圓錐曲線的方程一輪復習專項訓練-2025年高考數學

一、單選題

1.已知拋物線C:>2=舐的焦點為產，過焦點尸的直線/與拋物線C交于異于原點。的A,3兩點,

若在直線尤=6上存在點P（6j）（r>o）,使得四邊形Q4P3是平行四邊形，則/=（）

A.3B.4C.5D.6

22

2.已知橢圓。:^+當=1（。>>>0）的左、右焦點分別為耳耳，過冗的直線與橢圓C交于M,N兩點,

若2SMNFz=5SM旭且NF°F,N=NF°NF,,則橢圓C的離心率為（）

A.3B夜1D.叵

D.-------。c.一

5232

22

3.已知橢圓C與橢圓二+匕=1有相同的焦點，且C的長軸長為6,則C的短軸長為（)

64

A.2B.4C.V7D.2s

4.片,工分別是橢圓。+丁=1的左，右焦點，過打作直線交橢圓于A3兩點.若|鉆|=2,貝U凈金的

面積為（）

A.aB.2A/2C.3A/2D.40

5.已知雙曲線的漸近線方程為>實軸長為4,則該雙曲線的標準方程為（）.

x2

A.——_M=iB.￡一t=1或

424848

22222

C.—-匕=1D.Z一匕=1或匕一土=1

484248

6.已知雙曲線爐-丁=2的左，右焦點分別為耳,耳，點尸在雙曲線的右半支上，點。（。,2）,則

「。|+伊胤的最小值為（）

A.2點B.4C.6D.4.72

22

7.已知點P是橢圓會+會=1上一點，工,尸2是橢圓的左、右焦點，若/月生=60。，則下列說法正

確的是（）

A.耳尸F2的面積為石

B.若點M是橢圓上一動點，則町-Mg的最大值為9

C.點尸的縱坐標為亞

6

D.耳尸耳內切圓的面積為；71

8.已知拋物線E：y2=2/（。＞0）上的點加5，3）到其焦點的距離是它到y軸距離的2倍，若拋物線E

22

的焦點與雙曲線C:三-方=1（。＞0力＞0）的右焦點重合，過雙曲線C左右頂點A,B作C的同一條

漸近線的垂線，垂足分別為P,Q,若山。=2,則雙曲線的離心率為（）.

A.V3B.2C.顯D.-

22

二、多選題

9.已知曲線。：4小|=、M-4.點々（0,君），取0,-逐），則以下說法正確的是（）

A.曲線C關于原點對稱

B.曲線C存在點P,使得|「耳尸閶=4

C.直線y=2x與曲線C沒有交點

D.點Q是曲線C上在第三象限內的一點，過點。向y=±2尤作垂線，垂足分別為A,B,則

10.已知橢圓的方程為止+$=1,雙曲線的方程為仁一二=1,則（）

25988

A.雙曲線的一條漸近線方程為'=彳

B.橢圓和雙曲線共焦點

4

C.橢圓的禺心率e==

D.橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點

11.已知國居分別是雙曲線匚--丁=2的左右焦點，點。是圓人：（彳-2）2+（,-3）2=:上的動點，

下列說法正確的是（）

A.三角形&片瓦的周長是12

B.若雙曲線E與雙曲線C有相同的漸近線，且雙曲線E的焦距為8,則雙曲線E為尤2一丁=8

C.若|斯|+|。閭=8,則。的位置不唯一

D.若尸是雙曲線左支上一動點，貝1能|+|加|的最小值是5+|立

三、填空題

2

12.已知焦點在x軸上的橢圓fL+v匕=1的離心率為1:，則m的值為.

13.已知拋物線方程為C:y2=2px(0>O),其焦點為P.①過尸作直線交拋物線于A8兩點，以AB

為直徑的圓與直線x=T相切；②過尸作斜率為g的直線，與拋物線在第一象限內交于A點，|AF|=4,

以AF為直徑的圓與，軸相切.在以上兩個條件中任選一個，則。=.

14.數學的和諧美表現為它能夠為自然界的和諧、生命現象的和諧等找到最佳論證.在大自然中一些

植物的葉子有著明確的數學方程式，如圖①蔓葉中從一點出發散開的葉脈所形成的曲線，可近似為

y2(2a-x)=x3,該曲線即為蔓葉線，其圖象如圖②，若圓尤②-4x+3+產=0與該蔓葉線恰有兩個交

點，貝.

