重難題型?解題技巧攻略

專題09楊輝三角與裴波那契數列

題型歸納?定方向檢

目

題型01楊輝三角中的數列問題1

題型02裴波那契數列........6

題型探析?明規律

題型01楊輝三角中的數列問題

【解題規律?提分快招】

1、第二層是自然數列

m

,1

S[166]4ft3]必]?“11

[220]E[E[，N6[E]J嗎[230]M>[I，

1|制：1|71.[171川1璘：I；I112MI7B1口II1

11[“[-I..........................................

[百]Mil]”“IM小45511K[1%][]

[i[I；]Ty?[[■嬴Q巾占沖市在京可4?嬴%<io]IMjI；1

2、第三層是三角數列

E

i「iBii

”?，「“r

IlI!?IKII-iII

[#I[R]工T

[im]i》[lx]..IQ

IIII”[g]B2O[,1”[13J]‘I。[[3]ImO[I]

;[二[￡4giji]ji

[J[***]三“4”3]Q[&[玄[=s[?，]M，[n]i

1][MXI:20b[1”同1，9]|刈":“IB[I]

口1I,I]I'lljll曰1f小彳21g小"l申1申[*」jI1■

]![I卜）小/?。?，5]絲司之面上,?。ㄘ?歲$|干$]I學]呼[1]

[，[1建[]|也可4“，可內》.11口小;]瓦[“（、['"小[3[at[.￡，]16]

這個數列中的數字始終可以組成一個完美的等邊三角形.

3、每一層的數字之和是一個2倍增長的數列

【典例訓練】

一、單選題

1.（2024?江西景德鎮?三模）如圖為“楊輝三角”示意圖，已知每行的數字之和構成的數列為等比數列且記該

數歹U前幾項和為S",設"=J510g2（S“+1）+1,將數列也,｝中的整數項依次取出組成新的數列記為｛q｝,則

的值為（）

A.545B.51C.560D.48

【答案】B

【分析】根據楊輝三角每行的數字特征，結合等比數列求和公式可得S“，由此可整理得到口；根據2的整

數項可確定數列｛%｝的奇數項和偶數項的變化規律，結合等差數列通項公式可求得結果.

【詳解】由題意知：第〃行數字之和構成的數列的通項為2“T，

1_________

S=------=2"-1,b=V5M+1；

1-2

則數列也｝的整數項為：4,6,9,11,14,16,-,

二數列｛%｝的奇數項是以4為首項，5為公差的等差數列；偶數項是以6為首項，5為公差的等差數列，

c

-'-2n-i=4+5（n-l）=5n-l,c2n=6+5（n-l）=5n+l,c20=5x10+1=51.

故選：B.

二、填空題

2.（24-25高三上?天津?階段練習）南宋數學家楊輝為我國古代數學研究做出了杰出貢獻，他的著名研究成

果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術”問題介紹了高階等差數列，以高階

等差數列中的二階等差數列為例，其特點是從數列的第二項開始，每一項與前一項的差構成等差數列.若某

個二階等差數列的前4項為1,3,7,13,則該數列的第15項為.

【答案】211

【分析】設數列為｛%｝,根據題意外=2，%-%=4,“一。,1=2（〃-累加法求出｛叫的通項公

式，求出仆.

【詳解】設數列為｛%｝,根據題意%-q=2,%-電=4,,an-an_1=2（n-l）,n>2,

貝!I累力口可得-4=2+4++2伍-1）=（"一1）（2；2〃-2）=〃伍_］）,

所以a“="2_〃+l,故牝=211.

故答案為：211.

3.（23-24高三下?安徽合肥?階段練習）我國南宋數學家楊輝在所著的《詳解九章算法》一書中用如圖所示

的三角形解釋二項展開式的系數規律，現把楊輝三角中的數從上到下，從左到右依次排列，得數列：1,1,

1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,L,記作數列｛%｝,貝1］卬4=；若數列｛%｝的前〃項和

為Sn，貝!J$67=?

1

11

121

1331

14641

【答案】42048

【分析】由題意可知?14是第5行第4個數，故而直接能得到答案；

令每行的序數與該行的項數相等可得第Z行最后項在數列｛〃“｝中的項數為絹“；根據

乂匕1<674也。可求得上=12,進而可確定物位于第12行第1個；根據每一行數字和的規律可知

22

$67=（2°+2+22+…+2°）+C1,計算可得結果.

