PAGEPAGE273第10章計算機控制系統(tǒng)從控制系統(tǒng)中信號的形式來劃分控制系統(tǒng)的類型，可以把控制系統(tǒng)劃分為連續(xù)控制系統(tǒng)和離散控制系統(tǒng)，在前面各章所研究的控制系統(tǒng)中，各個變量都是時間的連續(xù)函數(shù)，稱為連續(xù)控制系統(tǒng)。當(dāng)控制系統(tǒng)中有一部分信號不是時間的連續(xù)函數(shù)，而是一組離散的脈沖序列或數(shù)字序列，這樣的系統(tǒng)稱為離散控制系統(tǒng)。離散控制系統(tǒng)又分為采樣控制系統(tǒng)和數(shù)字控制系統(tǒng)兩種類型。如果系統(tǒng)中的離散信號是由采樣器經(jīng)采樣獲得的脈沖序列，則這樣的離散系統(tǒng)就是采樣控制系統(tǒng)；如果離散信號是由數(shù)字元件產(chǎn)生的數(shù)字序列，則這樣的離散系統(tǒng)就是數(shù)字控制系統(tǒng)。一般來說，在采樣控制系統(tǒng)中，控制器信號是離散的脈沖序列，而受控對象信號是連續(xù)的模擬信號。因此，在這類系統(tǒng)中，必然存在著從連續(xù)模擬信號到離散脈沖信號和從離散脈沖信號到連續(xù)模擬信號的變換過程。從連續(xù)模擬信號到離散脈沖序列信號的變換過程稱為信號的采樣過程，簡稱采樣，實現(xiàn)采樣的元件稱為采樣器或采樣開關(guān)。從離散脈沖信號到連續(xù)模擬信號的變換過程稱為信號的復(fù)現(xiàn)過程，信號的復(fù)現(xiàn)過程是由被稱為保持器的元件完成的。數(shù)字控制系統(tǒng)是以計算機為控制器的閉環(huán)控制系統(tǒng)，又稱為計算控制系統(tǒng)。在數(shù)字控制系統(tǒng)中，控制器信號是離散的數(shù)字序列，而受控對象信號是連續(xù)的模擬信號。因此，在這類系統(tǒng)中，必然存在著從連續(xù)模擬信號到離散數(shù)字信號和從離散數(shù)字信號到連續(xù)模擬信號的變換過程。從連續(xù)模擬信號到離散數(shù)字信號的轉(zhuǎn)換過程稱為模/數(shù)（A/D）轉(zhuǎn)換，用A/D轉(zhuǎn)換器完成。從離散數(shù)字信號到連續(xù)模擬信號的變換過程稱為數(shù)/模（D/A）轉(zhuǎn)換，用D/A轉(zhuǎn)換器完成。離散系統(tǒng)與連續(xù)系統(tǒng)相比，有許多分析研究方面的相似性。利用z變換法研究離散系統(tǒng)，可以把連續(xù)系統(tǒng)中的許多概念和方法，推廣應(yīng)用于離散系統(tǒng)。本章首先給出線性離散控制系統(tǒng)的組成、信號采樣和保持、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述，然后介紹z變換理論和脈沖傳遞函數(shù)，最后研究線性離散系統(tǒng)穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差、動態(tài)性能的分析與綜合方法。10.1線性離散控制系統(tǒng)10.1.1采樣器在采樣控制系統(tǒng)中可以有多個位置，用得最多的是誤差采樣控制的閉環(huán)采樣系統(tǒng)，其典型結(jié)構(gòu)圖如圖10-1所示。圖中，S為采樣開關(guān)，為保持器的傳遞函數(shù)，為被控對象的傳遞函數(shù)，為測量元件的傳遞函數(shù)。圖10-1采樣系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)圖10.1.2數(shù)字控制系統(tǒng)的典型原理圖如圖10-2所示。它由工作于離散狀態(tài)下的計算機（數(shù)字控制器），工作于連續(xù)狀態(tài)下的被控對象和測量元件H(s)組成。在每個采樣周期中，計算機先對連續(xù)信號進(jìn)行采樣編碼(即轉(zhuǎn)換)，然后按控制律進(jìn)行數(shù)碼運算,最后將計算結(jié)果通過轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換成連續(xù)信號控制被控對象。因此，轉(zhuǎn)換器和轉(zhuǎn)換器是計算機控制系統(tǒng)中的兩個特殊環(huán)節(jié)。圖10-2計算機控制系統(tǒng)典型原理圖1.轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器是把連續(xù)的模擬信號轉(zhuǎn)換為離散數(shù)字信號的裝置。轉(zhuǎn)換包括兩個過程：一是采樣過程，即每隔秒對連續(xù)信號進(jìn)行一次采樣，得到采樣信號如圖10-3所示；二是量化過程，在計算機中，任何數(shù)值都用二進(jìn)制表示，因此，幅值上連續(xù)的離散信號必須經(jīng)過編碼表示成最小二進(jìn)制數(shù)的整數(shù)倍，成為離散數(shù)字信號，才能進(jìn)行運算。數(shù)字計算機中的離散數(shù)字信號在時間和幅值上都是斷續(xù)的。（采樣是時間上離散，量化是幅值上離散）圖10-3A／D轉(zhuǎn)換過程2.轉(zhuǎn)換器轉(zhuǎn)換器是把離散的數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為連續(xù)模擬信號的裝置。轉(zhuǎn)換也有兩個過程：一是解碼過程，把離散數(shù)字信號轉(zhuǎn)換為離散的模擬信號；二是復(fù)現(xiàn)過程，經(jīng)過保持器將離散模擬信號復(fù)現(xiàn)為連續(xù)模擬信號。（解碼是幅值上連續(xù)，保持是時間上連續(xù)）如果量化單位足夠小，則由量化引起的幅值的斷續(xù)性（即量化誤差）可以忽略。若認(rèn)為采樣編碼過程瞬時完成，則轉(zhuǎn)換器就可以用一個每隔秒瞬時閉合一次的理想采樣開關(guān)來表示。這樣，數(shù)字控制系統(tǒng)等效于采樣控制系統(tǒng)。在離散系統(tǒng)中，系統(tǒng)的一處或多處信號是脈沖序列或數(shù)碼，控制的過程是不連續(xù)的；不能沿用連續(xù)系統(tǒng)的研究方法。研究離散系統(tǒng)的工具是變換，通過變換，可以把我們熟悉的傳遞函數(shù)、頻率特性、根軌跡法等概念應(yīng)用于離散系統(tǒng)。