第06講正方形的性質和判定

題型歸納________________________________________

【題型1利用正方形的性質求解】

【題型2添一個條件使四邊形是正方形】

【題型3證明四邊形是正方形】

【題型4中點四邊形】

【題型5正方形的判定與性質綜合】

基礎知識,知識梳理理清教材

考點1：正方形的概念與性質

正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。

※正方形的性質：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質。（正方形是

軸對稱圖形，有兩條對稱軸）

題型分類深度剖析,）

【題型1利用正方形的性質求解】

【典例1］（23-24八年級下?山東德州?期中）

1.如圖，在正方形"BCD的外側，作等邊三角形如用，則4ED的度數為（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【變式1-1］（23-24九年級下?遼寧鞍山?期中）

2.如圖，正方形NBCD的頂點A、8分別落在直角坐標系的x軸、了軸上,

4（0,3）、8（1。則點C的坐標為（）

試卷第1頁，共12頁

A.（2,4）B.（4,2）C.（1,4）D.（4,1）

【變式1-2]（24-25九年級上?陜西榆林?期末）

3.如圖，點。為正方形428對角線/C的中點，連接并延長至點￡,連接

AE,CE.若為等邊三角形，AB=2,則的長度為（）

E

A.V6B.四C.V6-V2D.2

2

【變式1-3]（23-24八年級下?河北滄州?階段練習）

4.如圖，點E在正方形內，滿足N/E8=90。，AE=6,BE=8,則陰影部

基礎知識,知識梳理理清教材

考點2：正方形的判定

※正方形常用的判定：

有一個內角是直角的菱形是正方形；

鄰邊相等的矩形是正方形；

試卷第2頁，共12頁

對角線相等的菱形是正方形；

對角線互相垂直的矩形是正方形。

注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關系（如圖3所示）:

圖3

題型分類深度剖析,）

【題型2添一個條件使四邊形是正方形】

【典例2】（24-25九年級上?全國?期中）

5.如果順次連接四邊形的各邊中點得到的四邊形是正方形，那么原來四邊形的

對角線一定滿足的條件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直且相等

【變式2-1]（24-25九年級上?廣東佛山?階段練習）

6.如圖在中，NACB=90。,的垂直平分線跖交2C于點。，交于點

E,且=3尸，為了使四邊形3ECF是正方形.可以添加一個條件（）

A.CE=CFB.DE=DFC.乙4=45。D.E為的中點

【變式2-2]（24-25九年級上?山東濟南?階段練習）

7.如圖，在矩形/BCD中，對角線NC、3。交于點。，添加下列一個條件，能使

矩形成為正方形的是（）

試卷第3頁，共12頁

A.BD=ACB.DC=ADC.ZAOB=60°D.OD=CD

【變式2-3]（24-25九年級上?廣東深圳?期中）

8.如圖，在中，N/=90。，點。，E,尸分別是邊8C，CA,的中點，

要使四邊形4FOE為正方形，不添加輔助線，可以添加的條件是（添加一個

條件即可）.

【題型3證明四邊形是正方形】

【典例3】（24-25九年級上?陜西西安?階段練習）

9.如圖，四邊形8CE。是平行四邊形，。為邊上的中點，AC=BC,連接

AE,CE.

（1）求證：四邊形WCE是矩形.

⑵若判斷四邊形"CE的形狀，并說明理由.

【變式3-1]（24-25九年級上?陜西咸陽?階段練習）

10.如圖，在正方形中，AOX.BD,垂足為。，過點。分別作8c于點

E,。尸，CD于點尸，求證：四邊形OEC尸是正方形.

試卷第4頁，共12頁

【變式3-2](2024?湖北武漢?模擬預測)

11.如圖，在平行四邊形”88中，對角線/C與8。相交于點￡,ABAC=90°,

點G為4。的中點，連接CG,CG的延長線交切的延長線于點R連接。尸.

⑴求證：AB=AF-

(2)請增加一個條件，使得四邊形/CDb為正方形.(不需要說明理由)

【變式3-31(24-25九年級上?遼寧盤錦?開學考試)

12.如圖，已知平行四邊形中，對角線NC、2。交于點。，￡是/C延長線

上一點，若BE=DE.

(1)求證：四邊形"CO是菱形.

(2)若NBDC=ZACD,判斷四邊形/BCD的形狀，并說明理由.

【題型4中點四邊形】

【典例4】(22-23八年級下?江蘇泰州?階段練習)

13.如圖，在四邊形中，E、E分別是40、8c的中點，G、H分別是3D、

/C的中點.

⑴請判斷四邊形EGW的形狀，并說明理由.

(2)四邊形滿足什么條件時，四邊形EG/0是菱形，請說明理由.

(3)四邊形相。滿足什么條件時，四邊形EGF”是矩形，請說明理由.