【詳解】由題意可知知是第5行第4個數，所以%=4；

使得每行的序數與該行的項數相等，則第％行最后項在數列｛%｝中的項數為：號D

設。67位于第M左eN*）行，貝!）：與解得：左=12

且第11行最后一項在數列｛4｝中的項數為：上產=66,

位于楊輝三角數陣的第12行第1個

而第一行各項和為1=2°,第二行各項和為2=2、第三行各項的和為4=22

依此類推，第％行各項的和為

1210n

S61=(2°+2+2+---+2)+C°1=^y+l=2=2048

故答案為：4,2048.

【點睛】本題考查與楊輝三角有關的數列的前〃項和的求解問題，關鍵是能夠根據楊輝三角的數字特征，

確定第"項所處的位置，通過對于每一行各項和的規律的總結可將問題轉化為等比數列求和問題.

4.(2024?浙江紹興?模擬預測)某數學興趣小組模仿“楊輝三角”構造了類似的數陣，將一行數列中相鄰兩項

的乘積插入這兩項之間，形成下一行數列，以此類推不斷得到新的數列.如圖，第一行構造數列1,2：第二

行得到數列1,2,2：第三行得到數列1,2,2,4,2,…，則第5行從左數起第8個數的值為；4表示第〃

行所有項的乘積，設凡=log24,則與=.

I2

\/

122

12242

122428482

【答案】8365

【分析】空1：直接寫出第5行的數列，即可解決；空2：首先歸納出4,進而可以求得數列但,｝的通項

公式，即可得解得.

【詳解】空1：由題意可得：第5行得到數列1,2,2,4,2,8,4,8,2,16,8,32,4,32,8,16,2,

所以第5行從左數起第8個數的值為8；

空2：根據題意可得：=1x2=2',A,=1x2x2=22=21+3,Ai=1X2X2X4X2=25=2|+3+31

4=1x2x2x4x2x8x4x8x2=214=2"30+3'+32,

4=1X2X2X4X2X8X4X8X2X16X8X32X4X32X8X16X2=241=21+3°+31+32+33,

總結可得4=2""+，+…+3"-2=2〃1-3-22

3叫1?1Q6+1

所以紇=log2A=log222二-----，可得坊=一--=365.

22

故答案為：8；365.

【點睛】關鍵點點睛：根據題意列出前幾項，并據此歸納總結一般規律，分析運算.

1

5.（23-24高三下.重慶璧山.階段練習）將楊輝三角中的每一個數C：都換成分數正訴7,就得到一個如圖

111

所示的分數三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可以看出：西可+訶嚴=范；，

111111r、

令％=飛+一十一+一+■H卜/\O+（〃+2）C2，S〃是｛見｝的前幾項和，貝！!S”二

123060(〃+i)C

111

122

111

363

1111

412124

11111

52030205

111111

6306060306

1111111

742105140105427

n1_1

【答案】—+

2n+22

【分析】由題設關系，應用裂項相消法可得進而可得S“.

2n+\n+2

、[1_1]1_1

【詳解】由(w+l)C：+("+l)C'=V可z得:(〃+2)C；+:(〃+2)(一伍+1)《'

、1___1__________1________1__________]

所以(〃+2)C3=(〃+l)C[(/+2)C：+「(〃+l)〃-(/+2)W+l)'

（貴W）一白+島-白+L+]

所以見=

(〃+2)(〃+1)

11_1__1_]

2(〃+2)(〃+1)2n+1n+2

1

所以S=———+———+—+L

“22334n+1n+22n+22

nil

故答案為:—+-----------

2n+22

題型02裴波那契數列

【解題規律?提分快招】

一、斐波那契數列

1、斐波那契數列概念

把這個數列：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...稱為斐波那契數列，一般記為｛6｝。

2、斐波那契數列的遞推公式

遞推公式［耳=F?=1

1F._2+F“T=F〃(〃23,〃eN*)

3、斐波那契數列的通項公式

、國市八卡F如n+君丫n-君丫］

通項公式：F=-x\——--------

5\［2JI2Jj

4、斐波那契數列的性質(通項公式而前幾項和片)