10.2信號采樣與保持采樣和保持對于離散系統(tǒng)來說非常重要，因此，為了定量研究離散系統(tǒng)，必須用數(shù)學(xué)方法對信號的采樣過程和保持過程加以描述。10.2.1在采樣控制系統(tǒng)中，把連續(xù)信號轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖序列的過程稱為采樣過程，簡稱采樣。實現(xiàn)采樣的裝置稱為采樣器，或采樣開關(guān)。用表示采樣周期，單位為。表示采樣頻率，單位為；＝2＝2/T表示采樣角頻率，單位為。在實際應(yīng)用中，采樣開關(guān)多為電子開關(guān)，閉合時間極短，采樣持續(xù)時間遠(yuǎn)小于采樣周期，也遠(yuǎn)小于系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時間常數(shù)。1.采樣信號的數(shù)學(xué)表示一個理想采樣器可以看成是一個載波為理想單位脈沖序列的幅值調(diào)制器，即理想采樣器的輸出信號，是連續(xù)輸入信號調(diào)制在載波上的結(jié)果，如圖10-4所示。圖10-4信號的采樣用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述上述調(diào)制過程，則有（10-1）理想單位脈沖序列可以表示為(10-2)其中是出現(xiàn)在時刻，強度為1的單位脈沖，故式(9-1)可以寫為由于的數(shù)值僅在采樣瞬時才有意義，同時，假設(shè)所以又可表示為（10-3）2.采樣信號的拉氏變換對采樣信號進(jìn)行拉氏變換，可得(10-4)根據(jù)拉氏變換的位移定理，有所以，采樣信號的拉氏變換(10-5)3.香農(nóng)采樣定理前已指出，要對對象進(jìn)行控制，通常要把采樣信號恢復(fù)成原連續(xù)信號。但是信號能否恢復(fù)到原來的形狀，主要決定于采樣信號是否包含反映原信號的全部信息。實際上這又與采樣頻率有關(guān)。下面分析采樣前后信號頻譜的關(guān)系。式(10-2)表明，理想單位脈沖序列是周期函數(shù)，可以展開為傅氏級數(shù)的形式，即(10-6)式中，，為采樣角頻率；是傅氏系數(shù)，其值為由于在區(qū)間中，僅在時有值，且，所以（10-7）將式(10-7)代入式(10-6)，得 （10-8）再把式(10-8)代入式(10-1)，有（10-9）上式兩邊取拉氏變換，由拉氏變換的復(fù)數(shù)位移定理，得到(10-10)令，得到采樣信號的傅氏變換（10-11)其中，為非周期連續(xù)信號的傅氏變換，即（10-12）它的頻譜是頻域中的非周期連續(xù)信號，如圖10-5所示，其中為頻譜中的最大角頻率。圖10-5連續(xù)信號頻譜與采樣信號頻譜()的比較采樣信號的頻譜，是連續(xù)信號頻譜以采樣角頻率為周期的無窮多個頻譜的延拓，如圖10-5所示。其中，的頻譜稱為采樣頻譜的主分量，如曲線1所示，它與連續(xù)頻譜形狀一致，僅在幅值上變化了，其余頻譜()都是由于采樣而引起的高頻頻譜。圖10-5表明的是采樣角頻率大于兩倍的情況，采樣頻譜中沒有發(fā)生頻率混疊，利用圖10-6所示的理想低通濾波器可恢復(fù)原來連續(xù)信號的頻譜。如果加大采樣周期，采樣角頻率相應(yīng)減小，當(dāng)時，采樣頻譜的主分量與高頻分量會產(chǎn)生頻譜混疊，如圖10-7所示。這時，即使采用理想濾波器也無法恢復(fù)原來連續(xù)信號的頻譜。因此，要從采樣信號中完全復(fù)現(xiàn)出采樣前的連續(xù)信號，對采樣角頻率應(yīng)有一定的要求。圖10-6理想低通濾波器的頻率特性圖10-7連續(xù)信號頻譜與采樣信號頻譜()的比較香農(nóng)采樣定理指出：如果采樣器的輸入信號具有有限帶寬，即有直到的頻率分量，若要從采樣信號中完整地恢復(fù)信號，則模擬信號的采樣角頻率，或采樣周期必須滿足下列條件：(10-13)這就是說，如果選擇的采樣角頻率足夠高，使得對連續(xù)信號所含的最高次諧波，能做到在一個周期內(nèi)采樣兩次以上的話，那么經(jīng)采樣后所得到的脈沖序列，就包含了原連續(xù)信號的全部信息。就有可能通過理想濾波器把原信號毫無失真地恢復(fù)出來。否則采樣頻率過低，信息損失很多，原信號就不能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)。由圖10-5可見，在滿足香農(nóng)采樣定理的條件下，要想不失真地將采樣器輸出信號復(fù)現(xiàn)成原來的連續(xù)信號，需要采用圖10-6所示的理想低通濾波器，然而理想低通濾波器物理上不可實現(xiàn)，因此工程上常用零階保持器。在設(shè)計離散系統(tǒng)時，香農(nóng)采樣定理是必須嚴(yán)格遵守的一條準(zhǔn)則，它指明了從采樣信號中不失真地復(fù)現(xiàn)原連續(xù)信號的采樣周期T的上界或采樣角頻率的下界。10.2.2在采樣控制系統(tǒng)中，把脈沖序列轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號的過程稱為信號復(fù)現(xiàn)。實現(xiàn)復(fù)現(xiàn)過程的裝置稱為保持器。因為采樣器輸出的是脈沖序列，如果直接加到連續(xù)系統(tǒng)上，則中的高頻分量會給系統(tǒng)中的連續(xù)部分引入噪聲，影響控制質(zhì)量，嚴(yán)重時還會加劇機械部件的磨損，因此，需要在采樣器后面串聯(lián)一個保持器，以使脈沖序列復(fù)原成連續(xù)信號，再加到系統(tǒng)的連續(xù)部分。如圖10-8所示，最簡單的保持器是零階保持器，它將脈沖序列復(fù)現(xiàn)為階梯信號。當(dāng)采樣頻率足夠高時，階梯接近于原連續(xù)信號。圖10-8信號的復(fù)現(xiàn)零階保持器把前一采樣時刻的采樣值一直保持到下一采樣時刻到來之前。給零階保持器輸入一個理想單位脈沖，則其單位脈沖響應(yīng)函數(shù)是幅值為1，持續(xù)時間為T的矩形脈沖，它可分解為兩個單位階躍函數(shù)的和，即（10-14）對脈沖響應(yīng)函數(shù)(t)取拉氏變換，可得零階保持器的傳遞函數(shù)（10-15）在式(9-15)中，令，得零階保持器的頻率特性：(10-16)若以采樣角頻率來表示，則上式可表示為（10-17）根據(jù)上式，可畫出零階保持器的幅頻特性和相頻特性圖。