試卷第5頁，共12頁

【變式4-1]（24-25九年級上?廣東佛山?期中）

14.如圖，點E,F,G,a分別為四邊形/BCD的邊BC,CD,。的中點,

下列說法中不正確的是（）

A.四邊形EPG〃一定是平行四邊形

B.若AC=BD,則四邊形斯G”是菱形

C.^ACIBD,則四邊形EPG"是矩形

D.若四邊形28。是矩形，則四邊形斯G”是正方形

【變式4-2]（23-24八年級下?浙江溫州?階段練習）

15.如圖，在四邊形/BCD中，對角線NC,8。互相垂直，點E、F、G、X分別是

邊盟2C,Q）,A4的中點，依次連接這四個中點得到四邊形斯GH.

（1）求證：四邊形EFG"是矩形；

（2）若/C=9,2。=7,求四邊形EFG8的周長.

【變式4-3]（23-24八年級下?湖北武漢?期末）

16.已知四邊形N2C。，

(1)(2)

試卷第6頁，共12頁

(1)如圖(1),^AC=BD,點￡、F、G、H分別為43、BC、CD、04的中點,

判斷四邊形即GH的形狀，并說明理由.

(2)如圖(2),若于。，AB=4,8=6,求BC2+N￡>2的值.

【題型5正方形的判定與性質綜合】

【典例5](23-24八年級下?全國?單元測試)

17.如圖，在正方形/3CD中，射線NE與邊8交于點E,將射線NE繞點Z順時

針旋轉，與C3的延長線交于點RBF=DE,連接也.

(1)求證：是等腰直角三角形；

(2)若四邊形/EC尸的面積為36,DE=6,直接寫出NE的長.

【變式5-1](23-24八年級下?吉林松原?階段練習)

18.在以“矩形的折疊”為主題的數學活動課上，某位同學進行了如下操作：

第一步：將矩形紙片的一角，利用圖①所示的方法折疊，使點3落在4)上的點尸

處，得到折痕連接斯，然后把紙片展平；

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點尸處，得到折痕如

圖②.

根據以上操作，解答下列各題.

(1)求證：四邊形4砧尸是正方形；

(2)若45=8,AD=n,求線段的長.

【變式5-2](23-24九年級上?陜西榆林?階段練習)

19.如圖，在矩形中，/胡。的平分線交于點E,EF4D于點、F,DGJLAE

試卷第7頁，共12頁

于點G,DG與EF交于■點、O.

(1)求證：四邊形/BE尸是正方形；

(2)若=求證：4B=AG；

⑶在(2)的條件下，已知/8=1,求。下的長.

【變式5-3](2023八年級下?江蘇?專題練習)

20.在ZUBC中，NACB=90°,N4BC、/A4c的平分線相交于點。，DE1BC,

DF1AC,垂足為E、F.

(1)求證：四邊形OEC尸為正方形；

⑵若3c=8,AC=6,求正方形DEC尸的面積.

、幅達標測試，

(24-25九年級上?廣東清遠?期末)

21.如圖，在正方形/8C。中，等邊三角形NE尸的頂點E,尸分別在邊3C和上,

則NCEF=()

A.75°B.60°C.50°D.45°

試卷第8頁，共12頁

（24-25八年級上?山東青島?期末）

22.如圖，正方形點E為邊上一點，4E=3,BE=1.NEDC的平分線

交2C于點尸，點G是DE的中點，則GP的長為（）

（24-25八年級下?山東聊城?開學考試）

23.順次連接一個四邊形四邊的中點得到的四邊形是矩形，則原四邊形一定是

（）

A.矩形B.平行四邊形

C.對角線互相垂直的四邊形D.任意四邊形

（24-25八年級下?山東聊城?開學考試）

24.在四邊形NBCD中，點。是對角線的交點.在下列條件中，能判定這個四邊

形為正方形的是（）.

A.AC=BD,AB//CD

B.AD//BC,ZA=NC

C.OA=OB=OC=OD,AC1BD

D.OA=OC,OB=OD,AB=BC

（2025?河北秦皇島?一模）

25.小明用四根長度相同的木條首尾相接制作了能夠活動的學具，他先活動學具

成為圖1所示形狀，并測得乙8=60。，接著活動學具成為圖2形狀所示，并測得

乙48c=90。，若圖2中對角線8。=10/cm,則圖1中對角線8。的長為（）

A.10cmB.loCcmC.10V3cmD.10V6cm

試卷第9頁，共12頁

（24-25九年級上?山西運城?期中）

26.如圖，在正方形中，P是對角線8。上一動點，過點尸分別作尸

于點瓦小_LC。于點尸，連接NP,放.在點P運動的過程中，下列結論不成立的

是（）

A.AP=EFB.AP1EF

C.NPFE=NBAPD.NPEF=NABP

（24-25九年級下?河北保定?開學考試）

27.小明用四根長度相同的木條制作了能夠活動的菱形學具，他先活動學具成為

圖1所示的菱形，并測得/2=60。，對角線/C=8cm,接著活動學具成為圖2所示

的正方形，則圖2中正方形對角線/C的長為cm.

（23-24八年級下?重慶?期末）

28.如圖，正方形E,尸分別是加，8C的中點，AF,OE相交于點G,

連接CG,若｛8=2,則CG的長為.

