點P,E為。。上一點，且C￡=AC,連接并延長交CP于點

⑴求證：BH1CP.

(2)若AB=3#,tanZE=J,求尸77的長.

【考向三利用圓性質求圓的半徑】

例題：（2022?福建福州??？家荒＃┤鐖D，四邊形ABCD內接于。。，NASC=135。，AC=4,則。。的半徑

為（）

B

A.4B.272C.26D.4?

【變式訓練】

1.（2022?福建福州??？家荒＃┤鐖D，BC為。。的直徑，P為CB延長線上的一點，過P作。。的切線叢,

A為切點，PA=4,PB=2,則。。的半徑等于.

2.（2022?湖北省直轄縣級單位??？家荒＃┤鐖D，點A,B,C在。。上，ZAOC=90°,AB=2。BC=1,

則。。的半徑為.

3.（2022?云南文山?統考三模）如圖，在AABC中，ZA=90°,D、E分別是AS、BC上的點，過8、。、E

三點作。O,交。延長線于點FAC=3,BC=5,AD=1.

⑴求證：YCDEECBF；

⑵當。。與CD相切于點。時，求。。的半徑;

⑶若邑CDE=3sRDF，求。方的值.

【考向四利用圓性質求線段的最值】

例題：（2022?安徽合肥?校聯考三模）如圖，是的直徑，A5=8,點M在。。上，NM短=20。小是

股8的中點，P是直徑上的一動點，若MN=2,貝!kPMN周長的最小值為（）

A.4B.5C,6D.7

【變式訓練】

1.（2022?廣東江門??？家荒＃┚匦蜛BCD中，AB=2,3C=6,點P為矩形內一個動點且滿足=,

則線段PD的最小值為.

2.（2022?廣東江門??？家荒＃〢/RC中，AB=AC^13,BC=24,點。為"WC的對稱軸上一動點，

過點。作。。與BC相切，3D與。。相交于點E,那么AE的最大值為.

【考向四利用圓性質求陰影部分的面積】

例題：（2022?廣東江門??？家荒＃┤鐖D，正方形的邊長為2,則圖中陰影部分的面積為（）

【變式訓練】

1.（2022?湖北省直轄縣級單位??？家荒＃┤鐖D，在半徑為2,圓心角為90。的扇形內，以3C為直徑作半圓,

交弦A3于點。，則圖中陰影部分的面積是（）

A..71—1B.71—2C.-7T-1D.一萬+1

22

3

2.（2022春?九年級課時練習）如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC.,尸是A5中點，以點A為圓心，AD

為半徑作弧交A3于點E,以點5為圓心，砥為半徑作弧交5c于點G,則圖中陰影部分面積的差S-S2為

3.（2022秋?四川瀘州?九年級統考期中）如圖，AB,AC分別是。。的直徑和弦，半徑OE工AC于點。.過

點A作。。的切線與OE的延長線交于點尸，PC,AB的延長線交于點尸.

⑴求證：PC是。。的切線；

（2）若PC=2AD,AB=10,求圖中陰影部分的面積.

4.（2022?江蘇揚州?校考三模）如圖，中，1B90?,ZC=30°,。為AC上一點，OA=2,以。為

圓心，以。4為半徑作圓與相交于點尸，點E是回O與線段8c的公共點，連接OE、OF、EF,并且

/EOF=2/BEF.

⑴求證：8C是回。的切線;

⑵求圖中陰影部分的面積.

5.（2022秋?全國?九年級專題練習）如圖，己知AB,8為O。的直徑，過點A作弦AE垂直于直徑8于

艮點、B恰好為DE的中點，連接3C,BE.

⑴求證：AE=BC-

⑵若AE=2由,求。。的半徑；

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積.

【考向五切線的證明綜合應用】

例題：（2022湖南株洲?校考二模）如圖，在菱形ABCD中，。是對角線3D上一點（8。＞DO）,OE±AB,

垂足為E,以OE為半徑的。。分別交DC于點交EO的延長線于點/，EF與DC交于點G.

F

/D_GC

⑴求證：BC是OO的切線;

⑵若G是O尸的中點，OG=2,DG=1.

①求扇形的面積；

②求AD的長.

