圓錐曲線的方程 專項訓(xùn)練-2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)(含解析)_第1頁
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文檔簡介

圓錐曲線的方程一輪復(fù)習(xí)專項訓(xùn)練-2025年高考數(shù)學(xué)

一、單選題

1.已知拋物線C:>2=舐的焦點為產(chǎn),過焦點尸的直線/與拋物線C交于異于原點。的A,3兩點,

若在直線尤=6上存在點P(6j)(r>o),使得四邊形Q4P3是平行四邊形,則/=()

A.3B.4C.5D.6

22

2.已知橢圓。:^+當(dāng)=1(。>>>0)的左、右焦點分別為耳耳,過冗的直線與橢圓C交于M,N兩點,

若2SMNFz=5SM旭且NF°F,N=NF°NF,,則橢圓C的離心率為()

A.3B夜1D.叵

D.-------。c.一

5232

22

3.已知橢圓C與橢圓二+匕=1有相同的焦點,且C的長軸長為6,則C的短軸長為()

64

A.2B.4C.V7D.2s

4.片,工分別是橢圓。+丁=1的左,右焦點,過打作直線交橢圓于A3兩點.若|鉆|=2,貝U凈金的

面積為()

A.aB.2A/2C.3A/2D.40

5.已知雙曲線的漸近線方程為>實軸長為4,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為().

x2

A.——_M=iB.£一t=1或

424848

22222

C.—-匕=1D.Z一匕=1或匕一土=1

484248

6.已知雙曲線爐-丁=2的左,右焦點分別為耳,耳,點尸在雙曲線的右半支上,點。(。,2),則

「。|+伊胤的最小值為()

A.2點B.4C.6D.4.72

22

7.已知點P是橢圓會+會=1上一點,工,尸2是橢圓的左、右焦點,若/月生=60。,則下列說法正

確的是()

A.耳尸F(xiàn)2的面積為石

B.若點M是橢圓上一動點,則町-Mg的最大值為9

C.點尸的縱坐標(biāo)為亞

6

D.耳尸耳內(nèi)切圓的面積為;71

8.已知拋物線E:y2=2/(。>0)上的點加5,3)到其焦點的距離是它到y(tǒng)軸距離的2倍,若拋物線E

22

的焦點與雙曲線C:三-方=1(。>0力>0)的右焦點重合,過雙曲線C左右頂點A,B作C的同一條

漸近線的垂線,垂足分別為P,Q,若山。=2,則雙曲線的離心率為().

A.V3B.2C.顯D.-

22

二、多選題

9.已知曲線。:4小|=、M-4.點々(0,君),取0,-逐),則以下說法正確的是()

A.曲線C關(guān)于原點對稱

B.曲線C存在點P,使得|「耳尸閶=4

C.直線y=2x與曲線C沒有交點

D.點Q是曲線C上在第三象限內(nèi)的一點,過點。向y=±2尤作垂線,垂足分別為A,B,則

10.已知橢圓的方程為止+$=1,雙曲線的方程為仁一二=1,則()

25988

A.雙曲線的一條漸近線方程為'=彳

B.橢圓和雙曲線共焦點

4

C.橢圓的禺心率e==

D.橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點

11.已知國居分別是雙曲線匚--丁=2的左右焦點,點。是圓人:(彳-2)2+(,-3)2=:上的動點,

下列說法正確的是()

A.三角形&片瓦的周長是12

B.若雙曲線E與雙曲線C有相同的漸近線,且雙曲線E的焦距為8,則雙曲線E為尤2一丁=8

C.若|斯|+|。閭=8,則。的位置不唯一

D.若尸是雙曲線左支上一動點,貝1能|+|加|的最小值是5+|立

三、填空題

2

12.已知焦點在x軸上的橢圓fL+v匕=1的離心率為1:,則m的值為.