圖①圖②

四、解答題

22

15.已知橢圓C：5+方=1(。>6>0)的左、右焦點分別為工，工，橢圓C的右焦點與拋物線V=4尤

的焦點重合，兩曲線在第一象限的交點為P,尸耳工的面積為也.

3

(1)求橢圓C的方程；

⑵過點P的直線/交橢圓C于另一點A,若$鵬=S△期&,求I的方程.

22

16.已知雙曲線K:17-a=l(a>0,6>。)的左、右焦點分別為《，月，E的一條漸近線方程為y=8,

過K且與x軸垂直的直線與E交于產，。兩點，且PQ工的周長為16.

(1)求E的方程；

⑵A,2為雙曲線E右支上兩個不同的點，線段的中垂線過點C(0,4),求-ACB的取值范圍.

17.已知直線/與拋物線E:/=2x相切，且切點為2(2,2).

⑴求直線/的斜率《的值;

(2)如圖，M,N是x軸上兩個不同的動點，且滿足13Ml=|町|,直線8N與拋物線E的另一個

交點分別是P,Q,若直線尸。的斜率為左2,求心的值.

18.已知橢圓C：W+與=l(a>6>0)的右焦點為尸(1,0),離心率為交，直線/經過點尸，且與C相

ab2

交于A,8兩點，記/的傾斜角為

⑴求C的方程；

(2)求弦A3的長(用a表示)；

⑶若直線MN也經過點產，且傾斜角比/的傾斜角大求四邊形川面積的最小值.

19.貝塞爾曲線是由法國數學家PierreBdzMr發明的，它為計算機矢量圖形學奠定了基礎.貝塞爾曲

線的有趣之處在于它的“皮筋效應”，即隨著控制點有規律地移動，曲線會像皮筋一樣伸縮，產生視覺

⑴在平面直角坐標系中，已知點7；在線段AS上.若AG[,月),B(x2,y2),\AT;\=a\AB\,求動點(坐

標；

(2)在平面直角坐標系中，已知4(2,-4),5(-2,0),C(2,4),點M,N在線段AB,BC上，若動點心在

\AM\BN\MTA

線段建V上，且滿足扇=記=后="，求動點心的軌跡方程;

(3)如圖，已知4當半),8音，手)，噂，—爭,0(當音),

若點M,N,P,X,y/分別在線

\AM\BNCP\MX\NY\XT.、

段四,BC,CD,跖V,NP,xy上，且。=7^=品=%求動點心的軌跡方程―

\AB\~BCCD~\MN\iyrA.Y

參考答案:

題號12345678910

答案BADBDDDCCDACD

題號11

答案ACD

1.B

【分析】設直線/的方程為1=沖+2,8（%22），將直線/的方程與拋物線方程聯立，利

用韋達定理得到％+%=8機，進而得到石+%=8療+4,根據四邊形Q4總是平行四邊形，利用向量

相等求出〃/=9,最終求出。的值.

4

設直線/的方程為無=歿+2,43，%）,8（如了2），

[x=my+2.

聯立2，整理得/-8陽-16=0,

[y=8ox

則X+必=8加，所以%+w=m（兇+%）+4=8川+4,

四邊形Q4EB是平行四邊形，

OP=OA+OB^即（6/）=（石+/,%+%）,

6=x1+x2=8加2+4,t=yi+y2=^m9

解得m2=—,.e.t2=64m2=16，

4

”0,/.t=4.

故選：B.

2.A

\MF\2

【分析】作工石，MN,結合條件可得謁=二，結合橢圓定義求出閨耳，在RtM%,

Rt/%中，分別由勾股定理建立等式得到a,c的方程，求得答案.

