直角三角形的邊角關系易錯必刷題型專訓

（23個考點69題）

昌易錯必刷題

J【易錯必刷一正切的概念辨析】（共3小題）

1.（23-24九年級上?河北石家莊?期中）在RtZ^/BC中，各邊都擴大5倍，則銳角A的正切函數值（）

A.不變B.擴大5倍C.縮小!D.不能確定

【答案】A

【分析】本題考查銳角三角函數的意義，在RtZX/BC中，各邊都擴大5倍，其相應邊長的比值不變，因此

銳角A的正切函數值也不會改變，理解銳角三角函數的意義是正確判斷的關鍵.

【詳解】解：銳角三角函數值隨著角度的變化而變化，而角的大小與邊的長短沒有關系，

因此銳角A的正切函數值不會隨著邊長的擴大而變化，

故選：A.

2.（2024?廣東深圳?模擬預測）如圖，將一塊等腰直角三角板和一塊含30。角的直角三角板疊放，則△N03

與△DOC的面積之比為.

【答案】1:3/；

【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質，平行線的判定和性質，三角函數的定義，根據一副三

角板按圖疊放，則得到兩個相似三角形，且相似比等于i：VJ,根據相似三角形的性質相似三角形面積的比

等于相似比的平方得到MOB與△DOC的面積之比等于1:3.

【詳解】解：???//3C=9o°,zncs=90°

/.AB//CD,

ZOCD=ZA,ZD=ZABO,

???AAOBS小COD,

又：AB:CD=BC:CD=tan30°=1:5

???△/OB與的面積之比等于(1：6了=1:3.

故答案為：1:3.

3.(23-24九年級下?全國?課后作業)如圖，在放A4BC中，ZC=90°.

(1)在8c邊上取一點。，使得3D=DC,貝I]tan448c和tanZADC有什么大小關系？

(2)在2c邊上取一點。，使得AD=2Z?C,則tanN4BC和tan乙4DC有什么大小關系？

(3)在8C邊上取一點D,使得AD=")C(">0),則tan/4BC和tan//DC有什么大小關系？

【答案】(1)tanZABC=-tanZADC；(2)tanZABC=-tanZADC；(3)tanZABC=tanZADC

2377+1

【分析】利用正切的定義：tanN=既，進行運算即可.

/f/的鄰邊4

ACAC1ACAC

【詳解】解：(1)vtanZ^C=—=^=-=--,tanZ^DC=—

BC2DC2DCDC

：.tanZABC=—tanZADC

2

(2)BD=2DC

/.BC=3DC

ACAC1ACAT

tan/A.BC==------tmZADC=—

BC3DC3BeDC

tan/ABC=-tanZADC

3

(3)???BD=nDC

BC=(Z)DC

ATAC1AC/—「AC

tanZABC=——=,tan/4DC=-----

BC(H+1)DCn+lDCDC

tanNABC=—1―tanNADC

H+1

【點睛】本題考查了正切的概念，正確判斷對應角的對邊和鄰邊是解決本題的關鍵.

二3【易錯必刷二求角的正切值或邊長】(共3小題)

I.(23-24九年級上?四川瀘州?期末)已知在RtZXZBC中，ZC=90°,tarU=2,AB=4后,則4c等于

()

A.6B.16C.12D.4

【答案】D

【分析】本題主要考查了正切值的定義.根據題意作圖，由正切值的定義可得，taM=H，結合勾股定理,

AC-

即可求得NC的值.

【詳解】解:如圖，

???在RtZS/BC中，ZC=90°,

/BC

：.taih4=-----,

AC

tanA=2,

??.--=2,BPBC=2T1C,

/C

AB=4y[5,

Y+BC?=AB2,即AC-+（2/C）2=（4A/5）2,

■.AC=4,

故選：D.

3

2.（23-24九年級下?全國?單元測試）在中，ZC=90°,taib4=-,45=10,則3C的長為

4

【答案】6

【分析】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理，先根據正切的定義得到tanN=gg=：,設

AC4

BC=3x,AC=4x,由勾股定理可得IO'(3x『+(4x『，解方程即可得到答案.

