27第5章相似三角形之母子型

一、單選題

1.如圖，在MAA3C中，CD是斜邊A3上的高，則圖中的相似三角形共有（）

A.1對B.2對C.3對D.4對

2.如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC邊上一點，F是AD、BE的交點，CE=2AE,BF=EF,EN/7BC

交AD于N,若BD=2,則CD長度為（）

A.6B.7C.8D.9

3.如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD,AD±,3￡，。少于點6,若BC=4,AF=1,則CE的長

為

BC

1216

A.3B.——D.

T

4.如圖，點P是AABC的邊AB上的一點，若添加一個條件，使AABC與ACBP相似，則下列所添加的

條件錯誤的是（）

A.ZBPC=ZACBB.ZA=ZBCPC.AB:BC=BC:PBD.AC:CP=AB.BC

二、填空題

5.如圖，在邊長為4正方形A3CD中，以A6為腰向正方形內部作等腰ZvWE,點G在C￡>上，且

CG=3DC.連接5G并延長，與AE交于點/，與AD延長線交于點H.連接DE交BH于點K.若

AE2=BFBH>則Sac0E=-

6.如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓0經過點C,D.AC與BD相交于點E,CD2=CECA,分別

延長AB,DC相交于點P,PB=BO,CD=20.則BO的長是.

c

7.如圖，在~ABC中，ZABC=45°,AB=20，AD=AE,/DAE=90°,CE=J?，則CD的

長為.

8.如圖D、E分別是AB、AC上的點，DE〃BC,△ABC的內角平分線AQ交DE于點P,過點P作直線

交AB、AC于R、S,若第=嗡=],6。=9,貝|DE=.

9.如圖是一張矩形紙片，點E在48邊上，把.3CE沿直線CE對折，使點B落在對角線AC上的點尸處,

連接。R若點E,F,。在同一條直線上，AE=2,則。尸=,BE=.

10.如圖，在AABC中，AB=AC=4,BC=473-點D為邊AC上一動點（點C除外），將線段BD繞點D

順時針旋轉90°至ED,連接CE,則ACDE面積的最大值為

三、解答題

11.如圖，在△ABC中，。為BC邊上的一點，且AC=26，CO=4,BD=2,求證：△ACOs^gcA.

12.已知，如圖，AABC中，AB=2,BC=4,。為邊上一點，BD=1,AD+AC=8.

（1）找出圖中的一對相似三角形并證明；

（2）求AC長.

13.如圖，在邊長為4的正方形A8C。中，點E為對角線AC上一動點（點E與點A,C不重合），連接

作EPLOE交射線8A于點E過點E作MN〃BC分別交CD,AB于點M、N,作射線。尸交射線CA

于點G.

(1)求證：EF=DE；

(2)當AP=2時，求GE的長.

14.如圖，小明欲測量一座古塔的高度，他拿出一根標桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過標

桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面1.5m,標桿頂端離地面2.4m,小明到標桿的距離DF=2m,標桿

到塔底的距離DB=30m,求這座古塔的高度.

k

15.如圖，已知雙曲線y=—(x>0)經過處AQ45斜邊的中點。，與直角邊A6相交于點C，若AQ3C的

X

面積為3,求上的值.

16.如圖，AB=16cm,AC=12cm,動點P、Q分別以每秒2cm和1cm的速度同時開始運動，其中點P從點

A出發，沿AC邊一直移到點C為止，點Q從點B出發沿BA邊一直移到點A為止，(點P到達點C后，

點Q繼續運動)

(1)請直接用含t的代數式表示AP的長和AQ的長，并寫出定義域.

(2)當t等于何值時，AAPQ與AABC相似？

1,5

17.如圖，拋物線L:丁=5爐-^尤―3與x軸正半軸交于點A，與y軸交于點艮

(1)求直線的解析式及拋物線頂點坐標；

(2)如圖1,點尸為第四象限且在對稱軸右側拋物線上一動點，過點P作尸CJ_x軸，垂足為C,PC交AB

于點。，求PD+應)的最大值，并求出此時點P的坐標；

15

(3)如圖2,將拋物線L:y=—必9一一x-3向右平移得到拋物線27,直線A6與拋物線〃交于V,N兩

24

點，若點A是線段的中點，求拋物線L'的解析式.