(I)S”=%+%+。3++%=?！?2T；

(2)%+。3+〃5++a2n-l=a2n；

(3)a2+a4+a6++a2n=a2n+l-1；

(5)an_2+an+2=3an；

aa

(6)Q根+〃T=+m-\n-\；

(7)片=4+4-4%;

(8)a；+=a2n+1；

(9)+〃；=〃/A+i;

(10)—=an-\+an\

an+

【典例訓練】

一、單選題

1.(2024.海南省直轄縣級單位.模擬預測)斐波那契數列，又稱黃金分割數列，因數學家萊昂納多?斐波那

契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱“兔子數列”，其數值為：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，在數學

上，這一數列以如下遞推的方法定義：*1)=L1)+打〃-2乂〃23,〃wN*),記此數列為也｝,

A.。2023B.。2024D.。2026

【答案】C

【分析】由題意得，%=1,an+an+l=an+2,?gN*,進而結合遞推關系求解即可.

【詳解】由題意得，生=1，??+an+l=an+2,neN*?

貝1%019+a2020+a2022+fl2024=fl2021+fl2022+^2024=fl2023+02024="2025?

故選：c.

2.(23-24高三上?陜西寶雞?期末)意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：

1,1,2,3,...；該數列的特點是：前兩個數都是1,從第三個數起，每一個數都等于它前面相鄰兩個數的

和，人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”，若記此數列為｛%｝,則以下結論中錯誤的是()

A.as=5B.“6=8

C.af+al++a；=a?a,l+lD.a^+a[++片=院]

【答案】D

【分析】列舉法判斷AB,根據數列裂項消項求和判斷CD選項.

【詳解】由題意數列前六項為：1,1,2,3,5,8,故AB正確；

由題意4+1_q_1=為(〃22)

aa

則n=n(%+1-%)=anan+1-%an，可得：

+aaaa

a；+W++a；=a；+-a1a2)+(%%—%%)+(?n+i~n-i?)

aa

=如+%%+]-%%=nn+l，所以選項C正確，D錯誤；

故選：D

3.(24-25高三上?甘肅甘南?期末)意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列數：

1,1,2,3,5,…，其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的數

列｛%｝稱為“斐波那契數列”，記S,為數列｛4｝的前〃項和，則下列結論正確的為()

A.%=21B.2an=a?_2+a?+2(n>3)

F=^2025—'2HF2024a2025

C.+a2+a3-i<J2024D.4+act2024=a

【答案】D

【分析】依題意可得4=1,%=1,an=an_1+an_2(?>3),利用遞推公式一一驗證即可.

【詳解】依題意4=1,a2=l,a3=2,a4=3,a5=5,a6=8,a7=13,故A錯誤；

當月23時%=a,-+an_2,an+l=%+an,an+2=an+l+an,

上述三式相加可得3%=4-+a.23),故B錯誤；

%++03+,,,+〃2024

=%++〃2+“3-----〃2024-]

=%+%+-----%024-1

=%+〃3〃2024—1==々2025+〃2024~^=〃2026—>故C錯誤；

a；+a；H-----FQ；O24

+^"2C^^3)+^^3(^^4^^2)++^^2024(^^2025—。2023)="2024”2025，故D正確.

故選：D

二、填空題

4.(2024.四川.模擬預測)數列｛4｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,……稱為斐波那契數列，該數列是

由意大利數學家萊昂納多?斐波那契(LeonardoFibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數列”，

｛%｝滿足=。2=1，(”23,〃eN*),則1+%+。4+。6++。2024是斐波那契數列的第___

項.

【答案】2025

【分析】由斐波那契數列的遞推關系式可得47=?！?。"一2(?>3,〃eN*),結合累加法求解即可.

【詳解】由題意知，一2(?>3,/ieN,),

所以氏_1=%一凡_2("23,〃eN*),

所以生=%—%,。4=%—“3，.......”2024="2025—%023，

由累加法可得。2+。4+4++々2024=(生—烏)+(“5—4)+(%一。5)++(4()25一/023)=%025-1，

貝［|1+%+%+〃6++〃2024=1+〃2025~^=〃2025，

所以1+%+。4+4++。2024是斐波那契數列的第2025項.

故答案為：2025.

