浙江省溫州市2025屆高三下學期學業水平評估數學試卷

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.在復平面內，復數z對應的點為(T，D,則1+i()

A.-1+iB.-1-iC.iD.1+i

【答案】C

z-1+i(-l+i)(l-i)_2i

【解析】由題意可知z=-l+i，所以幣=不1

(l+i)(l-i)

故選：C.

2.已知空間向量a=(1,0,0),6=(0,1,0),則下列向量可以與a/構成空間向量的一組基

底的是()

A.c=(0,0,0)B.c=(0,0,1)

C.c=(1,1,0)D.c=(1,2,0)

【答案】B

【解析】對于A,由于基底向量不能是零向量，故A錯誤；

對于B,由于c=(0,0,1)與a/不共面，符合基底要求，故B正確；

對于C,c=(1,1,0)=a+6,故a,6,c共面，不符合要求，故C錯誤；

對于D,c=(1,2,0)=?+2Z?,故共面，不符合要求，故D錯誤；

故選：B.

3.圓心為(1,J3)且與拋物線V=4x的準線相切的圓的方程是()

A.(x+1產+(y+—4B.(x+1)-+(y+A/3)2=3

2222

c.(x-l)+(y-y/3)=4D.(x-l)+(y-73)=3

【答案】C

【解析】易知拋物線的準線方程為x=—1；

圓心(1,、療)到準線x=-l的距離為2,所以該圓的半徑為2；

所以圓的方程為(x—ly+G—若)2=4.

故選：C.

4.已知4名學生的期中考試數學成績分別為98,HO,m,120,且上四分位數為H8,則

m=()

A.115B.116C.117D.118

【答案】B

【解析】由題意，上四分位數為98,110,m,120從小到大排列的第3、4位的平均數,

當加W110時，上四分位數為“0+12。=n5不合題意;

2

m+120

當7”>no時，上四分位數為一-----=118,解得m=116,滿足題意.

2

故選：B.

,、111c，、

5.己知數列｛%｝滿足%=-1，------=2,則數列｛。”｝中的最小項為（）

?an+lan

A.a2B.a3C.%D.a5

【答案】B

11c11

【解析】由--------=2可知《一卜為等差數列，且公差為2,首項為-5,

凡+i氏an

因此^-=2（〃-l）_5=2“_7=a“=1

a.2〃一7

由于%=—g,%=—1且>0,故｛4｝中的最小項為由，

故選：B

3

6.在VABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知sinA=g,3=2A,b=8,

則a=（）

51020

A.—B.5C.—D.—

233

【答案】B

【解析】由于3=2A,故A為銳角，故cosA=Jl—sin：A=1,

bsinAbsinAb_

故。=------=-------=-------=5.

sinBsin2A2cosA

故選：B.

7.如圖所示，“田”字型方格是由4個邊長為1的正方形組成，A,B,C,D為其中的4個

格點，在9個格點中依次取不同的兩點P,Q,則概率等于1的事件是（）

4

A.PQAB=8B.（PQ,AB）=45°

C.PQCD=0D.|PQ|=J?條件下,

PQ//CD

【解析】由于向量是有方向和大小的量，所以在9個格點中依次取不同的兩點P,。共有

A；=72個不同的向量，

對于A,PQAB=S,\AB\=242,由于|PQ|1mx=20,故|PQ|=20,S.PQ,AB

方向相同，

所以尸只能在AQ只能在國只有這一種情況，故夕=,，A錯誤，

72

對于B,由于〈PQ,A3〉=45°,

所以尸。可以為

AF,AC,FC,DG,DI,GI,EH,EB,HB,AD,AE,DE,FH,GH,FG,CI,CB,IB共18種，

[81

所以p=———,B正確，

724

對于C,PQCD=0,則尸

.—.一一一41

故尸。可以為A",HA,EB,3尸共4種，所以p=——二一，C錯誤，

7218

對于D,在|PQ|=J?條件下，

PQ可以為FB,BF,CH,HC,FE,EF,AH,HA,CD,DC,AI」A,IE,EI,BD,DB共16種,

―.一一一一一41

滿足PQ〃CD有CD,DC,IE,EI,故概率為一=一,D正確，

164

故選：BD.