18.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD,連接CD交AB于點M.E

是線段CM上的點，連接BE.F是△BDE的外接圓與AD的另一個交點，連接EF,BF,

(1)求證：ABEF是直角三角形；

(2)求證：ABEF^ABCA；

(3)當AB=6,BC=m時，在線段CM正存在點E,使得EF和AB互相平分，求m的值.

19.如圖，在ABC中，NC=90°,A5=5,AC=4.點P從點。出發，沿CfAfC以每秒1個單位

的速度運動.點。從點A出發，沿Af3fC以每秒1個單位的速度運動，點。到達點。時，P、。兩

點同時停止運動.點尸不與點4。重合時，以為AP、A。鄰邊作YAPRQ.設點尸的運動時間為/秒.

(1)用含/的代數式表示AP的長；

(2)當點R落在邊3c上時，求才的值；

(3)當點。在A3邊上時，設YAPRQ與，ABC重疊部分圖形面積為S,求S與/之間的函數關系式.

(4)連結AR,當射線AR平分45C面積時，直接寫出/的值.

20.(1)問題感知如圖1,在△ABC中，NC=90。，且AC=BC,點P是邊AC的中點，連接BP,

將線段PB繞點P順時針旋轉90。到線段PD.連接AD.過點P作PE〃AB交BC于點E,則圖中與ABEP

全等的三角形是,ZBAD=°；

4

(2)問題拓展如圖2,在△ABC中，AC=BC=—AB,點P是CA延長線上一點，連接BP,將線段PB

3

繞點P順時針旋轉到線段PD,使得NBPD=NC,連接AD,則線段CP與AD之間存在的數量關系為CP

4_

=—AD,請給A予證明；

3

(3)問題解決如圖3,在△ABC中，AC=BC=AB=2,點P在直線AC上，且NAPB=30。，將線段PB

繞點P順時針旋轉60。到線段PD,連接AD,請直接寫出4ADP的周長.

27第5章相似三角形之母子型

一、單選題

1.如圖，在凡AABC中，CD是斜邊A3上的高，則圖中的相似三角形共有（）

A.1對B.2對C.3對D.4對

【答案】C

【解析】根據相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形.

【解答】VZACB=90°,CD±AB

AAABC^AACD,AACD^>ACBD,AABC^>ACBD

所以有三對相似三角形，

故選：C.

【點睛】考查相似三角形的判定定理：（1）兩角對應相等的兩個三角形相似；（2）兩邊對應成比例且夾角

相等的兩個三角形相似；（3）三邊對應成比例的兩個三角形相似.

2.如圖，△ABC中，D、E分別是BC、AC邊上一點，F是AD、BE的交點，CE=2AE,BF=EF,EN//BC

交AD于N,若BD=2,則CD長度為（）

BD

A.6B.7C.8D.9

【答案】A

【解析】根據平行線的性質得到相等的角，再結合BF=EF先證明4NEF也ZkDBF,即可得到NE=BD=2,再

證明△ANE-AADC,根據相似三角形的對應邊成比例求解.

【解答】解：???NE〃BC,

AZNEF=ZDBF,ZENF=ZBDF,

XVBF=EF,

.,.△NEF^ADBF,

ANE=BD=2.

VNE/7BC,

AAANE^AADC,

.NE_AE

??一,

CDAC

VCE=2AE,

.NEAEl

**CD-AC-3?

：.CD=6.

故答案選：A.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質、全等三角形的判定與性質和相似三角形的判定與性質，主要注意

數形結合思想的應用.

3.如圖，正方形ABCD中，E、F分別在邊CD,AD上，BELCR于點G,若BC=4,AF=1,則CE的長

為（）

12Cd16

A.3B.—D.—

55

【答案】A

【解析】過D做DH，于點H,由正方形ABCD的性質，通過證明AFDCSAFHD和

△FDHs^CBG計算得到GC,再通過證明AECGsACDF從而求得CE的長.

