上次課回顧典型環節的bode圖根據傳遞函數繪制bode圖根據bode圖確定傳遞函數5.2Nyquist穩定判據閉環系統穩定的充要條件是閉環特征根均具有負實部奈魁斯特穩定判據將這個條件轉化到頻率域，是在頻率域內判定系統穩定性的準則5.2.1柯西定理（圍線映射）定理系統閉環傳遞函數其中：是閉環特征多項式

是閉環特征方程。

柯西定理：（1）除奇點外（使F(s)為不定值的解），F(s)是s的單值函數。cc′當s在根平面上的變化軌跡為一封閉曲線C時，

即當s連續[s][F(s)]某系統：若[s]j21[F(s)]﹣j0.5771.12零點：-1.5±j2.44極點：-1，-2[s]××（2）當s平面上的圍線C不包圍F(s)的零點和極點時，圍線C’必定不包圍F(s)平面的坐標原點。[s]F(s)ReIm××csF(s)（3）如果C以順時針方向包圍F(s)的一個零點，CC’CC’[s][F(s)][s][F(s)]C’將以順時針方向包圍原點一次。如果C以順時針方向包圍F(s)的一個極點，C’將以逆時針方向包圍原點一次。若z>p,N為正值,

順時針包圍;

CC’[s][F(s)]則圍線映射C’將以順時針方向包圍F(s)原點N次,N=z-p。若z<p,N為負值,

逆時針包圍。圍線映射定理是奈魁斯特穩定判據的核心（4）如果圍線C以順時針方向包圍F(s)的z個零點和p個極點，物理含義是s平面上任一封閉曲線包圍F(s)的零極點情況和它的映射在F(s)平面包圍原點的情形有關。5.2.2奈魁斯特穩定判據5.2.2.1F(s)的零點和極點設有z個零點，p個極點。設

F(s)的零點是系統的閉環極點;F(s)的極點是系統的開環極點。5.2.2.2奈魁斯特軌跡l

取根平面上的封閉圍線包圍全部s右半平面，此封閉圍線由整個虛軸(從s=-j∞到s=j∞)和右半平面上半徑為無窮大的半圓軌跡構成，這一封閉圍線c稱作

奈魁斯特軌跡（D形圍線）。F(s)的極點是開環極點F(s)的零點是閉環極點l

考察閉環系統的穩定性問題就可變為考察在奈魁斯特軌跡內是否包圍F(s)的零點—閉環極點問題。[s]S=-j∞S=j∞∞結論與問題奈魁斯特軌跡是否包圍F(s)的零極點問題＝F(s)在[s]右半平面是否存在零極點問題

F(s)在[s]右半平面是否存在零極點問題與奈氏軌跡映射F(s)包圍坐標原點有關。如果F(s)在[s]右半平面沒有零極點，F(s)就不包圍坐標原點。反之，如果F(s)不包圍坐標原點，是否說明F(s)在[s]右半平面沒有零極點？？？根據F(s)包圍坐標原點的情況，可以提供F(s)零極點的哪些信息？？？根據F(s)包圍坐標原點的情況，可以提供F(s)零極點的差值信息。l

根據上述的映射定理，在s平面的奈魁斯特軌跡包圍F(s)的零極點問題可以等效為其映射在F(s)平面上包圍原點的問題。以上是奈魁斯特穩定判據的基本原理。l

求出奈魁斯特軌跡的映射，考察其包圍原點的情況，同時知道s右半平面的開環極點數，就可以知道s右半平面F(s)的零點數，即系統不穩定的閉環極點數，并以此判斷系統的閉環穩定性。l

其映射恰好是系統的開環頻率特性。1、沿無窮大半徑的半圓路徑奈魁斯特軌跡的二個組成部分：為什么s平面上的奈魁斯特軌跡在F(s)平面上的映射就是系統的開環頻率特性???2、沿虛軸路徑所對應的直線[s]S=-j∞S=j∞∞這部分上s取值：s→∞這部分上s取值：s＝jω(-∞＜ω＜+∞)（1）沿無窮大半徑的半圓路徑：當s趨向無窮大時，有奈魁斯特軌跡的這一部分映射到F(s)平面上是一個點。開環傳遞函數G(s)H(s)的一般形式為：（2）沿虛軸路徑：當取s＝jω(-∞＜ω＜+∞)圍線映射F(jω)＝1＋G(jω)H(jω)下圖是奈魁斯特軌跡在F(s)平面上的映射圖。[s]∞→←其中G(jω)H(jω)恰好是系統的開環頻率特性。