【詳解】如圖，F2E±MN,垂足為￡,

因為/曰2=/用四，所以國閶=|叫|=2c,E為耳N的中點，

.,.國N|=2a-2c,|f；E|-a-c,

"MNF~3，

2MFXF2

IIIi1,一,1\MF,\2

-2\MN\.\F2E\X-=5\MF.\.\F2E\X-,整理得第=),

94

所以L[=W(W/+2國碼,即陽用=/目，

47

1

二.|A/fi]=](a-c)+(Q-~(Q-c),

1

\MF2\=2a-\MFl\=2a-^2a-2c)=^^-,

在RtM%中，閭2,在區可月即中，閨閶2一山同2=|%『,

——2/、2

.-.(2c)2-(a-c)2+g("c),

化簡整理得5c2一8改+3/=0,

3

5/-8e+3=0,解得e=l或g,又0<e<l,

3.D

【分析】由已知可得橢圓C的半焦距，再結合橢圓的長軸可得短軸長度.

【詳解】由已知/=6-4=2,c=亞,

又2。=6,即a=3,

所以9一k=2,解得b=近，

故C的短軸長為2近,

故選：D.

4.B

【分析】設出直線方程，與橢圓聯立，由弦長為2,求出直線的斜率，進而可知直線的傾斜角，然后

利用三角形的面積公式求解即可.

【詳解】易知耳卜20,0）,設直線A3方程為：＞=%（尤+2直卜

代入/1，=1整理得：（9k2+1）f+36岳2》+72^-9=0,

36岳272k2-9

所以占+%=-

9^+19k2+\

所以|AB|=#1+/）[（占+々）2—,

因為|AB|=2,代入并解得4=±[,

故直線A3的傾斜角為丁或當，

66

所以53筋=3|4可＞＜忸耳卜缶44耳=|X2X4A/2X|=272.

故選：B.

【分析】根據雙曲線的焦點的位置進行分類討論，結合雙曲線漸近線方程和實軸長的定義進行求解即

可.

22

【詳解】當雙曲線的焦點在橫軸時，設雙曲線的標準方程為：3-2=1（。＞01＞0）,

ab

因為實軸長為4,所以得2a=4=0=2,因為雙曲線的漸近線方程為：y=土交x,所以有2=正,

2a2

22

因止匕所以雙曲線的方程為：y-^-=l；

22

當雙曲線的焦點在縱軸時，設雙曲線的標準方程為：4-==1（。＞0力＞0）,

ab

因為實軸長為4,所以得2=4n〃=2,因為雙曲線的漸近線方程為：y=土比無，所以有@=

2b2

—22

因此6=20,所以雙曲線的方程為：^-―=1.

48

2222

綜上所述，雙曲線的方程為二-乙=1或匕-±=1.

4248

故選：D

6.D

【分析】首先利用雙曲線的定義轉化|尸。+|3|=|尸。+（|尸馬+20）,再結合圖象，求|PQ|+|P閭的

最小值，再聯立方程求交點坐標.

【詳解】由題意并結合雙曲線的定義可得

間|+|叫=閘+（〔*+20）=園+|*+202碇|+2忘=2忘+2忘=40,

當且僅當Q,尸，居三點共線時等號成立.

而直線。耳的方程為y=-x+2,由I2_°可得x==，所以y=

[%—~y—222

所以點尸的坐標為（|彳）.

所以當且僅當點尸的坐標為（IJ）時，I尸Q|+|P國的最小值為4應.

W

故選：D.

7.D

【分析】對A,根據橢圓定義和余弦定理求出|尸耳卜歸耳卜?即可得出；對B,根據橢圓的有界性可

得；對C,根據耳尸心的面積建立關系求解；對D,根據耳尸耳的面積求出內切圓半徑即可得出.

【詳解】對A,根據橢圓定義可得|尸司+|尸閶=6,貝「尸耳『+|%f+2忙耳卜|%|=36①,

在，耳尸為中，由余弦定理閨目=|尸￡「+|尸閶2_2歸片卜歸;訃8$60。②，

由①②可得|WH尸司=g,所以片尸鳥的面積為；|尸￡卜|尸用@!160。=9^^^=半，故A錯

誤；

對B,設貝|普+r=1,-3<x0<3,

2

MFlMF2=(-2-%0,-y0)-(2-x0,-j0)=v+y0-4

=/2+5一應一4=笠+1,

99

則當%=±3時，岬.〃區取得最大值為5,故B錯誤；

對C,由A,片的面積為半，則;x2cx|y/=2|y/=半，解得％=土羊，故C錯誤；

對D,設，片尸此內切圓的半徑為「，因為鳥的面積為%8，

3

所以g（|P￡|+|Pg|+|￡81r=￥^，即;（6+4）/=??,解得廠=,，

所以4P耳內切圓的面積為=p故D正確.