如圖10-9所示。由圖可見，零階保持器具有如下特性：（1）低通特性：零階保持器基本上是一個低通濾波器，但不是理想低通濾波器。高頻分量仍有一部分可以通過，從而造成數(shù)字控制系統(tǒng)的輸出頻譜在高頻段存在紋波。圖10-9零階保持器的頻率特性（2）相角滯后特性：由相頻特性可見，零階保持器要產(chǎn)生相角滯后，且隨的增大而加大，從而使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差。10.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型離散控制系統(tǒng)的研究方法不同于連續(xù)控制系統(tǒng)的研究方法。對于連續(xù)系統(tǒng)，描述系統(tǒng)動態(tài)特性的時域數(shù)學(xué)模型為微分方程，復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型為基于拉氏變換的傳遞函數(shù)。而對于離散系統(tǒng)，由于系統(tǒng)存在脈沖序列或數(shù)字序列信號，這些信號的微分不存在，所以，系統(tǒng)動態(tài)特性不能用微分方程來描述，只能改用差分方程來描述。另外，離散信號的拉氏變換式含有復(fù)變量S的超越函數(shù)e-kTs，在數(shù)學(xué)處理上有困難，因此，研究離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具不再是拉氏變換，而是建立在拉氏變換基礎(chǔ)上的Z變換。相應(yīng)地，復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型是基于Z變換的脈沖傳遞函數(shù)。離散控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，包含三個基本內(nèi)容：差分方程；變換；脈沖傳遞函數(shù)。這些內(nèi)容與連續(xù)系統(tǒng)中數(shù)學(xué)模型的基本內(nèi)容：微分方程；拉氏變換；傳遞函數(shù)有平行的對應(yīng)關(guān)系。本節(jié)主要介紹差分方程及其解法，變換理論，脈沖傳遞函數(shù)的定義，以及求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)和閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的方法。10.對于線性定常離散系統(tǒng)，時刻的輸出，不但與時刻的輸入有關(guān)，而且與時刻以前的輸入有關(guān)，同時還與時刻以前的輸出有關(guān)。這種關(guān)系一般可以用階后向差分方程來描述，即(10-18)式中，，=1，2，…，和，＝0，1，…，為常系數(shù)，。式(9-18)稱為階線性常系數(shù)差分方程。線性定常離散系統(tǒng)也可以用階前向差分方程來描述,即(10-19)工程上求解常系數(shù)差分方程通常采用迭代法和變換法。迭代法適于用計算機求解，下面主要介紹變換法。方法如下：對差分方程兩端取變換，并利用變換的實數(shù)位移定理，得到以為變量的代數(shù)方程，然后對代數(shù)方程的解取反變換，可求得輸出序列。10.3.2變換理論變換是從拉氏變換引申出來的一種變換方法，是研究線性離散系統(tǒng)的重要數(shù)學(xué)工具。10.3.2.1變換定義由式(10-5)，采樣信號的拉氏變換(10-20)可見為的超越函數(shù)。為便于應(yīng)用，進(jìn)行變量代換（10-21）則采樣信號的變換定義為(10-22)變換定義式（10-22）變量的系數(shù)表示連續(xù)時間函數(shù)在采樣時刻上的采樣值。有時將記為(10-23)這些都表示對離散信號的變換。10.3.2.2變換方法常用的變換方法有級數(shù)求和法和部分分式法。1.級數(shù)求和法根據(jù)變換的定義，將連續(xù)信號按周期進(jìn)行采樣，將采樣點處的值代入式（10-22），可得再求出上式的閉合形式，即可求得。例10-1對連續(xù)時間函數(shù)按周期進(jìn)行采樣，可得試求。解按(10-22)變換的定義若，則無窮級數(shù)是收斂的，利用等比級數(shù)求和公式，可得閉合形式為2.部分分式法（查表法）已知連續(xù)信號的拉氏變換，將展開成部分分式之和，即且每一個部分分式都是變換表中所對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)，其變換即可查表得出例10-2已知連續(xù)函數(shù)的拉氏變換為試求相應(yīng)的變換。解將展成部分分式：對上式逐項查變換表，可得10.3.2.3變換的基本定理1.線性定理若,,,為常數(shù)，則(10-24)變換是一種線性變換，其變換過程滿足齊次性與均勻性。2.實數(shù)位移定理實數(shù)位移是指整個采樣序列在時間軸上左右平移若干采樣周期，其中向左平移為超前，向右平移為滯后。實數(shù)位移定理表示如下：如果函數(shù)是可z變換的，其變換為，則有滯后定理(10-25)以及超前定理（10-26）其中為正整數(shù)。實數(shù)位移定理的作用相當(dāng)于拉氏變換中的微分或積分定理。應(yīng)用實數(shù)位移定理，可將描述離散系統(tǒng)的差分方程轉(zhuǎn)換為域的代數(shù)方程。3.復(fù)數(shù)位移定理如果函數(shù)是可變換的，其變換為，則有(10-27)4.終值定理如果信號e(t)的z變換為E(z)，信號序列e(nT)為有限值(n＝0，1，2，…)，且極限存在，則信號序列的終值(10-28)在離散系統(tǒng)分析中，常采用終值定理求取系統(tǒng)輸出序列的穩(wěn)態(tài)值和系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。5.卷積定理設(shè)和，，為兩個采樣信號序列，其離散卷積定義為(10-29)則卷積定理可描述為：在時域中，若(10-30)則在z域中必有(10-31)在離散系統(tǒng)分析中，卷積定理是溝通時域與域的橋梁。利用卷積定理可建立離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。