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文檔簡介
圓錐曲線的方程一輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練-2025年高考數(shù)學(xué)
一、單選題
1.已知拋物線C:>2=舐的焦點為產(chǎn),過焦點尸的直線/與拋物線C交于異于原點。的A,3兩點,
若在直線尤=6上存在點P(6j)(r>o),使得四邊形Q4P3是平行四邊形,則/=()
A.3B.4C.5D.6
22
2.已知橢圓。:^+當(dāng)=1(。>>>0)的左、右焦點分別為耳耳,過冗的直線與橢圓C交于M,N兩點,
若2SMNFz=5SM旭且NF°F,N=NF°NF,,則橢圓C的離心率為()
A.3B夜1D.叵
D.-------。c.一
5232
22
3.已知橢圓C與橢圓二+匕=1有相同的焦點,且C的長軸長為6,則C的短軸長為()
64
A.2B.4C.V7D.2s
4.片,工分別是橢圓。+丁=1的左,右焦點,過打作直線交橢圓于A3兩點.若|鉆|=2,貝U凈金的
面積為()
A.aB.2A/2C.3A/2D.40
5.已知雙曲線的漸近線方程為>實軸長為4,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為().
x2
A.——_M=iB.£一t=1或
424848
22222
C.—-匕=1D.Z一匕=1或匕一土=1
484248
6.已知雙曲線爐-丁=2的左,右焦點分別為耳,耳,點尸在雙曲線的右半支上,點。(。,2),則
「。|+伊胤的最小值為()
A.2點B.4C.6D.4.72
22
7.已知點P是橢圓會+會=1上一點,工,尸2是橢圓的左、右焦點,若/月生=60。,則下列說法正
確的是()
A.耳尸F(xiàn)2的面積為石
B.若點M是橢圓上一動點,則町-Mg的最大值為9
C.點尸的縱坐標(biāo)為亞
6
D.耳尸耳內(nèi)切圓的面積為;71
8.已知拋物線E:y2=2/(。>0)上的點加5,3)到其焦點的距離是它到y(tǒng)軸距離的2倍,若拋物線E
22
的焦點與雙曲線C:三-方=1(。>0力>0)的右焦點重合,過雙曲線C左右頂點A,B作C的同一條
漸近線的垂線,垂足分別為P,Q,若山。=2,則雙曲線的離心率為().
A.V3B.2C.顯D.-
22
二、多選題
9.已知曲線。:4小|=、M-4.點々(0,君),取0,-逐),則以下說法正確的是()
A.曲線C關(guān)于原點對稱
B.曲線C存在點P,使得|「耳尸閶=4
C.直線y=2x與曲線C沒有交點
D.點Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點,過點。向y=±2尤作垂線,垂足分別為A,B,則
10.已知橢圓的方程為止+$=1,雙曲線的方程為仁一二=1,則()
25988
A.雙曲線的一條漸近線方程為'=彳
B.橢圓和雙曲線共焦點
4
C.橢圓的禺心率e==
D.橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點
11.已知國居分別是雙曲線匚--丁=2的左右焦點,點。是圓人:(彳-2)2+(,-3)2=:上的動點,
下列說法正確的是()
A.三角形&片瓦的周長是12
B.若雙曲線E與雙曲線C有相同的漸近線,且雙曲線E的焦距為8,則雙曲線E為尤2一丁=8
C.若|斯|+|。閭=8,則。的位置不唯一
D.若尸是雙曲線左支上一動點,貝1能|+|加|的最小值是5+|立
三、填空題
2
12.已知焦點在x軸上的橢圓fL+v匕=1的離心率為1:,則m的值為.
13.已知拋物線方程為C:y2=2px(0>O),其焦點為P.①過尸作直線交拋物線于A8兩點,以AB
為直徑的圓與直線x=T相切;②過尸作斜率為g的直線,與拋物線在第一象限內(nèi)交于A點,|AF|=4,
以AF為直徑的圓與,軸相切.在以上兩個條件中任選一個,則。=.
