上次課主要內容回顧自動控制的發展開環與閉環控制自動控制系統自動控制系統分類控制系統的設計

給定控制任務：確定被控對象、被控變量和控制變量工程設計：選擇執行器、傳感器（測量儀表）設計控制器（控制規律）設定值r﹣控制器執行器被控對象測量、變送擾動f被控變量y反饋量

z偏差e控制變量u控制系統的分析（性能分析）

首先了解被控對象特性建立被控對象的數學模型設定值r﹣控制器執行器被控對象測量、變送擾動f被控變量y反饋量

z偏差e控制變量u第二章控制系統的數學模型主要內容：1、建立被控對象的數學模型2、控制系統的數學描述方法微分方程

傳遞函數

方塊圖

信號流圖控制系統的數學模型：描述控制系統各變量間關系的數學表達式稱之為控制系統的數學模型。建立系統的數學模型的三種方法：機理分析法-機理模型，白箱子模型通過對系統各部分運動機理進行分析，根據它們所依據的物理規律或化學規律分別列寫相應的運動方程。實驗辨識法－辨識模型，黑箱子模型人為地給系統施加某種測試信號，記錄其輸出響應，并用適當的數學模型去逼近，得到的數學模型稱為辨識模型。此方法稱為系統辨識——是控制理論的一個重要分支。綜合上述方法－混合模型，灰箱子模型§1控制系統的微分方程模型用微分方程描述系統輸入輸出變量的動態特性是建立數學模型的一種基本方法。1.1數學模型方程的建立i+-URCUcRC電路網絡確定輸入(自變量)和輸出變量(因變量)。例2-1-1電阻和電容的串聯網絡，其中U為輸入電壓，Uc為輸出，建立兩者關系的微分方程。輸入:U;

輸出:Uc(3)消去中間變量，得到最終的方程。對第2式兩邊求導：若設T=RC

T:時間常數代入第1式：(2)根據基本定律，列寫原始方程（歐姆定律、基爾霍夫定律）。R+-UiRCUc（2-1-1）（2-1-2）確定

輸入(自變量)和輸出變量(因變量)。輸入:U;

輸出:Uc若設T=RC, T:時間常數上式為一階線性（常）微分方程，因此這個RC電路是一階線性(定常)系統。T+-UiRCUc（2-1-2）例2-1-2下圖是一個液體貯槽的示意圖。列出液位h對流入量Qin之間的關系式。QinhAQout圖2-2液體貯槽（1）確定輸入輸出變量輸入（自變量）：Qin，輸出（因變量）：h（2）利用物料（能量）平衡式：物料(能量)蓄存量的變化率=單位時間進入的物料(能量)－單位時間流出的物料(能量)（2-1-3）（3）消去中間變量QoutQout是中間變量。根據流體力學伯努利方程：（2-1-4）其中，：閥的流通面積，：閥的節流系數，設兩者均為常數（β為常數）。QoutQinhA（除常數外，只含輸入輸出變量）把（2-1-4）代入（2-1-3）可得：（2-1-5）（2-1-3）（2-1-4）QoutQinhA是一階非線性系統。實際物理元件或系統都是非線性的。非線性方程的求解十分復雜。A

在一定條件下，在平衡點附近以某一線性數學模型近似原有對象的非線性數學模型。線性化過程分為兩步：增量化、線性化線性微分方程的求解相對簡單。（4）增量化原因：①便于方程簡化和求解，相當于設初始條件（穩態條件）為零。主要關心被調參數在平衡點（設定值）附近的變化情況，即參數偏離平衡點的變化量。因此，把變量轉換為增量形式，構成增量方程。如：益處：②便于線性化。QoutQinhA步驟：1、把方程寫成穩態方程（穩態的物料平衡式）：2、將原方程中的變量寫成穩態值和增量值之和，(1)(2)代入原方程：3、改變后的動態方程式減去穩態方程(2)-(1)，得到增量方程式。（2-1-6）注意：在不引起混淆的場合，Δ號常常省略。(2)(1)(2)-(1):整理－－(5)線性化原因：工程中大多數系統都是非線性的非線性微分方程式求解復雜線性系統理論和方法比較成熟條件：變量間關系在平衡點附近的小范圍內是線性的，把非線性方程局部線性化（增量化的理由）yxy0x0△x△y△y△x方法：將非線性函數y＝f(x)在平衡點()附近展開成泰勒級數，即由于增量Δx=很小，式中增量的高次項可以忽略，則上式可近似寫成線性化方程：非線性特性的線性化，實質是以過平衡點的切線代替平衡點附近的曲線。和yx圖2-3非線性特性的線性化y0x0△x△y△y△x根據公式，對（2-1-6）式中的非線性項（2-1-4）線性化。（2-1-7）將（2-1-7）式代入（2-1-6）式，將此式在平衡工作點(h0)處展開成泰勒級數，并忽略增量Δh的高次項:設去掉Δ號，寫成標準形式，（2-1-8）K：放大倍數，T：時間常數，具有物理意義。設(6)無因次化比較RC電路模型(2-1-2)(2-1-2)(2-1-8)使用相同的微分方程（兩個特征參數T和K）描述不同的物理對象和參數（電壓V，液位h）。去除量綱，抽象成統一的一階線性方程。抽去不同的物理背景，便于分析、研究共性的規律目的：方法：和一階貯槽模型(2-1-8)式，步驟：