3

【詳解】解：???在RtZk/3C中，NC=90。，taib4=—,

4

,BC3

tanA=---=—,

AC4

設8C=3x,AC=4x,

在Rt^ABC中，由勾股定理得AB2=AC2+BC2,

???1（）2=（3x）2+（4x）2,

解得x=2或x=-2（舍去），

??.BC=3x=6,

故答案為：6.

3.（23-24九年級上?寧夏銀川?階段練習）如圖，在平行四邊形488中，過點A作垂足為E,

連接DE,尸為線段。E上一點，且N4FE=NB.

（1）求證：△4DEs/^DEC；

4

⑵若tan8=1,4B=EC=1Q,求4尸的長.

【答案】（1）見解析

"Z77亞

（2）AF=----.

2

【分析】本題主要考查的是相似三角形的性質與判定，解直角三角形；

（1）根據平行四邊形的性質，可知N4DE=NDEC,Z5+ZC=180°,根據=

ZAFE+ZAFD=1SO°,可知4ED=/C,由此即可證得結果；

（2）根據平行四邊形的性質勾股定理求得5E,ED,進而根據（1）中的相似三角形，得出比例式，代入

數據進行計算即可求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形428是平行四邊形，

AD//BC,AB//CD,

ZADE=ZDEC,Z8+/C=180。，

又?；NAFE=NB,AAFE+AAFD=1i0°,

：.ZAFD=ZC,

AADF-△DEC；

4

(2)解：vAEVBC,tan5=y,

n/￡4

tanB==—,

BE3

設/￡=4后，則BE=3左，

???43=10,BE2+AE2=AB2,即(3后『+(4左y=102,

解得k=2,

AE=8,BE=6,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

/.AD=BC,CQ=45=10,

/.AD=BC=BE+EC=6+10=16f

在中，ED=ylAD2+AE2=A/162+82=8^5，

???/\ADF?/\DEC,

AD_AF

DE~~DC

14AF

即D—尸二--

8A/510

772

?tAF

=5【易錯必刷三正弦的概念辨析】（共3小題）

1.（23-24九年級上?廣東清遠?階段練習）把△/8C三邊的長度都擴大為原來的2倍，則銳角A的正弦值

（）

A.不變B.縮小為原來的萬

C.擴大為原來的2倍D.不能確定

【答案】A

【分析】本題考查銳角三角函數的定義，由于三邊的長度都擴大為原來的2倍所得的三角形與原三角

形相似，得到銳角A的大小沒改變，根據正弦的定義得到銳角A的正弦值也不變.

【詳解】因為A/8C三邊的長度都擴大為原來的2倍，所得的三角形與原三角形相似，

所以銳角A的大小沒改變，所以銳角A的正弦值也不變.

故選A.

2.（24-25九年級上?黑龍江大慶?階段練習）若sine＜sin/,則銳角a銳角/（填＞、＜或=）.

【答案】＜

【分析】本題考查了正弦的定義，根據在銳角范圍內，正弦的函數值隨著角度的增大而增大即可得出答案,

熟練掌握相關知識點是解此題的關鍵.

【詳解】解：???在銳角范圍內，正弦的函數值隨著角度的增大而增大,

.?.若sina＜sin￡,則銳角a〈銳角方,

故答案為：＜.

3.（23-24九年級上?山西長治一階段練習）如圖，在RtZ\/BC中，ZC=90°,乙4=a,24,NB,NC的

對邊分別是。，b,c.

（1）利用銳角三角函數的定義求證：tana=二*;

COSCT

、sina+cosa

(2)若tana=2,求1--的--值---.-------

sma-cosa

【答案】（1）見解析

⑵3

【分析】本題主要考查了三角函數的定義;

（1）根據三角函數的定義進行證明即可;

cinry

（2）根據（1）中的結論得出tana=——=2,即sina=2cosa,然后代入求值即可.

cosa

//的對邊

解題的關鍵是熟練掌握三角函數的定義，在一個中，ZC=90°則sinA=

斜邊

NN的鄰邊N4的對邊

cosA=tanA=

斜邊乙4的鄰邊

【詳解】（1）證明：???在RtZ^ASC中，ZC=90°,N4=a,NA,/B,NC的對邊分別是“，b,c,

.BCaACbBCa

...sina------cosa=-----tana=----=—,

ABABACb

a

sin。_0_a

cosa)b'

c

sina

：.tana=-------.