14.數(shù)學(xué)的和諧美表現(xiàn)為它能夠為自然界的和諧、生命現(xiàn)象的和諧等找到最佳論證.在大自然中一些
植物的葉子有著明確的數(shù)學(xué)方程式,如圖①蔓葉中從一點出發(fā)散開的葉脈所形成的曲線,可近似為
y2(2a-x)=x3,該曲線即為蔓葉線,其圖象如圖②,若圓尤②-4x+3+產(chǎn)=0與該蔓葉線恰有兩個交
點,貝.
圖①圖②
四、解答題
22
15.已知橢圓C:5+方=1(。>6>0)的左、右焦點分別為工,工,橢圓C的右焦點與拋物線V=4尤
的焦點重合,兩曲線在第一象限的交點為P,尸耳工的面積為也.
3
(1)求橢圓C的方程;
⑵過點P的直線/交橢圓C于另一點A,若$鵬=S△期&,求I的方程.
22
16.已知雙曲線K:17-a=l(a>0,6>。)的左、右焦點分別為《,月,E的一條漸近線方程為y=8,
過K且與x軸垂直的直線與E交于產(chǎn),。兩點,且PQ工的周長為16.
(1)求E的方程;
⑵A,2為雙曲線E右支上兩個不同的點,線段的中垂線過點C(0,4),求-ACB的取值范圍.
17.已知直線/與拋物線E:/=2x相切,且切點為2(2,2).
⑴求直線/的斜率《的值;
(2)如圖,M,N是x軸上兩個不同的動點,且滿足13Ml=|町|,直線8N與拋物線E的另一個
交點分別是P,Q,若直線尸。的斜率為左2,求心的值.
18.已知橢圓C:W+與=l(a>6>0)的右焦點為尸(1,0),離心率為交,直線/經(jīng)過點尸,且與C相
ab2
交于A,8兩點,記/的傾斜角為
⑴求C的方程;
(2)求弦A3的長(用a表示);
⑶若直線MN也經(jīng)過點產(chǎn),且傾斜角比/的傾斜角大求四邊形川面積的最小值.
19.貝塞爾曲線是由法國數(shù)學(xué)家PierreBdzMr發(fā)明的,它為計算機矢量圖形學(xué)奠定了基礎(chǔ).貝塞爾曲
線的有趣之處在于它的“皮筋效應(yīng)”,即隨著控制點有規(guī)律地移動,曲線會像皮筋一樣伸縮,產(chǎn)生視覺
⑴在平面直角坐標(biāo)系中,已知點7;在線段AS上.若AG[,月),B(x2,y2),\AT;\=a\AB\,求動點(坐
標(biāo);
(2)在平面直角坐標(biāo)系中,已知4(2,-4),5(-2,0),C(2,4),點M,N在線段AB,BC上,若動點心在
\AM\BN\MTA
線段建V上,且滿足扇=記=后=",求動點心的軌跡方程;
(3)如圖,已知4當(dāng)半),8音,手),噂,—爭,0(當(dāng)音),
若點M,N,P,X,y/分別在線
\AM\BNCP\MX\NY\XT.、
段四,BC,CD,跖V,NP,xy上,且。=7^=品=%求動點心的軌跡方程―
\AB\~BCCD~\MN\iyrA.Y
參考答案:
題號12345678910
答案BADBDDDCCDACD
題號11
答案ACD
1.B
【分析】設(shè)直線/的方程為1=沖+2,8(%22),將直線/的方程與拋物線方程聯(lián)立,利
用韋達(dá)定理得到%+%=8機,進(jìn)而得到石+%=8療+4,根據(jù)四邊形Q4總是平行四邊形,利用向量
相等求出〃/=9,最終求出。的值.
4
設(shè)直線/的方程為無=歿+2,43,%),8(如了2),
[x=my+2.