13.已知拋物線方程為C:y2=2px(0>O),其焦點為P.①過尸作直線交拋物線于A8兩點,以AB

為直徑的圓與直線x=T相切;②過尸作斜率為g的直線,與拋物線在第一象限內(nèi)交于A點,|AF|=4,

以AF為直徑的圓與,軸相切.在以上兩個條件中任選一個,則。=.

14.數(shù)學(xué)的和諧美表現(xiàn)為它能夠為自然界的和諧、生命現(xiàn)象的和諧等找到最佳論證.在大自然中一些

植物的葉子有著明確的數(shù)學(xué)方程式,如圖①蔓葉中從一點出發(fā)散開的葉脈所形成的曲線,可近似為

y2(2a-x)=x3,該曲線即為蔓葉線,其圖象如圖②,若圓尤②-4x+3+產(chǎn)=0與該蔓葉線恰有兩個交

點,貝.

圖①圖②

四、解答題

22

15.已知橢圓C:5+方=1(。>6>0)的左、右焦點分別為工,工,橢圓C的右焦點與拋物線V=4尤

的焦點重合,兩曲線在第一象限的交點為P,尸耳工的面積為也.

3

(1)求橢圓C的方程;

⑵過點P的直線/交橢圓C于另一點A,若$鵬=S△期&,求I的方程.

22

16.已知雙曲線K:17-a=l(a>0,6>。)的左、右焦點分別為《,月,E的一條漸近線方程為y=8,

過K且與x軸垂直的直線與E交于產(chǎn),。兩點,且PQ工的周長為16.

(1)求E的方程;

⑵A,2為雙曲線E右支上兩個不同的點,線段的中垂線過點C(0,4),求-ACB的取值范圍.

17.已知直線/與拋物線E:/=2x相切,且切點為2(2,2).

⑴求直線/的斜率《的值;

(2)如圖,M,N是x軸上兩個不同的動點,且滿足13Ml=|町|,直線8N與拋物線E的另一個

交點分別是P,Q,若直線尸。的斜率為左2,求心的值.

18.已知橢圓C:W+與=l(a>6>0)的右焦點為尸(1,0),離心率為交,直線/經(jīng)過點尸,且與C相

ab2

交于A,8兩點,記/的傾斜角為

⑴求C的方程;

(2)求弦A3的長(用a表示);

⑶若直線MN也經(jīng)過點產(chǎn),且傾斜角比/的傾斜角大求四邊形川面積的最小值.

19.貝塞爾曲線是由法國數(shù)學(xué)家PierreBdzMr發(fā)明的,它為計算機矢量圖形學(xué)奠定了基礎(chǔ).貝塞爾曲

線的有趣之處在于它的“皮筋效應(yīng)”,即隨著控制點有規(guī)律地移動,曲線會像皮筋一樣伸縮,產(chǎn)生視覺

⑴在平面直角坐標(biāo)系中,已知點7;在線段AS上.若AG[,月),B(x2,y2),\AT;\=a\AB\,求動點(坐

標(biāo);

(2)在平面直角坐標(biāo)系中,已知4(2,-4),5(-2,0),C(2,4),點M,N在線段AB,BC上,若動點心在

\AM\BN\MTA

線段建V上,且滿足扇=記=后=",求動點心的軌跡方程;

(3)如圖,已知4當(dāng)半),8音,手),噂,—爭,0(當(dāng)音),

若點M,N,P,X,y/分別在線

\AM\BNCP\MX\NY\XT.、

段四,BC,CD,跖V,NP,xy上,且。=7^=品=%求動點心的軌跡方程―

\AB\~BCCD~\MN\iyrA.Y

參考答案:

題號12345678910

答案BADBDDDCCDACD

題號11

答案ACD

1.B

【分析】設(shè)直線/的方程為1=沖+2,8(%22),將直線/的方程與拋物線方程聯(lián)立,利

用韋達(dá)定理得到%+%=8機,進(jìn)而得到石+%=8療+4,根據(jù)四邊形Q4總是平行四邊形,利用向量

相等求出〃/=9,最終求出。的值.

4

設(shè)直線/的方程為無=歿+2,43,%),8(如了2),

[x=my+2.

