第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容：1、建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型2、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法

微分方程

傳遞函數(shù)

方塊圖

信號(hào)流圖第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容：1、建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型2、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法微分方程

傳遞函數(shù)

方塊圖

信號(hào)流圖/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型

RLC電路網(wǎng)絡(luò)i+-URCUcL/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型RLC電路網(wǎng)絡(luò)i+-URCUcL/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型齊次方程通解非齊次方程特解系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，代表自由運(yùn)動(dòng)由方程特征根決定系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解系統(tǒng)的輸出包含兩個(gè)組成部分，一部分是由初始狀態(tài)產(chǎn)生與輸入無關(guān)，一部分由輸入產(chǎn)生，與初始狀態(tài)無關(guān)采用微分方程的形式描述輸入輸出關(guān)系，方法直觀，借助于計(jì)算機(jī)可以快速而準(zhǔn)確的求出結(jié)果。但是如果系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)改變或者某個(gè)參數(shù)變化時(shí)，就要重新列寫并求解微分方程，不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)。/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型對(duì)象微分方程：

（2-1-1）對(duì)于條件2，在工程應(yīng)用中有一個(gè)看似簡單但常被誤解的問題：右端函數(shù)f（t）在初始時(shí)刻不連續(xù)所帶來的初值跳變問題。在研究控制系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)常遇到如下情況：系統(tǒng)原來靜止，而在某一時(shí)刻加入輸入量，即該輸入量在該時(shí)刻由0跳變到某一非零值。/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型對(duì)象微分方程：

（2-1-1）t0單位階躍函數(shù)t1a0延時(shí)單位階躍函數(shù)/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型對(duì)象微分方程：（2-1-1）t0單位階躍函數(shù)t1a0延時(shí)單位階躍函數(shù)由于f(t)在t=0時(shí)刻不連續(xù)，則在包含點(diǎn)t=0的區(qū)間內(nèi)沒有唯一解。因此，初始時(shí)刻不連續(xù)會(huì)帶來解的初值跳變問題，正確處理這一問題相當(dāng)繁冗。/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型Laplace變換可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型，將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程形式，便于求解，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。微分方程是系統(tǒng)的時(shí)域模型不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)，難于處理初值跳變問題/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型Laplace變換可以得到控制系統(tǒng)在復(fù)數(shù)域中的數(shù)學(xué)模型，將微分方程轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程形式，便于求解，而且可以用來研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)性能的影響。微分方程是系統(tǒng)的時(shí)域模型不便于對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析設(shè)計(jì)，難于處理初值跳變問題/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型Laplace變換可以簡化微分方程的求解拉普拉斯變換復(fù)習(xí)Laplace變換把實(shí)數(shù)域中的積分、微分計(jì)算變換成復(fù)數(shù)域中的代數(shù)運(yùn)算，類似對(duì)數(shù)運(yùn)算。

求階躍函數(shù)的Laplace變換：求指數(shù)函數(shù)的Laplace變換：求單位脈沖函數(shù)的Laplace變換：利用拉氏變換求解微分方程：

求下式的Laplace反變換，并求解原函數(shù)

其中：查表：利用拉氏變換求解微分方程：

求下式的Laplace反變換，并求解原函數(shù)

其中：查表：拉普拉斯變換常用基本性質(zhì)：微分定理若初始條件為零，則有……位移（滯后）定理終值定理初值定理初始條件為零時(shí)，積分定理拉普拉斯變換常用基本性質(zhì)：試求下列微分方程的拉氏變換，并利用拉氏反變換求出時(shí)域解。第一步：對(duì)時(shí)域微分方程兩端求拉氏變換，將時(shí)域方程轉(zhuǎn)換為復(fù)數(shù)域的代數(shù)方程第二步：整理代數(shù)方程，建立輸出量與輸入量之間的關(guān)系第三步：采用部分分式展開法或其他相關(guān)方法將代數(shù)方程展開第四步：查表得到拉氏反變換/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型初始條件為零的線性定常系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。記作定義：2.1傳遞函數(shù)/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型初始條件為零的線性定常系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。記作定義：2.1傳遞函數(shù)/§2控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型初始條件為零的線性定常系統(tǒng)輸出的拉普拉斯變換與輸入的拉普拉斯變換之比。記作定義：2.1傳遞函數(shù)對(duì)于初始條件為0的常微分線性方程：其傳遞函數(shù)可以寫為：對(duì)于初始條件為0的常微分線性方程：其傳遞函數(shù)可以寫為：