聯(lián)立2,整理得/-8陽-16=0,
[y=8ox
則X+必=8加,所以%+w=m(兇+%)+4=8川+4,
四邊形Q4EB是平行四邊形,
OP=OA+OB^即(6/)=(石+/,%+%),
6=x1+x2=8加2+4,t=yi+y2=^m9
解得m2=—,.e.t2=64m2=16,
4
”0,/.t=4.
故選:B.
2.A
\MF\2
【分析】作工石,MN,結(jié)合條件可得謁=二,結(jié)合橢圓定義求出閨耳,在RtM%,
Rt/%中,分別由勾股定理建立等式得到a,c的方程,求得答案.
【詳解】如圖,F(xiàn)2E±MN,垂足為£,
因為/曰2=/用四,所以國閶=|叫|=2c,E為耳N的中點,
.,.國N|=2a-2c,|f;E|-a-c,
"MNF~3,
2MFXF2
IIIi1,一,1\MF,\2
-2\MN\.\F2E\X-=5\MF.\.\F2E\X-,整理得第=),
94
所以L[=W(W/+2國碼,即陽用=/目,
47
1
二.|A/fi]=](a-c)+(Q-~(Q-c),
1
\MF2\=2a-\MFl\=2a-^2a-2c)=^^-,
在RtM%中,閭2,在區(qū)可月即中,閨閶2一山同2=|%『,
——2/、2
.-.(2c)2-(a-c)2+g("c),
化簡整理得5c2一8改+3/=0,
3
5/-8e+3=0,解得e=l或g,又0<e<l,
3.D
【分析】由已知可得橢圓C的半焦距,再結(jié)合橢圓的長軸可得短軸長度.
【詳解】由已知/=6-4=2,c=亞,
又2。=6,即a=3,
所以9一k=2,解得b=近,
故C的短軸長為2近,
故選:D.
4.B
【分析】設(shè)出直線方程,與橢圓聯(lián)立,由弦長為2,求出直線的斜率,進(jìn)而可知直線的傾斜角,然后
利用三角形的面積公式求解即可.
【詳解】易知耳卜20,0),設(shè)直線A3方程為:>=%(尤+2直卜
代入/1,=1整理得:(9k2+1)f+36岳2》+72^-9=0,
36岳272k2-9
所以占+%=-
9^+19k2+\
所以|AB|=#1+/)[(占+々)2—,
因為|AB|=2,代入并解得4=±[,
故直線A3的傾斜角為丁或當(dāng),
66
所以53筋=3|4可><忸耳卜缶44耳=|X2X4A/2X|=272.
故選:B.
【分析】根據(jù)雙曲線的焦點的位置進(jìn)行分類討論,結(jié)合雙曲線漸近線方程和實軸長的定義進(jìn)行求解即
可.
22
【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點在橫軸時,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:3-2=1(。>01>0),
ab
因為實軸長為4,所以得2a=4=0=2,因為雙曲線的漸近線方程為:y=土交x,所以有2=正,
2a2
22
因止匕所以雙曲線的方程為:y-^-=l;
22
當(dāng)雙曲線的焦點在縱軸時,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:4-==1(。>0力>0),
ab
因為實軸長為4,所以得2=4n〃=2,因為雙曲線的漸近線方程為:y=土比無,所以有@=
2b2
—22
因此6=20,所以雙曲線的方程為:^-―=1.
48
2222
綜上所述,雙曲線的方程為二-乙=1或匕-±=1.
4248
故選:D
6.D
【分析】首先利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化|尸。+|3|=|尸。+(|尸馬+20),再結(jié)合圖象,求|PQ|+|P閭的
最小值,再聯(lián)立方程求交點坐標(biāo).
【詳解】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得
間|+|叫=閘+(〔*+20)=園+|*+202碇|+2忘=2忘+2忘=40,
當(dāng)且僅當(dāng)Q,尸,居三點共線時等號成立.
而直線。耳的方程為y=-x+2,由I2_°可得x==,所以y=
[%—~y—222
所以點尸的坐標(biāo)為(|彳).