【解答】如下圖，過D做于點H

^-ZDHF=90

,：正方形ABCD

ZFDC=90且AD=CD=BC=4

AF=1

FD=AD-AF=4-1=3

FC=y]FDr+CDr=A/32+42=5

又ZDHF=ZFDC=90

；?AFDC^AFHD

.FHFD3

FD=3

9

：.FH=-

5

又：正方形ABCD

，AD//BC

：.ZDFH=ZBCG

??,3￡，行于點6

:?/BGC=/CGE=90

AFDH^^CBG

.史_BC_4

「FH~~FD~3

_9

9：FH

~5

12

???GC-y

ZFCD=ZECG且ZFDC=ZCGE=90

?*.AECG^ACOF

12

：.ECGC_J_3

7E-CD-T-5

33

EC=-FC=-x5=3

55

故選：A.

方法二：

,?ZBEC+ZFCD=90°,

ZDFC+ZFCD=90°,

ZBEC=ZDFC,

又：NCDF=NBCE,

BC=CD,

.,.△BCE^ACDF,

；.CE=DF=4-1=3;

【點睛】本題考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知識；求解的關鍵是熟練掌握正方形、相似

三角形的性質，從而完成求解.

4.如圖，點尸是AABC的邊上的一點，若添加一個條件，使AABC與相似，則下列所添加的

條件錯誤的是（）

A.ZBPC=ZACBB.ZA=ZBCPC.AB:BC=BC:PBD.AC:CP=AB:BC

【答案】D

【解析】在AABC與AGBP中，已知有一對公共角NB,只需再添加一組對應角相等，或夾已知等角的兩

組對應邊成比例，即可判斷正誤.

【解答】A.已知/B=NB,若=則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；

B.已知NB=/B,若ZA=NBCP,則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；

C.已知NB=/B,若則可以證明兩三角形相似，正確，不符合題意；

D.若AC：CP=AB：5C,但夾的角不是公共等角NB,則不能證明兩三角形相似，錯誤，符合題意，

故選：D.

【點睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定條件是解答的關鍵.

二、填空題

5.如圖，在邊長為4正方形A3CD中，以A6為腰向正方形內部作等腰△ABE，點G在CD上，且

CG=3DC.連接BG并延長，與AE交于點與AD延長線交于點連接DE交BH于點、K.若

AE2=BFBH>則§皿￡=?

【答案】y

【解析】作于EM交CD于N,根據勾股定理可得BG,再由相似三角形的性質可得BH,

繼而判定并求得BF的長，由全等三角形的性質可得ME,利用線段的和差求得EN,

進而由三角形面積公式即可求解.

【解答】作石于M，EM交CD于N,如圖，則ENJ_CD,

,/CG=3DG,

：.DG=1，CG=3,

在HjBCG中，BG=A/32+42=5>

DG//AB,

???八HDGS^HAB.

四=型即吟=!解得照=型

HBABHB43

,：AE?=BFBH，而AB=AE,

???AB2=BFBH-即AB:8F=8/7:AB,

而NABF=/HBA,

；?NBFA=ZBAH=90。,

；.BF_LAE.

AB24212

.BF

BH竺5，

T

VZBME=EFB,ZMBE=ZFEB,BE=EB,

.,.△BME^AEFB(AAS),

ME=BF=:,

5

EN=4-—=~,

55

?。_1/8_16

?,S^CDE=QX4又二=《.

故答案為：—.

【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質、勾股定理、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是

學會添加常用輔助線求得關鍵線段的長解決問題.

6.如圖，在四邊形ABCD中，以AB為直徑的半圓O經過點C,D.AC與BD相交于點E,CD2=CE-CA,分別

延長AB,DC相交于點P,PB=BO,CD=2夜.則BO的長是.

【答案】4

【解析】連結OC,設。。的半徑為r,由DC2=CE?CA和/ACD=NDCE,可判斷△CADs/\CDE,得到

ZCAD=ZCDE,再根據圓周角定理得/CAD=/CBD,所以NCDB=NCBD,利用等腰三角形的判定得

BC=DC,證明OC〃AD,利用平行線分線段成比例定理得到=2,則PC=2C￡>=4夜，然后證明

△PCBMPAD,利用相似比得到」=^,再利用比例的性質可計算出r的值即可.

3r6V2

【解答】解：連結OC,如圖，設。的半徑為廣,

DC2=CE.CA,

,DCCA

,,—,

CEDC

而/ACD=/DCE,

:.△CAD^ACDE,

:.NCAD=NCDE,

NCAD=NCBD,

:.ZCDB=ZCBD,

:.BC=DC,

?二CD=CB，

:.ZBOC=ZBAD,

：.OC//AD,

PCPO2r-

/.——=——=——=2,

CDOAr

PC=2CD=4垃,

ZPCB=NPAD,Z.CPB=ZAPD,

△PCBS&AD,

,PCPB4夜r

-=,即----=——7=,

PAPD3r6A/2

:.r=4,

即0B=4.