（24-25九年級上?山西晉中?期末）

29.如圖，在正方形延。中，E是對角線2。上的一點，且8E="，連接CE.若

AB=2,則△C8E的面積為.

試卷第10頁，共12頁

(24-25九年級下?福建福州?開學考試)

30.如圖，在中，ZACB=90°,48=10,BC=6.

(1)尺規作圖，求作正方形8所，使。，E,尸分別在/C,AB,BC±.

(2)求(1)的條件下，求正方形CDE尸的邊長.

(24-25八年級上?新疆喀什?期末)

31.正方形中，E為上一點，尸為C5延伸線上一點，且/回吆=45。.

(1)求證：AF=CE；

(2)你認為/尸與CE有怎樣的位置關系？說明原因.

(24-25九年級上?湖南株洲?期末)

32.如圖，在正方形N2C。的外側，作等邊角形血汨，連接BE、CE.

(1)求證：4BAE會4CDE；

(2)求乙的度數.

(24-25九年級上?江西吉安?期末)

試卷第11頁，共12頁

33.【課本再現】

(1)如圖1,正方形N8CD的對角線相交于點。，點。又是正方形N￡G。的一個

頂點，而且這兩個正方形的邊長都為1,四邊形。匹尸為兩個正方形重疊部分，

正方形44C0可繞點。轉動.則下列結論正確的是(填序號即可)

①△4E02BF0；②)OE=OF；③四邊形。￡8尸的面積總等于;；

④連接EF，總有AE2+CF2=EF2.

【類比遷移】

(2)如圖2,矩形的中心。是矩形4耳。。的一個頂點，4。與邊相交于

點E,G。與邊C8相交于點尸，連接EF,矩形44G。可繞著點。旋轉，猜想

AE,CF,￡尸之間的數量關系，并進行證明.

44N----7\D

BFBTFC

c,G

圖1圖2

試卷第12頁，共12頁

1.c

【分析】本題考查了正方形的性質，等邊三角形的性質，三角形的內角和定理，等腰三角形

的性質和判定的應用，由等邊三角形的性質可得ND4E=ZAED=60°,進而可得N3/E=150。,

又因為=結合等腰三角形的性質，可得NN班的大小，進而可求出ZB即的度數.

【詳解】解：???△4DE是等邊三角形，

:./DAE=zAED=60AD=AE,

???四邊形是正方形，

:./BAD=90°,AD=AB,

.?./民4￡=90。+60。=150。，AE=AB,

.?^^￡5=1(180°-150°)=15°,

ZBED=60°-15°=45°.

故選：C.

2.D

【分析】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定和性質，添加恰當的輔助線構造全等

三角形是解題的關鍵.

由“A4S”可證A/OBGABEC,可得O/=8E=3,OB=CE=1,可求解.

【詳解】解：過點C作軸于E,

:4(0,3),5(1,0),

OA—3,OB=1,

???四邊形48cD是正方形，

AB=BC,AABC=9Q0,

："ABO+NCBE=9G。,

-ZABO+ZBAO=90°,

：?/CBE=/BAO,

答案第1頁，共27頁

???NAOB=NCEB=90。,

：oAOB%BEC（AAS）,

；.BE=OA=3,CE=OB=\,

OE=3+1=4,

故選：D.

3.A

【分析】此題考查了正方形的性質，勾股定理，等邊三角形的性質.由四邊形是正方

形，得4B=BC=2,ZABC=90°,OA=OC=^AC,利用勾股定理求出NC的長度，再利

用等邊三角形的性質，勾股定理，線段和差即可解決問題.

【詳解】解：???四邊形是正方形，

AB=BC=2,ZABC=90°,OA=OC=-AC,

2

???由勾股定理得：AC=yjAB2+BC2=V8=2>/2>

???△/CE為等邊三角形，

???AC=AE=EC=2日

Ar1—

,-.AO=OC=OD=——=V2,OELAC,

2

???N/OE=90。，

???由勾股定理得：OE=[AE2-AO?=在，

故選：A.

4.C

【分析】本題主要考查了勾股定理的應用，正方形的性質，熟練掌握勾股定理是解題的關

鍵.計算出正方形與三角形的面積即可得到答案.

【詳解】解：???/4石5=90。，AE=6,BE=8,

AB=jAE2+BE2=A/62+82=10,

/.Sdp*=—2xA2ExBE=—x6x8=24,

S陰-S正方形NBC。-S“EB=10x10-24=76.

答案第2頁，共27頁

故選c.

5.D

【分析】此題主要考查了正方形的性質定理，中位線定理，熟練應用中位線定理和正方形的

性質是解題的關鍵.

根據題意畫圖，利用中位線定理得即〃尸G〃/C,EF//BD//HG,EF=^BD=GH,

FG=；AC=FG,然后根據正方形的性質得四個角是直角，四條邊相等，然后，根據平行

線的性質即可解答.