所以當(dāng)且僅當(dāng)點尸的坐標(biāo)為(IJ)時,I尸Q|+|P國的最小值為4應(yīng).
W
故選:D.
7.D
【分析】對A,根據(jù)橢圓定義和余弦定理求出|尸耳卜歸耳卜?即可得出;對B,根據(jù)橢圓的有界性可
得;對C,根據(jù)耳尸心的面積建立關(guān)系求解;對D,根據(jù)耳尸耳的面積求出內(nèi)切圓半徑即可得出.
【詳解】對A,根據(jù)橢圓定義可得|尸司+|尸閶=6,貝「尸耳『+|%f+2忙耳卜|%|=36①,
在,耳尸為中,由余弦定理閨目=|尸£「+|尸閶2_2歸片卜歸;訃8$60。②,
由①②可得|WH尸司=g,所以片尸鳥的面積為;|尸£卜|尸用@!160。=9^^^=半,故A錯
誤;
對B,設(shè)貝|普+r=1,-3<x0<3,
2
MFlMF2=(-2-%0,-y0)-(2-x0,-j0)=v+y0-4
=/2+5一應(yīng)一4=笠+1,
99
則當(dāng)%=±3時,岬.〃區(qū)取得最大值為5,故B錯誤;
對C,由A,片的面積為半,則;x2cx|y/=2|y/=半,解得%=土羊,故C錯誤;
對D,設(shè),片尸此內(nèi)切圓的半徑為「,因為鳥的面積為%8,
3
所以g(|P£|+|Pg|+|£81r=¥^,即;(6+4)/=??,解得廠=,,
所以4P耳內(nèi)切圓的面積為=p故D正確.
故選:D.
8.C
【分析】先由題意結(jié)合拋物線焦半徑得凝+苫=2%,從而得加心金,將其代入£:丁=2力(°>0)
可求出E,進(jìn)而得"+廿==,再由雙曲線漸近線方程和點到直線距離公式以及勾股定理得
\PQ\=^-=2,求出。結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】由題意可得%>。且拋物線E上的M(%,3)到其焦點的距離是與+點,它到y(tǒng)軸距離是%,
所以毛+言=2%=>%/,即Mgs),
將Af]"代入E:y2=2px(p>0)得32=2飛夕"0)np=3,
所以Eb=6x,焦點為乂1,0;所以。2+〃=:,
又A(-a,0),3(a,0),雙曲線漸近線方程為6x±ay=。,
不妨假設(shè)是過A,8作C的同一條漸近線法-◎=。的垂線,垂足分別為P,Q,
則雙曲線的對稱性可知A和B到漸近線區(qū)-毆=。的距離相等為|4尸|=
3
所以。2=3即。=后=,,則雙曲線的離心率為6=:=+=告.
2
【點睛】關(guān)鍵點睛:解決本題的關(guān)鍵1是由題意結(jié)合拋物線焦半徑得%+*=2x°,從而求得M,
將其代入拋物線E求出E得/+〃=1,關(guān)鍵點2是由雙曲線漸近線方程和點到直線距離公式以及勾
4
股定理得=茅=2即得。,進(jìn)而結(jié)合離心率公式得解.
