專題02整式與因式分解的核心知識點精講

O復習目標。

1.能用累的性質解決簡單問題,會進行簡單的整式乘法與加法的混合運算.

2.能用平方差公式、完全平方公式進行簡單計算.

3.了解因式分解的意義及其與整式乘法之間的關系，會用提公因式法和公式法進行因式分解.

4.能選用恰當的方法進行相應的代數式的變形，并通過代數式的適當變形求代數式的值.

5.會列代數式表示簡單的數量關系；能解釋一些簡單代數式的實際背景或幾何意義，會求代數式的值，并能

根據代數式的值或特征推斷代數式反映的規律.

O考點植理O

考點1:代數式

定義：用運算符號把數或表示數的字母連結而成的式子，叫做代數式。單獨的一個數或字母也是代數式。

考點2：整式的相關概念

.定義：數與字母的乘積（單獨的T數或字母也是單項式）

-一系數：單項式中的數字因數

I次數：單項式中所有字母的指數的和

」定義：幾個單項式的和

工次數：多項式里次數最高項的次數

考點3：整式加減運算

L實質：合并同類項

2.合并同類項：同類項的系數相加，所得結果作為系數，字母和字母的指數不變。

3.去括號

(1)a+(b+c)=a+b+c；(2)a-(b+c)=a-b-c

考點4：塞運算

(1)塞的乘法運算

口訣：同底數幕相乘，底數不變，指數相加。即a-Xan=a<E>(aWO,m,n均為正整數，并且m>n)

(2)塞的乘方運算

口訣：幕的乘方，底數不變，指數相乘。即值")"=屋"(m,n都為正整數)

(3)積的乘方運算

口訣：等于將積的每個因式分別乘方，再把所得的幕相乘。即(q6"')"=q"zr(m,n為正整數)

(4)塞的除法運算

口訣：同底數幕相除，底數不變，指數相減。即aa+an=as>(aW0,m,n均為正整數，并且m>n)

考點5：整式乘法運算

(1)單項式乘單項式

單項式相乘，把系數、同底數鬲分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連

同它的指數作為積的一個因式.

(2)單項式乘多項式

單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加.

(3)多項式乘多項式

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項相乘，再把所得的積相加.

(4)乘法公式

①平方差公式：(a+b\a-b)=a2-b2

②完全平方公式：(a+Z))2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-lab+b~

(5)除法運算

①單項式的除法：把系數、同底數基分別相除，作為商的因式：對于只在被除式里含有的字母，則連同

它的指數作為商的一個因式.

②多項式除以單項式：先把這個多項式的每一項除以這個單項式，再把所得的商相加.

考點6：因式分解

1把一多項式化成幾個整式的積的形式

2.必須分解到每個多項式都不能再分解為止

公式：ma+mb+mc=m(a+b+c)

廣系數：取各項系數的最大公因數

提公因式法

公因式的確定一字母：取各項相同的字母或因式

基本方法指數：取各項相同字母的最低次數

a2-b2=(a+b)(a-b)

公式法a1+2ab+b2=(a+b)2

a2-lab+b2=(a-b)2

典例引領

【題型1:代數式及其求值】

【典例1]（2024?山東德州?中考真題）已知0和6是方程0+2024久-4=0的兩個解，則a?+2023a-b的值

為.

即時檢淵

1.（2024?西藏?中考真題）若x與了互為相反數，z的倒數是-3,則2久+2y-3z的值為（）

A.-9B.-1C.9D.1

2.（2024?江蘇徐州?中考真題）若nm=2,m-n-1,則代數式1n2的值是.

3.（2024?山東濟寧?中考真題）已知02-26+1=0,則嗯的值是

a+1

4.（2024?廣東廣州?中考真題）如圖，把R2,R3三個電阻串聯起來，線路力B上的電流為/,電壓為U,

則｛/=/&+//?2+樂3?當Ri=20.3,&=31-9,/?3=47.8,/=2.2時，U的值為.

3弓典例引領

【題型2：整式的相關概念及加減】

【典例2】（2024?江蘇常州?中考真題）計算2a2-的結果是（）

A.2B.a2C.3a2D.2a4

【典例3】（2024?河南?中考真題）請寫出2根的一個同類項：.

@力即時檢測

1.（2024?青海,中考真題）計算12比-20%的結果是（）

A.8xB.-8xC.-8D./

2.（2024?四川廣元?中考真題）如果單項式-/帆/與單項式2久4y2f的和仍是一個單項式，則在平面直角坐

標系中點（犯?1）在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2024?山東日照?中考真題）下列計算正確的是（）

A.（2a2）3=6a6B.a3—a2=aC.a3-a4-a12D.a4a3=a

4.（2024?四川德陽?中考真題）若一個多項式加上/+3久y-4,結果是3孫+2y2-5,則這個多項式為.

典例引領

【題型3：募運算】

【典例4】（2024?湖北?中考真題）2%?3/的值是（）

A.5x2B.5%3C.6%2D.6x3

33即時檢樓

1.（2023?吉林,中考真題）下列各式運算結果為d的是（）

A.a2+a3B.a2-a3C.（a2）3DK.a「1°-?a「2

2.（2024?江蘇蘇州?中考真題）計算：x3-%2=.