cosa

,、esina

(2)解：*/tana=-------=2,

cosa

，sina=2cosa,

sina+cosa_2cosa+cosa_3cosa

sina-cosa2cosa-cosacos。

【易錯必刷四求角的正弦值或邊長】（共3小題）

3

1.（24-25九年級上?河北保定?期中）如圖，在△/8C中，AB=AC=5,sm^ACB=-,則8C的長是（）

【答案】C

【分析】本題考查了三角函數，勾股定理，等腰三角形的性質，解題的關鍵是熟練掌握三角函數，勾股定

理，等腰三角形的性質；過/作于。，則44。2=90。，根據等腰三角形的性質可得8。=。），根

據三角函數可得=3,再根據勾股定理可得C￡>=4,進而可求3C.

【詳解】解：過/作4012c于。，則/4DC=90。，

:.CD7AC?-AD?=4,

???AB=AC,ADVBC,

BC=2CD=8,

故選：C.

4

2.（24-25九年級上?上海青浦?期中）在RtZX/BC中，ZC=90°,A8=10,sin4=-,那么2C=.

【答案】8

4

【分析】本題主要考查了解直角三角形.根據/C=90。，^5=10,siiU=-,解直角三角形即可得到答案.

【詳解】解：如圖：在RtZ\48C中，ZC=90°,

A

K4

LA5

CB

BC=4B?sin4=8,

故答案為：8.

3.（23-24九年級上?遼寧沈陽?期末）如圖，在四邊形4BCD中，ABAC=90°,E是3C的中點，

AD//BC,ZT〃軟

（1）求證：四邊形/ECD是菱形；

3

⑵若sinZDCAAB=6則四邊形AECD的面積為.

【答案】（1）見解析；

⑵24.

【分析】（1）先說明四邊形/ECD是平行四邊形，然后再根據直角三角形的性質得到/￡=；3C=C￡即可

證明結論；

3

（2）在中，結合已知由sinN0C/=1,再運用勾股定理求得BC,可得=5,北。=$，北8，即

SAECD=S“BC可解答.

【詳解】（1）證明：???AD〃5C,zr〃花,

.?.四邊形AECD是平行四邊形，

ABAC=90°,E是2c的中點，

AE=-BC=CE,

2

所以四邊形/EC。是菱形.

(2)在RtZ\C/8中，NA4c=90。，AB=6,

???四邊形/ECD是菱形,

ZDCA=ZACE,

4R3

sinZDCA=ZACE=——=—,

BC5

,加=*=|、6=10,

AC=三BC2-AB°=V102-62=8，

???/ECO是菱形，E是8C的中點,

?v=s—c

??2"。。-2"EC-U"EB'

=

AFCD

SAUJY^LJ2s4AA匕FLC=SXAABBLC=2—x8x6=24,

故答案為：24.

【點睛】本題主要考查了菱形的判定、正弦值、勾股定理、菱形的性質等知識點；靈活運用相關性質成為

解答本題的關鍵.

J【易錯必刷五余弦的概念辨析】（共3小題）

1.（2024?河北邢臺?一模）如圖，已知在RtZ\N8C中，zS=90°,則cos/=（）

A.史-BCAB

B.----C.----D.

BCABAC

【答案】c

【分析】本題考查余弦的定義，根據余弦的定義即可解答.

AR

【詳解】解：在中，cosA=—.

故選：C.

2.（23-24九年級下?全國?單元測試）比較大小：

（1）cos89°cos19°；（2）coslO°sin20°.

【答案】<>

【分析】（1）如圖所示，在△/BC中，AC=\,=90。，證明//越大，cos/的值越小即可得到答案;

（2）先證明cos4=sin（90。-N4）,再根據（1）的結論求解即可.

【詳解】解：（1）如圖所示，在中，設/C=l,ZABC=90°f

,AB?

/.cosA==AB,

AC

當48減小時，cosZ的值減小，而此時N/的度數在增大，

???可知/4越大，cosA的值越小，

v89°>19°,

??.cos890<cos19°,

設/C=LAABC=90°,

.-.cosA=—=AB,sinC=—=AB,

ACAC

???cosA=sinC,

又???//+"=90°,

cosA=sin(90°-ZA),

/.sin20°=cos70°,

由(1)可得cosl0°>cos70°,

??.cosl00>sin20°,

故答案為：＞.