【變式訓練】

1.（2022.遼寧盤錦??？家荒＃┤鐖D，AABC中，AB^AC,以AC為直徑的。。交8C于點。，點E為AC

延長線上一點，S.ZCDE=^ZBAC.

2

E

⑴求證：OE是。。的切線;

(2)若AB=33D,CE=2,求。。的半徑.

2.（2022?廣東云浮?校聯考三模）如圖1,回。是4RC的外接圓，AB是直徑，OD//AC,0。交團。于點E,

且NCBD=NCOD.

⑴求證：BD是回。的切線；

⑵若點￡為線段。。的中點，判斷以。、A、C、￡為頂點的四邊形的形狀并證明;

FG

⑶如圖2,作CF1AB于點R連接AD交C/于點G,求〒的值.

專題09圓的綜合問題

行府【中考考向導航】

目錄

【直擊中考】...................................................................................1

【考向一利用圓性質求角的度數】...........................................................1

【考向二利用圓性質求線段的長度】.........................................................2

【考向三利用圓性質求圓的半徑】...........................................................4

【考向四利用圓性質求線段的最值】.........................................................5

【考向四利用圓性質求陰影部分的面積1................................................................................6

【考向五切線的證明綜合應用】.............................................................6

【直擊中考】

【考向一利用圓性質求角的度數】

例題：（2022秋?浙江杭州?九年級校聯考階段練習）如圖，四邊形ABCD內接于。。，至=CD,

A為中點，ZBDC=60°,則/W3等于（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】根據AB=CD，A為中點求出==再根據圓內接四邊形

的性質得到N4BC+加）C=18O。，即可求出答案.

【詳解】解：0A為80中點，

團AB=A￡），

SZADB=ZABD,AB=AD,

^\AB=CD,

SiZCBD=ZADB=ZABD,

回四邊形ABC。內接于。。，

回ZABC+ZADC=180°,

03ZAD5+6OO=18OO,

0ZADB=4O°,

故選艮

【點睛】此題考查圓周角定理，解決本題的關鍵是掌握在同圓中等弧所對的圓周角相等、相

等的弦所對的圓周角相等，圓內接四邊形的性質：對角互補.

【變式訓練】

1.（2022?湖北省直轄縣級單位?校考二模）如圖，一塊直角三角板的30。角的頂點尸落在。。

上，兩邊分別交O。于A8兩點，連結AO,BO,則—AO3的度數是（）

A.30°B.60°C.80°D.90°

【答案】B

【分析】根據圓周角定理解決問題即可.

【詳解】解：4=30。，

又；ZAOB=2NP,

ZAOB=60°,

故選：B.

【點睛】本題考查了圓周角定理，解決問題的關鍵是掌握圓周角定理，屬于中考常考題型.

2.（2022?黑龍江哈爾濱??？级＃┤鐖D，A、B、C、。四個點均在。。上，ZAOD=70°,

AO//DC,則23的度數為__________.

【答案】55。##55度

【分析】首先連接AD，由A、B、C、O四個點均在。。上，ZAOD=10°,AO//DC,

可求得NAOO與NODC的度數，然后由圓的內接四邊新的性質，求得答案.

【詳解】解：連接AD,

?：OA=OD,NAQD=70。，

…幽「55。,

???AO//DC,

:.ZODC=ZAOD=7Q0,

ZADC=ZADO+ZODC=125°,

ZB=180°-ZADC=55°.

【點睛】此題考查了圓的內接四邊形的性質、平行線的性質以及等腰三角形的性質.此題比

較適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數形結合思想的應用.

3.（2022?內蒙古通遼?模擬預測）如圖所示，已知四邊形ABCD是。。的一個內接四邊形,

且NBor>=no。，貝！JNOCE=

【答案】55。##55度

【分析】先根據圓周角定理求出/A的度數，再由圓內接四邊形的性質即可得出結論.

【詳解】解：,??48。。=110°,

ZA=-ZBOD=55°.

2

四邊形ABCD是圓內接四邊形，/DCE是四邊形ABCD的一個外角，

ZDCE=ZA=55°.

故答案為：55°.

【點睛】本題考查的是圓內接四邊形的性質和圓周角定理等內容，熟知圓內接四邊形的任意

一個外角等于它的內對角是解題的關鍵.