2.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以由它的微分方程式經(jīng)拉氏變換得到。1、比例環(huán)節(jié)：2.2典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)一個(gè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以由它的微分方程式經(jīng)拉氏變換得到。1、比例環(huán)節(jié)：杠桿，分壓器，運(yùn)算放大器，氣動(dòng)閥2、一階慣性環(huán)節(jié)：幾種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：TsY(s)+Y(s)=kX(s)TsY(s)+Y(s)=kX(s)2、一階慣性環(huán)節(jié)：幾種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：RL電路，液位系統(tǒng)，氣體儲(chǔ)罐+-UiRCUc一階慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：3、二階慣性環(huán)節(jié)：幾種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：as2Y(s)+bsY(s)+cY(s)=kX(s)(as2+bs+c)Y(s)=kX(s)3、二階慣性環(huán)節(jié)：幾種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：RLC電路網(wǎng)絡(luò)i+-URCUcL傳遞函數(shù)：二階慣性環(huán)節(jié)4、高階環(huán)節(jié)：兩端進(jìn)行拉氏變換得通式總有n≥m，真分式；n=1，一階系統(tǒng)；n=2，二階系統(tǒng)；n≥3，高階系統(tǒng)。幾種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：5、積分環(huán)節(jié)：6、微分環(huán)節(jié)：幾種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：7、PID環(huán)節(jié)：幾種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：8、純滯后環(huán)節(jié)和帶有純滯后的一階環(huán)節(jié)：拉氏變換的位移定理幾種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)：ytxt注意：2、傳遞函數(shù)分母中s的最高次冪表示系統(tǒng)的階次。1、微分方程與傳遞函數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的，典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)要牢記。3、含項(xiàng)，表示帶有純滯后特性。由于拉氏變換是一種線性積分運(yùn)算，因此經(jīng)過拉氏變換得到的傳遞函數(shù)僅適用于線性定常系統(tǒng)；傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)的自身結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)，與輸入量，初始條件無關(guān)；（為什么?）傳遞函數(shù)只描述系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，不能反映系統(tǒng)的物理組成，因此物理結(jié)構(gòu)完全不同的系統(tǒng)，可以有相同的傳遞函數(shù)；實(shí)際系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式的階次與分子多項(xiàng)式的階次應(yīng)滿足；（為什么？）傳遞函數(shù)的性質(zhì)傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，它的階次代表了系統(tǒng)的階次。為什么？傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，它的階次代表了系統(tǒng)的階次。傳遞函數(shù)是復(fù)變量的有理分式，分子、分母多項(xiàng)式中的各項(xiàng)系數(shù)均為實(shí)數(shù)，是由系統(tǒng)的物理參數(shù)決定的，若傳遞函數(shù)具有復(fù)數(shù)零、極點(diǎn)，則其必然共軛出現(xiàn)。第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容：1、建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型2、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法微分方程

傳遞函數(shù)

方塊圖

信號(hào)流圖第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型主要內(nèi)容：1、建立被控對(duì)象的數(shù)學(xué)模型2、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述方法微分方程

傳遞函數(shù)

方塊圖

信號(hào)流圖2.3系統(tǒng)方塊圖G1(s)G2(s)H(s)Y(s)E(s)X(s)-方塊圖：應(yīng)用傳遞函數(shù)方塊描述信號(hào)在控制系統(tǒng)中流通過程的圖解表示法

◆

系統(tǒng)每一環(huán)節(jié)用一個(gè)方塊表示，里面寫上它的傳遞函數(shù)

◆各變量用它的拉氏變換式表示G1(s)H(s)Y(s)◆方塊之間的連接按控制信號(hào)的作用關(guān)系（信號(hào)流向而不是工藝流程）用有向線段（箭頭）畫出。◆

輸入信號(hào)指向方塊圖，輸出信號(hào)從方塊圖指出。◆

輸出信號(hào)Y(s)是輸入信號(hào)與方塊內(nèi)傳遞函數(shù)運(yùn)算的結(jié)果：Y(s)=G2(s)U(s)G1(s)G2(s)H(s)Y(s)E(s)X(s)-注意：畫圖規(guī)范，箭頭、加減號(hào)、變量符號(hào)（2）相加點(diǎn)±X1X2Y(比較器)G1(s)X1G2(s)X2±Y（3）分支點(diǎn)：相同的信號(hào)送到不同的地方Y(jié)1X1Y21、方塊圖中的基本符號(hào)（1）環(huán)節(jié)與通道G(s)X(s)Y(s)2、方塊圖的基本連接形式(1)

串聯(lián)G1(s)X(s)Y1(s)G2(s)Y2(s)G3(s)Y(s)串聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的乘積。(2)

