專題02整式的乘法（五大題型）

題型歸納________________________________________

【題型1單項式乘單項式】

【題型2單項式乘多項式】

【題型3多項式乘多項式】

【題型4多項式乘多項式-不存在某項問題】

【題型5多項式乘多項式的實際應用】

流題型專練

【題型1單項式乘單項式】

（23-24七年級下?浙江溫州?期末）

1.計算3/.（一日的結果是（）

A.-3/B.3/C.-3yD.3y

（23-24七年級下?山東濟寧?期末）

2.計算3/.2/的結果是（）

A.5x3B.5x4C.6x3D.6x4

（23-24七年級下?陜西寶雞?期末）

3.計算（-2肛的結果是（）

A.3孫6B.3xy5C.-3xy6D.-3xy5

（2024七年級上?上海?專題練習）

4.計算：x2y-（-xy）=.

（23-24七年級下?全國?單元測試）

5.3x2y-^-2x3y2^=,

（23-24七年級下?全國?單元測試）

6.若加=-3,貝1］（-3呀2加=.

（23-24七年級下?遼寧遼陽?期末）

試卷第1頁，共6頁

7.計算（2X2貫）｛一：刈2）的結果是,

【題型2單項式乘多項式】

（2024?陜西西安?模擬預測）

8.計算（-3x）?（2——5x-1）的結果是（）

A.—6%2—15x2—3xB.-6x3+15x2+3x

C.-6X3+15X2D.-6X3+15X2-1

（23-24七年級下?廣西桂林?期中）

9.計算。（。-3）+4。的結果是（）

A./+QB.+Act—3C.a?—7aD.a?—d

（23-24八年級上?全國?課堂例題）

10.若一%2>=2,貝！］一個（丁>2—/〉+2］）的值為（）

A.16B.12C.8D.0

（23-24七年級下?福建漳州?階段練習）

11.計算：一+

（2024七年級下?浙江?專題練習）

12.計算：3b（2a-b）=_.

（2024七年級下?江蘇?專題練習）

13.計算（-2/）.（3加-5加）=_.

（23-24七年級下?全國?假期作業）

14.計算：-2xy-3x2y-x2y-（-3xr+xy2^.

（23-24七年級下?浙江寧波?期中）

15.先化簡，再求值：3a（/—2a—3）—3a（a-3）,其中a=2.

（23-24七年級下?廣東佛山?階段練習）

16.計算：2a（3/-206+1）

【題型3多項式乘多項式】

（2024?陜西西安?模擬預測）

試卷第2頁，共6頁

17.計算（2加+3乂加-1）的結果正確的是（）

A.2m2—4m—3B.Im2+m+3C.2m~+m—3D.2m2—m—3

(23-24七年級下?河北邢臺?期末)

18.已知(xT)(x-2)=/+",則心的值為()

11

A.-B.-C.-8D.9

98

(23-24七年級下?安徽合肥?期末)

19.已知加+〃=3,mn=l,則(1-2加)(1-2〃)的值為()

A.-1B.-2C.1D.2

（23-24七年級下?四川成都?期末）

20.若(x+")(x+3)的計算結果為x2+5x+"?,則-=

（23-24七年級下?湖南郴州?期中）

21.在（x+7）（尤-〃7）的展開式中，x的一次項系數是3,則加的值是—.

（23-24七年級下?江蘇徐州?期中）

22.計算：（x+1乂獷—x+1）.

（23-24七年級下?陜西西安?階段練習）

23.化簡：（2a+b）（b-2a）+4a（a+36）.

（2024七年級下?浙江?專題練習）

24.化簡：（2a+6）（a-26）+2a（6-a）

（23-24八年級上?遼寧大連?期末）

25.計算：（2-3x）（2x-3）+x（6x+5）.

【題型4多項式乘多項式-不存在某項問題】

（23-24七年級下?河南鄭州?階段練習）

26.要使（，-2尤+6）（尤-a）中不含x的一次項和二次項，則a,6的值分別為（）

A.a=-2,b=—4B.a=2,b=4C.a=2,b=—4D.a=—2,b=4

（23-24七年級下?全國?單元測試）

27.如果（x+2乂尤2-5辦+1）的展開式中不含f項，那么a的值為.

試卷第3頁，共6頁

（23-24七年級下?全國?單元測試）

28.關于x的代數式（妙-2）（2x+l）+/+〃化簡后不含f的項和常數項.