3.（2024?天津?中考真題）計算一+久6的結果為.

*3典例引領

【題型4：整式的乘除及化簡求值】

【典例5】（2024?山東濟寧?中考真題）先化簡，再求值：

1

x（y—4%）+（2%+y）（2x—y）,其中％=萬，y=2.

1.(2024?甘肅?中考真題)先化簡，再求值：[(2a+6)2—(2a+b)(2a—6)]+26,其中a=2,b=-1.

2.（2024?四川南充?中考真題）先化簡，再求值：（久+2）2—（/+3尤）+其中％=-2.

3.（2024?江蘇常州?中考真題）先化簡，再求值：（x+1）2-%（萬+1）,其中龍=打一1.

*3典例引領

【題型5：因式分解】

【典例5】（2024?山東東營?中考真題）因式分解：2久3—8x=.

0即時檢測

1.（2024?四川眉山?中考真題）分解因式：3a3-12a=.

2.（2024?廣西?中考真題）如果a+6=3,ab=l,那么/b+2a+a/的值為（）

A.0B.1C.4D.9

3.（2024?山東淄博?中考真題）若多項式4y盯+9y2能用完全平方公式因式分解，則小的值是.

4.（2024?黑龍江綏化?中考真題）分解因式：27nx2-8niy2=.

O好題沖關O

基礎過關

1.（24-25七年級上,江蘇南通?階段練習）下列說法正確的是（）

A.ab沒有系數B.半是單項式C.一町2是單項式D.9不是單項式

2.（24-25八年級上,四川廣安,期中）下列計算正確的是（）

A.%2-%3=x6B.-2%2+3%2=—5%2

C.（a+h）2=a2+h2D.（-3ab）2=9a2/）2

3.（24-25七年級上?黑龍江綏化?期中）若與》"-243是同類項，則小點的值為（）

A.9B.-9C.18D.-18

4.（2024七年級上?全國?專題練習）己知一個多項式與2久2+5》的和等于3/+2久-1,則這個多項式是（）

A.x2+7x-lB.%2-3%-1C.5r-3x—1D.5/+7x—1

5.(24-25八年級上?貴州黔南?階段練習)下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是()

A.x2-x-l=x(x-l)-lB.x2-l=(x-1)2

22

C.X-X-6=(%-3)(x+2)D.x(x-l)=%-%

??1?

6.(24-25八年級上?湖北武漢?階段練習)己知￡1"=4,￡1=3,則(1"+'的值是()

A.7B.12C.64D.81

7.（2024七年級上,全國?專題練習）有16m長的木料（寬度不計），要做成一個如圖所示的窗框，假設窗框

橫檔的長度為xm,那么窗框的面積是（）

A.x(8-x)2m2B.x(16-x)m2D.%(8-|%)m2

8.(24-25八年級上?貴州黔南?階段練習)在下列多項式的乘法中，可以用平方差公式計算的是()

A.(%+y)(―%—y)B.(—%+y)(%—y)

c.(x+y)(y-x)D.(%_y)(%_y)

9.(2024七年級上?全國?專題練習)如果多項式3/一7久2+久+以2―5中不含%2項，貝族的值為()

A.-3B.7C.0D.4

10.(八年級上?吉林白城?期末)從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為6的正方形(如圖1所示)，然后將

剩余部分拼成一個長方形(如圖2所示)，根據圖形的變化過程，寫出的一個正確的等式是()

A.(a-b)2=a2-2ab+b2B.a(a-h)=a2-ab

22

C.b(<a—b')=ab~bD.ai—b=(a+/?)

11.(24-25七年級上?江蘇南通?階段練習)己知久-2y=2,則代數式10-3久+6y的值為.

12.(24-25七年級上?天津北辰?期中)已知|a+3|+仙一2)2=0,貝U(a+b)2°24的值為.

13.(2024七年級上?全國?專題練習)如果一1%力是一個六次單項式，那么小的值是.

15.(24-25八年級上?湖北武漢?階段練習)9a/與12a2b2c的公因式是.

16.(24-25八年級上?河南信陽?期末)如圖，這三種規格的卡片共有9張，其中邊長為a的正方形卡片4張,

邊長為b的正方形卡片1張，長、寬分別為a,b的長方形卡片4張.現要用這9張卡片拼成一個大正方形,

則這個大正方形的邊長為.

17.(2024七年級上?全國?專題練習)合并同類項.

(1)4Q2—4a+1—4+12a—9a之；

⑵(5孫—8*2)—4(—33+xy).

18.（24-25八年級上?廣西,階段練習）先化簡，再求值：（2x+3y）2—（2久+y）（2久—y）—2y（5y+3x），其中

11

x=3^=~.