應(yīng)當(dāng)注意，變換只反映信號在采樣點上的信息，而不能描述采樣點間信號的狀態(tài)。因此變換與采樣序列對應(yīng)，而不對應(yīng)唯一的連續(xù)信號。不論什么連續(xù)信號，只要采樣序列一樣，其變換就一樣。10.3.2.4反變換已知變換表達(dá)式，求相應(yīng)離散序列的過程,稱為反變換，記為(10-32)當(dāng)時，，信號序列是單邊的，對單邊序列常用的反變換法有部分分式法，冪級數(shù)法和反演積分法。1.部分分式法（查表法）部分分式法又稱查表法，根據(jù)已知的，通過查變換表找出相應(yīng)的，或者。考慮到變換表中，所有變換函數(shù)在其分子上都有因子，所以，通常先將展成部分分式之和，然后將等式左邊分母中的乘到等式右邊各分式中，再逐項查表反變換。2.冪級數(shù)法變換函數(shù)的無窮項級數(shù)形式具有鮮明的物理意義。變量的系數(shù)代表連續(xù)時間函數(shù)在時刻上的采樣值。若是一個有理分式，則可以直接通過長除法，得到一個無窮項冪級數(shù)的展開式。根據(jù)的系數(shù)便可以得出時間序列的值。3.反演積分法（留數(shù)法）反演積分法又稱留數(shù)法。在實際問題中遇到的變換函數(shù)，除了有理分式外，也可能是超越函數(shù)，此時無法應(yīng)用部分分式法及冪級數(shù)法來求反變換，只能采用反演積分法。當(dāng)然，反演積分法對為有理分式的情形也適用。的冪級數(shù)展開形式為(10-33)設(shè)函數(shù)除有限個極點,,…外，在z域上是解析的，則有反演積分公式(10-34)式中表示函數(shù)在極點處的留數(shù)，留數(shù)計算方法如下：若，，為單極點，則(10-35)若為階重極點，則例10-3試用變換法解下列差分方程已知初始條件為。解：對方程兩邊取變換，并應(yīng)用時移定理，得代入初始條件，整理后得查變換表，進(jìn)行反變換得差分方程的解，可以提供線性定常離散系統(tǒng)在給定輸入序列作用下的輸出響應(yīng)序列特性，但不便于研究系統(tǒng)參數(shù)變化對離散系統(tǒng)性能的影響。因此，需要研究線性定常離散系統(tǒng)的另一種數(shù)學(xué)模型--脈沖傳遞函數(shù)。10.1.脈沖傳遞函數(shù)定義圖10-10開環(huán)采樣系統(tǒng)設(shè)離散系統(tǒng)如圖10-10所示，如果系統(tǒng)的輸入信號為，采樣信號的變換函數(shù)為，系統(tǒng)連續(xù)部分的輸出為，采樣信號的變換函數(shù)為，則線性定常離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)定義為：在零初始條件下，系統(tǒng)輸出采樣信號的變換與輸入采樣信號的變換之比，記作圖10-10開環(huán)采樣系統(tǒng)(10-36)所謂零初始條件，是指在時，輸入脈沖序列各采樣值以及輸出脈沖序列各采樣值均為零。式(10-36)表明，如果已知和，則在零初始條件下，線性定常離散系統(tǒng)的輸出采樣信號為這個定義與連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)類似，但應(yīng)注意兩者的區(qū)別。脈沖傳遞函數(shù)是在兩個采樣開關(guān)之間定義的，其中必有一個是真實的采樣開關(guān)（相對虛擬開關(guān)而言）。這就意味著在采樣系統(tǒng)中要對輸入信號（或它的某種變換形式）采樣或?qū)敵鲂盘柌蓸印?.脈沖傳遞函數(shù)的性質(zhì)（1）脈沖傳遞函數(shù)是復(fù)變量的復(fù)函數(shù)（一般是有理分式）；（2）脈沖傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)、參數(shù)有關(guān)；（3）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)與系統(tǒng)的差分方程有直接關(guān)系；（4）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列的變換；（5）系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)在平面上有對應(yīng)的零、極點分布。3.由傳遞函數(shù)求脈沖傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的拉式反變換是單位脈沖函數(shù)，將離散化得到脈沖響應(yīng)序列，將進(jìn)行變換可得到，這一變換過程可表示如下：上述變換過程表明，只要將表示成變換表中的標(biāo)準(zhǔn)形式，直接查表可得。由于利用z變換表可以直接從得到，而不必逐步推導(dǎo)，所以常把上述過程表示為，并稱之為的變換。10.當(dāng)開環(huán)離散系統(tǒng)由幾個環(huán)節(jié)串聯(lián)組成時，由于采樣開關(guān)的數(shù)目和位置不同，求出的開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)也不同。1.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開關(guān)時圖10-11（a）所示兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣器隔開，所以有 式中、分別為線性環(huán)節(jié)、的脈沖傳遞函數(shù)，即，，則由式（10-37）和（10-38）可得所以，圖10-11（a）所示系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)為可見，兩個環(huán)節(jié)間有采樣器隔開時，則環(huán)節(jié)串聯(lián)等效脈沖傳遞函數(shù)為兩個環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。同理，個環(huán)節(jié)串聯(lián)，且所有環(huán)節(jié)之間均有采樣器隔開時，則等效脈沖傳遞函數(shù)為所有環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)的乘積。