9.CD
【分析】分x,y的零的大小討論,得到曲線方程,并畫出圖形,由對稱性可得A錯誤;由雙曲線的定
義可得B錯誤;由漸近線方程可得C正確;由點到直線的距離公式可得D正確;
2
【詳解】當(dāng)時,曲線C:4/=y2—4,即匕—爐=];
4
2
當(dāng)x2O,yvO時,曲線C:4%2=—y2—4,即匕+工2=—1;不存在;
4
2
時,曲線C:—4/=,2一4,即匕+%2=i;
4
2
尤<O,yVO時,曲線C:一4/=-/-4,BPx2-—=1;
對于A,由圖可得A錯誤,故A錯誤;
2
對于B,方程二-%2=1是以可,工為上下焦點的雙曲線,
4
當(dāng)xN0,y>0時,曲線C存在點P,使得|「閶一|因|=4,故B錯誤;
對于C,一三象限曲線的漸近線方程為y=2x,所以直線y=2x與曲線C沒有交點,故C正確;
對于D,設(shè)設(shè)點A在直線>=2x上,點8在直線y=-2x,
則由點到直線的距離公式可得
3=包”,磔卜氣⑷,
所以12410用=的nx=w,
A/5yj55
又點。是曲線。上在第三象限內(nèi)的一點,
代入曲線方程可得|Q^-\QB\='科=|,故D正確;
故選:CD.
10.ACD
【分析】根據(jù)橢圓方程求得4=5,4=3,。=4,雙曲線方程求得的=久=2血0=4,且橢圓的焦點
在無軸上,雙曲線的焦點在y軸上,結(jié)合橢圓和雙曲線的性質(zhì)逐項分析判斷.
22
【詳解】對于橢圓的方程為言+/1,可得q=5,4=3,仇=而7=4,
22_______
對于雙曲線的方程為匕-二=1,可得%=2夜也=2五,°?=亞運=4,
且橢圓的焦點在X軸上,雙曲線的焦點在y軸上,
對于選項A:因為雙曲線的漸近線方程為y=土子*=±彳,
所以雙曲線的一條漸近線方程為y=x,故A正確;
對于選項B:因為橢圓的焦點在x軸上,雙曲線的焦點在y軸上,
所以橢圓和雙曲線不共焦點,故B錯誤;
、.c,4
對于選項C:橢圓的禺心率e=」=w,故C正確;
q5
對于選項D:因為外〈偽,可知雙曲線的頂點在橢圓內(nèi)部,
所以橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點,故D正確;
故選:ACD.
11.ACD
【分析】結(jié)合雙曲線和圓的性質(zhì)以及點到直線的距離公式可得A正確;由相同漸近線方程設(shè)出雙曲
線方程,再由焦距解出4即可得B錯誤;由橢圓的軌跡和圓的位置關(guān)系得到C正確;由雙曲線的定
義結(jié)合點與圓的位置關(guān)系得到D正確;
【詳解】由題意可得雙曲線C:=a=6,b=正,c=2,4(一2,0),區(qū)(2,0),
圓心坐標(biāo)A(2,3),半徑r
A,\FtF2\=2c=4,|"|=J(2+2『+(3-0)2=5,|陽=J(2_2『+(3-0/=3,
所以三角形AKK的周長是12,故A正確;
2222
B,由題意可設(shè)雙曲線石的方程為土—匕=丸或匕—±=丸,
2222
,2,2£=1
變形為標(biāo)準(zhǔn)形式三-匕=1或匕-%w0,丸w1,
22242222
又雙曲線E的焦距為8,所以24+22=42=4=4,
所以雙曲線E為/-y=8或/一/=8,故B錯誤;
C,升+|。段=8,所以。點軌跡為以耳工為焦點的橢圓,且2o=8na=4,c=2,b2=12,
22
所以軌跡方程為土+匕=1,
1612
2
9[2
圓心坐標(biāo)4(2,3)代入橢圓方程可得后+,1,
所以圓心在橢圓上,
又點。是圓上點,畫出圖形可得
所以,。的位置不唯一,故C正確;
D,由雙曲線的定義可得|尸閶-戶周=2a=2&,
所以|尸閶=|尸團+2應(yīng),
所以戶局+歸。=|尸制+|PQ|+20,
因為歸國+|PQ閆Q司,
所以當(dāng)P,。,月三點共線時,|P居|+|PQ|取得最小值|。耳|,
又因為盟的最小值為|4川一廠=5-孝,
所以盧閶+|尸0的最小值是5-等+2夜=5+|血,故D正確;
故選:ACD.
12.8
【分析】由橢圓離心率的定義列方程即可解出.