聯(lián)立2,整理得/-8陽-16=0,

[y=8ox

則X+必=8加,所以%+w=m(兇+%)+4=8川+4,

四邊形Q4EB是平行四邊形,

OP=OA+OB^即(6/)=(石+/,%+%),

6=x1+x2=8加2+4,t=yi+y2=^m9

解得m2=—,.e.t2=64m2=16,

4

”0,/.t=4.

故選:B.

2.A

\MF\2

【分析】作工石,MN,結(jié)合條件可得謁=二,結(jié)合橢圓定義求出閨耳,在RtM%,

Rt/%中,分別由勾股定理建立等式得到a,c的方程,求得答案.

【詳解】如圖,F(xiàn)2E±MN,垂足為£,

因為/曰2=/用四,所以國閶=|叫|=2c,E為耳N的中點,

.,.國N|=2a-2c,|f;E|-a-c,

"MNF~3,

2MFXF2

IIIi1,一,1\MF,\2

-2\MN\.\F2E\X-=5\MF.\.\F2E\X-,整理得第=),

94

所以L[=W(W/+2國碼,即陽用=/目,

47

1

二.|A/fi]=](a-c)+(Q-~(Q-c),

1

\MF2\=2a-\MFl\=2a-^2a-2c)=^^-,

在RtM%中,閭2,在區(qū)可月即中,閨閶2一山同2=|%『,

——2/、2

.-.(2c)2-(a-c)2+g("c),

化簡整理得5c2一8改+3/=0,

3

5/-8e+3=0,解得e=l或g,又0<e<l,

3.D

【分析】由已知可得橢圓C的半焦距,再結(jié)合橢圓的長軸可得短軸長度.

【詳解】由已知/=6-4=2,c=亞,

又2。=6,即a=3,

所以9一k=2,解得b=近,

故C的短軸長為2近,

故選:D.

4.B

【分析】設(shè)出直線方程,與橢圓聯(lián)立,由弦長為2,求出直線的斜率,進(jìn)而可知直線的傾斜角,然后

利用三角形的面積公式求解即可.

【詳解】易知耳卜20,0),設(shè)直線A3方程為:>=%(尤+2直卜

代入/1,=1整理得:(9k2+1)f+36岳2》+72^-9=0,

36岳272k2-9

所以占+%=-

9^+19k2+\

所以|AB|=#1+/)[(占+々)2—,

因為|AB|=2,代入并解得4=±[,

故直線A3的傾斜角為丁或當(dāng),

66

所以53筋=3|4可><忸耳卜缶44耳=|X2X4A/2X|=272.

故選:B.

【分析】根據(jù)雙曲線的焦點的位置進(jìn)行分類討論,結(jié)合雙曲線漸近線方程和實軸長的定義進(jìn)行求解即

可.

22

【詳解】當(dāng)雙曲線的焦點在橫軸時,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:3-2=1(。>01>0),

ab

因為實軸長為4,所以得2a=4=0=2,因為雙曲線的漸近線方程為:y=土交x,所以有2=正,

2a2

22

因止匕所以雙曲線的方程為:y-^-=l;

22

當(dāng)雙曲線的焦點在縱軸時,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:4-==1(。>0力>0),

ab

因為實軸長為4,所以得2=4n〃=2,因為雙曲線的漸近線方程為:y=土比無,所以有@=

2b2

—22

因此6=20,所以雙曲線的方程為:^-―=1.

48

2222

綜上所述,雙曲線的方程為二-乙=1或匕-±=1.

4248

故選:D

6.D

【分析】首先利用雙曲線的定義轉(zhuǎn)化|尸。+|3|=|尸。+(|尸馬+20),再結(jié)合圖象,求|PQ|+|P閭的

最小值,再聯(lián)立方程求交點坐標(biāo).

【詳解】由題意并結(jié)合雙曲線的定義可得

間|+|叫=閘+(〔*+20)=園+|*+202碇|+2忘=2忘+2忘=40,

當(dāng)且僅當(dāng)Q,尸,居三點共線時等號成立.