即c(t)c(t)(a)c(t)(b)圖10-11環(huán)節(jié)串聯(lián)的開環(huán)系統(tǒng)2.串聯(lián)環(huán)節(jié)之間無采樣開關(guān)時如圖10-11（b）所示，由于環(huán)節(jié)間沒有采樣器，因而環(huán)節(jié)輸入的信號不是脈沖序列，而是連續(xù)函數(shù)，所以不能象圖10-11（a）那樣求，而應(yīng)先把、進(jìn)行串聯(lián)運算求出等效環(huán)節(jié)，則的變換才是、之間的脈沖傳遞函數(shù)。即（10-40）式中表示乘積經(jīng)采樣后的z變換。顯然（10-41）即各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積的z變換，不等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)z變換的乘積。由此可知，兩個串聯(lián)環(huán)節(jié)間無采樣器隔開時，則等效脈沖傳遞函數(shù)等于兩個環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)乘積經(jīng)采樣后的z變換。同理，此結(jié)論也使用于多個環(huán)節(jié)串聯(lián)而無采樣器隔開的情況，即有（10-42）3.有零階保持器時設(shè)有零階保持器的開環(huán)離散系統(tǒng)如圖10-12()所示。將圖10-12()

變換為圖10-12()所示的等效開環(huán)系統(tǒng)，則有 于是，有零階保持器時，開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)為(a)＋－(b)圖10-1(a)＋－(b)圖10-12有零階保持器的開環(huán)系統(tǒng)零階保持器不改變開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的階數(shù)，也不影響開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點，只影響開環(huán)零點。例10-4若圖10-12所示系統(tǒng)中，試求開環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。解：查變換表，進(jìn)行z變換，得根據(jù)式10-43得4.并聯(lián)環(huán)節(jié)的脈沖傳遞函數(shù)如圖10-13，先介紹兩個等效圖形：等效于等效于（a）等效于（b）圖10-13并聯(lián)環(huán)節(jié)的等效注意并聯(lián)環(huán)節(jié)后的變量是相加減關(guān)系，只有同類型的變量才能相加減。因此我們討論圖10-14所示的并聯(lián)環(huán)節(jié)。圖圖10-14并聯(lián)環(huán)節(jié)方框圖顯然有即10.由于采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中可以有多種配置，因此閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖形式并不惟一。圖10-15是一種比較常見的誤差采樣閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。圖中，虛線所示的理想采樣開關(guān)是為了便于分析而設(shè)的，所有理想采樣開關(guān)都同步工作，采樣周期為T。圖10-15閉環(huán)離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由脈沖傳遞函數(shù)的定義及開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的求法，對圖10-15可建立方程組如下：解上面聯(lián)立方程，可得該閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)（10-44）閉環(huán)離散系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)（10-45）式(10-44)和(10-45)是研究閉環(huán)離散系統(tǒng)時經(jīng)常用到的兩個閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。與連續(xù)系統(tǒng)相類似，令或的分母多項式為零，便可得到閉環(huán)離散系統(tǒng)的特征方程：(10-46)式中，為開環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)。需要指出，閉環(huán)離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)不能直接從和求變換得來，即這是由于采樣器在閉環(huán)系統(tǒng)中有多種配置的緣故。用與上面類似的方法，還可以推導(dǎo)出采樣器為不同配置形式的閉環(huán)系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)。但是，只要誤差信號處沒有采樣開關(guān)，輸入采樣信號便不存在，此時不可能求出閉環(huán)離散系統(tǒng)的脈沖傳遞函數(shù)，而只能求出輸出采樣信號的變換函數(shù)。表10-1列出了部分離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其脈沖傳遞函數(shù)。表10-1部分離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖及其脈沖傳遞函數(shù)－－結(jié)構(gòu)圖1－－2－－－3－4－5－－6－－7－－C－C對于單回路閉環(huán)系統(tǒng)計算公式（單回路梅森公式的推廣）：式中為開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，開環(huán)的定義與連續(xù)系統(tǒng)中的定義略有不同，不是從主反饋處斷開，而是從任一采樣開關(guān)處斷開，沿信號方向走一周而構(gòu)成的。既然是開環(huán)，便可按開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的定義求得。