【考向二利用圓性質求線段的長度】

例題：（2022?四川綿陽,東辰國際學校?？寄M預測）如圖，點A,B,C,。在。。上，點A

為BC的中點，Q4交弦于點E.若N4DC=30。，AE=1,則8c的長是（）

【答案】C

【分析】連接OC,根據圓周角定理求得ZAOC=60。，在RtACOE中可得OE=；OC=g04,

可得OC的長度，故CE長度可求得，即可求解.

【詳解】解：連接OC,

EIZAOC=60o,

OE1

在RtACOE中，=cos60°=—,

^\OE=-OC=-OA,

22

^\AE=-OC=-OA

22

團AE=1,

團OA-OC=2,

0CE=73

團點A為BC的中點，

0BC=2CE=26,

故選：D.

【點睛】本題考查圓周角定理和垂徑定理，解直角三角形,作出合適的輔助線是解題的關鍵.

【變式訓練】

1.（2022?江蘇鹽城?鹽城市第四中學（鹽城市藝術高級中學、鹽城市逸夫中學）?？寄M預

測）如圖，以A3為直徑的。O與AC相切于點A,點。、E在。。上，連接A￡\ED、DA,

連接3。并延長交AC于點C,AE與8C交于點

⑴求證：ZDAC=ZDEA；

⑵若點E是弧3。的中點，。。的半徑為3,BF=2,求AC的長.

【答案】⑴見解析

（2）8

【分析】（1）根據切線的性質可得NC4D+NBAE>=90。，再由A3為。。的直徑，可得

ZB+ZBAD=90°,從而得到/C4D=/3,再由圓周角定理，即可求證；

（2）根據點E是弧的中點，可得NZMEnNaiE,再由/C4D=ZB,可得NC4F=/CE4,

從而得到C4=CF,設C4=CF=尤，貝113c=x+2,在RtZVLBC中，根據勾股定理，即可

求解.

【詳解】（1）證明：回。。與AC相切，

0AC1AB,即/BAC=90°,

SZCAD+ZBAD=90°,

EIAB為G）O的直徑，

0ZADB=9O°,

0ZB+ZBAZ）=90°,

BZCAD=ZB,

SZAED=ZB,

^ZDAC=Z.DEA；

（2）解：回點E是弧BD的中點，

SZDAE=ZBAE,

^\ZCAD=ZB,Z.CAF=ZCAD+ZDAF,ZCFA=ZEAB+ZDBA,

SZCAF=ZCFA,

0C4=CF,

設C4=CF=x,則3c=x+2,

回。。的半徑為3,

13AB=2,

在RtZXABC中，AB2+AC2=BC2,

H62+X2=（2+X）2,

解得：x=8,

即AC=8.

【點睛】本題考查了圓周角定理、切線的性質、勾股定理，解題的關鍵是利用同角的余角相

等求得NC4￡）=NB.

2.（2022?內蒙古通遼?模擬預測）如圖，。。與AABC的3c邊相切于點B,與AC、AB邊

分別交于點。、E,DE//OC,EB是。。的直徑.

⑴求證：AC是。。的切線；

（2）若AD=2,AE=1,求CD的長.

【答案】⑴見解析

（2）3

【分析】（1）連接。。，根據切線的性質得到？390?,根據平行線和等腰三角形的性質可

得ACOD=Z.COB,再利用“邊角邊"證明△COD^ACOB,根據全等三角形的性質得到

ZCDO=ZCBO=90°,即可證明AC是。。的切線；

（2）設。。的半徑為廠，則OD=OE=O3=r,根據勾股定理解Rt/XADO求出r,進而求

出A3的長度，再根據相似三角形的性質得到3c的長度，根據全等三角形的性質即可求解.

【詳解】（1）證明：如圖，連接0D.

???。0與AASC的BC邊相切于點8,￡?是。。的直徑,

?B90?.

???DE//OC,

，ZDEO=ZCOB,NODE=/COD.

OD=OE,

ZDEO=ZODE,

/COD=/COB,

在△<?”>與△COB中，

OD=OB

<ZCOD=ZCOB,

co=co

,△COZ汪△CO3（SAS）,

??.NCDO=NCBO=9伊,

二?AC是。。的切線；

（2）解：設。O的半徑為廠，

?e-OD-OE=OB=r.