l

F(s)與系統開環傳遞函數G(s)H(s)僅相差一個單位量，即F(s)－l＝G(s)H(s)。l

F(jω)曲線對原點的包圍情況與G(jω)H(jω)曲線對于(-l，j0)點的包圍情況完全相當。l

只要將F(jω)曲線向負實軸方向平行移動1個單位，即是G(jω)H(jω)曲線。奈魁斯特軌跡在G(jω)H(jω)平面上的映射關系：當奈魁斯特軌跡順時針包圍F(s)的z個零點和P個極點時，在G(jω)H(jω)平面內的映射圍線G(jω)H(jω)(開環頻率特性)，必定順時針包圍(-1，j0)點N次，且N＝z-p。××●[s]∞×-1,j05.2.2.3奈魁斯特穩定判據利用開環頻率特性G(jω)H(jω)判別系統閉環穩定性。（1）當系統為開環穩定時，只有當開環頻率特性G(jω)H(jω)不包圍（-1，j0）點，閉環系統才是穩定的。（2）當開環系統不穩定時，若有P個開環極點在[s]右半平面時，只有當G(jω)H(jω)逆時針包圍(-1，j0）點P次，閉環系統才是穩定的。N＝z-p解釋：(1)

開環穩定情況：G(jω)H(jω)不包圍（-1，j0）點(2)

開環不穩定情況：G(jω)H(jω)逆時針包圍（-1，j0）點p次—[s]右半平面沒有F(s)的極點—s右半平面有p個F(s)的極點—p個開環極點==沒有閉環極點在[s]右半平面F(s)的零點=奈氏軌跡不包圍==沒有閉環極點在s右半平面=奈氏軌跡不包圍F(s)的跡順時針包圍F(s)的p個極點=奈氏軌F(s)的極點是開環極點F(s)的零點是閉環極點閉環穩定任何零點閉環穩定說明：（1）通常遇到的是開環穩定系統，此時，記住第一條，不用考慮方向。（2）因為G(jω)H(jω)和G(-jω)H(-jω)共軛，與實軸對稱，只畫出一半即可。判斷是以ω由-∞→+∞變化為準。方向：以ω增加時開環頻率特性變化的方向。（3）何謂包圍：繞點一個360°為準叫作包圍一次?！聊姘鼑?次×逆包圍2次×不包圍×不包圍﹣1K5.2.2.4奈魁斯特穩定判據應用例5-3

開環為一階系統，利用奈魁斯特穩定判據判別系統的閉環穩定性。(1),開環穩定，p=0；(2)畫開環系統的極坐標圖無論K取何值，均不包圍-1，j0點，閉環系統穩定。只要K>1，逆時針包圍-1，j0點一次，閉環系統穩定。,開環不穩定,p=1﹣1,j0﹣KK<1，不包圍，閉環系統不穩定。K＝1？

例5-4開環為二階系統，利用奈魁斯特穩定判據判別系統的閉環穩定性。P=0P=1P=2wwK﹣KK取任意值，曲線均不包圍(-1，j0)點，閉環穩定。（奈氏判據第一條）

K>1，逆時針包圍(-1，j0)一次，閉環穩定。K<1，不包圍(-1，j0)點，閉環不穩定。K＝1，曲線穿過(-1，j0)，臨界穩定。K取任意值，均不包圍(-1，j0)點，有2個不穩定閉環極點。閉環不穩定。(奈氏判據第二條)

﹣1wK﹣1﹣1習題5-7已知開環傳遞函數為：試畫出系統極坐標圖,并確定閉環穩定條件。系統為開環不穩定系統，有一個不穩定開環極點，如果系統閉環穩定，開環頻率特性必須逆時針繞(－1,j0)點一次。分析：分析：與虛軸無交點（在實頻范圍內無解）。在正頻范圍內計算ω>0：確定起始點：ω=0時，終點：ω→∞實部等于－1時，K1＝10（ω=0），K2＝28（ω2=3）。閉環系統穩定范圍10<K<28K=15K=10K=28K=35則圍線映射C’將以順時針方向包圍F(s)原點N次,N=z-p。CC’[s][F(s)]如果圍線C以順時針方向包圍F(s)的z個零點和p個極點，柯西定理：

C取奈魁斯特軌跡，F(s)取F(s)=1+G(s)H(s)