故答案為：4.

D

【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質：三角形相似的判定一直是中考考查的熱點之一，在判定兩

個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發揮基本圖形的作用，尋

找相似三角形的一般方法是通過作平行線構造相似三角形；或依據基本圖形對圖形進行分解、組合；或作

輔助線構造相似三角形，判定三角形相似的方法有時可單獨使用，有時需要綜合運用，無論是單獨使用還

是綜合運用，都要具備應有的條件方可.也考查了圓周角定理.

7.如圖，在，ABC中，ZABC=A5°,AB=2航,AD=AE,/DAE=90°,CE=J?,則CD的

長為______

【答案】5

【解析】在CD上取點F,使4>EF=/ADB,證明石尸，求解D尸=4,再證明

CEFs.CDE,利用相似三角形的性質求解CF即可得到答案.

【解答】解：在CD上取點F,使NDEF=NADB,

AD=AE，C=90°,

由，毋+A￡27DE?’

DE=V2AD=V2AE，

/ABC=45°,/ADE=45°,

且/ADC=1ADE+^EDC=ZABD+ZBAD,

.,./AD=4DC,

4DA=^DEF,

/.ADBsDEF，

DFDFr-

=V2,ZEFD=ZABD=45°,

ABAD

AB=2后，

:.DF=4,

又-.ZAED=45°=/CDE+NC,/EFD=ZCEF+ZC=45°,

.?./CEF=/CDE,

?zc=zc,

..二CEFs_CDE,

CEDC

,CF-CE；

又?DF=4,CE=5

.V?_CF+4

,CF-75

.?.CF=1或CF=5（舍去），

經檢驗：CF=1符合題意，

.-.CD=CF+4=5.

故答案為：5.

本題考查的是等腰直角三角形的性質，勾股定理的應用，分式方程與一元二次方程的解法，相似三角形的

判定與性質，掌握以上知識是解題的關鍵.

8.如圖D、E分別是AB、AC上的點，DE〃:BC,△ABC的內角平分線AQ交DE于點P,過點P作直線

交AB、AC于R、S,若第=嗡=！，2。=9,貝|DE=.

【答案】6

ARAS2

【解析】由一=—=-,且/RAS=NCAB,可證得△ARSs^ACB,所以/ARS=/ACB,再由

ACAB3

APAR2DEAP2

/BAP=CAQ可證得△ARPs^ACQ,-=—=再由DE〃:BC,可知把BC的值

AQAC3BCAQ3

代入可求得DE.

?eARAS2r

【解答】解：：——=——=—,且NRAS=/CAB,

ACAB3

.,.△ARS^AACB,

.\ZARS=ZACB,

又：AQ為角平分線，

/BAP=CAQ,

/.△ARP^AACQ,

.APAR_2

"AQ-AC-3'

VDE/7BC,

?_D__E___A__P___2

"BC~AQ~1

VBC=9,

.DE_2

??=一,

93

，DE=6.

【點睛】本題主要考查三角形相似的判定和性質，解題的關鍵是能利用條件兩次證得三角形相似，從而得

到DE和BC的比值.

9.如圖是一張矩形紙片，點E在48邊上，把_36￡沿直線CE對折，使點B落在對角線AC上的點尸處,

連接。足若點E,F,。在同一條直線上，AE=2,則,BE=.

【答案】275-1

【解析】先根據矩形的性質得到AO=5C,ZADC=ZB=ZZME=90°,再根據折疊的性質得到

CF=BC,NCFE=/B=9。。,EF=BE,然后根據全等三角形的性質得到止=AE=2；最后根據

相似三角形的性質即可得BE的值.