【詳解】根據題意畫出圖形如下：

???E、F、G、〃分別是四邊形/BCD各邊/2、BC、CD、4D的中點，

：.EH//FG//AC,EF//BD//HG,

：.EF=-BD=GH,FG=-AC=FG,

22

?.?四邊形EbG"是正方形，

EF=FG=GH=HE,ZEFG=ZFGH=ZGHE=ZFEH=90°,

；.AC=BD,AC1BD,

故選：D.

6.C

【分析】根據菱形的判定定理，正方形的判定定理解答即可.

本題考查了菱形的判定，正方形的判定，熟練掌握判定定理是解題的關鍵.

【詳解】解：?.?8C的垂直平分線跖交于點。，交4B于點E,

BD=DC,EFIBC,EB=EC,FB=FC,

■■CE=CF,

BE=BF=EC=FC,

.??四邊形8EC尸是菱形，

故A不符合題意；

答案第3頁，共27頁

當添加尸時，則四邊形BECP是平行四邊形，

BE=BF,

二四邊形3EC「是菱形，

故B不符合題意；

當乙4=45。時,

NACB=90°,

；.NABC=ZECB=45°,

ZBEC=90°,

二菱形3ECF是正方形，

故C符合題意；

當￡為48的中點時，得到BE=CE

無法判定菱形8ECF是正方形，

故D不符合題意；

故選：C.

7.B

【分析】根據矩形的性質及正方形的判定來添加合適的條件.本題考查了矩形的性質，正方

形的判定的應用，解題的關鍵是能熟記正方形的判定定理.

【詳解】解：要使矩形成為正方形，可根據正方形的判定定理解答：

（1）有一組鄰邊相等的矩形是正方形，

（2）對角線互相垂直的矩形是正方形.

，添加。C=/。，能使矩形N8CZ）成為正方形.

故選：B.

8.AB=AC（答案不唯一）

【分析】此題重點考查正方形的判定、三角形中位線定理等知識，推導出四邊形NFDE是矩

形是解題的關鍵.由中位線定理得到。E〃//，DF//AE,DE：AB,DF=\AC,結

合乙4=90°得四邊形4FDE是矩形，當尸時，四邊形/EDE是正方形，據此可添加

條件ZB=/C.

【詳解】解：,點，E,尸分別是邊8C,CA,的中點，

DE//AB,^.DE=-AB,DF//AC,^.DF=-AC,

22

答案第4頁，共27頁

DE//AF,DF//AE,

，四邊形/EDE是平行四邊形，

NN=90°,

四邊形/EDE是矩形，

當DE=。尸時，四邊形AFDE是正方形，

添加的條件可以是48=/C,

故答案為：AB=AC.（答案不唯一）

9.（1）見解析

⑵四邊形/DCE是正方形，理由見解析

【分析】本題考查了平行四邊形的性質，矩形的判定，正方形的判定，直角三角形斜邊上的

中線等于斜邊的一半，熟知相關概念是解題的關鍵.

（1）根據等腰三角形的性質，可得/D_LCD,再利用平行四邊的性質得到〃CE,且

=證明四邊形/DCE是平行四邊形，即可解答；

（2）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到=解答.

【詳解】（1）證明：,??四邊形3CED是平行四邊形，

:.BD=CE,BD//CE.

?.?。為邊上的中點，

/.AD=BD,

/.AD=CE,AD//CE,

四邊形/DCE是平行四邊形.

???D為邊上的中點，AC=BC,

CDAB,

.1/ADC=90°,

四邊形4JCE是矩形.

（2）解：四邊形/OCE是正方形，

理由：：AC1BC,AC=BC,

.?.A/C8是等腰直角三角形.

為邊48上的中點.

CD=AD.

由（1）,可知四邊形/DCE是矩形，

答案第5頁，共27頁

二四邊形4DCE是正方形.

10.見解析

【分析】本題主要考查正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，根據正方形的性質

可得40=48,ZC=90°,ACDB=ACBD=45°,再證明A。。尸會AO8E(AAS),可得

OF=OE,四邊形OECF是矩形，再根據鄰邊相等的矩形是正方形即可求證.

【詳解】證明：???四邊形/BCD是正方形，

AD=AB,ZC=90°,ZCDB=ZCBD=45°,

■：AOIBD,

DO=BO,

?/OF1CD,OEIBC,

ZOFD=ZOEB=NOFC=ZOEC=90°,

:.AODF知OBE(AAS),

OF=OE,

■：NOFC=ZOEC=ZC=90°,

四邊形O￡C尸是矩形，

又?:AD=AB,

四邊形OEC尸是正方形.

11.(1)見解析

⑵AB=AC

【分析】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質、正方形的

判定方法.

(1)利用平行四邊形的性質以及全等三角形的性質解決問題即可；

(2)證明四邊形4co尸是平行四邊形，進而證得=/尸，根據正方形的判定即可得到結

論.

【詳解】(1)證明：,??四邊形/BCD是平行四邊形，

AB=CD,AB//CD,

ZAFG=NGCD,

???點G是4D的中點，

AG=DG,

答案第6頁，共27頁

在44G尸和ADGC中,

ZAGF=ZDGC

<NAFG=NDCG,

AG=DG

.?.△/GF絲ADGC（AAS）,

AF=CD,

AB=AF；

（2）解：當=時，四邊形/CD尸是正方形.