【點睛】本題主要考查了銳角三角函數，熟知余弦和正弦的定義是解題的關鍵.

3.（23-24九年級上?遼寧大連?期末）如圖，在△/BC中，AD、BE分另U是BC、AC邊上的高,

cosZC=-1-,求S「CDE_的值.

12^ACAS

25

【答案】西

【分析】先證明△ADO^BEC,根據相似三角形的性質得到二=三，再證明CDEsaCAB,根據相似三

CACB

角形的面積比定義相似比的平方計算即可.

【詳解】解：?.?ADJ_BC,BE1AC,

.-.ZADC=Z.BEC=9O°,

?.ZC=ZC,

.-.△ADC^ABEC,

CDCA

CDCE

vzC=zC,

.-.ACDE^ACAB,

05

,/cosZC=——,

12

CD5

"CA~12f

S.CDE(CD525

【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關

鍵.

二3【易錯必刷六求角的余弦值或邊長】（共3小題）

1.（24-25九年級上?福建泉州?期中）在中,ZC=90°,AC=5,3c=12,則cos4的值為（）

55_1213

A.—B.—C.—D.—

1312135

【答案】A

【分析】本題考查的是銳角三角函數的定義，勾股定理，掌握銳角/的鄰邊與斜邊的比叫做//的余弦是

解題的關鍵.

根據勾股定理求出AB，根據余弦的定義計算即可.

【詳解】如圖所示，

?.?在瓦中，ZC=90°,AC=5,BC=12,

???由勾股定理得，AB=yjAC2+BC2=752+122=13，

貝相/=江=9,

AB13

故選：A.

2.（24-25九年級上?陜西西安?期中）如圖，在正方形網格中，每個小正方形的頂點叫格點.△4BC的頂點

都在格點上，則cos/NBC的值為

【答案】扣8

【分析】本題主要考查勾股定理和銳角三角函數，設小正方形的邊長為1,將點C豎直向上移動1個單位長

度，得到點。，在△43。中，NABC=NABD,據此即可求得答案；

【詳解】如圖所示，設小正方形的邊長為1,將點C豎直向上移動1個單位長度，得到點。，連接點A,5,

D,在△48。中，2ABC=NABD.

cosZABD=-=-.

AB5

4

所以，cosZABC=-

4

故答案為：—

3.（23-24九年級上?北京房山?期末）如圖，在RtzX/BC中，ZC=90°,BC=5,48=13.求cos/的值.

12

【答案】COS/=R

【分析】本題考查銳角三角函數的定義和勾股定理，掌握勾股定理和銳角三角函數的定義是解題的關鍵.由

勾股定理求出NC,然后根據銳角三角函數的定義即可求解.

【詳解】解：在RtZ\/BC中，ZC=90°,BC=5,AB=13,

由勾股定理得：AC7AB2-BC?=1132-5'=12，

AB13

【易錯必刷七特殊角的三角函數】（共3小題）

L（2024九年級上?全國?專題練習）如圖，在△/臺。中，45=/。,44=45。,4。的垂直平分線分別交/民力。

于。，E兩點，連接CO.若40=2,貝han/8CO=()

A.V2-1B.在二C.V2+1D.在口

22

【答案】A

【分析】根據線段的垂直平分線的性質，特殊角的三角函數，正切函數的定義解答即可.

本題考查了線段的垂直平分線的性質，特殊角的三角函數，正切函數的定義，熟練掌握特殊角的三角函數

是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?DE是/C的垂直平分線，

/.AD=DC,

ZACD=ZDAC=45°f

/ADC=90°.

vAD=2,

CD=AD=2,AC=CAD=2V2.

AB=AC,

AB—2V2，

:.BD=AB-AD=2y/2-2-

在中，tan=2a^~2=V2-1.

CD2

故選：A.

1A

2.(24?25九年級上?山東泰安?階段練習)在中，ZC=90°,cosA=-f貝Ucos,=.

【答案】趙

2

1A

【分析】本題考查特殊三角函數值，利用85=—求出乙4=60。，貝！］85彳=8530。即可求解.

22

【詳解】解：在RtZ\48C中，ZC=90°,cos^=1,

...NZ=60°,

,,cos—=cos30°=—,

22

故答案為：顯.

2

3.（2024?青海西寧?一模）計算：（萬+G）°+（-2）T+-g-sin30。.