故選：D.

8.C

【分析】先由題意結合拋物線焦半徑得凝+苫=2%，從而得加心金，將其代入￡:丁=2力（°>0）

可求出E,進而得"+廿==,再由雙曲線漸近線方程和點到直線距離公式以及勾股定理得

\PQ\=^-=2,求出。結合離心率公式即可得解.

【詳解】由題意可得%>。且拋物線E上的M（%,3）到其焦點的距離是與+點，它到y軸距離是％,

所以毛+言=2%=>%/,即Mgs）,

將Af]"代入E:y2=2px（p>0）得32=2飛夕"0）np=3,

所以Eb=6x,焦點為乂1,0；所以。2+〃=:,

又A（-a,0）,3（a,0）,雙曲線漸近線方程為6x±ay=。,

不妨假設是過A,8作C的同一條漸近線法-◎=。的垂線，垂足分別為P,Q,

則雙曲線的對稱性可知A和B到漸近線區-毆=。的距離相等為|4尸|=

3

所以。2=3即。=后=,，則雙曲線的離心率為6=：=+=告.

2

【點睛】關鍵點睛:解決本題的關鍵1是由題意結合拋物線焦半徑得%+*=2x°,從而求得M，

將其代入拋物線E求出E得/+〃=1,關鍵點2是由雙曲線漸近線方程和點到直線距離公式以及勾

4

股定理得=茅=2即得。，進而結合離心率公式得解.

9.CD

【分析】分x，y的零的大小討論，得到曲線方程，并畫出圖形，由對稱性可得A錯誤；由雙曲線的定

義可得B錯誤；由漸近線方程可得C正確；由點到直線的距離公式可得D正確；

2

【詳解】當時，曲線C：4/=y2—4,即匕—爐=］；

4

2

當x2O,yvO時，曲線C:4%2=—y2—4,即匕+工2=—1；不存在；

4

2

時，曲線C:—4/=,2一4,即匕+%2=i；

4

2

尤<O,yVO時，曲線C:一4/=-/-4,BPx2-—=1；

對于A,由圖可得A錯誤，故A錯誤；

2

對于B,方程二-％2=1是以可，工為上下焦點的雙曲線,

4

當xN0,y>0時，曲線C存在點P,使得|「閶一|因|=4,故B錯誤；

對于C,一三象限曲線的漸近線方程為y=2x,所以直線y=2x與曲線C沒有交點，故C正確;

對于D,設設點A在直線>=2x上，點8在直線y=-2x,

則由點到直線的距離公式可得

3=包”，磔卜氣⑷，

所以12410用=的nx=w,

A/5yj55

又點。是曲線。上在第三象限內的一點，

代入曲線方程可得|Q^-\QB\='科=|,故D正確；

故選：CD.

10.ACD

【分析】根據橢圓方程求得4=5,4=3,。=4,雙曲線方程求得的=久=2血0=4,且橢圓的焦點

在無軸上，雙曲線的焦點在y軸上，結合橢圓和雙曲線的性質逐項分析判斷.

22

【詳解】對于橢圓的方程為言+/1,可得q=5,4=3,仇=而7=4,

22_______

對于雙曲線的方程為匕-二=1,可得％=2夜也=2五,°?=亞運=4,

且橢圓的焦點在X軸上，雙曲線的焦點在y軸上，

對于選項A：因為雙曲線的漸近線方程為y=土子*=±彳，

所以雙曲線的一條漸近線方程為y=x,故A正確；

對于選項B：因為橢圓的焦點在x軸上，雙曲線的焦點在y軸上，

所以橢圓和雙曲線不共焦點，故B錯誤；

、.c,4

對于選項C：橢圓的禺心率e=」=w，故C正確；

q5

對于選項D：因為外〈偽，可知雙曲線的頂點在橢圓內部，

所以橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點，故D正確；

故選：ACD.