而直線。耳的方程為y=-x+2,由I2_°可得x==,所以y=

[%—~y—222

所以點尸的坐標(biāo)為(|彳).

所以當(dāng)且僅當(dāng)點尸的坐標(biāo)為(IJ)時,I尸Q|+|P國的最小值為4應(yīng).

W

故選:D.

7.D

【分析】對A,根據(jù)橢圓定義和余弦定理求出|尸耳卜歸耳卜?即可得出;對B,根據(jù)橢圓的有界性可

得;對C,根據(jù)耳尸心的面積建立關(guān)系求解;對D,根據(jù)耳尸耳的面積求出內(nèi)切圓半徑即可得出.

【詳解】對A,根據(jù)橢圓定義可得|尸司+|尸閶=6,貝「尸耳『+|%f+2忙耳卜|%|=36①,

在,耳尸為中,由余弦定理閨目=|尸£「+|尸閶2_2歸片卜歸;訃8$60。②,

由①②可得|WH尸司=g,所以片尸鳥的面積為;|尸£卜|尸用@!160。=9^^^=半,故A錯

誤;

對B,設(shè)貝|普+r=1,-3<x0<3,

2

MFlMF2=(-2-%0,-y0)-(2-x0,-j0)=v+y0-4

=/2+5一應(yīng)一4=笠+1,

99

則當(dāng)%=±3時,岬.〃區(qū)取得最大值為5,故B錯誤;

對C,由A,片的面積為半,則;x2cx|y/=2|y/=半,解得%=土羊,故C錯誤;

對D,設(shè),片尸此內(nèi)切圓的半徑為「,因為鳥的面積為%8,

3

所以g(|P£|+|Pg|+|£81r=¥^,即;(6+4)/=??,解得廠=,,

所以4P耳內(nèi)切圓的面積為=p故D正確.

故選:D.

8.C

【分析】先由題意結(jié)合拋物線焦半徑得凝+苫=2%,從而得加心金,將其代入£:丁=2力(°>0)

可求出E,進(jìn)而得"+廿==,再由雙曲線漸近線方程和點到直線距離公式以及勾股定理得

\PQ\=^-=2,求出。結(jié)合離心率公式即可得解.

【詳解】由題意可得%>。且拋物線E上的M(%,3)到其焦點的距離是與+點,它到y(tǒng)軸距離是%,

所以毛+言=2%=>%/,即Mgs),

將Af]"代入E:y2=2px(p>0)得32=2飛夕"0)np=3,

所以Eb=6x,焦點為乂1,0;所以。2+〃=:,

又A(-a,0),3(a,0),雙曲線漸近線方程為6x±ay=。,

不妨假設(shè)是過A,8作C的同一條漸近線法-◎=。的垂線,垂足分別為P,Q,

則雙曲線的對稱性可知A和B到漸近線區(qū)-毆=。的距離相等為|4尸|=

3

所以。2=3即。=后=,,則雙曲線的離心率為6=:=+=告.

2

【點睛】關(guān)鍵點睛:解決本題的關(guān)鍵1是由題意結(jié)合拋物線焦半徑得%+*=2x°,從而求得M,

將其代入拋物線E求出E得/+〃=1,關(guān)鍵點2是由雙曲線漸近線方程和點到直線距離公式以及勾

4

股定理得=茅=2即得。,進(jìn)而結(jié)合離心率公式得解.