8.已知函數/(x)=logg+i)x—log“x與g(x)=(q+l廠+"(。＞0且awl)在(0,+oo)

上都是增函數，則實數。的取值范圍是()

【答案】B

【解析】若。>1,則/=—l+log.(a+l)〉—l+log0a=—1+1=0=/(1),從

而“X)不是(0,+8)上的增函數，不滿足條件；

若叵。Wa<l，則對x>0有/'(%)=-f—>一一4〉°，且

2]J+,1、-xmaxma

g'(x)=(a+W?(h+^-9axIna=ax|1+—|?(da-)+1?lo

所以和g(x)都是(0,+s)上的增函數，滿足條件.

[-,11君+1V5-1,,

甘cv5-1,|—>-<=—=—~—=1-1>a+1

右0<a<------，則m。5/5-122

2

取C=log(,+J，則C=bg(叫:＞叫(〃叫(。+1)=1，從而對0＜1＜外”。有

g'(jr)=(〃+1)，ln(a+l)+〃，［na=a，Id——ln(a+l)+lna＜a，(Cln(〃+l)+ln〃)

V/J

/\

罐111(0(4+1y)＜優1111=0.從而8(司在0,10gde上遞減，不滿足條件.

\aJ

綜上，a的取值范圍是

故選：B.

二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知實數a,b滿足。＞|川〉0,則()

A.a>bB.Q>—bC.a?>/?2D.—>—

ab

【答案】ABC

【解析】由〃〉1口〉。可知。>匕，a>-b,故AB正確；

由于。〉|口>0,故〃>〃，c正確；。=2,》=1時!<1，故D錯誤；

ab

故選：ABC.

10.將下列平面四邊形A5CD中的△ABD沿對角線5。翻折成，A'8D,使二面角

A-9-C為直二面角，其中四面體A5CD的外接球的半徑等于2的是（）

【答案】ACD

【解析】對于A,如圖：R2=（3—R）2+（Q『=R2—6R+12,解得火=2,故A正確;

對于B,底面圓的半徑為廠=2出=2,而」>2,故B錯誤；

2sin60

對于C,由于△BCD和△A3。均為直角三角形，且二面角A-9-C為直二面角，故

的中點即為球心，故尺=L8。=2；故C正確；

2

對于D,由于△5CD和均為直角三角形，且二面角A-3D-C為直二面角，取

BD中點為M,AP中點為。，則結合二面角A―2D-C為直二面角，BD是

兩平面的交線，故QW_L平面BDC,MCu平面故。0J_CM,

因此0C=yJOM2+MC2=「AB1+〔1■回=1y/AB2+BD2=|AD=2,

故AD的中點即為球心，故尺=，4。=2,D正確.

2

故選：ACD.

11.給定〃eN+，若集合{1,2,3,.,〃},且存在a,b,c,deP,滿足

a<b<c<d,b-a=d-c,貝U稱P為“廣義等差集合”.記P的元素個數為|P|,貝U

()

A.{1,2,3}是“廣義等差集合”

B.{1,3,4,6}是“廣義等差集合”

C.若P不是“廣義等差集合”，當〃=8時，|P|的最大值為4

D.若P不是“廣義等差集合"，若|P|最大值為4,則n可以是13

【答案】ABC

【解析】對于A,取。=1/=c=2"=3,則符合“廣義等差集合”定義，故A正確，

對于B,取。=1/=3,。=40=6=6-。=1一。=2,故8正確，

對于C,當〃=8時，尸7{1,2,3,…,8},如|?|=5時,設尸={%,&,色4，％}，

由題意可知。2一。1，“3一。2，。4一。3，。5一。4兩兩不相同，貝U

%—q=(%―%)+(%-/)+(/)+(/-%)21+2+3+4=10>8矛盾，故

|P|<5,當|P|=4時，取尸={1,2,4,8},滿足P不是“廣義等差集合"，故|P|的最大值為

4,故C正確，

對于D當"=13時，取。={1,2,4,8,13},這與|凡皿=4矛盾，故D錯誤，

故選：ABC

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

626

12.己知二項式的展開式：(1-2x)=a0+axx+a2x++a6x,則的=.