【答案】|

【分析】本題主要考查實數的混合運算，化簡絕對值，零指數幕，負整數指數幕以及特殊角三角函數值,

分別根據相關運算法則計算出各項的值，再進行加減運算即可.

【詳解】解：（^+V3）°+（-2）-1+-1-sin300

=]1--1-1--1---1

222

~2

【易錯必刷八特殊角三角函數值的混合運算】（共3小題）

1.（24-25九年級上?河北保定?期中）Gtan30。-1的值等于（）

歷

A.0B.1C.--1D.V2-1

2

【答案】A

【分析】本題主要考查實數的混合運算，將特殊角三角函數值代入，再計算二次根式的乘法，最后進行減

法運算即可.

【詳解】解：V3tan30°-l

也一1

3

=1—1

二0,

故選：A.

2.（遼寧省鞍山市高新區2024-2025學年上學期九年級期中測試數學試卷）計算：2cos45。-2ta/60。=—

【答案】V2-6/-6+V2

【分析】本題主要考查特殊角的三角函數值，牢記特殊角的三角函數值是解題的關鍵.

根據特殊角的三角函數值計算即可.

【詳解】解：2cos45。一2tar?60。

=2x2—2x(可

=V2-2x3

=V2—6-

故答案為：V?—6"

3.(24-25九年級上?山東泰安?期中)計算

(1)cos45°--tan30°sin60°+cos230°；

(2)tan45°-(V2)°-VH+2sin30。.

【答案】(1)告

(2)-2月+1

【分析】本題考查了特殊角的三角函數值的混合運算，熟記特殊角的三角函數值是解題的關鍵.

(1)把特殊角的三角函數值代入，再計算即可；

(2)把特殊角的三角函數值代入，再計算即可.

【詳解】(1)解：原式

223212J

-33

V2

44

-V21

(2)原式=1-1-+2x—

2

=一2e+1.

【易錯必刷九由特殊角的三角函數值判斷三角形的形狀】(共3小題)

1.（23-24九年級下?福建龍巖?階段練習）在△ABC中，若（2cos/--tan同=0,則么△48。一定是

（）

A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【答案】D

【分析】根據非負數的和為零，可得每個非負數同時為零，根據特殊角三角函數值，可得/、2的值，根據

直角三角形的判定，可得答案.

本題考查了特殊角三角函數值，直角三角形的判定，熟記特殊角三角函數值是解題關鍵.

【詳解】解：???（2cos4-亞『+|l-tan8|=0

■??2COS/1-V2=0>l-tan5=0

cosA=,tanB=1

2

??.//=45。，ZB=45°

.-,ZC=180°-Zyl-Z5=90o.

.■.AABC一定是等腰直角三角形，

故選：D.

1向

2.（23-24九年級上?河南開封?期末）在△4BC中，//與都是銳角，且|sin/-；|+1cosB-亨|=0,則

△4BC的形狀是.

【答案】等腰三角形

【分析】根據非負數的性質可得：8^^--=0,0085--=0,由此可求出乙4=30。，48=30。，即△NBC

22

為等腰三角形.

【詳解】根據絕對值的非負性可得：sin/-』=0,cos8-@=0,

22

..,1n6

??sinA=—,cosB=—，

22

.?.N4=30。，AB=30°,

?,?乙4=乙3,

：.AC=BC,

為等腰三角形.

故答案為：等腰三角形.

【點睛】本題考查絕對值的非負性，特殊角的三角函數值以及等腰三角形的判定.熟記特殊角的三角函數

值是解題關鍵.

3.(2023九年級下?全國?專題練習)如圖，△/8C在平面坐標系內，點C(2,0).點8為V軸上

動點，求;/B+3C的最小值.

【答案】要

【分析】取。(-3,0),連接Z。，作BE，/。，CEUND于￡交V軸于9，先利用坐標求出線段長，得到

tanZDAO=—,進而得到ZD/O=30。，推出ZCDA=60°,得至U；/B+8C=EB+CB,再利用垂

322

線段最短，得到當E與￡重合，8與8,重合時，EB+BC最短,即為CE，的長，利用三角函數即可求出答案.