9.CD

【分析】分x,y的零的大小討論,得到曲線方程,并畫出圖形,由對稱性可得A錯誤;由雙曲線的定

義可得B錯誤;由漸近線方程可得C正確;由點到直線的距離公式可得D正確;

2

【詳解】當(dāng)時,曲線C:4/=y2—4,即匕—爐=];

4

2

當(dāng)x2O,yvO時,曲線C:4%2=—y2—4,即匕+工2=—1;不存在;

4

2

時,曲線C:—4/=,2一4,即匕+%2=i;

4

2

尤<O,yVO時,曲線C:一4/=-/-4,BPx2-—=1;

對于A,由圖可得A錯誤,故A錯誤;

2

對于B,方程二-%2=1是以可,工為上下焦點的雙曲線,

4

當(dāng)xN0,y>0時,曲線C存在點P,使得|「閶一|因|=4,故B錯誤;

對于C,一三象限曲線的漸近線方程為y=2x,所以直線y=2x與曲線C沒有交點,故C正確;

對于D,設(shè)設(shè)點A在直線>=2x上,點8在直線y=-2x,

則由點到直線的距離公式可得

3=包”,磔卜氣⑷,

所以12410用=的nx=w,

A/5yj55

又點。是曲線。上在第三象限內(nèi)的一點,

代入曲線方程可得|Q^-\QB\='科=|,故D正確;

故選:CD.

10.ACD

【分析】根據(jù)橢圓方程求得4=5,4=3,。=4,雙曲線方程求得的=久=2血0=4,且橢圓的焦點

在無軸上,雙曲線的焦點在y軸上,結(jié)合橢圓和雙曲線的性質(zhì)逐項分析判斷.

22

【詳解】對于橢圓的方程為言+/1,可得q=5,4=3,仇=而7=4,

22_______

對于雙曲線的方程為匕-二=1,可得%=2夜也=2五,°?=亞運=4,

且橢圓的焦點在X軸上,雙曲線的焦點在y軸上,

對于選項A:因為雙曲線的漸近線方程為y=土子*=±彳,

所以雙曲線的一條漸近線方程為y=x,故A正確;

對于選項B:因為橢圓的焦點在x軸上,雙曲線的焦點在y軸上,

所以橢圓和雙曲線不共焦點,故B錯誤;

、.c,4

對于選項C:橢圓的禺心率e=」=w,故C正確;

q5

對于選項D:因為外〈偽,可知雙曲線的頂點在橢圓內(nèi)部,

所以橢圓和雙曲線的圖像有4個公共點,故D正確;

故選:ACD.

11.ACD

【分析】結(jié)合雙曲線和圓的性質(zhì)以及點到直線的距離公式可得A正確;由相同漸近線方程設(shè)出雙曲

線方程,再由焦距解出4即可得B錯誤;由橢圓的軌跡和圓的位置關(guān)系得到C正確;由雙曲線的定

義結(jié)合點與圓的位置關(guān)系得到D正確;

【詳解】由題意可得雙曲線C:=a=6,b=正,c=2,4(一2,0),區(qū)(2,0),

圓心坐標(biāo)A(2,3),半徑r

A,\FtF2\=2c=4,|"|=J(2+2『+(3-0)2=5,|陽=J(2_2『+(3-0/=3,

所以三角形AKK的周長是12,故A正確;

2222

B,由題意可設(shè)雙曲線石的方程為土—匕=丸或匕—±=丸,

2222

,2,2£=1

變形為標(biāo)準(zhǔn)形式三-匕=1或匕-%w0,丸w1,

22242222

又雙曲線E的焦距為8,所以24+22=42=4=4,

所以雙曲線E為/-y=8或/一/=8,故B錯誤;

C,升+|。段=8,所以。點軌跡為以耳工為焦點的橢圓,且2o=8na=4,c=2,b2=12,

22

所以軌跡方程為土+匕=1,

1612

2

9[2

圓心坐標(biāo)4(2,3)代入橢圓方程可得后+,1,

所以圓心在橢圓上,

又點。是圓上點,畫出圖形可得

所以,。的位置不唯一,故C正確;

D,由雙曲線的定義可得|尸閶-戶周=2a=2&,

所以|尸閶=|尸團+2應(yīng),

所以戶局+歸。=|尸制+|PQ|+20,

因為歸國+|PQ閆Q司,

所以當(dāng)P,。,月三點共線時,|P居|+|PQ|取得最小值|。耳|,

又因為盟的最小值為|4川一廠=5-孝,

所以盧閶+|尸0的最小值是5-等+2夜=5+|血,故D正確;

故選:ACD.