?/AE=1,

AO=r+1.

,/NADO=90。，

???AD2+OD2=AO\

22+r2=（r+l）2,

3

解得：

3

AB=AE+2r=l+2x-=4.

2

vZADO=ZB=90°,ZA=ZA,

「?NADO^NABC,

.ADOD

3

2_2，

4-BC

:.BC=3,

由（1）知，△COgACOB,

CD=BC=3.

【點睛】本題考查了切線的判定和性質，全等三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性

質，勾股定理，平行線的性質，正確作出輔助線是解題的關鍵.

3.（2022?湖北省直轄縣級單位??？家荒＃┤鐖D，。。是AABC的外接圓，AD是。。的直徑，

廠是AD延長線上一點，連接8,CF,且/DCF=NC4D.

⑴求證：CP是O。的切線；

3

(2)若cosB=g,AD=5,求FD的長.

【答案】⑴見解析

(2)—

7

【分析】⑴連接OC,AO是。。的直徑，則NACD=90。，得到/ADC+/CW=90。，由

OC=OD得到ZADC=ZOCD,又由ZDCF=ACAD得到ZDCF+NOCD=90°,即可得到

結論；

CD3CD

(2)解直角三角形得到CD=3,AC=4,得到K=再證明△FCDs”c,得至汁.

AC47lAC

FCFD315

=——=——=一，設FD=3x,FC=4x,AF=3x+5,進一步求得x=—，即可得到答案.

FAFC47

【詳解】(1)解：連接OC,

團的>是。。的直徑，

0ZAC￡>=9O°,

0ZAr>C+ZCW=9O°,

又國OC=OD,

⑦ZADC=NOCD,

又⑦NDCF=/CAD.

0ZDCF+ZOCD=90°,

即OCLCF,

回C尸是。。的切線；

3

(2)E/B=NADC,cosB=—f

3

團cosZADC=—,

5

在Rtz^ACZ）中,

3CD

回cosADC——=,AD=5,

5AD

3

0CD=APcosZADC=5x—=3,

國AC={AD2—CD2=4'

CD3

0-----=—，

AC4

回/FCA/FAC,ZF=ZF,

團AFCDS^FAC,

「CDFCFD3

團---=---=...——，

ACFAFC4

設￡C=3x,FC=4x,AF=3x+5,

又回FC?=FD?FA,

即（4%）2=3M3X+5），

解得尤=5（取正值），

45

回FD=3x=——.

7

【點睛】此題考查了切線的判定、圓周角定理、相似三角形的判定和性質、解直角三角形等

知識，熟練掌握相關定理是解題的關鍵.

4.(2022?四川綿陽?東辰國際學校?？寄M預測)如圖，A2為0。的直徑，AC為弦，過點

C的切線與AB的延長線交于點P,E為。。上一點，且CE=AC,連接旗并延長交CP于

點H.

（1）求證：BH1CP.

(2)若AB=3止，tanZE-1,求P”的長.

【答案】⑴見解析

(2)半

【分析】(1)連接OC,OE,由切線的性質可知NOCP=90。,再證明E"〃OC,則

NBHP=NOCP=90。,可得BHLCP；

（2）連接OC,3C,根據A3為0。的直徑得ZACB=90。，根據NA="得

tanZE=tanZA=,得AC=23C,禾!］用勾股定理AC?+3C?=43?,解得3c=3或

/1C-1

PBPCCB1

5C=—3（舍去），則AC=2BC=6,證明△尸CBS.。，則===設尸5=元，

2C-1/iCz乙

貝［J尸。=2P5=2x,PA=2PC=4x,可得4%—％=3括，解1=如，貝!］尸5=百，PC=2辨,

PHPR?,A仁

由（1）可得BH〃OC,——=——=-,從而可得尸尸。=竺2.

PCPO555

【詳解】（1）解：如圖①，連接OC,OE,

圖①

AC=EC

在△ACO和△ECO中，\OC^OC,

OA=OE

,△ACO也△￡CO（SSS）,

ZACO=ZECO,

???OA=OC,

/.ZA=ZACO,

??.ZA=ZECO,

又,:ZA=NCEB,

ZECO=ZCEBf

/.EH〃OC,ZBHP=ZOCP

???C尸與。。相切，

?.OC-LCP,

「?BH1CP.