（1）分別求加、n的值；

⑵求加2。23〃2。24的值.

（23-24七年級下?全國?期中）

29.若卜+川--3x+q）的計算結果中不含X項和爐項.

⑴求p、q的值；

⑵求代數式（-20?）2+（3pq）°+/。冷2023的值

【題型5多項式乘多項式的實際應用】

（23-24七年級下?陜西榆林?期末）

30.如圖.在長為4°-1,寬為36+2的長方形鐵片上，截去長為30-2,寬為2b的小長方

形鐵片.

36+2

V

（1）用含。、6的代數式表示剩余部分（即陰影部分）的面積；（結果化為最簡形式）

（2）求剩余部分的面積與截去的小長方形鐵片的面積之差.

（23-24七年級下?陜西榆林?期末）

31.如圖，為改善業主的居住環境，某小區物業準備在一個長為（3。+26）米，寬為（20+6）

米的長方形草坪上修建兩條寬為b米的小路.

b

3a+26

（1）求這兩條小路的總面積；（要求化成最簡形式）

（2）若“=3,6=2,求這兩條小路的總面積.

（23-24七年級下?四川達州?期末）

試卷第4頁，共6頁

32.如圖是某住宅的平面結構示意圖（單位：米），圖中的四邊形均是長方形或正方形.

a+b

八不

衛生間b

a客廳

廚房

v

臥室A臥室B

⑴用含a,b的代數式分別表示客廳和臥室（含臥室4B）的面積；

（2）若a-b=3,ab=10,求臥室（含臥室4B）比客廳大多少平方米?

（23-24七年級下?浙江溫州?期中）

33.已知有若干張正方形卡片和長方形卡片，其中A型卡片是邊長為。的正方形，8型卡片

是邊長為b的正方形，C型卡片是長為。，寬為b的長方形,

⑴若要用這三種卡片緊密拼接成一個長為（2。+6）,寬為的長方形，求需要A,B,

C各型號卡片各多少張？

（2）用一張A型卡片，一張8型卡片，一張C型卡片緊密拼接成如下圖所示的圖形，若陰影

部分的面積為18,C型卡片的面積為24,求6的值.

（23-24七年級下?安徽安慶?期中）

34.如圖所示的是人民公園的一塊長為（2加+”）米，寬為（機+2”）米的空地，預計在空地上

建造一個網紅打卡觀景臺（陰影部分）.

試卷第5頁，共6頁

(2)如果修建觀景臺的費用為200元/平方米.且已知加=5米，"=3米，那么修建觀景臺需

要費用多少元？

⑵-24七年級下?湖南永州?期中)

35.有甲、乙兩個長方形紙片，邊長如圖所示(加>0),面積分別記為舜和s乙.

m+4中加+6乙

加+8________________

m+1

(1)①計算：舜=；$乙=;

②用“>,,,或"=,，填空：5甲s乙.

(2)若一個正方形紙片的周長與甲長方形的周長相等，面積為s正.

①該正方形的邊長是(用含加的代數式表示)；

②小方同學發現：S正與s甲的差與機無關，請判斷小方的發現是否正確，并通過計算說明你

的理由.

試卷第6頁，共6頁

1.A

【分析】本題考查單項式的乘法，熟練掌握單項式的乘法法則是解題的關鍵，根據單項式乘

單項式的運算法則計算即可.

【詳解】解：3y2-(-y)=-3yi,

故選：A.

2.D

【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，根據單項式乘以單項式的計算法則求解即可.

【詳解】解：3X2-2X2=6X4,

故選：D.

3.D

【分析】本題考查了整式的乘法運算，熟悉掌握運算法則是解題的關鍵.

根據運算法則進行運算即可.

【詳解】解：(-2x用(13]=_3肛5,

故選：D.

4.

【分析】此題主要考查了單項式乘單項式的乘法法則，熟記單項式乘單項式的乘法法則是解

題的關鍵.

根據單項式乘單項式的乘法法則進行計算即可.

232

【詳解】解：xy-(-xy)=-xy9

故答案為：-/J?.

5.-6x5y3

【分析】此題考查了單項式乘以單項式，根據單項式乘以單項式運算法則求解即可.

【詳解】3x2y\-2x3y2)=-6x5y3.

故答案為：-6厘了3.

6.-54

【分析】本題主要考查了積的乘方的逆運算，單項式乘以單項式，根據單項式乘以單項式的

計算法則和積的乘方的逆運算法則得到(-3仍)Na/=_6(加3『，據此代值計算即可.