為前向通道中輸出量的z變換，它也可看成是開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)。如果將輸入視為前向通道中的一個環(huán)節(jié)，則是包括輸入在內(nèi)的由輸入到輸出前向通道的z變換函數(shù)，故亦可按開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)定義求得。需要指出的是：1）對于多回路閉環(huán)采樣系統(tǒng)，目前尚無類似于單回路梅森公式那樣通用的計算公式去計算。2）并不是所有的單回路閉環(huán)采樣系統(tǒng)的都能計算出來，只有當(dāng)單回路閉環(huán)采樣系統(tǒng)的前向通道中存在一個實際的采樣開關(guān)才可以計算出。在閉環(huán)離散系統(tǒng)方框圖簡化中，若系統(tǒng)滿足發(fā)下兩條，1）中有一條前向通道、各回路都與前向通道接觸，各回路之間也相互接觸，且各回路中都有采樣開關(guān)；2）系統(tǒng)的輸出是某個環(huán)節(jié)（或等效環(huán)節(jié)）的輸出，且該環(huán)節(jié)的輸入信號是離散信號，或者系統(tǒng)的輸出經(jīng)采樣后輸入到每個反饋通道的第一個環(huán)節(jié)，則系統(tǒng)輸出信號的Z變換為=撤除各個反饋通道后，系統(tǒng)輸出信號的Z變換/（1-各回路脈沖傳遞函數(shù)之和）10.4離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差是線性定常離散系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。在平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可以借助于連續(xù)系統(tǒng)在平面上穩(wěn)定性的分析方法。為此首先需要研究平面與平面的映射關(guān)系。本節(jié)主要討論如何在域和域中分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，同時給出計算離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的方法。10.4.1域到在變換定義中，（為采樣周期）給出了域到域的映射關(guān)系。域中的任意點可表示為，映射到域則為(10-47)于是域到域的基本映射關(guān)系式為(10-48)令，相當(dāng)于取平面的虛軸，當(dāng)從變到時，由式(10-47)知，映射到平面的軌跡是以原點為圓心的單位圓。只是當(dāng)平面上的點沿虛軸從移到時(其中，為采樣角頻率)，平面上的相應(yīng)點沿單位圓從逆時針變化到，正好轉(zhuǎn)了一圈；而當(dāng)平面上的點在虛軸上從移到時，平面上的相應(yīng)點又將逆時針沿單位圓轉(zhuǎn)過一圈。依次類推，如圖10-16所示。由此可見，可以把平面劃分為無窮多條平行于實軸的周期帶，其中從到的周期帶稱為主帶，其余的周期帶稱為輔帶。為了研究平面上的主帶在平面上的映射，可分以下幾種情況討論。圖10-16平面虛軸在平面上的映射1.等線映射平面上的等垂線，映射到平面上的軌跡，是以原點為圓心，以為半徑的圓，如圖10-17所示。由于平面上的虛軸映射為平面上的單位圓，所以左半平面上的等線映射為平面上的同心圓，在單位圓內(nèi)；右半平面上的等線映射為平面上的同心圓，在單位圓外。圖10-17平面和平面上的等軌跡2.等線映射在采樣周期確定的情況下，由式（10-48）可知，平面上的等水平線，映射到平面上的軌跡，是一簇從原點出發(fā)的射線，其相角，以實軸正方向為基準(zhǔn)，如圖10-18所示。由圖可見，平面上水平線，在平面上正好映射為負(fù)實軸。圖10-18平面和平面上的等軌跡有了以上映射關(guān)系，現(xiàn)在討論平面上周期帶在平面上的映射。設(shè)平面上的主帶如圖10-19(a)所示，通過變換，映射為平面上的單位圓及單位圓內(nèi)的負(fù)實軸，如圖10-19(b)所示。類似地，由于 因此左半平面上所有輔帶在平面上均映射為相同的單位圓及單位圓內(nèi)的負(fù)實軸。圖10-19左半平面的主帶在平面上的映射10.離散系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念與連續(xù)系統(tǒng)相同。如果一個線性定常離散系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)序列趨于零，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。由域到域的映射關(guān)系及連續(xù)系統(tǒng)的穩(wěn)定判據(jù)，可知:(1)左半平面映射為平面單位圓內(nèi)的區(qū)域，對應(yīng)穩(wěn)定區(qū)域；(2)右半平面映射為平面單位圓外的區(qū)域，對應(yīng)不穩(wěn)定區(qū)域；(3)平面上的虛軸，映射為平面的單位圓周，對應(yīng)臨界穩(wěn)定情況，屬不穩(wěn)定。所以，線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的全部極點均分布在平面上以原點為圓心的單位圓內(nèi)，或者系統(tǒng)所有特征根的模均小于l。－圖10-20例10-5的采樣系統(tǒng)例10-5圖10-20－圖10-20例10-5的采樣系統(tǒng)解：系統(tǒng)連續(xù)部分的傳遞函數(shù)為則所以，系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為①將，代入方程，得解得，均在單位圓內(nèi)，所以系統(tǒng)是穩(wěn)定的。②將代入方程，得解得因為在單位圓外，所以系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。。10.連續(xù)系統(tǒng)中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)，實質(zhì)上是用來判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在左半平面。