（2）解：如圖②，連接OGBC,

圖②

A3為。。的直徑，

ZACB=90°,

ZA=ZE,

…BC1

tanZ￡=tanN7A=t=—,

AC2

AC=2BC,

vAC2+BC2=AB\

A（2BC）2+BC2=（3V5）2,解得5c=3或5c=—3（舍去）,

AC=2BC=6,

CP為切線，

???ZOCP=ZOCB+NPCB=ZOBC+ZPCB=90°.

vA呂為。。的直徑，

ZOBC+ZA=90°.

/PCB=ZA,

又「ZP=NP,

「?*CBs*AC,

.PBPC_CB_3_1

-PC-PA-AC~6~2'

設P8=無，貝lJPC=2P5=2x,PA=2PC=4xf

???PA-PB=AB=3yf5,

4X-X=3A/5,Mx=A/5,

PB=y[5,PC=20，由（1）可得防""OC,

PHPB75_2

二正二拓二6+.F

2

?口口22/r4\/5

…PH=—PC=—x2,5=-----.

555

【點睛】此題考查切線的性質、圓周角定理、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定

與性質、勾股定理、二次根式的化簡等知識與方法，解題的關鍵是正確地作出所需要的輔助

線，構造出直角三角形、全等三角形、相似三角形、矩形，利用全等三角形、相似三角形、

矩形的性質以及勾股定理求得結果.

【考向三利用圓性質求圓的半徑】

例題：（2022?福建福州?校考一模）如圖，四邊形A8CD內接于ZABC=135°,AC=4,

則。。的半徑為（）

B

A.4B.2A/2C.2相D.4&

【答案】B

【分析】先根據圓內接四邊形對角互補得出-ADC必5。，由圓周角定理得出ZAOC=90。,

根據OA=OC可得出答案.

【詳解】連接。4,OC,

回四邊形ABCD內接于ZABC=135°

I3/ADC=45°

MAOC=90°

由勾股定理得：O/c+OC-=AC2

I3OA=OC,AC=4

0（9A=2A/2

回。。的半徑為：2后

故選：B.

【點睛】本題考查圓內接四邊形的性質，圓周角與圓心角的關系，解題的關鍵是熟練運用相

關定理.

1.（2022?福建福州??？家荒＃┤鐖D，3C為O。的直徑，P為CB延長線上的一點，過尸作。O

的切線9，A為切點，PA=4,PB=2,則。。的半徑等于.

【答案】3

【分析】連接。4,因為RL是。。的切線，得NRAO=90。，結合已知在放ABIO中運用勾

股定理即可求解.

【詳解】連接。4,

回上4是。。的切線，

團440=90°,

PA=4,PB=2,

在用APAO中，

PO2=PA2+AO2,

即（80+2）2=42+AO2,

13（49+2）2=42+AO2,

解得49=3,

故答案為：3.

【點睛】本題考查了切線的性質和勾股定理的運用；掌握切線的性質構造直角三角形是解題

的關鍵.

2.（2022,湖北省直轄縣級單位??？家荒＃┤鐖D，點42,C在O。上，ZAOC=90°,AB=2及,

BC=1,則QO的半徑為.

BC

O

【答案】亭

【分析】過點A作AELCB交CB的延長線于點E,連接AC,先求出NABC=135。，則

^ABE=45°,利用等腰直角三角形的性質得到AE=￡B=2,則EC=3,利用勾股定理求出

AC的長即可得到答案.

【詳解】解：過點A作交CB的延長線于點E,連接AC.

團/A0090。，

SZABC=1(360°-90°)=135°

0^ABE=45°,

回NE=90。，AB=272-

SAE=EB=2,

0BC=1,

EEC=3,

^AC=>jAE2+CE2=A/13>

0OA=OC=—AC=—.

22

故答案為：叵.

2

【點睛】本題主要考查了圓周角定理，圓內接四邊形對角互補，勾股定理，等腰直角三角形

的性質與判定，正確作出輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.

3.（2022,云南文山?統考三模）如圖，在44BC中，ZA=90°,。、E分別是AB、8C上的點，

過8、D、E三點作。。，交C。延長線于點尸，AC=3,BC=5,AD=1.