12.8

【分析】由橢圓離心率的定義列方程即可解出.

【詳解】:焦點在X軸上,由橢圓方程可知:a2=9>b2=m,

|=g,即m=8.

故答案為:8

13.2

【分析】若選擇條件①:可以根據(jù)焦點弦的弦長公式列方程號+與二號+1即可求解;若選擇

條件②:可以根據(jù)拋物線性質(zhì)以及解直角三角形知識即可求解.

【詳解】若選擇條件①:設(shè)力(%1,%),B(x2,y2),則以A8為直徑的圓的半徑R=g三+1,

根據(jù)焦點弦的弦長公式可得,以AB為直徑的圓的直徑2R=玉+%+。,

所以半徑為則詈+勺號+L解得片2.

若選擇條件②:因為以AF為直徑的圓與y軸相切,所以圓的半徑為2,

P

則4+萬一,即4=4-4,

過點A作x軸的垂線,垂足為8,如圖,

ITI

在RtABB中,由已知條件可得,ZAFB=-,\AF\=4,所以忸目:不入司=2,

則%4+2,所以4-勺稱+2,解得p=2.

故答案為:2.

146+36

-4

【分析】通過蔓葉線和圓的對稱性得到圓和蔓葉線的上半部分只有一個交點,將蔓葉線和圓的方程聯(lián)

立,分離參數(shù)后得到2a=4/一產(chǎn)(1〈尤<3)有且只有一個實數(shù)根,令/(無)=訝-版&<%<為,

4x-x-34x-x-3

求導(dǎo)分析了(無)的單調(diào)性和最值即可得到答案.

【詳解】根據(jù)蔓葉線和圓的對稱性,圓(》-2)2+尸=1與該蔓葉線恰有兩個交點,

即當(dāng)y>o時,圓和蔓葉線的上半部分只有一個交點,

即方程(4x-尤2-3)(2a-x)=/(1<X<3)有一個實數(shù)根,

4丫2—2丫

即方程2〃=耳H(l<x<3)有一個實數(shù)根’

13--24尤+9

令―<尤<3),則,(x)

4無一尤2—3

令則片號產(chǎn)或H(舍)’

所以/(x)在區(qū)間,12;產(chǎn)]內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間jI2;;,,3]內(nèi)單調(diào)遞增,

’12+3疔6+34

所以f(X)n=/[13J

m12

故當(dāng)a="上叵時,圓/一4x+3+丁=。與該蔓葉線恰有兩個交點.

4

故答案為:殳史叵.

4

15.⑴工+匚1

43

(2)y[6x-y=0或幾%-16y+10?=0

【分析】(1)由拋物線的焦點坐標(biāo)可求出C,設(shè)P(X。,%),由尸月外的面積為手可求出點P,由

橢圓的定義即可求出a,結(jié)合b==7,即可求出橢圓C的方程;

(2)由5足承=5"強可得&月/"耳,求出直線的方程,聯(lián)立直線A4的方程與橢圓方程可得求

出點A,即可求出/的方程.

【詳解】(1)由拋物線方程9=4x知鳥(1,0),所以耳(-1,0),

設(shè)P(M,%),則名叫=gx|xy0=y0=半

2

又點P(%%)在拋物線丁=心上,所以

2

解得無o=§,即。

75

根據(jù)橢圓定義2。=|尸耳|+1尸耳|=§+§=4,

,_____丫22

解得。=2,。=1,所以八萬二"百,所以橢圓。的方程為亍+q=L

達(dá)一。

=-2瓜,

2

當(dāng)x=_§時,

14

當(dāng)關(guān)=一五時,

22屈、146瓜、

所以A--或A-

又因為直線/過點尸

2466A/6

”1F而娓

可求得直線I的方程為y一半=或T2

即y/6x-y=0或痛入-16>+10萌=0.