【詳解】解：如圖，取。(-3,0),連接AD,作BE，/。，于中交V軸于夕,

(0,3石)，C(2,0),

:.OD=3,CM=3G，OC=2,CD=5,

tanZDAO=—=—,

OA3

ADAO=30°,

;.EB=-AB,ZCDA=60°,

2

：.-AB+BC=EB+CB,

2

.,.當E與夕重合，8與9重合時，EB+BC最短,最小值即為CE'的長,

在RLCDE'中，CE'=CDsinZCDA=CDsm60°=5x—=—,

22

+的最小值為”.

【點睛】本題考查了垂線段最短，銳角三角函數，30度角所對的直角邊等于斜邊一半，學會轉化線段是解

題關鍵.

J【易錯必刷十根據特殊角三角函數值求角的度數】（共3小題）

1.（24-25九年級上?河北秦皇島?階段練習）若tan（a-l（）o）=l,則銳角a的度數是（）

A.40°B.35°C.55°D.70°

【答案】C

【分析】本題主要考查了根據特殊角三角函數值求角的度數，根據45度角的正切值為1得到0-10。=45。,

則々=55。.

【詳解】解：「tang-10。）=1,且a為銳角，

.-,^-10°=45°,

a-55°,

故選：C.

2.（23-24九年級上?浙江杭州?階段練習）sin2450+cos2300-tan2600=_；若tan（a-10。）=事，則銳角

7

【答案】-'-40

4

【分析】本題考查的是特殊角的三角函數值，熟記特殊角的三角函數值是解本題的關鍵，根據特殊銳角三

角函數值進行計算即可.

【詳解】解：sin245°+cos230°-tan260°

4

tan(a-10°)=,夕為銳角,

.1a—10°=30°,

a-40°,

7

故答案為：一二，40.

4

3.（23-24九年級上?山東煙臺?期中）已知a是銳角，且8$（￡+15。）=走，計算:

'72

【答案】1+述

6

【分析】題目主要考查特殊角的三角函數的運算，根據題意得a=30。，然后代入計算即可得出結果，熟練

掌握特殊角的三角函數值是解題關鍵

【詳解】解：:a是銳角，且cos（a+15o）=￥，

.?.a+15°=45°,

???a-30°，

=2+/一1+M-3tan60°|

a

=2+--l+|2V3-3xV3|

6II

=1+直+6

6

…述

6

【易錯必刷十一已知角度比較三角函數值的大小】（共3小題）

1、（2025九年級下?全國?專題練習）如圖，梯子（長度不變）與地面所成的銳角為C，關于/a的三角函數

值與梯子的傾斜程度之間的關系，下列說法中，正確的是（）

A.sina的值越大，梯子越陡B.cosa的值越大，梯子越陡

C.tana的值越小，梯子越陡D.陡緩程度與/夕的函數值無關

【答案】A

【分析】掌握銳角三角函數值的變化規律.銳角三角函數值的變化規律：正弦值和正切值都是隨著角的增

大而增大，余弦值是隨著角的增大而減小.

【詳解】解：A、sina的值越大，則Na越大，則梯子越陡，原說法正確，符合題意；

B、cosa的值越大越小，梯子越平緩，原說法錯誤，不符合題意；

C、tanc的值越小越小，梯子越平緩，原說法錯誤，不符合題意；

D、陡緩程度與/。的函數值有關，原說法錯誤，不符合題意；

故選：A.

2.（23-24九年級上?北京?單元測試）下列結論（其中a是銳角）：①sine+cosaV1；②cos2a=2cosa；③

當0。<a<￡<90。時，0<sina<sin/<1；（4）sina=cosatana.其中正確的有.

【答案】③④

【分析】本題考查了同角三角函數的關系及銳角三角函數的增減性，掌握銳角三角函數的概念是解題的關

鍵.

根據同角三角函數關系及銳角三角函數的增減性進行判斷即可.

【詳解】解：（T）---0<sinar<1,0<cosar<1,

sina+cosa不一定小于等于1,故①錯誤；

②若a=30。，則2cos30。=6,

2a'=60°,cos2a=—

2

cos60°N2cos30°

?1?cos2a2cosa,故②錯誤；

③當0。<[<￡<90。時，sina=梨,

斜邊

???。越大，對邊越大，且越接近斜邊，

???sin<7越大,

.?.當0。<。<分<90。時，0<sina<sin夕<1,故③正確;

對邊

④sina=

斜邊鄰邊

.??sina=cosa?tana,故④正確.