證明：由（1）知，AF=CD,

又；AB//CD,

：.AF//CD,

四邊形NCDR是平行四邊形，

由（1）知，AB=AF,

AB=AC,

AF=AC,

四邊形/CD尸是菱形，

ABAC=90°,

ZCAE=90°,

四邊形/CD尸是正方形.

故答案為：AB=AC.

12.⑴見解析

（2）四邊形/2CD是正方形，理由見解析

【分析】本題考查了菱形的判定與性質、正方形的判定、平行四邊形的性質、等腰三角形的

判定等知識，熟練掌握平行四邊形的性質，證明四邊形為菱形是解題的關鍵.

（1）由平行四邊形的性質可得80=。。，再由等腰三角形的性質可證8。_L/C,即可得出

結論；

（2）由（1）知，四邊形/BCD是菱形得到。4=OC,OD=OB,然后證明出OC=。。，

得至！=則平行四邊形N8CD是正方形.

【詳解】（1）證明：???四邊形N8CD是平行四邊形，

BO=DO,

答案第7頁，共27頁

BE=DE,

；.BDLAC,

???平行四邊形/5C。是菱形；

(2)解：四邊形45C。是正方形，理由如下：

由(1)知，四邊形是菱形，

：.OA=OC,OD=OB

???/BDC=/ACD,

：.OC=OD,

AC=BD,

???四邊形45CD是正方形.

13.(1)四邊形EG五〃是平行四邊形，理由見解析

(2)/8=CD,理由見解析

(^ABICD,理由見解析

【分析】(1)根據三角形的中位線定理，進行判斷即可；

(2)根據鄰邊相等的平行四邊形是菱形，進行判斷即可；

(3)根據有一個角是直角的平行四邊形是矩形，進行判斷即可.

【詳解】(1)解：???￡、產分別是8C的中點，G、H分別是BD、NC的中點，

EG//AB,HF//AB,EH//CD,GF//CD,EG=-AB,HF=-AB,EH=-CD,GF=-CD,

2222

.-.EG//HF,EH//GF,

???四邊形EGFH是平行四邊形；

(2)當四邊形/BCD滿足/8=C。時，四邊形EG"/是菱形，理由如下：

EG=—AB,EH=—CD,AB=CD,

22

EG=EH,

???平行四邊形EG尸H是菱形；

(3)當四邊形48C。滿足時，四邊形EG五〃是矩形，理由如下：

?/ABLCD,EG//AB,EH//CD,

：.EG1EH,

ZGEH=90°,

四邊形EGFH是矩形.

答案第8頁，共27頁

【點睛】本題考查中點四邊形.解題的關鍵是掌握三角形的中位線定理，以及菱形和矩形的

判定定理.

14.D

【分析】本題考查了中點四邊形，中位線的性質，特殊四邊形的判定，根據平行四邊形，菱

形，矩形，正方形的判定定理逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】解：；點E,F,G,b分別為四邊形A8CD的邊48,BC,CD,￡%的中點，

:.EF、FG、G4分別為A/8C、ABCD、ANDC的中位線，

:.EF=-AC,EF//AC,FG=-BD,FG//BD,GH=-AC,GH//AC,

222

EF=GH,EF//GH,

四邊形EFG”為平行四邊形，

當4c=AD時，EF=FG,則平行四邊形EFG”為菱形，

當時，EFLFG,則平行四邊形EFGH是矩形，

若四邊形4BCD是矩形，則四邊形E/G〃是菱形，不一定是正方形，

故不正確的選項是D,

故選：D.

15.⑴見解析

⑵16

【分析】本題考查了中點四邊形，三角形中位線的性質，矩形的性質與判定.

(1)設GP,/C交于點K,/。,5。交于點。，先根據三角形的中位線定理，得到

HG=EF,HG//EF,HE=GF,HE//GF,證明四邊形EFG”是平行四邊形，再根據

AC1BD可得ZAKF=ZEFG=ZFGH=ZEHG=90°,即可證明四邊形EFGH是矩形；

(2)由(1)得HG=EF=gAC,HE=GF=gBD,結合4C=9,KD=7,即可求解.

【詳解】(1)證明：如圖，設G￡/C交于點K,AC,BD交于點O,

答案第9頁，共27頁

點、E、F、G、〃分別是邊曲8Gs刃的中點,

.［即是△4BC的中位線，即￡尸=工/C,砂〃NC,

2

同理，是△NDC的中位線，^HG=^AC,HG//AC,

G尸是△BCD的中位線，即GF=；AD,G尸〃AD,

總是的中位線，即HE=gBD,HE〃BD,

HG=EF,HG//EF,HE=GF,HE//GF,

四邊形EFGX是平行四邊形，

???AC1BD,

ZAOB=ZAKF=90°,

NAKF=ZEFG=NFGH=4EHG=90°,

四邊形EFGH是矩形；

（2）解:由（1）知四邊形EFG"是矩形，

HG=EF=-AC,HE=GF=-BD,

22

???AC=9,BD=1,

1917

HG=EF=-AC=-,HE=GF=-BD=-,

2222

二四邊形的周長為：HG+EF+HE+GF=16.