【詳解】:焦點在X軸上,由橢圓方程可知:a2=9>b2=m,
|=g,即m=8.
故答案為:8
13.2
【分析】若選擇條件①:可以根據(jù)焦點弦的弦長公式列方程號+與二號+1即可求解;若選擇
條件②:可以根據(jù)拋物線性質(zhì)以及解直角三角形知識即可求解.
【詳解】若選擇條件①:設(shè)力(%1,%),B(x2,y2),則以A8為直徑的圓的半徑R=g三+1,
根據(jù)焦點弦的弦長公式可得,以AB為直徑的圓的直徑2R=玉+%+。,
所以半徑為則詈+勺號+L解得片2.
若選擇條件②:因為以AF為直徑的圓與y軸相切,所以圓的半徑為2,
P
則4+萬一,即4=4-4,
過點A作x軸的垂線,垂足為8,如圖,
ITI
在RtABB中,由已知條件可得,ZAFB=-,\AF\=4,所以忸目:不入司=2,
則%4+2,所以4-勺稱+2,解得p=2.
故答案為:2.
146+36
-4
【分析】通過蔓葉線和圓的對稱性得到圓和蔓葉線的上半部分只有一個交點,將蔓葉線和圓的方程聯(lián)
立,分離參數(shù)后得到2a=4/一產(chǎn)(1〈尤<3)有且只有一個實數(shù)根,令/(無)=訝-版&<%<為,
4x-x-34x-x-3
求導(dǎo)分析了(無)的單調(diào)性和最值即可得到答案.
【詳解】根據(jù)蔓葉線和圓的對稱性,圓(》-2)2+尸=1與該蔓葉線恰有兩個交點,
即當(dāng)y>o時,圓和蔓葉線的上半部分只有一個交點,
即方程(4x-尤2-3)(2a-x)=/(1<X<3)有一個實數(shù)根,
4丫2—2丫
即方程2〃=耳H(l<x<3)有一個實數(shù)根’
13--24尤+9
令―<尤<3),則,(x)
4無一尤2—3
令則片號產(chǎn)或H(舍)’
所以/(x)在區(qū)間,12;產(chǎn)]內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間jI2;;,,3]內(nèi)單調(diào)遞增,
’12+3疔6+34
所以f(X)n=/[13J
m12
故當(dāng)a="上叵時,圓/一4x+3+丁=。與該蔓葉線恰有兩個交點.
4
故答案為:殳史叵.
4
15.⑴工+匚1
43
(2)y[6x-y=0或幾%-16y+10?=0
【分析】(1)由拋物線的焦點坐標(biāo)可求出C,設(shè)P(X。,%),由尸月外的面積為手可求出點P,由
橢圓的定義即可求出a,結(jié)合b==7,即可求出橢圓C的方程;
(2)由5足承=5"強可得&月/"耳,求出直線的方程,聯(lián)立直線A4的方程與橢圓方程可得求
出點A,即可求出/的方程.
【詳解】(1)由拋物線方程9=4x知鳥(1,0),所以耳(-1,0),
設(shè)P(M,%),則名叫=gx|xy0=y0=半
2
又點P(%%)在拋物線丁=心上,所以
2
解得無o=§,即。
75
根據(jù)橢圓定義2。=|尸耳|+1尸耳|=§+§=4,
,_____丫22
解得。=2,。=1,所以八萬二"百,所以橢圓。的方程為亍+q=L
達(dá)一。
=-2瓜,
2
當(dāng)x=_§時,
14
當(dāng)關(guān)=一五時,
22屈、146瓜、
所以A--或A-
又因為直線/過點尸
2466A/6
”1F而娓
可求得直線I的方程為y一半=或T2
即y/6x-y=0或痛入-16>+10萌=0.
16.⑴石:%2_二=1;
3
【分析】(1)將x=-c代入曲線£得>=±?,故得[尸片=|°凰=(,從而結(jié)合雙曲線定義以及題意
a
得,解出。涉即可得解.