故答案為：③④.

3.（23-24浙江杭州?模擬預測）（1）計算：sin230°+cos230°=,sin245°+cos245°=

,sin260°+cos260°=；

（2）猜想：sin2a+cos2a=;

（3）根據上述猜想結果，解決下面的問題：

12、

若sin-cos。=不，且0°<a<45°,求sina-cosa值.

【答案】（1）1,1,1；（2）1；（3）——

【分析】（1）將特殊角的三角函數值代入計算即可求出其值；

（2）由（1）中的結論，即可猜想出；

（3）利用完全平方公式進行變形運算，結合0。<。<45。可得結果.

13

【詳解】解：（1）sin2300+cos2300=—+—=1；

44

sin245°+cos245°=—+—=1；

22

31

sin260°+cos260°=—+—=1；

44

（2）由（1）可得：

.721

sma+cosa=l;

12

（3）???sit?a+cos2a=l,sin?-cos6f=—,

且（sina-cosa）2+2sincr-cosa=sin26z+cos2a,

.,.（sina-cosa『+2x-=I,

l725

（sina-COS6T）2=*,

v0°<a<45°,

.I

sina-cosa=——.

5

【點睛】本題考查了解直角三角形，同角三角函數的關系，勾股定理，銳角三角函數的定義，比較簡單.

A【易錯必刷十二根據三角函數值判斷銳角的取值范圍】（共3小題）

1.（23-24九年級上?廣東梅州?期末）若siih4=0.8,則//的取值范圍是（）

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

【答案】C

【分析】本題考查銳角三角函數，首先明確sin45o=1，sin60°=^,再根據正弦值隨著角的增大而增大，

22

進行分析.

【詳解】解：.??也<0.8〈也，正弦值隨著角的增大而增大，

22

二.sin450<sin4<sin60°,

45°<ZA<60°,

故選C.

2（24-25九年級上?上海?階段練習）6是銳角三角形的一個內角，己知了關于》的函數

了=（3。卜2一（45M。卜+6圖像與》軸沒有交點，則。的取值范圍是.

【答案】0°<0<60°

【分析】本題考查三角函數，二次函數的圖象與％軸的交點問題，解利用二次函數解二次不等式，熟練掌握

三角函數的性質和應用、二次函數的圖象與x軸的交點個數是解題的關鍵.先利用。是銳角三角形的一個內

角，確定0<COS（9<1,再利用函數〉=（儂。）/-（45E。卜+6圖像與工軸沒有交點，結合5帝。+（：052。=1，

得關于COS0的不等式，求解即可.

【詳解】解：是銳角三角形的一個內角，

.?.0。<0<90。，

0<cos6<\,

,??函數y=（cos9）x2_（4sin9）x+6圖像與1軸沒有交點，

???△=（4sin6）2-4x6cos0=16sin2^-24cos0<0,

sin2e+cos28=1,

16（l-cos26）-24cos6<0,

BP2cos20+3cos0-2>0，

對于歹=2cos?0+3cosO-2,看作V關于cos夕的二次函數，

2>0,

-''y=2cos20+3cos8-2的圖象開口向上,

又2cos20+3cos8-2=0時，

解得：《?夕=」或（：050=-2,

2

利用二次函數與不等式的關系，

得了=2cos28+3cos8-2>0的解為：cosO>g或cosd<-2（舍），

.?.6<60°,

則o的取值范圍是0。<e<60°,

故答案為：0°<6><60°,

3.（23-24?浙江寧波?一模）如圖是某公園的一臺滑梯，滑梯著地點8與梯架之間的距離BC=4m.

BC

（1）現在某一時刻測得身高L8m的小明爸爸在陽光下的影長為0.9m,滑梯最高處N在陽光下的影長為

1m,求滑梯的高/C；

（2）若規定滑梯的傾斜角（NABC）不超過30。屬于安全范圍，請通過計算說明這架滑梯的傾斜角是否符

合安全要求？

【答案】（1）2米；（2）符合

【分析】（1）利用影長物高成比例求解即可；

（2）先求出銳角三角函數值，再利用銳角三角函數值求出角的范圍即可.