而離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性需要確定系統(tǒng)特征方程的根是否都在平面的單位圓內(nèi)。因此在z域中不能直接套用勞斯判據(jù)，必須引入域到域的線性變換，使平面單位圓內(nèi)的區(qū)域，映射成平面上的左半平面，這種新的坐標(biāo)變換，稱為變換。1．變換與域中的勞斯判據(jù)如果令(10-49)則有(9-50)式(10-49)與（10-50）表明，復(fù)變量與互為線性變換，故變換又稱雙線性變換。令復(fù)變量，代入式(10-50)，得顯然由于上式的分母始終為正，因此可得圖10-21z平面與平面的對應(yīng)關(guān)系①等價為，表明平面的虛軸對應(yīng)于平面的單位圓周；②等價為，表明左半平面對應(yīng)于平面單位圓內(nèi)的區(qū)域；③等價為，表明右半平面對應(yīng)于平面單位圓外的區(qū)域。平面和平面的這種對應(yīng)關(guān)系，如圖10-21所示。經(jīng)過變換之后，判別特征方程的所有根是否位于平面上的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)換為判別特征方程的所有根是否位于左半平面。后一種情況正好與在平面上應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的情況一樣，所以根據(jù)域中的特征方程系數(shù)，可以直接應(yīng)用勞斯判據(jù)判斷離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，稱之為域中的勞斯穩(wěn)定判據(jù)。2．朱利穩(wěn)定判據(jù)朱利判據(jù)是直接在域內(nèi)應(yīng)用的穩(wěn)定判據(jù)，朱利判據(jù)直接根據(jù)離散系統(tǒng)閉環(huán)特征方程的系數(shù)，判別其根是否位于平面上的單位圓內(nèi)，從而判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)特征式為（10-51）為系數(shù)，為階次，且有。首先將各系數(shù)排成朱利陣列，如表10-2所示表10-2朱利陣列行數(shù)………1………2………3………/4………/5……//6……//////表中，第一行為對應(yīng)的方程系數(shù)。第二行及后面的偶次行的元素，分別為其前一行元素反順序排列而得到。陣列中各元素定義如下：，，……，，系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：且滿足（10－52）當(dāng)上述條件均滿足，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。例10-6已知采樣系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為試判別該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：朱利陣列：行數(shù)1.0.281.31212.121.310.283.-0.92-1.63-0.754.-0.75-1.63-0.92表中第三行元素為第四行只要將第三行元素反順序排列即可。現(xiàn)由式(10-52)判別個約束條件：，，所有條件均滿足，因此系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于離散系統(tǒng)而言，采樣周期和開環(huán)增益都對系統(tǒng)穩(wěn)定性有影響。當(dāng)采樣周期一定時，加大開環(huán)增益會使離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性變差，甚至使系統(tǒng)變得不穩(wěn)定；當(dāng)開環(huán)增益一定時，采樣周期越長，丟失的信息越多，對離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性及動態(tài)性能均不利。10.離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差一般來說分為采樣時刻處的穩(wěn)態(tài)誤差、與采樣時刻之間紋波引起的誤差兩部分。僅就采樣時刻處的穩(wěn)態(tài)誤差來說，其分析方法與連續(xù)系統(tǒng)類似，同樣可以用終值定理來求取；同樣與系統(tǒng)的型別、參數(shù)及外作用的形式有關(guān)。下面僅討論單位反饋系統(tǒng)在典型輸入信號作用下的采樣時刻處的穩(wěn)態(tài)誤差。1．一般方法（利用終值定理）設(shè)單位反饋的誤差采樣系統(tǒng)如圖10-22所示，為系統(tǒng)采樣誤差信號，其變換為系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)為圖10-22單位反饋離散系統(tǒng)如果的極點全部位于平面上的單位圓內(nèi)，即離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可用變換的終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差(10-53)式10-53表明，線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，與輸入序列的形式及幅值有關(guān)，而且與采樣周期的選取也有關(guān)。2．靜態(tài)誤差系數(shù)法由變換算子關(guān)系式可知，如果開環(huán)傳遞函數(shù)有個的極點，即個積分環(huán)節(jié)，與相應(yīng)的必有個的極點。在離散系統(tǒng)中，把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)具有的極點數(shù)，作為劃分離散系統(tǒng)型別的標(biāo)準(zhǔn)，把中的系統(tǒng)，稱為型、I型和II型離散系統(tǒng)等。