5.(23-24高三下?云南昆明?期中)斐波那契數列(Fibonaccisequence)由數學家萊昂納多-斐波那契(Leonardo

Fibonacci)以兔子繁殖為例子而引入，又稱為“兔子數列”.斐波那契數列｛%｝有如下遞推公式：

%=lM,=lM,=%T+為-2("Z3,"eN*),通項公式為a,=)-二^，故又稱黃金分割數

V5R2JI2人

歹U.若4=｛%,〃2M3，M3“｝(〃WN*),3=A且則8中所有元素之和為偶數的概率為.(結

果用含〃的代數式表達)

【分析】先分析出A=｛%，W，，%,｝中的元素有〃個偶數，2〃個奇數，且集合8共有(23"-1)個，再得到3中

所有元素之和為偶數時，8中元素由偶數個奇數和任意個偶數組成，結合二項式系數的性質得到B中所有

元素之和為偶數時B共有(23M-1)個，從而求出概率.

【詳解】由斐波那契數列規律可知，集合A=｛陽4,,見“｝中的元素有〃個偶數，2〃個奇數，

因為3aA且8x0,所以8共有Q3"-l)個，

當B中所有元素之和為偶數時，B中元素由偶數個奇數和任意個偶數組成.

選出偶數個奇數有CM+C；“+C；“++C；：=22i種方法，

選出任意個偶數有C：+C：+C：+.+C：=2"種方法，

其中，選出0個奇數和0個偶數時，3為空集，不符合要求，

所以8中所有元素之和為偶數時3共有22ax20-1=Q3M-1）個,

所以8中所有元素之和為偶數的概率為.

23K-1

故答案為:

O----------------題型通關?沖高考----------?>

一、單選題

1.（23-24高三下?北京大興?期末）我國南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中，記錄了如圖所示

的“楊輝三角”.若將這些數字依次排列構成數列1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1,

則此數列的第2024項為（）

A.C北B.小

C.匿D.%

【答案】D

【分析】根據“楊輝三角”的性質、等差數列求和公式及組合數判斷即可.

【詳解】由“楊輝三角”可知：第一行1個數，第二行2個數，...，第〃行“個數，

所以前〃行共有：嗎\個數，當〃=63時，63x（*1）=2016,又2024-2016=8,

所以第2024項是第64行的第8個數字，即為<4，

故選：D.

2.（23-24高三下.湖南邵陽?期中）如圖，若在“楊輝三角”中從第2行右邊的1開始按“鋸齒形”排列的箭頭所

指的數依次構成一個數列：1,2,3,3,6,4,10,5,...?則此數列的前20項的和為（）

第1行11

第2行12、+1

第3行13+31

第4行14、-641

第5行5<-101051

A.350B.295C.285D.230

【答案】C

【分析】利用分組求和法和組合數的性質進行求解即可.

【詳解】記此數列的前20項的和為S20,則S2。=q+++〃20=（4+%++49）+（42+“4++”2。）

=（C；+C"C：+.+C；J+C+C；+C［++Cj=（C+C；+C；+.+C；］）+（2+3+4++11）

2+1xl

=（C；+C；++cf,）+（p°=（C3+C2+c；J+65==或+65=285.

故選：C.

3.（23-24高三下?河南信陽?期末）意大利數學家斐波那契提出了一個著名的兔子問題，得到了斐波那契數

列.數列｛%｝滿足q=%=1，。“+2=4+?！F從數列的前2024項中隨機抽取1項，能被3除余1的概率是

()

253505—758759

A.------B.------C.------D.------

2023202320232023

【答案】D

【分析】求出數列各項的余數，得到余數數列為周期數列，周期為8,從而得到前2024項中被3除余1的

有252x3+3=759項，得到概率.

【詳解】根據斐波那契數列的定義知，｛。"｝=｛1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,｝,

被3除的余數依次為1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,…，

余數數列為周期數列，周期為8,2023=252x8+7,

所以數列的前2024項中被3除余1的有252x3+3=759項，

故所求概率為尸=事759.

故選：D.