4b2
——+4(7=16
、a
(2)設(shè)48:>=區(qū)+機,聯(lián)立雙曲線方程求得中點坐標(biāo),再結(jié)合弦長公式求得NACM的正切值,進(jìn)而
得NACM范圍,從而由NACB=2/ACM即可得解.
r2v2h2
【詳解】(1)將X=—c代入E:*—當(dāng)=1(。>0/>0),得,=±幺,
aba
仔*
所以|P凰=|°用=],所以|尸用=|。用=?+2a,
a4=1
所以由題得n<
4b2b=幣'
——+4〃=16
、a
2
所以雙曲線E的方程為E:尤2一二=1.
3
(2)由題意可知直線AB斜率存在且/3±括,
設(shè)AB:y=履+“2,4(久1,y1),B(x2,%),設(shè)AB的中點為M.
由22。消去》并整理得(3-六)》2-2初IT-機2-3=0,3-k2H0,
[3.x--y=3
則A=(2km)2+4(3-左2)(療+3)=12(3+機2-/)>0,即療〉左2_3,
2km3+/,2km.6m
占+々=^7^'g=--^^,yi+y2=k(,xi+x2)+2m=k-:—^+2m=j-^,
3m
------4
k23加一12+4左2
于是加點為、牛,U3),MC=yM-yc=3-k
3-K3-kkmkm
x-k2
由中垂線知k“c(8=T,所以3〃-:2+4/=_:,解得:機=3一公.
kmk
所以由A1在雙曲線的右支上可得:
3+療3+m2072c72Q
x,x=------=------>0=>m=3—k<0=>K>3,
19-3-k2m
且不+Z=---Q=2左>0=>左>0,
且A=4(3根2—3左2+9)>0=(3—22了+(3—左2)=(3—左2)(4—%2)>0n左2<3或公>4,
綜上k2>4艮flk>2,
mvl+V
3-k2
:+%2『一例%,J1+12
所以tanNACM=\A/M^\
myJl+k2
3-k2
12,3加2-3/+9r-7T,
5義3.也7'+k_/3>-3左2+9
mjl+k2V機2
3-k2
3
因為左2>4,所以機=3-尸<-1,故-3<Jvo,所以3+e(0,V3),
J-KV3-k2
所以NACM”5J.
所以NAC3=2NACME
17.(D^i=1.
(2)k2=--
【分析】(1)設(shè)直線/的方程,與拋物線聯(lián)立方程組,消去x整理后,由A=0求6的值;
(2)由題意知,兩直線的斜率互為相反數(shù),設(shè)直線的方程,與拋物線聯(lián)立方程組,求尸
點坐標(biāo),同理得。點坐標(biāo),表示出直線尸。的斜率心,化簡得心的值.
【詳解】(1)顯然直線/的斜率左存在且不為0,設(shè)直線/的方程為y-2=《(x-2),
24
與V=2x聯(lián)立,消去x整理得V9-7丁+t-4=0,
匕K.
、2
2
令A(yù)=0,即---4--4=0,
左
解得尤=;.
(2)由題意知,兩直線的斜率互為相反數(shù),
/、?4
設(shè)直線的方程為y—2=《x—2),與V=2x聯(lián)立,消去工整理得/一+彳一4=。,
422?書+22-2?
所以2?%=:—4,得力=7-2,從而尸,2
2/+4/+2-2-2/
將1換成V,同理可得Q2
—2—2t2—2t
所以&―2/+今+22』一今+2
2
2,2
18.(l)y+/=l
(2)答案見解析
⑶挈
【分析】(1)根據(jù)條件,直接求出。力,即可求解;
TT
(2)分a=]和1工方,當(dāng)a=T時,直接求出|A同二0,當(dāng)夕h]時,設(shè)出直線/的方程為y=A(xT),
聯(lián)立橢圓方程,利用弦長公式,即可求解;
2V2[tan2(a+-)+l]
(3)根據(jù)題設(shè),先求出a=;和a=[時,四邊形的面積,再求出aw:時,|MN|=4
1+2tan2(a+:)
2V2[tan2(a+-)+l]
從而得1出小4
X------------—,再通過化簡,得到
21+2tan2(ar+^)
8五
S=,令y=(3-cos2a)(3+sin2c),通過求出》的最大值,即可解決問題.