【解答】:?四邊形ABCD是矩形

AAD=BC,ZADC=ZB=ZDAE^90°

:把沿直線CE對折，使點B落在對角線AC上的點F處

ACF=BC,NCFE=NB=90°,EF=BE

：.CF=AD,ZCFD=9Q°

：.ZADE+ZCDF=ZFCD+/CDF=90°

，ZADE=ZFCD

ZADE=ZFCD

在，ADE和,FCD中，｛AD=RC

ZDAE=ZCFD=9Q°

：.^ADE^^FCD（ASA）

，DF=AE=2

VZAFE=ZCFD=90°

ZAFE=ZDAE=90°

?-?ZAEF=ZDEA

；?AEF?DEA

.AEEFAEEF

??-----,即nn--------------

DEAEDF+EFAE

?2_EF

-2+EF-f

解得EF=6-1或EF=-際—1<0（不符題意，舍去）

則BE=EF=7?—1

故答案為：2,V5-1.

【點睛】本題考查了矩形的性質、折疊的性質、三角形全等的判定定理與性質、相似三角形的判定與性質

等知識點，根據矩形與折疊的性質，正確找出兩個相似三角形是解題關鍵.

10.如圖，在AABC中，AB=AC=4,BC=4后，點D為邊AC上一動點（點C除外），將線段BD繞點D

順時針旋轉90。至ED,連接CE,則ACDE面積的最大值為

A

JD

B

9

【答案】一

2

【解析】設CD=x,過A作ZZ，BC與Z,過B作5NLAC的延長線于N,過E作a/，O的延長線

于M,由△力勿△曲。得到名二—,再利用勾股定理求出NC,證出3△7VDB,即可得

ACBC

出結果；

【解答】設CD=x,過A作笈與Z,過B作5NLAC的延長線于N,過E作現，。的延長線

于M,如圖所示:

VAB=AC,

:.ZC==BC=2也,

2

VAC=4,

?*-AZ=卜—(2何=2，

又：ABNC=ZJIZC=90°，

AAZC-AW7,

AZ_BN

~AC~BC

2_BN

解得BN=26，

根據勾股定理得4V=siAB2-BN2

：.NC=6,

根據題意可得ZBDE=90°，

即可得到ZNBD=ZMDE,

1線段BD繞點D順時針旋轉90°至ED

:.BD=ED

：.AMED=ANDB,

：.ME=DN=CN-CD=6~X,

—x（6—x）xx=---x2+3x,

2V72

JQ---------------

二面積最大時，2a2x(-~

1g

此時S曷*=——x9+3x3=—.

最大22

【點睛】本題主要考查了相似三角形、等腰三角形的性質以及勾股定理的靈活應用，做出輔助線是解題的

關鍵.

、解答題

11.如圖，在△ABC中，。為邊上的一點，且4。=2c，CD=4,BD=2,求證：ZACMXBCA.

【答案】證明見解析.

ACCD

【解析】根據AC=2#，CD=4,BD=2,可得---=----,根據NC=NC即可證明結論.

BCAC

【解答】解：???AC=2c，CZ)=4,BD=2

?AC276A/6CD4_76

'BC-4+2-丁AC~2A/6-3

.ACCD

"BC-AC

'：zc=zc

：.AACD^ABCA.

【點睛】本題考查了相似三角形的性質和判定，掌握知識點是解題關鍵.

12.已知，如圖，△ABC中，AB=2,BC=4,D為BC邊上一點,BD=1,AD+AC=8.

(1)找出圖中的一對相似三角形并證明；

(2)求AC長.

【答案】(1)ABAD^/\BCA,理由見詳解；(2)—

3

【解析】(1)由題意易得些=絲=!，然后由/B是公共角，問題可證；

ABBC2

An1

(2)由(1)可得把=±,再由AD+AC=8可求解.

AC2

【解答】解：(1)ABAD^ABCA,理由如下：

48=2,BC=4,BD=1,

?_B_D___1_A_B__2__1

AB~2'BC~2'

.BPAB

"AB-BC-2；

又?.ZB=ZB,

ABADS/XBCA；

AJ~)I

(2)由(1)得：一=—,即AC=2AD,

AC2

AD+AC=S,

Q

AD+2AD=8,解得：AD=—,

3

AC=—.

3

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題的關鍵.

13.如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，點E為對角線AC上一動點(點E與點A,C不重合)，連接

DE,作EFLDE交射線BA于點F,過點E作MN//BC分別交CD,AB于點M、N,作射線DF交射線CA

于點G.

(1)求證：EF=DE；

(2)當4尸=2時，求GE的長.