并聯(lián)G1(s)X1(s)Y1(s)G2(s)X2(s)Y2(s)X(s)±Y(s)并聯(lián)環(huán)節(jié)總的傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)之和。(3)反饋G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－X(s)Y(s)負(fù)反饋：Y(s)G(s)H(s)Y(s)+若正反饋：G(s)：前向通道傳遞函數(shù)，H(s)：反饋通道傳遞函數(shù)，G(s)H(s)：開環(huán)傳遞函數(shù)，1+G(s)H(s):系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式，1+G(s)H(s)=0：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程。當(dāng)H(s)=1時(shí)，稱為單位反饋系統(tǒng)

G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－例2-2-1

求(1)求Y(s)/X(s)設(shè)F(s)=0,Y2(s)=0,Y(s)=Y1(s)G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋被控對(duì)象XF++Y1Y2被控對(duì)象Y(2)求Y(s)/F(s)設(shè)X(s)=0，E(s)=0-Z(s)=-Z(s)X(s)G(s)E(s)H(s)Z(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋(3)求E(s)/X(s)總結(jié)(單回路):傳遞函數(shù)的分母相同，,分子是從輸入到輸出（按箭頭方向）前向通道的傳遞函數(shù)。G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋設(shè)F(s)=0,F(s)Y2(4)求E(s)/F(s)(5)(6)G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋例2-2-2求在X(s)、F(s)共同作用下的Y(s)。利用線性疊加原理，此時(shí)Y(s)等于兩輸入單獨(dú)作用之和。G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋＋Y(s)=例2-2-2求在X(s)、F(s)共同作用下的Y(s)。利用線性疊加原理，此時(shí)Y(s)等于兩輸入單獨(dú)作用之和。G(s)E(s)H(s)Z(s)X(s)Y(s)－F(s)Y1Y2＋＋Y(s)=3、方塊圖的等效變換規(guī)則利用方塊圖的等效變換規(guī)則，化簡系統(tǒng)至基本連接形式，便于傳遞函數(shù)的計(jì)算。（1）在無函數(shù)方塊的支路上，相加點(diǎn)可以交換XYX1X2＋＋－＋XYX1X2＋＋＋－Y=X＋X1－X2

Y=X－X2＋X1（2）在無函數(shù)方塊的支路上，分支點(diǎn)可交換XYY1Y2XYY1Y2（3）分支點(diǎn)、相加點(diǎn)不能互換YX1X2＋Y1YX1X2＋Y1相同性質(zhì)的點(diǎn)可以交換，不同性質(zhì)的點(diǎn)不可交換。X=Y1=Y2=YX=Y2=Y1=YY1=X1+X2Y1=X2（4）相加點(diǎn)變位

XYX1X2＋＋＋XYX2X1＋＋＋＋Y=X＋X1＋X2

Y=X＋X2＋X1（5）相加點(diǎn)跨越方塊，（a）后移：YX1X2＋GYX1X2＋GGY(s)=X1(s)G(s)+X2(s)G(s)Y(s)=X1(s)G(s)+X2(s)G(s)后移乘G（b）前移：YX1X2＋GY(s)=G(s)X1(s)+X2(s)Y(s)=G(s)X1(s)+X2(s)YX1X2＋G（5）相加點(diǎn)跨越方塊，后移乘G；前移除G；（6）分支點(diǎn)跨越方塊,

（a）后移：YX1GY1YX1GY1Y(s)=G(s)X1(s)Y1(s)=X1(s)Y(s)=G(s)X1(s)Y1(s)=X1(s)后移除G,（b）前移：YX1GY1YX1GY1GY(s)=G(s)X1(s)=Y1(s)Y(s)=G(s)X1(s)=Y1(s)（6）分支點(diǎn)跨越方塊,后移除G，前移乘G;總結(jié)：（1）盡量利用相同性質(zhì)的點(diǎn)可以交換這一點(diǎn)，避免不同性質(zhì)的點(diǎn)交換（絕不可以）；（2）相加、分支點(diǎn)需要跨越方塊時(shí)，需要做相應(yīng)變換，兩者交換規(guī)律正好相反：（3）變換后，轉(zhuǎn)換為單回路的串、并聯(lián)或反饋回路，利用公式計(jì)算。后移→前移←相加點(diǎn)×分支點(diǎn)×÷÷X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)例2-2-3求

方法1.相加點(diǎn)3前移，討論：有？種變換方法－與相加點(diǎn)2交換4除G1（s）,Y(s)X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋Y(s)例2-2-3

方法2.分支點(diǎn)4后移，與分支點(diǎn)5交換除G3（s）,1/G3Y(s)X(s)－＋＋＋G1G2G3H1H2－＋1324653例2-2-3

方法3.相加點(diǎn)2后移，與相加點(diǎn)3交換。乘G1（s）,Y(s)X(s)－＋＋G1G2G3G1H1H2－＋Y(s)X(s)－