答案第1頁，共12頁

【詳解】解：?"/=_3,

(-3a6)?2abs

=-6a2b6

=-6(a63y

=-6x(-3/

=—54,

故答案為：-54.

7.—x3y5

【分析】此題主要考查單項式乘以單項式，根據單項式的乘法運算法則即可求解，熟練掌握

單項式的乘法法則解題的關鍵.

【詳解】解：原式=2、1；卜2.磯尸產)

=-x3^5，

故答案為：

8.B

【分析】本題主要考查了單項式乘以多項式.熟練掌握單項式乘以多項式的法則是解題的關

鍵.

根據單項式乘以多項式的法則求解即可.

【詳解】解：(一3月―(2/-5了-1)

=2x2.(一3x)-5x-(-3x)-1?(-3%)

——6丁+15工2+3x.

故選B.

9.A

【分析】本題考查了整式的乘法及合并同類項，掌握整式的乘法法則是解題關鍵.單項式乘

以多項式，先把這個多項式的每一項分別乘以單項式，再把所得的商相加.

【詳解】解：原式=/—3q+4a

—Q2+Q，

故選：A.

答案第2頁，共12頁

10.A

【分析】本題考查代數式求值，根據單項式乘以多項式和積的乘方將原式變形為

—卜2"3+卜262一2義卜2”是解決問題的關鍵.

【詳解】解：^=-x6y3+x4y2-2x2y,

當一/y=2時，x2y=-2,

原式=-卜2))3+卜2))2_2x(%2))=_(_2丫+(-2『-2x(—2)=16,

故選：A.

11.-2x3y-Sx2y3##-8x2y3-2x3y

【分析】本題考查了單項式乘以多項式，解題的關鍵是熟練掌握相關運算法則.

根據單項式乘以多項式的運算求解即可.

【詳解】解：—4/(；孫+2/)

=^-4x2x；盯］+(一412x2)3)

=-2x3y-8x2y3.

12.6ab—3b2##—3b2+6ab

【分析】本題考查了單項式與多項式相乘，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

根據單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加計算即可.

【詳解】解：3伙2。-b)=6ab-3bz.

故答案為：6ab-3b2.

13.-6a3b2+Wa3b3

【分析】根據單項式乘多項式的運算法則(把多項式的每一項都與單項式相乘)，即可求解,

本題考查了單項式與多項式的乘法，掌握計算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：(-2a2)-(3aZ>2-5ab3)=-6a3b2+10a3Z>3.

故答案為：-6a3b2+10a3b3.

14.—3x3_y2—y3

【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，單項式乘以多項式等計算，先根據單項式乘以

多項式的計算法則去括號，然后計算單項式乘以單項式，最后合并同類即可.

答案第3頁，共12頁

【詳解】解：-2xy-^2y-x2y-[~3xy+xy2）

=-6x3y2+3x3y2-x3y3

=-3x3y2-x3y3.

15.3/g_3）,-12

【分析】本題考查了整式的化簡求值，先利用整式的乘法計算，合并后代入求得數值即可.

【詳解】解：原式=3Q（q2_2〃—3—。+3）

=3〃（力—3a）

=3〃（q—3）

當。=2時，原式=一12.

16.61—4。2/7+2。

【分析】本題主要考查了單項式乘以多項式，直接根據單項式乘以多項式的計算法則求解即

可.

【詳解】解：2°（3/-2"+1）

=6a3-4a2b+2a.

17.C

【分析】本題考查了多項式乘多項式.根據多項式乘多項式的運算法則即可求解.

【詳解】解：（2加+3）（冽—1）=2加2+3加-2加一3=2加之+加一3,

故選：C.

18.B

【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式運算，掌握多項式乘以多項式的運算法則是解題

關鍵.

先根據多項式相等則對應項的系數相等求出加與〃的值，然后代入心計算即可.

【詳解】解：?.,（%-1）（%-2）=—+加工+〃，

???x2—3x+2=x2+mx+n,

m=—3,n=2,

...〃加=2一a二巴1.

8

答案第4頁，共12頁

故選：B.

19.A

【分析】本題考查了多項式乘以多項式.由多項式乘以多項式進行化簡，然后代入計算，即

可得到答案.