下面在系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下討論圖10-22所示的不同型別的離散系統(tǒng)在三種典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，并建立離散系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)的概念。（1）階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)系統(tǒng)輸入為階躍函數(shù)時，其變換函數(shù)因而，由式(10-53)知，穩(wěn)態(tài)誤差為(10-54)式(10-54)代表離散系統(tǒng)在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)位置誤差。式中(10-55)稱為離散系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差系數(shù)。對型離散系統(tǒng)，不會取無窮大，從而位置誤差；對I型或I型以上的離散系統(tǒng)，,因而位置誤差。（2）斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)系統(tǒng)輸入為斜坡函數(shù)時，其變換函數(shù)因而穩(wěn)態(tài)誤差為(10-56)仿照連續(xù)系統(tǒng)，稱之為速度誤差。式中(10-57)稱為離散系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)。在速度輸入條件下，型系統(tǒng)的，所以；I型系統(tǒng)的為有限值，存在常值速度誤差；II型和II型以上系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差為零。（3）加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差；當(dāng)系統(tǒng)輸入為加速度函數(shù)時，其變換函數(shù)因而穩(wěn)態(tài)誤差為(10-58)稱為加速度誤差。式中(10-59)稱為離散系統(tǒng)的靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。加速度輸入條件下，由于型及I型系統(tǒng)的，所以，II型系統(tǒng)的為常值，加速度誤差是非零常值。歸納上述討論結(jié)果，可以得出計算典型輸入下不同型別單位反饋離散系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的規(guī)律，見表10-3。表10-3單位反饋離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)型別位置誤差速度誤差加速度誤差型∞∞Ⅰ型0∞Ⅱ型00可見，與連續(xù)系統(tǒng)相比較，離散系統(tǒng)的速度、加速度穩(wěn)態(tài)誤差不僅與、有關(guān)，而且與采樣周期有關(guān)。10.5離散系統(tǒng)的動態(tài)性能分析計算離散系統(tǒng)的動態(tài)性能，通常先求取離散系統(tǒng)的階躍響應(yīng)序列，再按動態(tài)性能指標(biāo)定義來確定指標(biāo)值。本節(jié)主要介紹在平面上定性分析離散系統(tǒng)閉環(huán)極點與其動態(tài)性能之間的關(guān)系。10.5設(shè)離散系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)，則系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的z變換通過反變換，可以求出輸出信號的脈沖序列。設(shè)離散系統(tǒng)時域指標(biāo)的定義與連續(xù)系統(tǒng)相同，則根據(jù)單位階躍響應(yīng)序列可以方便地分析離散系統(tǒng)的動態(tài)性能。例10-7設(shè)有零階保持器的離散系統(tǒng)如圖10-23所示，其中，，。試分析系統(tǒng)的動態(tài)性能。圖10-23閉環(huán)離散系統(tǒng)解先求開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)將代入上式，求出單位階躍響應(yīng)序列的變換，即：10.5離散系統(tǒng)閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點在平面上的分布，對系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)具有重要的影響。明確它們之間的關(guān)系，對離散系統(tǒng)的分析和綜合都具有指導(dǎo)意義。設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)為一般情況下，閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)可以表示為兩個多項式之比的形式，即(10-60)式中系統(tǒng)的閉環(huán)零點； 系統(tǒng)的閉環(huán)極點； 常系數(shù)，即系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)放大系數(shù)。對于實際系統(tǒng)來說，有。式中和可以是實數(shù)或復(fù)數(shù)。為了簡化討論，假定無相重極點。則系統(tǒng)在單位階躍輸入信號作用下，輸出的變換為進(jìn)行部分分式展開取的反變換，即可求得系統(tǒng)輸出在采樣時刻的離散值為式中第一項為的穩(wěn)態(tài)分量；第二項為的暫態(tài)分量，其中各子分量的形式則決定于閉環(huán)極點的性質(zhì)及其在平面上的位置，閉環(huán)極點位置與系統(tǒng)過渡過程之間的關(guān)系表示在圖10-24及圖10-25中。現(xiàn)分別討論如下：(4)(4)(5)(2)(1)0(3)(6)圖10-24實數(shù)極點對應(yīng)的暫態(tài)分量設(shè)為正實數(shù)，則對應(yīng)的暫態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律變化。又當(dāng)（１），系統(tǒng)將是不穩(wěn)定的。（２），