16.（1）四邊形EFGH是菱形，證明見解析

⑵52

【分析】本題考查的是中點四邊形、勾股定理、三角形中位線定理，熟記四條邊相等的四邊

形是菱形是解題的關鍵.

答案第10頁，共27頁

(1)根據三角形中位線定理得到斯=g/c,FG=；BD,GH=^AC,EH=^BD,得到

EF=FG=GH=EH,根據菱形的判定定理證明；

(2)根據勾股定理計算即可.

【詳解】(1)解：四邊形斯G”是菱形，

理由如下：,點￡、F、G、//分別為NB、BC、CD、W的中點，

EF>FG、GH、EH分別為MBC、八BCD、△/DC、的中位線，

:.EF^-AC,FG=-BD,GH=-AC,EH=-BD,

2222

AC=BD,

EF=FG=GH=EH,

四邊形EFGH是菱形；

(2)解：???AC1BD,

ZAOB=ZBOC=ZCOD=ZAOD=90°,

在RtA/Q8中，AB=4,

由勾股定理得：OA2+OB2=AB2=16,

在RtvCOZ)中，CD=6,

由勾股定理得：OC2+OD2=CD2=36,

BC2+AD2=OB2+OC2+OA2+OD2=16+36=52.

17.(1)見解析

(2)672

【分析】本題考查了正方形的性質和全等的性質和判定，還涉及到勾股定理等知識，解決本

題的關鍵是能熟練運用相關的幾何定理.

(1)由四邊形4BCD是正方形易得NAB尸=/。，AB=AD,再根據班'可證得

△48尸會△4DE,即可導得NK4E=90。，進而證得△/斯是等腰直角三角形；

(2)由(1)得44BF2AADE,進而得到正方形的面積為36,計算出4。=6,再

利用勾股定理計算出AE的長度.

【詳解】(1)證明：,??四邊形428是正方形，

AAB=AD,NABC=ZD=ABAD=90°,

ZABF=180°-ZABC=90°,

???NABF=ND,

答案第11頁，共27頁

vBF=DE,

在/和"DE中,

AB=AD

<ZADE=ZABF

DE=BF

,“ABFRADE（SAS）,

AF=AE,/FAB=/EAD.

/.ZFAB+/BAE=/LEAD+NBAE=90°,

，/\AEF是等腰直線三角形；

（2）解：由（1）得LABF%AADE,則明，

v四邊形/ECF的面積為36,

==

而S^ECFS/\ABF+SABCE^AADE+ABCE=ABCD，

???正方形ABCD的面積為36,

AD=6,

在RMADE中，AE2=AD2+DE2,

■-AE=V62+62=6五?

18.（1）詳見解析

Q）BM=2

【分析】本題考查了折疊的性質，矩形的性質，勾股定理，正方形的判定和性質；

（1）根據矩形的性質和折疊的性質可得48=/尸，BE=EF,NBAE=NFAE=45。,從而

得到ZDAE=ZAEB=ZBAE,進而得到AB=BE=EF=AF,繼而得到四邊形ABEF是菱形，

即可求證；

（2）根據矩形的性質和折疊的性質可得尸加=。1/=8（7-8/=12-8河.在RtZ\FA"中，利

用勾股定理建立方程即可求得的值，從而求解.

【詳解】（1）證明：???四邊形/8C。是矩形，

ABAD=NABC=90°,

???將矩形紙片/BCD折疊，使點8落在上的點尸處，

AB=AF,BE=EF,NBAE=NFAE=45°,

???AD\\BC,

答案第12頁，共27頁

/./DAE=ZAEB=ZBAE,

/.AB=BE,

AB=BE=EF=AF,

四邊形/BE尸是菱形，

???NB=90°,

菱形/B跖是正方形.

(2)解：???四邊形ABCD和四邊形CDFE都是矩形,

EF=AB=S,BC=AD=12,EC=FD=AD-AF=U-S=4,

:.ME=BC-BM-EC=12-BM-4=8-BM,

■：AMNF是由AMNC折疊得到的，

:.FM=CM=BC-BM=12-BM.

在中，由勾股定理，得：ME2+EF2=FM2>

gP(8-W)2+82=(12-W)2,

解得2M=2.

19.(1)見解析

(2)見解析

(3)V2-1

【分析】(1)根據角平分線的性質證得￡F=仍，根據正方形的判定即可證得結論；

(2)根據三角形全等的判定證得△NG。絲△NBE(AAS),由全等三角形的性質即可得到結

論；

(3)根據△/GD也ZX/BE可得。G=4B=/尸=/G=l,即可求得=

DF=y/2-l>再由^FDO=ZFOD=45°OF=DF=42-1.

【詳解】(1)?.?矩形48cD,

■.ZBAF=ZABE=90°.

?-?EF1AD,

.??四邊形ABE尸是矩形.