【詳解】解：.?"+"=3,mn=l,

(1-=l-2n-2m+4mn

二1一2(加+〃)+4加〃,

=l-2x3+4xl

=-1;

故選：A.

20.6

【分析】本題考查了多項式乘以多項式，根據多項式乘以多項式進行計算，即可求解.

【詳解】解：v(x+n)(x+3)=x2+(TZ+3)X+3H,

又...(%+〃)(％+3)的計算結果為/+5%+機，

故答案為：6.

21.4

【分析】本題考查了多項式乘以多項式的法則，多項式的定義，先根據多項式乘以多項式的

法則去掉括號，合并同類項后，根據x的一次項系數是3即可解答.

【詳解】W：,.,(x+7)(x-m)=x2+7x-mx-7m=x2+(7-m)x-7m,

又???x的一次項系數是3,

7-m=3,

???m=4.

故答案為：4.

22.x3+l

答案第5頁，共12頁

【分析】本題考查了整式的乘法.根據多項式乘以多項式的法則計算即可.

【詳解】解：（X+D（r7+l）

=x^—x?+x+x~—x+1

=X3+1.

23.b2+12ab

【分析】本題考查了整式的乘法，根據多項式乘以多項式、單項式乘以多項式法則進行計算

即可求解.

【詳解】解：原式=29一4/+/-2必+4/+12仍

=b2-4a2+4a2+l2ab

=b2+12ab.

24.-ab-lb2

【分析】本題考查了整式的運算，熟練掌握運算的法則是解題的關鍵.

根據整數的乘法運算法則進行運算即可.

【詳解】（2a+6）（a-26）+2a（6-a）

解：=2a2-4ab+ab-2b2+lab-2a2

=-ab-2b2.

25.18x-6

【分析】本題考查了多項式乘多項式，單項式乘多項式，合并同類項.熟練掌握多項式乘多

項式，單項式乘多項式，合并同類項是解題的關鍵.

先分別計算多項式乘多項式，單項式乘多項式，然后合并同類項即可.

【詳解】解：（2-3x）（2x-3）+x（6x+5）

=4x—6—6x2+9x+6x2+5x

=18x—6.

26.D

【點睛】此題考查了多項式乘多項式，利用多項式乘以多項式法則計算，合并后根據結果不

含X的一次項和二次項，求出。，6的值即可，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：原式=d一q%2_2x2+2ax+bx-ab

=x3-（4Z+2）X2+（2a+b^x-ab

答案第6頁，共12頁

?■?（x2-2x+6）（x-a）中不含X的一次項和二次項，

???a+2=0,2。+6=0,

.*.a=-2,6=4,

故選：D.

27.-

5

【分析】本題考查了多項式乘以多項式，根據多項式乘以多項式的運算法則結合題意得出

2-5a=0,求解即可，熟練掌握運算法則是解此題的關鍵.

【詳解】解：（x+2）（x?—5ax+l）=x3-5ax2+x+2x2-1Oax+2=x3+（2-5tz）x2+（l-10a）x+2,

??+2乂--5辦+1）的展開式中不含f項，

2-5a=0,

2

解得：a=~,

2

故答案為：j.

28.⑴加=,n=2

202024

（2）WV=-2

【分析】本題考查已知多項式乘積不含某項求字母的、積的乘方的逆運算、代數式求值，熟

練掌握整式的四則混合運算法則，正確得到加、〃的方程是解答的關鍵，尤其（2）中利用

積的乘方的逆運算求解是關鍵.

（1）先將原式括號展開,再合并同類項,最后根據不含f和常數項得出2〃?+1=0,-2+〃=0,

即可解答；

（2）根據塞的運算法則得出/。23”2。24=/。23.；產23.〃=（加蘆3.“,根據（1）中得出的加和

"的值，即可解答.

【詳解】（1）解:（roc-2）（2x+l）+x2+n

=2mx2+mx-4x-2+x2+n

=（2m+l）x2+（加一4）x-2+〃

???不含X的項和常數項

2m+1=0,-2+〃=0,

答案第7頁，共12頁

m=——,n=2；

/c、2023202420232023(\2023

(2)mn=m,n-n=[mn)?n,

由(1)知，m=-^~,n=2,

2

(iV023

則，原式=卜彳、2)x2=—2.

29.⑴。=3,q=-g

“2

⑵36§

【分析】本題考查多項式乘以多項式不含某一項的問題:

（1）先計算多項式乘以多項式，根據結果中不含X項和x3項，得到X項和/項的系數為0,

列出方程，求出P、q的值即可;

（2）將代數式化簡后，將（1）的結果代入求值即可.