以一階貯槽模型（2-1-8）式為例，①兩邊變量均被各自的穩態值去除根據（2-1-8）式，當時，②定義新變量代入：還可設各變量均為無因次的相對值。代入：（2-1-8）（2-1-8）例2-1-3貯槽系統，控制流出量以保證液位穩定。列出控制系統數學表達式。其流出量的方程為：（2-1-4）QinhAQout其中，：閥的節流系數，常數。：調節閥的流通面積，受調節器的控制，另一個輸入變量。液位hQout設定液位測量﹢﹣控制器水槽Qin調節閥LC把（2-1-4）式線性化（2-1-9）令（R稱為阻力系數），把(2-1-9)式代入得到：（各變量分別用穩態值+增量值表示）：（2-1-4）(二元的泰勒級數展開式)：ΔQout考慮到平衡關系式：上式可整理為增量化方程：（2-1-10）上述方程表示的是在流入量和調節閥開度（調節器作用）共同作用下，液位的變化關系。已轉化為線性系統。建立系統數學模型的一般步驟

▲消去中間變量，列出描述系統輸入與輸出關系的微分方程。

▲根據物理或化學規律列出描述系統運動規律的一組微分方程。▲首先要確定系統的輸入量和輸出量。被控變量控制變量、干擾變量,建立系統數學模型的一般步驟

-方程處理●

列寫靜態方程●

將原始方程中的變量用穩態值與增量之和表示●

將上式方程與靜態方程相減

線性化增量化無因次化●

每個變量除以穩態值●

定義無因次的新變量（對非線性方程，在平衡點附近做泰勒級數展開，取一階近似）力學系統－彈簧系統如圖示。列出以拉力Fi為輸入，以質量單元的位移y為輸出的系統數學模型。（1）確定輸入變量：MkyFiFiMFfFky圖2-5彈簧-質量-阻尼器系統輸入:Fi，輸出：y例2-1-4（2-2-1）（2）基本定理：（2-2-1）古典力學系統符合牛頓第二定律其中，彈簧阻力壁摩擦力k是彈簧的彈性系數。f是摩擦系數。代入（2-2-1）式：（2-2-2）彈簧平移運動是一個二階線性系統。FiyMFfFk例2-1-5系統由兩個液體貯槽串聯組成。Qih1A1R1Q1h2A2R2Qo二階液體貯槽圖在這個系統中，液位h2作為被控變量，調節閥的開度f是控制變量。建立模型：確定輸入輸出變量輸入(自變量)：f：(控制量)，Qi(擾動量)輸出(因變量)：h2

是一個2輸入1輸出的多變量系統。(2)根據物料守恒定律列出原始方程(3)消去中間變量，列出描述系統輸入與輸出關的微分方程由以前分析可知，經線性化后：Qih1A1R1Q1h2A2R2Qo整理：Qih1A1R1Q1h2A2R2Qo