”）能力提升

1.（24-25八年級上?山東煙臺?期中）已知0+2九）2+2m+47i+l=0,貝|J⑺+2^）2024的值為（）

A.-1B.-2C.1D.2

2.（24-25七年級上?安徽合肥?階段練習）若關于a,6的多項式（a2+2a2°—

則小的值為（）

A.-1B.1C.2D.3

3.（24-25八年級上?河南安陽?階段練習）我國宋代數學家楊輝所著《詳解九章算法》中記載了用如圖所示

的三角形解釋了二項和的乘方展開式中的系數規律，我們把這種數字三角形叫做"楊輝三角".請你利用

楊輝三角，計算（a+b”的展開式中，含戶項的系數是（）

(a+A)I...................I

a*b...................I]

d'2ab6...............I2I

...............1331

4"""???????????????(4641

A.15B.10C.9D.6

4.（24-25七年級上?河北滄州,階段練習）已知「=2/+/—1,Q=—/+丫2—2,貝l]P與Q的大小關系是

（）

A.P>QB.P=QC.P<QD.不能確定

5.（24-25七年級上?山西太原?階段練習）下列表格中的四個數都是按照規律填寫的，則表中x的值是（）

A.135

（八年級上?四川眉山?期中）已知，5533

6.24-25a=26=344,c=4,則a、b、c的大小關系是（)

A.b>c>aB.a>b>cC.c>a>bD.a>b>c

7.(2024?云南昆明?一模)若％=a是方程%2+2%-2=0的一個根，則代數式2a?+4a+2019的值為()

A.2021B.2022C.2023D.-2023

8.(24-25八年級上?山東日照?階段練習)BW+%=-3,則代數式%3+/+3%+2024的值為

9.(24-25八年級上?福建漳州?期中)從邊長為a的正方形中剪掉一個邊長為b的正方形(如圖1),然后將剩

余部分拼成一個長方形(如圖2).

⑴上述操作能驗證的等式是_(請選擇正確的一個)

A.a2-2afo+b2=(a-6)2

B.a2—/72=(a+6)(a—b)

2

C.a+ab=a(a4-h)

⑵應用你從(1)選出的等式，完成下列各題：

①已知第2-9y2=12,%+3y=4,求久一3y的值.

②計算：(1-g(1-9(1/)…(1—-)

10.(24-25八年級上?安徽蕪湖?階段練習)閱讀：若x滿足(80-久)0-30)=20,求(80-久心+(久—30)2的值.

解：設80—%=a,X-30=b,

則(80-x)(x-30)=ab=20,

a+b=(80-x)+(x-30)=50,

所以(80—X)2+(尤一30)2=a?+=(&+2ab=502-2x20=2460

請仿照上例解決下面的問題：

⑴若x滿足(70-%)(久-50)=-40,求(70—久)2+(久一50)2的值.

(2)若x滿足(2025—靖+(2024-x)2=2023,求(2025r)(2024—%)的值.

⑶如圖，正方形A8CD的邊長為x,PD=50,FB=80,長方形2FNP的面積是1000,四邊形NGQP與4PME

都是正方形，四邊形PQHM是長方形，求圖中陰影部分的面積之和(結果必須是一個具體數值).

1L(24-25八年級上?四川眉山?期中)先閱讀下面的內容，再解決問題，

例題：若m2+2血九+2/-6幾+9=0,求7n和幾的值.

解：???/+2mn+2nz—6n+9=0

.--m2+2mn+n2+nz—6n+9=0

???(m+n)2+(幾-3)2_0

.,.m+n=0,TI—3=0

：.m=-3,幾=3

問題：

(1)若第2+2y2+2%y—4y+4=0,求％'的值.

⑵已知a,b,c是△ABC的三邊長，滿足。2+必=8。+10匕-41,且c是△ABC中最長的邊，求c的取

值范圍.

真題感知

一、單選題

1.（2024?江蘇徐州?中考真題）下列運算正確的是（）

A.x3+x3=x6B.x3.x9=x27C.（x2）3=x5D.x3^x=x2

2.（2024?貴州?中考真題）計算2a+3a的結果正確的是（）

A.5aB.6aC.5a2D.6a2

3.（2024?四川?中考真題）計算（――）3的結果是（）

A.—m6B.m6C.—m5D.m5

4.（2024?山東煙臺?中考真題）下列運算結果為的是（）

A.a2-a3B.a12a2C.a3+a3D.（a2）3

5.（2022?山東德州?中考真題）已知M=a2-a,N=a-2（a為任意實數），則M-N的值（）

A.小于0B.等于0C.大于0D.無法確定

6.（2023?江蘇?中考真題）計算a8+a2的結果是（）

461016

A.aB.aC.aDn.a

7.（2023?江蘇南通?中考真題）若a?—4a—12=0,貝。2a2—8a—8的值為（）

A.24B.20C.18D.16

8.（2023?陜西?中考真題）計算：6町2.（_：/y3）=（）

A.3/y5B.-3%4y5C.3%3y6D.-3x3y6

9.（2023?四川雅安?中考真題）若小2+2m一1=0.貝127n2+4爪一3的值是（）

A.-1B.-5C.5D.-3

10.（2024?江蘇揚州?中考真題）1202年數學家斐波那契在《計算之書》中記載了一列數：1,1,2,3,

5,......,這一列數滿足：從第三個數開始，每一個數都等于它的前兩個數之和.則在這一列數的前2024

個數中，奇數的個數為（）

A.676B.674C.13