F(s)的的極點是開環極點(p)，F(s)的零點是閉環極點(z)

由于F(s)與G(s)H(s)只差單位1，柯西定理可解釋為：如果圍線C以順時針方向包圍F(s)的z個零點和p個極點，則G(jw)H(jw)將以順時針方向包圍（-1,j0)N=z-p次。奈魁斯特穩定判據：柯西定理可解釋為：如果s右半平面存在z個F(s)的零點（閉環極點）和p個極點（開環極點），則G(jw)H(jw)將以順時針方向包圍（-1,j0)N次,N=z-p。若使系統閉環穩定，必有z＝0。因此有，G(jw)H(jw)將以逆時針方向包圍（-1,j0)p次。（已知N和P，求Z）（1）當系統為開環穩定時（p＝0），只有當開環頻率特性G(jω)H(jω)不包圍(-1，j0)點，閉環系統才是穩定的。（2）當開環系統不穩定時，若有P個開環極點在[s]右半平面時，只有當G(jω)H(jω)逆時針包圍(-1，j0)點P次，閉環系統才是穩定的。奈魁斯特穩定判據若開環極點在虛軸上，則奈氏軌跡經過時，開環傳遞函數為不定值，其映射不封閉，需改進奈氏軌跡。G(jω)H(jω)在原點取一小半圓，ε為半徑，讓,θ從-90°變化到+90°。改進后的奈魁斯特軌跡圖:的零極點仍被包圍在這個封閉曲線內。當ε→無窮小時，在原點的小圓→0。因此，F(s)在右半平面改進方法（僅討論開環極點在原點情況）：5.2.3奈魁斯特軌跡穿過F(s)奇點情況D0+0﹣ABC[S]例5-5：(1)(BC)若系統開環傳遞函數為：利用奈奎斯特穩定判據判定系統的閉環穩定性。解：GHGH(2)(CD)當s沿著R=∞右半圓運動時,其映射在GH平面上僅一點，GH=0。(3)(DA段)

ω=-∞→0-時，其映射與0+→∞對稱。

(4)(AB段)

,

s從0-→0+時，θ從-90°~90°,對應的映射為：

.因此，映射GH為半徑為∞，角度從+90°到-90°的半圓（順時針方向）。此例系統中，沒有開環極點在s右半平面，開環頻率特性曲線不包圍-1，j0點。因此，該閉環系統穩定。GH×總結：當開環傳遞函數包含因子當s沿半徑為ε(ε→0)的半圓運動時，其映射圖形就具有n個順時針方向的半徑為無窮大的半圓環繞原點。例：當θ的角度：－90°→90°G(s)H(s)的角度：180°→－180°0+0﹣ABCD[S]例中，順時針包圍（－1，j0）點兩次；沒有不穩定開環極點右半平面有兩個閉環極點閉環系統不穩定×-1總結：當開環傳遞函數不存在積分項（0型系統），使用開環頻率特性判斷閉環系統的穩定性。當開環傳遞函數存在積分項（1型以上系統），要在開環頻率特性GH基礎上，從s=0-的映射出發順時針畫輔助連線（半徑無窮大）到s=0+的映射處，以此封閉曲線判斷閉環系統的穩定性。注意：畫開環頻率特性GH曲線（極坐標圖）時不需要畫輔助線，只有在判斷穩定性時才需要畫輔助線。5.2Nyquist穩定判據閉環系統穩定的充要條件是閉環特征根均具有負實部；奈魁斯特穩定判據將這個條件轉化到頻率域，是在頻率域內判定系統穩定性的準則；