【答案】-160

【解析】由題意，n=C：xFx(—2X)3=_160%3,故4=-160.

故答案為：-160

13.若角a的終邊逆時針旋轉二后經過點P(-3,4),則sin(a-3]=

【答案】一或0.6

5

【解析】由題意可知sin[a+g)4(兀、3

513J5

.兀1(兀兀)=-cosfa+—,

故sma——=sma-\-----=

I6jI32)13j5

3

故答案為：—.

22

14.已知P為橢圓T+2=1(。〉,6〉0)上一點，耳,篤分別為橢圓的左，右焦點，直線

ab

尸片交y軸于點Q,O為坐標原點，若耳|=|尸閭=181，則橢圓的離心率等于

【答案】亞或工加

55

【解析】取的中點為“，設|,PF2\=2m,則|Q周=|Q居|=|。4=2(,

由余弦定理可得

以IRQ閶J_|0邛+也閭2_尸研一

4m2+4m2-4c2_+4m2-4m2

2

2|。叫I。閶2\QP\\QF2一8m4m\QP\

1一二=—幽，故|。尸|=44二—J

2m24m11[2m2)

又|Pg|=QH=2相，故|p”「=4后—[c],

J

「3丫2riVr3Y,2①2

進而可得附2=2TFI—c1=4m—1—c1+1—c1=4m+2c,

(r2、

因此QP=74療+2c?2m=\QP\=4m1,故

)

=>4m2+2c2=4m2+j-8c2=>5m2=2c2,

J4m2+2c2=———2m

m

又|P耳|+\PF2\=J4m2+2c2+2m-2a,故5m—2a，

\ZFXOHFiI

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

1

15.已知函數9—Q%+21n%在1=1處的切線垂直于，軸.

(1)求實數々的值；

(2)求函數/(x)的極小值.

[2

解：(1)由/(x)=—X?+21n%可得=%—〃+

2%

則上二/'(1)=1—Q+2=3—Q,

由于k=0,3-tz=0,故。=3,

(2)

〃%)，2_3%+211^^)0)尸(耳=.3+2「23%+2=(1)(%—2),

2xxx

當0<x<l或]>2時，/'(%)>0,當1<%<2時，/'(x)<0,

故在(0,1)單調遞增，在(L2)單調遞減，在(2,+8)單調遞增，

故/(X)的極小值為/(2)=T+21n2

16.為了研究某市高三年級學生的性別和身高的關聯性，抽取了200名高三年級的學生,

統計數據，整理得到如下列聯表，并畫出身高的頻率分布直方圖：

身高

性別------------------------------------------------合計

低于170cm不低于170cm

女m20

男50n

合計200

i'頻率/組距

0.06(

0.050

(.0300.032

0.015

0.0050.008

1--1、

0150155160165170175180185身高（單彳立:cm）

(1）根據身高的頻率分布直方圖，求列聯表中m,n的值；

（2）依據小概率值a=0.05的獨立性檢驗，能否認為高三年級學生的性別與身高是否低

于170cm有關聯？

（3）用樣本頻率估計總體的概率，在全市不低于170cm的學生中隨機抽取2人，其中不

低于175cm的人數記為X,求X的期望.

P（/之左）=a0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

n{ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

解：⑴由圖可知：低于170cm的學生有200x5x(0.005+0.015+0.030+0.060)=110

名，則不低于170cm的學生有90名，從而加=110—50=60,〃=90—20=70,

(2)由題意可得

身高

性別合計

低于170cm不低于170cm

女602080

男5070120

合計11090200

200(60x70-20x50)2

故/-21.5>3.8-

80x110x120x90

故認為高三年級學生的性別與身高是否低于170cm有關聯.

404

(3)X可以取0,1,2,抽中不低于175cm的概率為P=癡=§

Q

故x~d2,B，故E(x)="p=§

17.如圖，已知四棱錐P-ABCD中，頂點尸在底面A5CD上的射影”落在線段AC上

(不含端點)，底面A5CD為直角梯形，

AD//BC,AB±AD,AB=2,BC=2AD=272.