A

I

⑴求證：NCDE^NCBF-,

(2)當。。與CD相切于點。時，求0。的半徑;

⑶若1CDE=3S.BDF，求。尸的值.

【答案】⑴見解析

⑵叵

2

(3)—A/10

【分析】(1)根據圓內接四邊形的性質得到/CED=NBED,即可證明；

13

(2)連接。。，過點。作OM_L8D,垂足為求出BD=3,DM=-BD=~,再證明

ADM4衛AD,從而求出求00的半徑

(3)過點。作O"J_3C,垂足為過點2作3GLCF,垂足為G,利用等積法求出

DH=-,BG=-s/lQ,設。尸=河，則CE=15x,利用VCDEsyCM,即可求出。尸的

值.

【詳解】(1)團四邊形是回。的內接四邊形，

QZBED+ZBFD=180°,

團/BED+NCED=180°,

QNCED=NBFD,

0/DCE=/BCF,

^NCDE^NCBFy

(2)連接0D,過點。作垂足為M,

DM=BM=-DB,ZOMD=90°,

2

0Z.ODM+ZMOD=90°,

團NA=90。，BC=5,AC=3,

11

:.AB=4BC-AC=4^

團AD=1,

^\BD=AB-AD=4-1=3.

13

:.DM=-BD=-

22f

在中，8=43+3=g2+12=回,

團。。與CD相切于點O,

0ZODC=90°,

0ZODM+ZADC=1800-ZODC=90°,

團NMOD=/ADC,

^ZOMD=ZA=90°f

團QMOSqj),

PHDO

'~CA~~CDf

3

.3=DO,

"3M

"巫，

2

回。。的半徑為叵；

2

(3)過點。作垂足為H,過點3作BGLCF,垂足為G,

C

團△BDC的面積=工3。?！?L3。4。=L569。,

222

◎BC?DH=BD.AC=BGCD,

:.5DH=3X3=ABG,

99/—

:.DH=—,BG=—W,

510

團S&CDE-3s&BDF，

:.-CEDH=3x-DFBG,

22

@CEDH=3DFBG,

:.-CE=3DF-—y/i0,

510

9

.OF_g_A/10

"~CE~27710"IT'

10

回設。尸=Mx,則CE=15x,

由（1）得：VCDE爾CBF,

CDCE

,CB-CF'

.Vio15%

"5"VlO+VlOx'

2

解得：％=ii，

2

經檢驗：％=為是原方程的根，

.-.DF=V10x=—A/10,

13

回。尸的長為卷

【點睛】本題考查圓內接四邊形的性質，圓的切線的性質、相似三角形的性質與判定，解題

的關鍵是能夠根據題目的條件，進行推理證明.

【考向四利用圓性質求線段的最值】

例題：（2022?安徽合肥?校聯考三模）如圖，A2是。。的直徑，AB=8,點M在。。上,

NAMB=20o,N是物的中點，尸是直徑AB上的一動點，若MN=2,則APMN周長的最小

C.6D.7

【答案】C

【分析】根據動點最值，將軍飲馬模型，如圖所示，作點N關于的對稱點N',連接腦V'

交A3于尸，APMN局長為PM+PN+MN=2+PM+PN,由對稱性知APMN周長為

=2+PM+PN^2+PM+PN',根據兩點之間線段最短可知APMN周長的最小為2+MN',

利用圓心角、弧、弦的關系以及軸對稱的性質進行計算即可得到答案.

【詳解】解：作點N關于的對稱點N',則點N'在。。上，連接MN'交A3于P,

由對稱性知PN=PN',

???APMN周長為PM+PN+MN=2+PM+PN=2+PM+PN',

根據兩點之間線段最短可知APMN周長的最小為2+MM,

團點N是股B的中點，^MAB=2Q°,

@MN=NB=BN'，

回/BAN'=10°,

EZMAN'=200+10°=30°,

AMON'=60°,

回△MON'是正三角形，

SOM=ON'=MN'=-AB=4,

2

0ACV=2,

團APMN周長的最小值為2+4=6,

故選：C.

【點睛】本題考查動點最值問題-將軍飲馬模型，涉及圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系

以及軸對稱性質，掌握圓周角定理，圓心角、弧、弦的關系以及軸對稱的性質是解決問題的

關鍵.