(3-cos2a)(3+sin2cr)
【詳解】(1)由題知c=l,又£=也,得到.=近,所以/=。2一/=2-1=1,
a2
故橢圓C的方程為《+丁=1.
2
(2)設(shè)4(占,%),2(%,%),因為直線/經(jīng)過點尸,且傾斜角為a,
TVT+y2=1,解得x=l,y=+—,此時=
當(dāng)戊=—時,直線=由<
2
X=1」
當(dāng)aw1,設(shè)直線/的方程為y=依尤一D,其中左=tana,
y=k(x-l)
由尤2消y得至lj(1+2公)d—4女2%+2r—2=0,
——+y=1
12'
所以四1二標(biāo)區(qū)一占1="><筆手=嚕/,
又A=16〃—4(1+2左2)(242-2)=8左2+8
即|AB|=2夜(tan%+l),
l+2tan<z
綜上,當(dāng)&=四時,|AB|=應(yīng);當(dāng)awf時,|陰=20(ta嗎+1)
211211l+2tan2a
(3)直線MN也經(jīng)過點尸,且傾斜角比/的傾斜角大所以ae0,空
4L4.
2V2(tan2—+1)《歷
當(dāng)a=:時,易知|肱4=夜,\AB\^--------4—=*,此時四邊形AMBN面積為
4l+2tan2-3
4
]|???.7T1nr4-\/2A/22A/2
S=—\MN\'\AB\sin—=—xV2x-------x------=--------,
2111142323
jrIT
當(dāng)戊。士時,可設(shè)MN:y=^(x—1),其中勺=tan(a+與,
44
2V2[tan2(cr+—)+1]
同理可得|MN|=------------------4——
l+2tan2(6r+^)
,-47T
2
2V2(tan—+1)45
當(dāng)a=g時,=|MN卜--------之一=;,此時四邊形AA仍N面積為
2l+2tan2^3
4
11,,-i?4?兀1A4A/2A/22近
Sc=—\MNA7\'\AB\sm—=—xJ2x------x——=--------,
2111142323
7TIT
當(dāng)aw—且aw—時,四邊形AMBN面積為
42
1r
1jrV|x2&taYa+l)xg+1)+11①
S=-|Af^|.|AB|sin^4Xl+2tan%Xi+2tan2g+:)'
「/兀、1+tani
又tan(?+一)=-------
41-tancr
sin2a,sin2a,
4^(tan2cr+l)tan2or+l-----2----*"]^+]
^4A/2XCOS<Zxcosa_______
代入①化簡得到5=2*92
1+2tana3tana+2tana+3r2sina3sin2a2sincr0
1+『——+--------+3
cosacosacosa
即s=---------君亞-------=----------------,
(1+sin%)(3+sin2c)(3-cos2o)(3+sin2a)
令y=(3—cos2a)(3+sin2。)=9+3sin2c—3cos2Q—sin2ocos2a,
令sin2a—cos2a=V2sin(2?--)=t,貝!|-sin2acos2a=,
42
Lr-'t?1o317?i_,?3TTI_._兀兀5兀)
所以+—^+―,對稱軸/=-3,又。£0,—,則2。一_y?~
222L4J4|_44J
當(dāng)2&W,即1=普J(rèn)0,爭時,t=4i,此時小=、2+,4+/=19+3〉,
428L4J-max2222
8及3040-96
所以四邊形AMBN面積的最小值為-19+30—343,
2
又逆<304后—96,所以四邊形4WBN面積的最小值里.
3343
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