(1)求證：由工平面叢。；

(2)若二面角A—3C—P的大小為。，直線PC與平面A3CD所成的角為夕.

…tana

①求礪的值;

②當a=6。。時，求上4的最小值.

(1)證明：由于，平面ABCD,BDu平面ABCD,故PH工BD,

由于底面ABCD為直角梯形，故3。=VAD2+AB2=瓜AC=yjAB2+BC2=2^3，

過DC'//AC,且與相交于C',

22

則=A32+AE)2^6,AC=DC'^AB+BC=12,

又5C'=20+0=30,5。"=人。2+,

故，DC',所以AC工BD,

由于AC，BD,PH±BDACPHu平面PAC,ACPH=H,

所以平面B4C,

p

(2)解：①由題意可知tan^=—,過"作的垂線，垂足為E,連接QE,

HC

由于尸A，平面ABCD,5Cu平面ABCD,故，BC,

HE±BC,PHr>HE=H,PH,HEu平面PHE,

故5CJ_平面P77E,PEu平面PHE,故PELBC,

故NPEH為二面角A—5C—P的平面角，

PHtanaHC1r-

所以tana=——，從而----=—^=-~~=V3,

HEtanPHEsmZACB

②以A為原點，以為羽y軸，以過A且垂直于平面A5CD的直線為z軸建系,

則4（0,0,0）（2,0,0）,C（2,2A/2,0）,D（0,72,0）,設尸（a,缶缶,0卜

從而BP=（a—2,缶力）=（0,20,0）

設平面PBC法向量為w=（x,y,z）,

則幾,BP=0=（a-2）x+0ay+6z=0

[n-BC=O[y=0

令x=—b,則亢=(—A,0,a—2),

而平面A5CD的法向量為機=(0,0,1),

n-m*2|1

cosa-p-；~~p7=5

所以\n\\nA2

即4(a—2『=Z;2+(G-2)2=3(a—2『，

又|上4|=5儲+2。2+02,代入上式可得

|PA|=J3a2+3（a—2）2=y/6y/a2-2a+2=

當且僅當。=1時等號成立，故叢的最小值為Jd,

22

18.已知雙曲線。：0—京=1（4>0/>0）過點《（2,2）,其漸近線的方程為

y=±2x.按照如下方式依次構造點匕5=2,3,.）；過右支上點4T作斜率為1的直線

與C的左支交于點Q,i,過2-再作斜率為-1的直線與C的右支交于點P（%,%）.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）用乙,%表示點Q,i的坐標；

（3）求證：數列［2xn-%｝是等比數列.

b=2ar?

a=3

（1）解：由題意可得〈44，解得〈，

--7T=1W=,12

b

22

所以雙曲線C的方程為：—-^=1.

312

（2）解：過門（天,”）作斜率為—1的直線方程為x+y=%,+%,

聯立其與雙曲線方程可得3/+2（%+%）%—（尤“+%丫—12=0,

設2-（%,均）/,（乙,券）,

由于月（乙，%）在拋物線上，所以4七-才=12

川rr_-2x“y“-yj-12_-x1-2xnyn-4x；_-5x：-2xnyn

人」q.x.-3-3--3

cr,,5285

所以X。=_3X”—§%，y°=3+gyn,

“c/5285A

故Q"-1一§%與X"

（3）證明：設=&+/,%_i=y°+/,

由于匕在雙曲線上,所以4x3-七］=12,

2

則4a-y3=4他+/y-（為+。一=4XQ+8txQ+4產-其-2tyQ-t=

12+StXQ—2/y。+3d=12,

982

化簡可得8/x0—2zy0+3%-0,，wO,=——XQ~^~~yQ

…5255

所以4T=一1%+§”=_§一§%

858f5215(85A8041

口=_斗+w+§%I=—x?

u「s824080411z、

X=2x

所以2X.T-y?_]—y?--n--'^yng\n~%)，

故｛2x〃-%｝是等比數列.

19.已知函數f（x）=sin"x+cos"eN+）.

（1）當〃