【變式訓練】

1.（2022?廣東江門,?？家荒＃┚匦蜛BCD中，AB=2,8c=6,點尸為矩形內一個動點且

滿足NPBC=ZPCD,則線段PD的最小值為.

【答案】A/13-2##-2+V13

【分析】通過矩形的性質和等角的條件可得尸C=90。，所以P點應該在以BC為直徑的

圓上，根據兩邊之差小于第三邊及三點共線即可解決問題.

【詳解】解：如圖,

團四邊形ABC。為矩形，

,\AB=CD=29ZBCD=90°,

??.NPCD+NPCB=9。。,

?;NPBC=NPCD,

\2PBe?PCB90?,

:"PC=90。,

回點尸在以3C為直徑的。。上，

在RtZXOCD中，0c=，2C=LX6=3,CD=2,

22

由勾股定理得，OD70c2="+22=屈，

PD>OD-OP,

團當尸，。，0三點共線時，PD最小，

.?.PD的最小值為0。一。尸=而一2.

故答案為：V13-2.

【點睛】本題考查矩形的性質，勾股定理，線段最小值問題及圓的性質，分析出尸點的運

動軌跡是解題的關鍵.

2.（2022?廣東江門??？家荒＃〢ABC中，AB=AC=13,BC=24,點。。為的對稱

軸上一動點，過點。作。。與8C相切，8。與。O相交于點E,那么AE的最大值為

【答案】6+府##府+6

【分析】設AABC的對稱軸交BC于凡連接所，根據圓周角定理及題意得出點￡在以8歹

為直徑的圓上，由勾股定理得出=必我+/=存苫=屈，結合圖形即可得出最大

值.

【詳解】解：設AABC的對稱軸交BC于尸，連接所,

0AB=AC,

FFLAABC的對稱軸DFLBC,

回。0切BC于F,

回。戶是。。的直徑，

回ND砂=90°,

0ZBEF=180°-NDEF=90°,

團點E在以為直徑的圓上，

0AF1BC,AB=AC=13,

EBF=CF=12,BI=FI=6,

0AF=VAB2-BF2=5>

^AI=y/AF2+FI2=V52+62=761>

fflA￡nMX=AZ+EI=6+國.

故答案為：J方+6.

【點睛】題目主要考查圓周角定理及等腰三角形的性質，勾股定理解三角形等，理解題意,

作出相應輔助線是解題關鍵.

【考向四利用圓性質求陰影部分的面積】

例題：（2022?廣東江門??？家荒＃┤鐖D，正方形的邊長為2,則圖中陰影部分的面積為（）

B.7-1

口1

【答案】D

【分析】如圖，根據金？=S扇形ABE-SVAEF,求解即可.

【詳解】解:如圖，

國四邊形ABCD是正方形,

0ZE4F=45°,

0EF±AB,

0AABF是等腰直角三角形，

團AB=AE=2，

0AF=EF=VI，

同c_cC_45TTX221r~石_%1

回5場=、扇形ABE-SVAEF=---------]XA/2X<2=--1.

故選：D.

【點睛】本題考查扇形的面積的計算，正方形的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理等

知識，解題的關鍵是學會利用分割法解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式訓練】

1.（2022?湖北省直轄縣級單位??？家荒＃┤鐖D，在半徑為2,圓心角為90。的扇形內，以BC

為直徑作半圓，交弦于點D,則圖中陰影部分的面積是（）

A.n-1B.71—2C.—7tD.一"+1

22

【答案】A

【分析】已知BC為直徑，貝U/CDB=90。，在等腰直角三角形ABC中，C。垂直平分AB,

CD=DB,。為半圓的中點，陰影部分的面積可以看作是扇形ACB的面積與AWC的面積

之差.

【詳解】解：在Rt^ACB中，萬方=20，

回BC是半圓的直徑，

EIZCDB=90o,

在等腰Rt^ACB中，CD垂直平分AB,CD=BD=血,

SD為半圓的中點，

回S陰影部分=S扇形ACB_^AADC=47rX^2-2><（應）=萬-1-

故選：A.

【點睛】本題考查扇形面積的計算公式及不規則圖形面積的求法，掌握面積公式是解題的關

鍵.