【解析】(1)根據正方形的性質以及EFLDE,證明△DMEgZkENF即可；

(2)根據勾股定理計算出DF,根據平行線的性質得到型=型，計算出DG,FG的值，利用特殊角的

AFFG

銳角三角函數計算出DE的值，最后證明ADGES^AGF,利用相似比列出方程即可求出GE的值.

【解答】(1)證明：???四邊形ABCD是正方形，且MN〃:BC,

.??四邊形ANMD是矩形，ZBAC=45°,

AZANM=ZDMN=90°,EN二AN=DM,

ZDEM+ZEDM=90°,

VEF±DE,

ZDEM+ZFEN=90°,

ZEDM=ZFEN,

???在4ENF中

ZDME=ZENF=90°,DM=EN,ZEDM=ZFEN,

AADME^AENF(ASA),

AEF=DE

(2),?,四邊形ABCD是正方形,

AAB//DC,ZDAB=90°,

?*-DF=y/ADr+AF2=26'

—DCDG,Bp4-=—D-G--------,解得：DG=4ZJ5^.,

AFFG2245-DG3

2J?

.*.FG=DF-DG=^-,

3

又：DE=EF,EF±DE,

.?.△DEF是等腰直角三角形,

ZEDF=45°,DE=EF=DF.sin45。=26xJ=麗，

2

.\ZGAF=ZGDE=45°,

又；NDGE=NAGF,

ADGE^AAGF,

「口而GE

?DEGE=^-

，即22后，解得:

,AFGF-^―3

3

...GE=^-

3

【點睛】本題考查了正方形的性質以及相似三角形的性質及判定，第（1）問的解題關鍵是證明

△DME^AENF,第（2）問的解題關鍵是通過相似三角形的性質列出方程.

14.如圖，小明欲測量一座古塔的高度，他拿出一根標桿豎直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通過標

桿的頂端剛好看到塔頂，若小明眼睛離地面1.5m,標桿頂端離地面2.4m,小明到標桿的距離DF=2m,標桿

到塔底的距離DB=30m,求這座古塔的高度.

【答案】14.3m

【解析】先根據小明、竹竿、古塔均與地面垂直，EHJLAB可知，BH=DG=EF=1.5m,再小明眼睛離地面

1.5m,竹桿頂端離地面2.4m求出CG的長，由于CD〃AB可得出△EGCs^EHA,再根據相似三角形的對

應邊成比例可求出AH的長，進而得出AB的長.

【解答】解：???小明、竹桿、古塔均與地面垂直，EH±AB,

???BH=DG=EF=1.5m,EG=DF,GH=DB,

..?小明眼睛離地面1.5m,竹桿頂端離地面2.4m,

.\CG=CD-EF=2.3-1.5=0.8m,

VCD/7AB,AAEGC-△EHA

VDF=2mDB=30m,

.EGCGono

即,解得：AH=12.8m,

30+2AH

.*.AB=AH+BH=12.8+1.5=14.3m,

答：古塔的高度是14.3m.

【點睛】本題考查了相似三角形的應用，先根據題意得出相似三角形，再根據相似三角形的對應邊成比例

得出結論是解題的關鍵.

k

15.如圖，已知雙曲線y=]x>0）經過加AQ43斜邊的中點。，與直角邊A5相交于點C，若AQ3C的

面積為3,求上的值.

【答案】k=2

【解析】過點。做軸，可得AOED再根據SOED可得。"=

S=SA0CA=gk,AQ45ASa2k,最后

根據S.OBC=S,OAB-S,OcA=2k-=3即可求得k的值?

【解答】解：過點。做DEL尤軸，垂足為E，

；品公。45中，ZOAB=90°,

,DE//AB

D為RtAOAB斜邊03的中點,

/.DE為RtAOAB的中位線

AOAB^AOEDM—=-

OB2

???雙曲線的解析式是y=±

X

??S^OED=S^OCA=5%，^\OAB~2k

S^OBC~^\OAB-SAOCA=2k—-k=3

解得人二2

【點睛】主要考查了反比例函數y=8中k的幾何意義，相似三角形的性質和判定.過雙曲線上任意一點引

X

X軸、y軸垂線，所得三角形面積為:|左|是經常考查的一個知識點；這里體現了數形結合的思想，做此類

題一定要正確理解k的幾何意義.