?；AE平分NB4D,

*'?EF=EB,

二四邊形4BE尸是正方形；

答案第13頁，共27頁

(2)-；AE平分NBAD,

：.ZDAG=ZBAE.

在△NGZ>和中，

ADAG=ABAE

<4AGD=ZABE,

AD=AE

AAGDg△T!5￡'(AAS),

.-.AB=AG；

(3)由(1)知，四邊形/BE尸是正方形；

???AB=AF=\.

由(2)知△/GD也ZX/BE,

：.DG=AB=AF=AG=1,

AD=AE=Vl2+12=V2，

?：EF-LAD,ZDAG=ZADG=45°,

NFDO=ZFOD=45°,

OF=DF=42-1.

【點睛】】本題主要考查了矩形的性質，正方形的性質和判定，等腰直角三角形性質和判定,

角平分線的性質，熟悉正方形的性質與判定是解題的關鍵是解決問題的關鍵.

20.(1)見解析

⑵4

【分析】(1)根據N/C8=9O。，DE1BC,。/工/C可得四邊形DECF是矩形，結合角

平分線性質即可得到DF=DE,即可得到證明；

(2)根據勾股定求出根據等積法求出。尸，即可得到答案；

【詳解】(1)證明：過。作。N1/3,連接CD,

答案第14頁，共27頁

B

-.■ZACB=90°,DEIBC,DF1AC,

，四邊形DECF是矩形，

?:N4BC、N8/C的平分線相交于點。，DEA.BC,DF1AC,DN1AB,

：.DF=DN,DE=DN,

DF=DE,

???四邊形DEC尸是正方形；

(2)解：v5C=8,AC=6,

AB—+8。=10，

-.-S=-xBC-DE+-xAC-DF+-xABDN,

“BC222

...1x6x8=1x(6+8+10)xZ)F,

???DF=2,

S正方形=DF2=4；

【點睛】本題考查角平分線的性質及正方形的判定與性質，解題的關鍵是作出輔助線及利用

等積法求出正方形的邊長.

21.D

【分析】根據題意直接證明mRt44D尸(HL),進而得CE=C尸，根據等腰直角三

角形的性質即可求解.

【詳解】解：???四邊形/BCD是正方形，

AB=AD=BC=CD,ZB=ND=ZC=90°,

???△/斯是等邊三角形，

AE=AF,

：.VX^xABE=RtA^F(HL),

答案第15頁，共27頁

*'?BE=DF,

CE=CF,

.?.△CEF是等腰直角三角形，

:.NCEF=45°,

故選：D.

22.B

【分析】延長/尸交的延長線于點打，根據正方形的性質得=

ZA=ZABC=ZC=90°,AB//CD,則。￡=5,根據角平分線的定義及平行線的性質得

/CDF=/EDF=/H,則EH=DE=5,進而得CD=8〃=4,證明AC￡>b和AAF/斤全

等得CF=BE,則GF是硒的中位線，然后根據三角形中位線定理可得出GF的長.

【詳解】解:延長。尸交48的延長線于點b,如圖所示：

AB=AE+BE=4,

???四邊形力BCD為正方形，

AD=AB=BC=CD=4,N4=N4BC=NC=90。,AB//CD.

??.在RL4D￡中，由勾股定理得:DE=」AD?+AE?=5，

,：DF平分NECD.

???/CDF=NEDF

vAB\\CD.

???NCDF=/H,NC=NCBH=90。

???ZEDF=NH

:,EH=DE=5.

：.BH=EH—BE=5—1=4,

??.CD=BH=4.

在尸和ABHF中

答案第16頁，共27頁

NC=NCBH=9。。

CD=BH

NCDF=NH

.MCDF%BHF(ASA),

:.CF=BF.

???點G是。E的中點，

:.GF是?EH的中位線，

：.GF==EH=25.

2

故選:B.

【點睛】此題主要考查了正方形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，理解正方形

的性質，熟練掌握全等三角形的判定和性質，三角形的中位線定理是解決問題關鍵.

23.C

【分析】本題主要考查了矩形的性質和三角形中位線定理，解題的關鍵是構造三角形利用三

角形的中位線定理解答.首先根據三角形中位線定理知：所得四邊形的對邊都平行且相等,

那么其必為平行四邊形，若所得四邊形是矩形，那么鄰邊互相垂直，故原四邊形的對角線必

互相垂直，即可解題.

【詳解】解：如圖，四邊形斯G8是矩形，且E、F、G、〃分別是48、BC、CD、AD

的中點，

根據中位線定理可得GF||DB\\HE,HG\\AC\\EF,

???四邊形跖G”是矩形,

HGLGF,

DBLAC,

故選：C.

24.C

答案第17頁，共27頁

【分析】本題考查的知識點是正方形的判定，解題關鍵是熟練掌握正方形的判定方法.

根據正方形的判定:對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形進行分析從而得到最后的

答案.