【詳解】解：（1）牛=亮,

AC=2m,

答：滑梯高4C為2米；

（2）,??AC=2m,BC=4m,

.?■tanZ^5C=—=---<—=tan30°,

BC423

???正切值隨著角的增大函數值增大，

AABC<30°,

這架滑梯的傾斜角符合安全要求.

【點睛】本題考查影長物高成比例性質，正切三角函數的定義，及正切函數的增減性，掌握影長物高成比

例性質，正切三角函數的定義，及正切函數的增減性是解題關鍵.

_\【易錯必刷十三利用同角三角函數關系求值】（共3小題）

1.（2024?江蘇泰州?二模）如圖，ZUBC中，乙4c2=90。，BD±AB,BD=AB,連接CD,若要計算△8C￡>

的面積，只需知道（）

A.48長B./C長C.CD長D.3c長

【答案】D

【分析】本題考查了銳角三角函數，余角的性質，以及三角形的面積公式，過輔助線如圖，證明

ZCBF=ZCAB,得出sin/C8b=sin/C48,即/=竺，求出0尸=”二，然后利用三角形的面積公式

BCABAB

求解即可.

【詳解】解:過C作WJL2。交。8延長線于尸，

ZACB=90°,BDJ.AB,

；"CBF=NCAB=90°-/ABC,

???sinZCBF=sinACAB,

CFBC

茄一商

BD=AB,

11RR2I

.?.△BCD的面積為—5D-Cb=—-------=-BC2,

22AB2

故選:D.

3

2.（24?25九年級上?上海?期中）已知0。＜仁90。，如果cosa=:，那么sina=.

【答案】且

【分析】本題主要考查了三角函數的的關系，掌握Sil?e+cos?a=1成為解題的關鍵.

利用sin2?+cos2a=1列式計算即可.

3

【詳解】解：：,sin26Z+COS2a=\

3

+sin2a=1,解得:

故答案為：昱

3.(2024?河南信陽?二模)綜合實踐活動中，某小組利用直角尺和皮尺測量建筑物48和CD的高，因為這

兩棟建筑物高度相同，于是這個小組設計出一種簡捷的方案，如圖所示：

BE

(1)把直角尺的頂點E放在兩棟建筑物之間的地面上，調整位置使直角尺的兩邊血，硒所在直線分別

經過建筑物外立面的的頂部A和C；

(2)用皮尺度量BE和。E的長度；

(3)通過計算得到建筑物的高度.若示意圖中點A,B,C,D,E,M,N均在同一平面內.測得

BE=9m,DE=36m.請求出這兩棟建筑的高度.

【答案】18m

【分析】本題考查了銳角三角函數的應用，熟練掌握知識點是解決本題的關鍵.

由“等角的余角相等”得到=WtanZBAE=tanZDEC,代入求解即可.

【詳解】如圖，由題意得，ABLBD,CD1BD,

.../BEA+/BAE=90°,/ECD+/DEC=9。。，

AMEN=90°,

/BEA+/DEC=90。,

/./BAE=/DEC,

tan/BAE=tan/DEC,

口nBECD

即——=——，

ABED

9x

設48=CO=x,可得，一=77,

尤36

解得x=18,

經檢驗，x=18是原方程的解，

答：兩棟樓的高度為18m.

J【易錯必刷十四求證同角三角函數關系式】（共3小題）

1.（23-24九年級上?上海靜安?課后作業）/ABC中，ZC=9O°,CD1AB于D,下列比值中不等于tan/的是

ABC-CDBDAC

AB.----C.----D.——

-就ADCDAB

【答案】D

【分析】根據題意，畫出圖形，根據正切的定義和同角的正切值相同即可得出結論.

【詳解】解：如下圖所示

,故A不符合題意;

在Rt^ZCZ）中，tan24=---,故B不符合題意;

AD

vzA+zACD=90°,zBCD+zACD=90°

.-.ZA=ZBCD

BD

tanA=tanzBCD=^^,故C不符合題意；

AT

tan4=去，故D符合題意.

AB

故選D.

【點睛】此題考查的是正切，掌握正切的定義和同角的正切值相同是解決此題的關鍵.

2.（23-24九年級下?全國?單元測試）已知：sinl50-cosl50=|sin30°,sin200-COS200=1sin400,

sin300-cos300=|sin600,請你根據上式寫出你發現的規