16.如圖，AB=16cm,AC=12cm,動點P、Q分別以每秒2cm和1cm的速度同時開始運動，其中點P從點

A出發，沿AC邊一直移到點C為止，點Q從點B出發沿BA邊一直移到點A為止，（點P到達點C后，

點Q繼續運動）

（1）請直接用含t的代數式表示AP的長和AQ的長，并寫出定義域.

（2）當t等于何值時，AAPQ與AABC相似？

AQ

【答案】（1）%=2《0<『<6）,%=16T（0<fW16）；（2）在0WY6中，當"一時，AAQPAABC,

在6W區16中，當/=7時，AAQCAACB.

【解析】（1）本題可結合三角形的周長，根據路程=速度x時間求出AP的長％和AQ的長內關于時間t的

時間函數。

（2）分0WtS6,6WtW16兩種情況，根據相似三角形的性質求出所用的時間。

【解答】解：（1）由題意得：K=2f（OWf<6）,y2=16-r（O<r<16）；

（2）當時,

①若OP//BC,則有AAQP~AABC,.?.4幺=理

ABAC

VAB=16cm,AC=12cm,AP=Item,AQ=(16—f)cm,

16T2t?口48

^―=—,解得：t=~

161211

②：ZA=ZA，若NAQP=NC,則有AAQP~AACS

.AQ_AP.16—C_2t

"AC~AB'12-16

解得：r=6.4（不符合題意，舍去）;

當6W/W16時，點P與C重合,

：NA=NA，只有當NA2C=NACB時，有AAQCAACfi,

.AQAC.16-t

—,解得：f=7,

"AC-AB1216

在0W/W6中，當1=一時，AAQPAA5C,

在6W/W16中，當f=7時，AAQCAACB.

【點睛】本題考查了動點函數的問題的題型，關鍵點是把握住題目條件給出的等量關系，還考查了相似三

角形的性質.（2）中能分類討論是解題關鍵.

1,5

17.如圖，拋物線L:_y=—廠一一％-3與x軸正半軸交于點A,與y軸交于點2.

24

(1)求直線AB的解析式及拋物線頂點坐標;

(2)如圖1,點尸為第四象限且在對稱軸右側拋物線上一動點，過點尸作尸C_Lx軸，垂足為C,PC交AB

于點。，求PD+應)的最大值，并求出此時點尸的坐標；

(3)如圖2,將拋物線=—3向右平移得到拋物線〃，直線A3與拋物線〃交于M，N兩

24

點，若點A是線段的中點，求拋物線L'的解析式.

3[5121\13

【答案】(1)直線A6的解析式為丁=4工-3,拋物線頂點坐標為[工,-五J；(2)當x=z時，PD+BD

的最大值為「16也9；P13_5719133

，-；(3)y=-x~-----x+—.

32T32242

【解析】(1)先根據函數關系式求出A、B兩點的坐標，設直線A3的解析式為>=辰+6,利用待定系數

法求出AB的解析式，將二次函數解析式配方為頂點式即可求得頂點坐標；

⑵過點。作。石,y軸于E,則DE//OA.求得AB=5，設點P的坐標為x<4J,

則點。的坐標為—3)ED=x,證明_瓦圮6_840,由相似三角形的性質求出5。=；x,用含x

的式子表示PD,配方求得最大值，即可求得點P的坐標；

(3)設平移后拋物線〃的解析式y=；(x-根『-詈，將U的解析式和直線AB聯立，得到關于x的方

(3、225

程，設加(%,%),"(%2，%)，則不，%2是方程必-2lm+—lx+m—記=。的兩根，得到

玉+%2=2(機+?),點A為腦V的中點，%+元2=8,可求得m的值，即可求得L，的函數解析式.

15

【解答】(1)在丁=—必9—一%—3中，

24

1s3

令y=o,則一——己X—3=0,解得％=—2,%=4,

242

A(4,0).

令x=0,則y=—3,...Be，—3).

,3

4k+b=0k=—

設直線AB的解析式為、=區+6,貝I,°,解得：<4,

［b=-3

b=—3

3

直線AB的解析式為y=-x—3.

拋物線頂點坐標為

(2)如圖，過點。作。軸于E,則。石〃0A.