3

2.（2022春?九年級課時練習）如圖，矩形ABCD中，AB=2,BC=-,尸是AB中點，以

點A為圓心，AD為半徑作弧交于點E,以點5為圓心，8尸為半徑作弧交BC于點G,

則圖中陰影部分面積的差5,-邑為.

【答案】3-13萬

16

【分析】根據圖形可以求得郎的長，然后根據圖形即可求得，-叢的值.

3

【詳解】解：,??在矩形ABC。中，AB=2,BC=~,尸是A3中點,

2

■.BF=BG=1,

,,S|=S矩衫ABC。-S扇形ADE-S扇形BGF+^2，

2

3

90?1x

2x3_______L90?%xf_§13萬.

S]—s?

2360360~~L6~

故答案為：3-——

lo

【點睛】本題考查了扇形面積的計算、矩形的性質，解本題的關鍵是明確題意，找出所求問

題需要的條件，利用數形結合的思想解答.

3.（2022秋?四川瀘州?九年級統考期中）如圖，AB,AC分別是的直徑和弦，半徑

。石1人。于點。.過點A作。。的切線與OE的延長線交于點。PC,A5的延長線交于

點、F.

⑴求證：PC是。。的切線；

⑵若尸C=2AD,Afi=10,求圖中陰影部分的面積.

【答案】（1）見解析

°25425萬

~26~

【分析】（1）連接0C,可以證得八4。名△CO尸，根據全等三角形的性質以及切線的性質

定理可以得到NOCP=90。，即OCL尸C,即可證得PC是0。的切線；

（2）根據垂徑定理得到AD=Cr>=；AC,根據切線的性質得到PA=PC,求得

ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,根據等腰三角形的性質得到NC4F=NACO=30。，根據勾股

定理得到CF=JoOC。=^/i不=f=56,根據三角形和扇形的面積公式即可得出結論.

【詳解】（1）證明：連接OC,

?二9是。。的切線，A5是。。的直徑,

ZPAO=90°,

???0石，47于點。，

AE=CE,

:.ZAOE=ZCOE,

在AAOP和ACO尸中，

AO=CO

<ZAOP=ZCOPf

OP=OP

:.AAOP^/\COP(SAS),

ZPCO=ZPAO=90°,

/.OC1PC,

???OC是。。的半徑，

...尸。是。。的切線.

(2)解：?「O￡_LAC于點。，

/.AD=CD^-AC,

2

???必，PC是。。的切線，

:.PA=PC,

\PC=2AD,

.\PA=PC=AC,

:.ZPAC=60°,

ZCAF=ZPAO-ZPAC=30°,

?.?Q4=OC,

.\ZCAF=ZACO=30°f

ZCOF=2ZCAF=60°,

N產=90?！猌COF=30°,

.\OF=2OC=10,

在尸中，CF=JOF2—oc?=Jl()2—52=56,

.sV60?兀f_25#25〃

??J陰影—、&COF-J扇形B0C~2X，*D---~?

故答案為：空叵一空L.

26

【點睛】本題考查了切線的判定和性質，勾股定理，三角形和扇形的面積公式，全等三角形

的判定和性質，正確地作出輔助線是解題的關鍵.

4.(2022?江蘇揚州??？既?如圖，R/0ABe中，?B90?,ZC=30°,。為AC上一點，

OA=2,以。為圓心，以。4為半徑作圓與A3相交于點尸，點E是國。與線段BC的公共點，

連接OE、OF、EF,并且NEOF=2NBEF.

⑴求證：8C是回。的切線;

⑵求圖中陰影部分的面積.

【答案】⑴見解析

(2)|■石-g"

【分析】(1)連接D尸、DE,由AD是直徑，得出/O/?E+NBEE=90。，進而得出

ZBEF=ZDFE,由圓周角定理得出NEO尸=2/￡ER,進而得出NBEF=NED尸，然后得

出/DFE=/EDF,再證明AODE三AOEE,得出NEOD=NEOF,再證明是等邊三

角形，進而得出NEOD=60。，證明OE〃AB,即可得出OELBC,即可得出結論.

(2)先求出等邊三角形△Q4F的面積為：-x2xV3=73,由(1)可得出NCOR=120。，

2

1x44__

求出扇形O