22

【詳解】（1）解：L+jPx-|j（x-3x+^）

x4-3x3+qx2+夕％3_3px2+pqx~~x2+%一

=x4-(3-p)八i一卜^pq+\)x-^q,

???計算結果中不含x項和x3項,

:.3-p=0,pq+1=0,

&1

:.p=3,q=_1

(2)由(1)知：p=3,^=——

二47/q2+1+(夕夕)2022夕,

=4X34XH)+I+HX3]XH]

2(_)2022

=4X3+1+1XI

=36+1--

3

答案第8頁，共12頁

30.(l)(6a6+8a+6-2)

(2)8。+5b—2

【分析】本題主要考查整式的混合運算，掌握其運算法則是解題的關鍵.

(1)分別表示出長方形的面積，剪去鐵片的面積，再根據整式的減法運算法則計算即可；

(2)根據題意，運用整式的減法運算法則計算即可.

【詳解】(1)解：長方形的面積為(4。一1)(36+2)=12仍+8。-36-2,剪去鐵片的面積為

2b(3a-2)=6ab-4b,

.■A2ab+8。-36-2-(6ab-4b)=6ab+8。+6-2,

??喇余部分(即陰影部分)的面積為(6“6+8a+6-2)；

(2)解：6“6+8。+6-2-(6。6-46)=8。+56-2.

31.⑴(5"+2〃)0?

⑵這兩條小路的總面積為38m2

【分析】本題考查單項式與多項式的乘法法則，解題的關鍵是學會用分割法求面積，熟練掌

握多項式的混合運算法則.

(1)根據小路的面積等于兩個長方形面積和減去中間重疊部分的正方形的面積，即可計算.

(2)把°、6的值代入化簡后的代數式中求值即可.

【詳解】(1)解：b(3a+2b)+b(2a+b)-b2

=3ab+2.b2+2.ab+b2-b2

=5ab+2b1;

答：這兩條小路的總面積為(5ab+2〃)m、

(2)解：將”=3,6=2代入5a6+2〃，得

5x3x2+2x22=38(m2).

答：這兩條小路的總面積為38m2.

32.(1)客廳面積為(片+仍)平方米，臥室的面積為(2。2+3/+〃)平方米

(2)臥室比客廳大49平方米

答案第9頁，共12頁

【分析】本題主要考查了列代數式、整式的加減運算、完全平方公式等知識點，靈活運用完

全平方公式對代數式進行變形是解答本題的關鍵.

(1)結合圖形直接列代數式表示出客廳和臥室面積即可；

(2)先根據整式加減運算法則化簡，再利用完全平方公式變形，最后將相關數據代入計算

即可.

【詳解】(1)解：客廳的長為(。+3，寬為。，因此面積為。(。+6)=(/+仍)平方米，

臥室是長為(2。+6)米，寬為：[2。一(。-6)]=(。+與米的長方形，

因此臥室的面積為：(2。+6)(。+6)=(2/+3。6+62)平方米；

答：客廳面積為(力+仍)平方米，臥室的面積為⑵2+3M+加)平方米；

(2)解：臥室比客廳大的面積為：

(2“~+3ab+6~)—(a~+ab)=2a~+3a6+b——ab

=a1+2ab+b2=(a+6)~=(a-+4ab,

當。-6=3,。6=10時，

原式=32+4x10=49(平方米)，

答：臥室比客廳大49平方米.

33.(1)需要A型號卡片2張，3型號卡片1張，C型號卡片3張

(2)a—6,6=4

【分析】本題考查了整式乘法的幾何應用，三角形、正方形、長方形的面積公式，解題的關

鍵是掌握整式乘法的運算法則.

(1)計算出拼成的長方形面積即可求解；

(2)由C型卡片的面積為24,可得。6=24,根據

S陰=(/+ab+62)-ga(a+6)b(a+2b)=18,求出a=6,進而求出b即可.

【詳解】(1)解：拼成的長方形面積為：(2a+6)(a+6)=2/+3a6+〃，

需要A型號卡片2張，3型號卡片1張，C型號卡片3張；

(2)I,C型卡片的面積為24,

「?=24,

答案第10頁，共12頁

=(Q?+ab+b2)—5Q(a+b)-3b(a+2b),

=/+ab+b2—