Nyquist穩定判據的特征不求取閉環特征根利用開環頻率特性判斷閉環系統的穩定性能了解系統的絕對穩定性和相對穩定性奈魁斯特穩定判據建立在系統極坐標圖上；理論依據是復變函數中的柯西定理。5.2.4奈魁斯特穩定判據的物理意義對于開環穩定的系統：(1)G(jω)H(jω)不包圍(-1，j0)點，閉環系統穩定。(2)G(jω)H(jω)包圍(-1，j0)點，閉環系統不穩定。(3)G(jω)H(jω)通過(-1，j0)點，閉環系統臨界穩定，在虛軸上存在閉環極點。頻域上的（－1，j0）點如同根平面上的虛軸一樣重要?？汕蠼獬鲆粚μ摳忸}思路：利用系統臨界穩定時的已知條件：（1）Im(GH)=0,Re(GH)=-1（2）例5-61.試確定開環放大倍數K的臨界值Kc與時間常數的關系。從相角條件解出，解出：把ωa代入幅值條件，分析：使閉環系統穩定的條件是：設T=2，開環傳遞函數如下：2.令T=2，K取不同值，(<1.5),(=1.5),分析系統的穩定性。(>1.5)作圖，用奈魁斯特穩定判據w=￥ReIm01=-mn2=-mn3=-mn2.令T=2，K取不同值，(<1.5),(=1.5),分析系統的穩定性。K<1.5，不包圍(-1,j0)點，閉環穩定。K>1.5，順時針包圍(-1,j0)點2次，系統存在2個實部為正的閉環極點。閉環不穩定。開環穩定系統(>1.5)作圖，用奈魁斯特穩定判據K=1.5，穿過(-1,j0)點2次，,系統存在2個共軛虛根，。閉環臨界穩定。K<1.5﹣1﹣1﹣1K=1.5K>1.5求出K’<0.75，即0<K<1.5為穩定邊界條件。求出結論與利用奈氏穩定判據完全相同。=0根據輔助方程勞斯判據判斷系統的穩定性/選擇填空題奈魁斯特穩定判據是利用（）頻率特性去判斷（）系統的穩定性。1開環2閉環

1開環2閉環開環閉環5.2Nyquist穩定判據（1）當系統為開環穩定時（p＝0），只有當開環頻率特性G(jω)H(jω)不包圍(-1，j0)點，閉環系統才是穩定的。（2）當開環系統不穩定時，若有P個開環極點在[s]右半平面時，只有當G(jω)H(jω)逆時針包圍(-1，j0)點P次，閉環系統才是穩定的。

Nyquist穩定判據的特征不求取閉環特征根利用開環頻率特性判斷閉環系統的穩定性能了解系統的絕對穩定性和相對穩定性奈魁斯特穩定判據建立在系統極坐標圖上；理論依據是復變函數中的柯西定理。5.2Nyquist穩定判據（1）當系統為開環穩定時（p＝0），只有當開環頻率特性G(jω)H(jω)不包圍(-1，j0)點，閉環系統才是穩定的。（2）當開環系統不穩定時，若有P個開環極點在[s]右半平面時，只有當G(jω)H(jω)逆時針包圍(-1，j0)點P次，閉環系統才是穩定的。

Nyquist穩定判據的特征不求取閉環特征根利用開環頻率特性判斷閉環系統的穩定性

能了解系統的絕對穩定性和相對穩定性奈魁斯特穩定判據建立在系統極坐標圖上；理論依據是復變函數中的柯西定理。5.3穩定裕度及其分析方法5.3.1穩定裕度的基本概念工程上將G(jω)H(jω)曲線離開(-1，j0)的遠近程度，叫穩定裕度，它是在頻率域內衡量系統相對穩定性的指標。曲線離(-1,j0)點的距離從兩方面考慮:即當時，相位差與-180°差多少？當∠時，幅值比與1差多少？

●●-1,j01●●-1,j0rr定義：相位裕度:幅值裕度:閉環穩定系統:(截止頻率）增益裕度●●-1,j01●●-1,j0rr閉環不穩定系統:閉環臨界穩定系統:GM>1GM<1GM=1對開環最小相位系統：對數坐標圖上穩定裕度的表示法：200﹣20﹣90°﹣180°rR閉環穩定系統200﹣20﹣90°﹣180°200﹣20﹣90°﹣180°rR閉環不穩定系統臨界穩定系統一般，r,R’越大，系統穩定裕度越大，但不能盲目追求過大的穩定裕度。工程上，經常取R’=0.5，幅值裕度：開環最小相位系統5.3.2系統穩定裕度的求解方法例5-7標準二階慣性系統的方塊圖如圖，求穩定裕度。﹣GXY系統開環和閉環傳遞函數分別為：得到系統開環頻率特性：其中，幅頻特性：相頻特性：問題？如何求解系統的幅值裕度和相位裕度？？求穩定裕度的步驟：(1)對于開環頻率特性G(jω)H(jω)，寫出幅頻特性和相頻特性。例5-8：圖中所示為一個宇宙飛船控制系統的方塊圖。（1）求增益裕度；（2）為了使相位裕度等于50°，試確定增益K值。K(s+2)﹣解：因為相位曲線不和-180°線相交，所以增益裕度為無窮大，沒有相位交角頻率。增益裕度這個K值將產生相位裕度50°。K(s+2)﹣要求相位裕度為50°，意味著必須等于-130°，的模必須等于1。當ω=2.38時，因此，相位裕度例5-9：某單位反饋的最小相位系統，其開環系統的漸近對數幅頻特性如圖所示，(1)