11.ACD

【分析】結合雙曲線和圓的性質以及點到直線的距離公式可得A正確；由相同漸近線方程設出雙曲

線方程，再由焦距解出4即可得B錯誤；由橢圓的軌跡和圓的位置關系得到C正確；由雙曲線的定

義結合點與圓的位置關系得到D正確；

【詳解】由題意可得雙曲線C:=a=6,b=正,c=2,4（一2,0）,區（2,0）,

圓心坐標A（2,3）,半徑r

A,\FtF2\=2c=4,|"|=J(2+2『+(3-0)2=5,|陽=J(2_2『+(3-0/=3,

所以三角形AKK的周長是12,故A正確;

2222

B,由題意可設雙曲線石的方程為土—匕=丸或匕—±=丸,

2222

,2,2￡=1

變形為標準形式三-匕=1或匕-%w0,丸w1,

22242222

又雙曲線E的焦距為8,所以24+22=42=4=4,

所以雙曲線E為/-y=8或/一/=8,故B錯誤;

C,升+|。段=8,所以。點軌跡為以耳工為焦點的橢圓，且2o=8na=4,c=2,b2=12,

22

所以軌跡方程為土+匕=1,

1612

2

9[2

圓心坐標4(2,3)代入橢圓方程可得后+,1,

所以圓心在橢圓上，

又點。是圓上點，畫出圖形可得

所以，。的位置不唯一，故C正確；

D,由雙曲線的定義可得|尸閶-戶周=2a=2&,

所以|尸閶=|尸團+2應,

所以戶局+歸。=|尸制+|PQ|+20,

因為歸國+|PQ閆Q司，

所以當P,。,月三點共線時，|P居|+|PQ|取得最小值|。耳|,

又因為盟的最小值為|4川一廠=5-孝,

所以盧閶+|尸0的最小值是5-等+2夜=5+|血，故D正確;

故選：ACD.

12.8

【分析】由橢圓離心率的定義列方程即可解出.

【詳解】：焦點在X軸上，由橢圓方程可知：a2=9>b2=m,

|=g,即m=8.

故答案為：8

13.2

【分析】若選擇條件①：可以根據焦點弦的弦長公式列方程號+與二號+1即可求解；若選擇

條件②：可以根據拋物線性質以及解直角三角形知識即可求解.

【詳解】若選擇條件①：設力（%1，%），B（x2,y2）,則以A8為直徑的圓的半徑R=g三+1,

根據焦點弦的弦長公式可得，以AB為直徑的圓的直徑2R=玉+%+。，

所以半徑為則詈+勺號+L解得片2.

若選擇條件②：因為以AF為直徑的圓與y軸相切，所以圓的半徑為2,

P

則4+萬一，即4=4-4，

過點A作x軸的垂線，垂足為8,如圖,

ITI

在RtABB中，由已知條件可得，ZAFB=-,\AF\=4,所以忸目:不入司=2,

則%4+2,所以4-勺稱+2,解得p=2.

故答案為：2.

146+36

-4

【分析】通過蔓葉線和圓的對稱性得到圓和蔓葉線的上半部分只有一個交點，將蔓葉線和圓的方程聯

立，分離參數后得到2a=4/一產（1〈尤<3）有且只有一個實數根，令/（無）=訝-版&<%<為，

4x-x-34x-x-3

求導分析了（無）的單調性和最值即可得到答案.

【詳解】根據蔓葉線和圓的對稱性，圓（》-2）2+尸=1與該蔓葉線恰有兩個交點,

即當y>o時，圓和蔓葉線的上半部分只有一個交點,

即方程（4x-尤2-3）（2a-x）=/（1<X<3）有一個實數根,

4丫2—2丫

即方程2〃=耳H（l<x<3）有一個實數根’

13--24尤+9

令―<尤<3）,則，（x）

4無一尤2—3

令則片號產或H（舍）’

所以/（x）在區間,12；產］內單調遞減，在區間jI2；；，,3］內單調遞增,

’12+3疔6+34

所以f(X)n=/[13J

m12

故當a="上叵時，圓/一4x+3+丁=。與該蔓葉線恰有兩個交點.

4

故答案為：殳史叵.

4

15.⑴工+匚1

43

(2)y[6x-y=0或幾%-16y+10?=0

【分析】（1）由拋物線的焦點坐標可求出C,設P（X。,%）,由尸月外的面積為手可求出點P,由

橢圓的定義即可求出a，結合b==7,即可求出橢圓C的方程;

（2）由5足承=5"強可得&月/"耳，求出直線的方程，聯立直線A4的方程與橢圓方程可得求

出點A,即可求出/的方程.