OA=4,OB=3,

；?AB=+OB2=742+32=5，

設點P的坐標為1羽5必一—x<4］，

則點D的坐標為］x,1-x-3|,

ED=x.

DE//OA,

:._BDEsBAO,

.BDED

??一,

BAOA

.BD_x

??一,

54

BD——x.

4

22

而PD=-x-3-\—x--x-3\=--x-\-2xf

151131169

PD+BD=——x29+2x+—x=——x92dx=——+----

2424232

V--<0,-<x<4,由二次函數的性質可知:

24

當x=U時，的最大值為吧.

51357

——x------j-----------------

44

11?1

(3)設平移后拋物線〃的解析式y=5(x-根)2-五,

y

G

3.

y=-x-3

-4

聯立

12121

y=-(x-m)-------

-232

「.，-3」（一）2衛

4232

整理，得：x2-2\,m+^\x+m3=。,

16

設A1（七,yJ,N（X2，y2），則占,當是方程x2-2\m+—\x+m2--T-0的兩根,

I416

而A為肱V的中點，，%+%2=8,

.??2］根+；］=8,解得：加=。.

.加,小,，鉆的女小If13?1211,133

.?拋物線L'的解析式y=—|x---------------=一r------x+—.

2（4）32242

【點睛】本題考查二次函數的圖象和性質、相似三角形的判定與性質、待定系數法求一次函數解析式，解

題的關鍵是熟練掌握二次函數的圖象和性質.

18.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,將△ABC沿直線AB翻折得到△ABD,連接CD交AB于點M.E

是線段CM上的點，連接BE.F是ABDE的外接圓與AD的另一個交點，連接EF,BF,

(1)求證：aBEF是直角三角形；

(2)求證：△BEF^ABCA；

(3)當AB=6,BC=m時，在線段CM正存在點E,使得EF和AB互相平分，求m的值.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)2A/3

【解析】⑴想辦法證明/BEF=90唧可解決問題(也可以利用圓內接四邊形的性質直接證明).

(2)根據兩角對應相等兩三角形相似證明.

11TYI

(3)證明四邊形AFBE是平行四邊形，推出FJ=—BD=—m,EF=m,由△ABCs/iCBM,可得BM=—，

一226

由△BEFs/iBCA,推出生二生，由此構建方程求解即可.

EFBE

【解答】(1)證明：由折疊可知，ZADB=ZACB=90°

VZEFB=ZEDB,ZEBF=ZEDF,

???NEFB+NEBF=NEDB+NEDF二NADB二90。，

???ZBEF=90°,

???△BEF是直角三角形.

(2)證明：VBC=BD,

AZBDC=ZBCD,

TNEFB=NEDB,

???NEFB=/BCD,

「AC二AD,BC=BD,

AAB±CD,

ZAMC=90°,

ZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

.*.ZBCD=ZCAB,

AZBFE=ZCAB,

VZACB=ZFEB=90°,

.'.ABEF^ABCA.

(3)設EF交AB于J.連接AE,如下圖所示:

???EF與AB互相平分，

???四邊形AFBE是平行四邊形,

ZEFA=ZFEB=90°,即EFXAD,

VBDXAD,

???EF〃BD,

VAJ=JB,

???AF=DF,

???FJ」BD=生

22

/.EF=m

:△ABC^ACBM

???BC:MB=AB:BC

加2

???BM=—,

6

△BEJ^ABME,

???BE:BM=BJ:BE

m

△BEF^ABCA,

ACBC

EFBE

<36—m2m

即mm

正

解得m=2A/3（負根舍去）.

故答案為：

【點睛】本題屬于圓綜合題，考查了圓周角定理，相似三角形的判定和性質平行四邊形的判定和性質等知

識，解題的關鍵是學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

19.如圖，在6c中，NC=90°,A5=5,AC=4.點尸從點。出發，沿CfAfC以每秒1個單位

的速度運動.點。從點A出發，沿Af5fC以每秒1個單位的速度運動，點。到達點C時，P、。兩

點同時停止運動.點尸不與點AC重合時，以為AP、AQ鄰邊作YAPRQ.設點P的運動時間為/秒.

(1)用含/的代數式表示AP的長；

(2)當點尺落在邊3C上時，求才的值；

(3)當點。在45邊上時，設Y