求取系統的開環傳遞函數。(2)用穩定裕度判斷系統穩定性。(4)要求系統具有30o的穩定裕度，求開環放大倍數應改變的倍數。(3)系統有一延滯環節時，在什么范圍內系統是穩定。（1）系統開環傳遞函數的基本形式為解：﹣60dB/dec100.120lgG/dB﹣20dB/dec﹣40dB/dec400(2)用穩定裕度判斷系統穩定性100.120lgG/dB﹣20dB/dec﹣40dB/dec40﹣60dB/dec0開環對數幅頻特性為（各漸近線方程）系統開環對數相頻特性為:

幅值裕度計算略，R>0，在頻率范圍(0.1≤ω≤10)內，求解幅值交角頻率。相角為：故系統閉環穩定。>0100.120lgG/dB﹣20dB/dec﹣40dB/dec40﹣60dB/dec0（弧度→度）(度)加入延遲環節后，原幅值交角頻率ωc不變，相頻特性發生滯后。解得：若使系統穩定，必須(3)系統增加一延滯環節時，在什么范圍內系統是穩定。100.120lgG/dB﹣20dB/dec﹣40dB/dec40﹣60dB/dec0分析：增加延遲環節不改變原幅頻特性，只改變相頻特性。穩定裕度法說明(擴展到非最小相位系統）

對某些系統，兩個穩定裕度是互相矛盾的，此時需利用奈魁斯特穩定判據或根軌跡判定系統的穩定性。單一的穩定裕度不能說明整個系統的穩定性，必需使用兩個穩定裕度。穩定裕度法對某些系統不適用。一階和二階最小相位系統的增益裕度為無窮大。為避免2個指標的歧義，Smith提出了矢量裕度的概念，即用開環頻率特性G(jω)H(jω)曲線離(-1，j0)的最短距離表示系統的穩定裕度。●●-1,j01過去由于計算繁瑣，沒有推廣計算機幫助實現5.3.3

利用穩定裕度法分析與設計控制系統5.3.3.1調節器調節規律對穩定裕度的影響當廣義對象確定之后，可以通過改變調節器的結構和參數，滿足系統對穩定裕度的要求。調節器的頻率特性與廣義對象的頻率特性相乘。GcyG0x+﹣1、比例作用

比例作用是最基本的控制作用。相當于調整系統的開環增益，Kc增加，減少穩態誤差。但使系統的相對穩定性（穩定裕度）降低。改變Kc，開環頻率特性的對數幅頻曲線上下移動，對相頻特性沒有影響。Kc↑，幅頻特性上移，R↓r↓，使幅值裕度和相位裕度降低。1、大Kc2、小Kcr2R22、比例積分作用1、有積分2、無積分增添一個開環極點，提高系統的型，改善系統的靜態特性，消除系統的余差；使系統的動態特性變差；積分作用在低頻段起作用，使幅值比增加,相滯角增加，因此，R↓,r↓-R2r2-當Ti↓，比例積分特性曲線右移，使R,r更為減小。為使積分作用不致對動態品質影響太大,故Ti不能太小。一般工程上取Ti=(0.5~1)Tg3、比例微分作用微分作用在高頻段起作用，使幅值↑，相位超前，其結果使r↑R↑。繼續增大Td，其相位超前最大為90o；幅值卻不斷增加，反而使R↓。所以一般Td不能太大,一般取這時幅值比為1.3~2，相角超前45o~60o。由于引入，一般可以使R↑，所以可適當增加，減小，增加PI作用。1、無微分2、小Td5.3.3.2控制系統設計的穩定裕度法降低增益可以提高穩定裕度，但會降低穩態精度；根據穩定裕度要求，設計校正裝置，滿足系統要求；校正裝置－增加開環零極點，改變傳遞函數；

PID調節器是工業控制中應用最廣泛的校正裝置；控制系統的性能指標－時域動態、靜態指標；設計超前（微分）校正裝置，滿足動態指標；滯后（積分）校正裝置，滿足靜態指標；穩定裕度是在頻域內表示相對穩定性的指標，防