【詳解】解：A選項，不能，一組對邊平行，對角線相等，無法判斷是什么四邊形，故A

選項錯誤；

B選項，不能，只能判定為平行四邊形，B選項錯誤；

C選項，對角線相等而且平分的四邊形是矩形，對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故四

邊形可判定為正方形，C選項正確；

D選項，不能，只能判定為菱形，D選項錯誤.

故選：C.

25.C

【分析】根據勾股定理即可求得正方形的邊長，根據菱形的性質和勾股定理即可求得圖1

中BD的長.

【詳解】解：由題意可知，AB=BC=CD=DA,

二四邊形A8CZ）是菱形（圖1）,

當a1BC=9O。時，四邊形ABCL?是正方形（圖2）,

.?.圖2中，4=90。,

.,.在RtAABD中，AB2+AD2=BD2,

也

AB=AD=—BD=10cm,

2

AC1BD,OB=OD,OA=OC,N4BO=30。,

OA=AB=5cm,OB=CoA=5^cxn,

BD=2OB=1oV3cm;

故選：C.

答案第18頁，共27頁

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質、正方形的性質，勾股定理以及含30。的直角三角形

的性質，利用勾股定理得出正方形的邊長是關鍵.

26.D

【分析】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定和性質，延長尸尸交于點N,延長

AP交EF于點、M,證明四邊形3NPE是正方形，四邊形CEPE是矩形，然后得到

△ANP為FPE,即可判斷A、C選項；然后根據等量代換得到/P九r=//*=90。，判斷B

選項；然后利用正方形的性質判斷D解題即可.

【詳解】解：延長EP交48于點N,延長4P交E尸于點”，

?.?四邊形是正方形.

ZABP=ZCBD.

-.■NP±AB,PE1BC,

.??四邊形3NPE是正方形，四邊形CFPE是矩形，ZANP=ZEPF,

NP=EP,

AN=PF,

?:在AANP馬AFPE中,

NP=EP,ZANP=ZEPF,AN=PF,

:.AANP經xFPE,

.-.AP=EF,ZPFE=ZBAP,故A、C正確；

???&APN與AFPM中,NAPN=NFPM,ZNAP=ZPFM,

ZPMF=ZANP=90°,

???AP1EF,故B正確.

P是BD上任意一點，

???只有當尸EC尸是正方形時，ZPEF=ZABP=45°,故D不一定成立，

故選：D.

27.8-^2

【分析】本題考查菱形的性質、正方形的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握菱

答案第19頁，共27頁

形和正方形的性質.

如圖1,圖2中，連接/C.在圖1中，證△NBC是等邊三角形，得出

AB=BC=AC=8cm.在圖2中，由勾股定理求出NC即可.

圖1圖2

圖1中，???四邊形N3CD是菱形,

AB=BC,

???28=60。,

:必ABC是等邊三角形，

AB=BC=AC^Scm,

在圖2中，???四邊形4BCD是正方形，

=BQAB=90°,

??.A48c是等腰直角三角形，

AC=6AB=86cm,

故答案為：872.

28.2

【分析】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質，正確作出

輔助線是解題的關鍵.

延長/尸、DC相交于X,先證明ANEGA/B/，得到=//，從而得到

ZDGH=ZADE+ADAG=NBAF+ADAG=ABAD=90°,再證明“BF知HCF,得至I]

AB=HC=2,從而得到OC="C,即可由直角三角形的性質得出CG=；DH,即可求解.

【詳解】解：延長/尸、0c相交于X,如圖，

答案第20頁，共27頁

???正方形48C。，AB=2

DA=CD=BC=AB=2,/BAD=/B=/BCD=90°,

ZB=ZHCF=90°,

■■E,廠分別是48,BC的中點，

AE=—AB,BF=CF=—BC,

22

AE=BF,

在與△，射中，

DA=AB

<NDAE=ZB,

AE=BF

??.ABF(SAS),

???ZADE=ZBAF,

ZDGH=/ADE+ZDAG=Z.BAF+/DAG=ABAD=90°,

在445廠與尸中，

AB=ZHCF

<BF=CF,

/AFB=ZHFC

：oABF知HCF(ASA),

AB=HC

:,HC=CD=2,

故答案為：2.

答案第21頁，共27頁

29.V2

【分析】本題考查了正方形的性質，勾股定理，連接NC,交AD于點O,由正方形的性質

得到利用勾股定理求出/。=2近，進而求出。。=0,即可解答.

【詳解】解：如圖，連接"C,交AD于點。，

?.?四邊形A8CD是正方形，

.-.AB=BC=2,AC±BD,ZABC=90°,OC=-AC,

2

???AC=NAB2+BC。=2V2,ZBOC=90°，

???oc=也，

BE=AB,

BE—2,

??.△C8E的面積為：；BECC=；x2乂航=也

故答案為：＞/2?

30.⑴見解析

24

(2)正方形CDEP的邊長為了

【分析】本題主要考查了尺規作圖，角平分線的性質，勾股定理，正方形的判定和性質等知

識點，熟練掌握其性質并能正確作出圖形是解決此題的關鍵.

(1)利用角平線的性質可得。￡尸，利用垂線的性質可得NCDE=NC尸￡=90。=/。