4.（24-25高三上?四川綿陽?階段練習）斐波那契數列因數學家斐波那契以兔子繁殖為例而引入，又稱“兔子

數列”.這一數列如下定義：設｛%｝為斐波那契數列，4=1,2=1，%=qT+4L2（〃N3,“eN*）,其通項公

式為%"J-［f設〃是log2［（l+有'）-（1-喬）］＜x+4的正整數解，則〃的最大值為

（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】利用給定條件結合對數的性質將1。氏[(1+6)”-(1-6)[<〃+4化為(1+石)"-(1-逐)"<2"+4,

結合1<2J[V](得到%<5*23根據｛叫遞增，得到｛叫也是遞增數列，得

a;,<-X28<52,即可求解.

5

【詳解】由題知”是log?(1+A/5)'-(1->/5)V<x+4的正整數解，

，，，，

故log。[(1+斯)”-(1-?)“卜"+4,取指數得(1+V5)-(1-V5)<2*,

同…學-號六畦性!-(￥)[<?,

即外,<[X24,根據｛4｝是遞增數列可以得到｛4｝也是遞增數列，

于是原不等式轉化為^<|X28<52.

5

由斐波那契數列可得，。5=5,d=25<52,4=8,d=64>52

可以得到滿足要求的〃的最大值為5,故A正確.

故選：A

【點睛】關鍵點點睛：

本題關鍵在于利用對數的運算將log?[+6)”-(1-君)]<幾+4,

轉化為(1+班)"-(1-6)“<2"4,結合”“的表達式得到a；<|X28<52,

從而求解〃的最大值.

5.(23-24高三上.安徽合肥?階段練習)數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一個數列｛%｝：

1,1,2,3,5,8…，其中從第3項起，每一項都等于它前面兩項之和，即弓=%=1,an+2=an+1+an,這

樣的數列稱為“斐波那契數列”.若4“=2(4+4+佝++%4)+1，則切=()

A.175B.176C.177D.178

【答案】B

【分析】根據數列的特點，每個數等于它前面兩個數的和，移項得：an=an+2-an+l,使用累加法求得

5“=。“+2-1，然后將2(%+%+%++674)+1中的2倍展成和的形式(如2%=4+%=4+。2+4)即可

求解.

【詳解】由從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，%=%=1，

由%+2=4+1+%(〃wN*),得a“=%+2-%+i，

所以4=%-/，

%=〃4—〃3，

a3=a5-2

???，

an=4+2一?！?1，

將這〃個式子左右兩邊分別相加可得：

Sn=al+a2++〃〃=an+2-a2=an+2-l,

所以S〃+l=%+2.

以2(g+4+q++tig)+1=(q+/+%+。6+%+%++%74+/74)+1

=%+%+%+“4+05+〃6+%+〃8+09+弓72+%73+474+1

=$174+1=0176?

故選：B.

二、多選題

6.(2024高三?全國.專題練習)(多選)意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發現有這樣一列

數：1,1,2,3,5,…其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的

數列｛曲｝稱為“斐波那契數列”，記取為數列｛即｝的前〃項和，則下列結論正確的是()

A.<28=21B.$7=32

n]2021

C.1=a2nD.=。2022

i=la202l;=1

【答案】ACD

【詳解】

A選項顯然正確；8選項S7=33,所以8選項不正確；因為“4-42="3,a6—a4—as,...?a2ti—a2n-2—a2n

-i,累加得C選項正確；因為壯2時,質=。2㈤,(A=ar(a3-ai),a*=wQ—&),…，ai=an-(an+i—an-

i),累加得。選項正確.故選ACO.

7.(2024?福建寧德?模擬預測)“楊輝三角”是二項式系數在三角形中的一種幾何排列.從第1行開始，第〃行

從左至右的數字之和記為%,如4=1+1=2,%=1+2+1=4,[｛q｝的前”項和記為$“，依次去掉每一行中

所有的1構成的新數列2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,記為也｝,｛%｝的前〃項和記為騫,則下列

說法正確的有()

第

1行

第行

2

第行

3

第行

4

第行

5

r

;----

項和

前況

1的

J?

B.1

22

0=10

A.$

，

+2-

，冊

3〃+iJ

13〃,

150

々=4

D.

=66

C.%

CD

案】B

【答

即可.

一分析

各項逐

，再對

項和

其前

再求

列，

比數

｝為等

列｛%

出數

分析

題意

】由

【分析

，

系數

項式

的二

+6）'

應（。

次對

數依

行的

每一

始，

行開

第一

】從

【詳解

,