16.⑴石:%2_二=1;

3

【分析】(1)將x=-c代入曲線£得>=±?,故得[尸片=|°凰=(,從而結(jié)合雙曲線定義以及題意

a

得,解出。涉即可得解.

4b2

——+4(7=16

、a

(2)設(shè)48:>=區(qū)+機,聯(lián)立雙曲線方程求得中點坐標(biāo),再結(jié)合弦長公式求得NACM的正切值,進(jìn)而

得NACM范圍,從而由NACB=2/ACM即可得解.

r2v2h2

【詳解】(1)將X=—c代入E:*—當(dāng)=1(。>0/>0),得,=±幺,

aba

仔*

所以|P凰=|°用=],所以|尸用=|。用=?+2a,

a4=1

所以由題得n<

4b2b=幣'

——+4〃=16

、a

2

所以雙曲線E的方程為E:尤2一二=1.

3

(2)由題意可知直線AB斜率存在且/3±括,

設(shè)AB:y=履+“2,4(久1,y1),B(x2,%),設(shè)AB的中點為M.

由22。消去》并整理得(3-六)》2-2初IT-機2-3=0,3-k2H0,

[3.x--y=3

則A=(2km)2+4(3-左2)(療+3)=12(3+機2-/)>0,即療〉左2_3,

2km3+/,2km.6m

占+々=^7^'g=--^^,yi+y2=k(,xi+x2)+2m=k-:—^+2m=j-^,

3m

------4

k23加一12+4左2

于是加點為、牛,U3),MC=yM-yc=3-k

3-K3-kkmkm

x-k2

由中垂線知k“c(8=T,所以3〃-:2+4/=_:,解得:機=3一公.

kmk

所以由A1在雙曲線的右支上可得:

3+療3+m2072c72Q

x,x=------=------>0=>m=3—k<0=>K>3,

19-3-k2m

且不+Z=---Q=2左>0=>左>0,

且A=4(3根2—3左2+9)>0=(3—22了+(3—左2)=(3—左2)(4—%2)>0n左2<3或公>4,

綜上k2>4艮flk>2,

mvl+V

3-k2

:+%2『一例%,J1+12

所以tanNACM=\A/M^\

myJl+k2

3-k2

12,3加2-3/+9r-7T,

5義3.也7'+k_/3>-3左2+9

mjl+k2V機2

3-k2

3

因為左2>4,所以機=3-尸<-1,故-3<Jvo,所以3+e(0,V3),

J-KV3-k2

所以NACM”5J.

所以NAC3=2NACME

17.(D^i=1.

(2)k2=--

【分析】(1)設(shè)直線/的方程,與拋物線聯(lián)立方程組,消去x整理后,由A=0求6的值;

(2)由題意知,兩直線的斜率互為相反數(shù),設(shè)直線的方程,與拋物線聯(lián)立方程組,求尸

點坐標(biāo),同理得。點坐標(biāo),表示出直線尸。的斜率心,化簡得心的值.

【詳解】(1)顯然直線/的斜率左存在且不為0,設(shè)直線/的方程為y-2=《(x-2),

24

與V=2x聯(lián)立,消去x整理得V9-7丁+t-4=0,

匕K.

、2

2

令A(yù)=0,即---4--4=0,

解得尤=;.

(2)由題意知,兩直線的斜率互為相反數(shù),

/、?4

設(shè)直線的方程為y—2=《x—2),與V=2x聯(lián)立,消去工整理得/一+彳一4=。,

422?書+22-2?

所以2?%=:—4,得力=7-2,從而尸,2

2/+4/+2-2-2/

將1換成V,同理可得Q2

—2—2t2—2t

所以&―2/+今+22』一今+2

2

2,2

18.(l)y+/=l

(2)答案見解析

⑶挈

【分析】(1)根據(jù)條件,直接求出。力,即可求解;

TT

(2)分a=]和1工方,當(dāng)a=T時,直接求出|A同二0,當(dāng)夕h]時,設(shè)出直線/的方程為y=A(xT),

聯(lián)立橢圓方程,利用弦長公式,即可求解;

2V2[tan2(a+-)+l]

(3)根據(jù)題設(shè),先求出a=;和a=[時,四邊形的面積,再求出aw:時,|MN|=4

1+2tan2(a+:)

2V2[tan2(a+-)+l]

從而得1出小4

X------------—,再通過化簡,得到

21+2tan2(ar+^)

8五

S=,令y=(3-cos2a)(3+sin2c),通過求出》的最大值,即可解決問題.