【詳解】（1）由拋物線方程9=4x知鳥（1,0）,所以耳（-1,0）,

設P（M，%），則名叫=gx|xy0=y0=半

2

又點P（%%）在拋物線丁=心上，所以

2

解得無o=§，即。

75

根據橢圓定義2。=|尸耳|+1尸耳|=§+§=4,

,_____丫22

解得。=2,。=1,所以八萬二"百，所以橢圓。的方程為亍+q=L

達一。

=-2瓜，

2

當x=_§時，

14

當關=一五時,

22屈、146瓜、

所以A--或A-

又因為直線/過點尸

2466A/6

”1F而娓

可求得直線I的方程為y一半=或T2

即y/6x-y=0或痛入-16>+10萌=0.

16.⑴石：％2_二=1；

3

【分析】(1)將x=-c代入曲線￡得>=±?,故得［尸片=|°凰=(,從而結合雙曲線定義以及題意

a

得，解出。涉即可得解.

4b2

——+4（7=16

、a

(2)設48:>=區+機，聯立雙曲線方程求得中點坐標，再結合弦長公式求得NACM的正切值，進而

得NACM范圍，從而由NACB=2/ACM即可得解.

r2v2h2

【詳解】（1）將X=—c代入E:*—當=1（。>0/>0）,得,=±幺,

aba

仔*

所以|P凰=|°用=］，所以|尸用=|。用=?+2a,

a4=1

所以由題得n<

4b2b=幣'

——+4〃=16

、a

2

所以雙曲線E的方程為E:尤2一二=1.

3

(2)由題意可知直線AB斜率存在且/3±括,

設AB:y=履+“2,4（久1，y1）,B（x2,%），設AB的中點為M.

由22。消去》并整理得（3-六）》2-2初IT-機2-3=0，3-k2H0,

[3.x--y=3

則A=（2km）2+4（3-左2）（療+3）=12（3+機2-/）>0,即療〉左2_3,

2km3+/,2km.6m

占+々=^7^'g=--^^，yi+y2=k（,xi+x2）+2m=k-:—^+2m=j-^,

3m

------4

k23加一12+4左2

于是加點為、牛,U3)，MC=yM-yc=3-k

3-K3-kkmkm

x-k2

由中垂線知k“c(8=T，所以3〃-：2+4/=_：,解得：機=3一公.

kmk

所以由A1在雙曲線的右支上可得:

3+療3+m2072c72Q

x,x=------=------>0=>m=3—k<0=>K>3,

19-3-k2m

且不+Z=---Q=2左>0=>左>0,

且A=4（3根2—3左2+9）>0=（3—22了+（3—左2）=（3—左2）（4—%2）>0n左2<3或公>4,

綜上k2>4艮flk>2,

mvl+V

3-k2

：+%2『一例%，J1+12

所以tanNACM=\A/M^\

myJl+k2

3-k2

12,3加2-3/+9r-7T,

5義3.也7'+k_/3>-3左2+9

mjl+k2V機2

3-k2

3

因為左2>4,所以機=3-尸<-1,故-3<Jvo,所以3+e（0,V3）,

J-KV3-k2

所以NACM”5J.

所以NAC3=2NACME

17.（D^i=1.

（2）k2=--

【分析】(1)設直線/的方程，與拋物線聯立方程組，消去x整理后，由A=0求6的值；

(2)由題意知，兩直線的斜率互為相反數，設直線的方程，與拋物線聯立方程組，求尸

點坐標，同理得。點坐標，表示出直線尸。的斜率心,化簡得心的值.

【詳解】(1)顯然直線/的斜率左存在且不為0,設直線/的方程為y-2=《(x-2),

24

與V=2x聯立，消去x整理得V9-7丁+t-4=0,

匕K.

、2

2

令A=0,即---4--4=0,

左

解得尤=；.

(2)由題意知，兩直線的斜率互為相反數,

/、?4

設直線的方程為y—2=《x—2),與V=2x聯立，消去工整理得/一+彳一4=。,

422?書+22-2?