整理：消去中間變量有：例2-1-6求下列無源網絡的動態數學模型輸入：u輸出：UcRLC電路網絡i+-URCUcLi+-URCUc根據基爾霍夫定律有：消去中間變量i(t)線性系統的特性和分析兩個重要性質：可疊加性和均勻性（齊次性）線性系統可疊加性：當f(t)=f1(t)時，方程有解y1(t),當f(t)=f2(t)時，方程有解y2(t)，當f(t)=f1(t)+f2(t)時，方程解為y1(t)+y2(t)表明，兩個外力同時作用于系統所產生的總輸出，等于各個外力單獨作用時分別產生的輸出之和。被控對象被控對象f1f1f2f2y++y1y2y被控對象均勻性：當f(t)=f1(t)時，方程有解y1(t),當f(t)=Af1(t)時，A為常數，y(t)=Ay1(t)，當外作用比例增加時，輸出也增加同樣的倍數。線性系統分析要充分利用以上兩個性質。即輸出隨輸入同比例縮放。例2-1-3中，（2-1-10）液位受到兩個變量的共同作用，根據疊加原理，可分別研究在各個變量單獨作用下，液位的過渡過程，然后相加，可以得到整個液位控制系統的全部特性。可先設輸入等于1，求解輸出，然后輸出放大若干倍。QinhAQout純滯后特性某些對象的輸出信號響應比輸入信號延遲一定的時間。溶解槽中的濃度控制系統xtyt圖2-4溶解槽及滯后特性一階無純滯后對象特性一階純滯后對象特性

設定值r﹣控制器執行器被控對象測量、變送擾動f被控變量y反饋量

z偏差e控制變量u任何物理系統都可以抽象表示成方塊圖目的是可以使用數學工具描述控制系統然后使用數學工具設計和分析控制系統還原和指導物理裝置實施控制

實踐－理論－實踐Qih1A1R1Q1h2A2R2Qo試建立上述系統的輸入輸出關系第二章控制系統的數學模型主要內容：1、建立被控對象的數學模型2、控制系統的數學描述方法微分方程

傳遞函數

方塊圖

信號流圖/§2控制系統的傳遞函數模型

RLC電路網絡i+-URCUcL/§2控制系統的傳遞函數模型

線性非齊次微分方程的解由齊次微分方程的通解和特解組成

若有多重根，則通解還具有其它多種模態

/§2控制系統的傳遞函數模型

線性非齊次微分方程的解由齊次微分方程的通解和特解組成

/§2控制系統的傳遞函數模型

線性非齊次微分方程的解由齊次微分方程的通解和特解組成齊次微分方程通解再求滿足非齊次微分方程的一個特解，求解方法也有多種，如常數變易法、待定系數法等。經過求解，該方程的特解：

/§2控制系統的傳遞函數模型

RLC電路網絡i+-URCUcL/§2控制系統的傳遞函數模型RLC電路網絡i+-URCUcL/§2控制系統的傳遞函數模型齊次方程通解非齊次方程特解系統的零輸入響應，代表自由運動由方程特征根決定系統的零狀態響應齊次方程通解非齊次方程特解系統的輸包含兩個組成部分，一部分是由初始狀態產生與輸入無關，一部分由輸入產生，與初始狀態無關采用微分方程的形式描述輸入輸出關系，方法直觀，借助于計算機可以快速而準確的求出結果。但是如果系統的結構改變或者某個參數變化時，就要重新列寫并求解微分方程，不便于對系統進行分析設計。/§2控制系統的傳遞函數模型對象微分方程：

（2-1-1）對于條件2，在工程應用中有一個看似簡單但常被誤解的問題：右端函數f（t）在初始時刻不連續所帶來的初值跳變問題。在研究控制系統的運動時，經常遇到如下情況：系統原來靜止，而在某一時刻加入輸入量，即該輸入量在該時刻由0跳變到某一非零值。/§2控制系統的傳遞函數模型對象微分方程：

（2-1-1）t0單位階躍函數t1a0延時單位階躍函數/§2控制系統的傳遞函數模型對象微分方程：（2-1-1）t0單位階躍函數t1a0延時單位階躍函數由于f(t)在t=0時刻不連續，則在包含點t=0的區間內沒有唯一解。因此，初始時刻不連續會帶來解的初值跳變問題，正確處理這一問題相當繁冗。/§2控制系統的傳遞函數模型Laplace變換可以得到控制系統在復數域中的數學模型，將微分方程轉換為代數方程形式，便于求解，而且可以用來研究系統的結構或參數變化對系統性能的影響。微分方程是系統的時域模型不便于對系統進行分析設計，難于處理初值跳變問題/§2控制系統的傳遞函數模型Laplace變換