(3-cos2a)(3+sin2cr)

【詳解】(1)由題知c=l,又£=也,得到.=近,所以/=。2一/=2-1=1,

a2

故橢圓C的方程為《+丁=1.

2

(2)設(shè)4(占,%),2(%,%),因為直線/經(jīng)過點尸,且傾斜角為a,

TVT+y2=1,解得x=l,y=+—,此時=

當(dāng)戊=—時,直線=由<

2

X=1」

當(dāng)aw1,設(shè)直線/的方程為y=依尤一D,其中左=tana,

y=k(x-l)

由尤2消y得至lj(1+2公)d—4女2%+2r—2=0,

——+y=1

12'

所以四1二標(biāo)區(qū)一占1="><筆手=嚕/,

又A=16〃—4(1+2左2)(242-2)=8左2+8

即|AB|=2夜(tan%+l),

l+2tan<z

綜上,當(dāng)&=四時,|AB|=應(yīng);當(dāng)awf時,|陰=20(ta嗎+1)

211211l+2tan2a

(3)直線MN也經(jīng)過點尸,且傾斜角比/的傾斜角大所以ae0,空

4L4.

2V2(tan2—+1)《歷

當(dāng)a=:時,易知|肱4=夜,\AB\^--------4—=*,此時四邊形AMBN面積為

4l+2tan2-3

4

]|???.7T1nr4-\/2A/22A/2

S=—\MN\'\AB\sin—=—xV2x-------x------=--------,

2111142323

jrIT

當(dāng)戊。士時,可設(shè)MN:y=^(x—1),其中勺=tan(a+與,

44

2V2[tan2(cr+—)+1]

同理可得|MN|=------------------4——

l+2tan2(6r+^)

,-47T

2

2V2(tan—+1)45

當(dāng)a=g時,=|MN卜--------之一=;,此時四邊形AA仍N面積為

2l+2tan2^3

4

11,,-i?4?兀1A4A/2A/22近

Sc=—\MNA7\'\AB\sm—=—xJ2x------x——=--------,

2111142323

7TIT

當(dāng)aw—且aw—時,四邊形AMBN面積為

42

1r

1jrV|x2&taYa+l)xg+1)+11①

S=-|Af^|.|AB|sin^4Xl+2tan%Xi+2tan2g+:)'

「/兀、1+tani

又tan(?+一)=-------

41-tancr

sin2a,sin2a,

4^(tan2cr+l)tan2or+l-----2----*"]^+]

^4A/2XCOS<Zxcosa_______

代入①化簡得到5=2*92

1+2tana3tana+2tana+3r2sina3sin2a2sincr0

1+『——+--------+3

cosacosacosa

即s=---------君亞-------=----------------,

(1+sin%)(3+sin2c)(3-cos2o)(3+sin2a)

令y=(3—cos2a)(3+sin2。)=9+3sin2c—3cos2Q—sin2ocos2a,

令sin2a—cos2a=V2sin(2?--)=t,貝!|-sin2acos2a=,

42

Lr-'t?1o317?i_,?3TTI_._兀兀5兀)

所以+—^+―,對稱軸/=-3,又。£0,—,則2。一_y?~

222L4J4|_44J

當(dāng)2&W,即1=普J(rèn)0,爭時,t=4i,此時小=、2+,4+/=19+3〉,

428L4J-max2222

8及3040-96

所以四邊形AMBN面積的最小值為-19+30—343,

2

又逆<304后—96,所以四邊形4WBN面積的最小值里.

3343

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