所以2?%=：—4,得力=7-2,從而尸,2

2/+4/+2-2-2/

將1換成V,同理可得Q2

—2—2t2—2t

所以&―2/+今+22』一今+2

2

2,2

18.(l)y+/=l

(2)答案見解析

⑶挈

【分析】(1)根據條件，直接求出。力，即可求解;

TT

(2)分a=］和1工方，當a=T時，直接求出|A同二0，當夕h］時，設出直線/的方程為y=A(xT),

聯立橢圓方程，利用弦長公式，即可求解;

2V2[tan2(a+-)+l]

(3)根據題設,先求出a=；和a=［時，四邊形的面積，再求出aw：時，|MN|=4

1+2tan2(a+：)

2V2[tan2(a+-)+l]

從而得1出小4

X------------—，再通過化簡，得到

21+2tan2(ar+^)

8五

S=，令y=(3-cos2a)(3+sin2c),通過求出》的最大值，即可解決問題.

(3-cos2a)(3+sin2cr)

【詳解】(1)由題知c=l,又￡=也，得到.=近，所以/=。2一/=2-1=1,

a2

故橢圓C的方程為《+丁=1.

2

(2)設4(占,%),2(%,%),因為直線/經過點尸，且傾斜角為a,

TVT+y2=1,解得x=l,y=+—,此時=

當戊=—時，直線=由<

2

X=1」

當aw1,設直線/的方程為y=依尤一D,其中左=tana,

y=k(x-l)

由尤2消y得至lj(1+2公)d—4女2%+2r—2=0,

——+y=1

12'

所以四1二標區一占1="><筆手=嚕/，

又A=16〃—4(1+2左2)(242-2)=8左2+8

即|AB|=2夜(tan%+l),

l+2tan<z

綜上，當&=四時，|AB|=應；當awf時，|陰=20(ta嗎+1)

211211l+2tan2a

(3)直線MN也經過點尸，且傾斜角比/的傾斜角大所以ae0,空

4L4.

2V2(tan2—+1)《歷

當a=:時，易知|肱4=夜，\AB\^--------4—=*,此時四邊形AMBN面積為

4l+2tan2-3

4

]|???.7T1nr4-\/2A/22A/2

S=—\MN\'\AB\sin—=—xV2x-------x------=--------，

2111142323

jrIT

當戊。士時，可設MN:y=^(x—1),其中勺=tan(a+與，

44

2V2[tan2(cr+—)+1]

同理可得|MN|=------------------4——

l+2tan2(6r+^)

,-47T

2

2V2(tan—+1)45

當a=g時，=|MN卜--------之一=；,此時四邊形AA仍N面積為

2l+2tan2^3

4

11,,-i?4?兀1A4A/2A/22近

Sc=—\MNA7\'\AB\sm—=—xJ2x------x——=--------,

2111142323

7TIT

當aw—且aw—時，四邊形AMBN面積為

42

1r

1jrV|x2&taYa+l)xg+1)+11①

S=-|Af^|.|AB|sin^4Xl+2tan%Xi+2tan2g+：)'

「/兀、1+tani

又tan(?+一)=-------

41-tancr

sin2a,sin2a,

4^(tan2cr+l)tan2or+l-----2----*"]^+]

^4A/2XCOS<Zxcosa_______

代入①化簡得到5=2*92

1+2tana3tana+2tana+3r2sina3sin2a2sincr0

1+『——+--------+3

cosacosacosa

即s=---------君亞-------=----------------,

(1+sin%)(3+sin2c)(3-cos2o)(3+sin2a)

令y=(3—cos2a)(3+sin2。)=9+3sin2c—3cos2Q—sin2ocos2a,

令sin2a—cos2a=V2sin(2?--)=t,貝！|-sin2acos2a=,

42

Lr-'t?1o317?i_,?3TTI_._兀兀5兀)

所以+—^+―,對稱軸/=-3,又。￡0,—,則2。一_y?~

222L4J4|_44J

當2&W，即1=普J0,爭時，t=4i，此時小=、2+，4+/=19+3〉,

428L4J-max2222

8及3040-96

所以四邊形AMBN面積的最小值為-19+30—343，

2

又逆<304后—96,所以四邊形4WBN面積的最小值里.

3343