上節課回顧1、標準二階系統過渡過程性能指標的計算2、非標準二階系統過渡過程性能指標的計算3、高階系統時域響應標準二階系統過渡過程性能指標（1）峰值時間tp、上升時間tr、調節時間ts與ζ和ωn有關（2）超調量σ、最大偏差A、衰減比n僅與ζ有關。2、非標準二階系統過渡過程性能指標的計算3、高階系統時域響應難點當K≠1或階躍輸入的幅值不為1時，其階躍響應輸出的質量指標如何計算？任何線性二階系統(分子不含零點）均可表示為以下傳遞函數：當輸入為階躍函數R(s)=C/s，即幅值為C的階躍信號時，輸出等于：由圖可知：l

時間指標不變被標準二階系統的特征參數唯一決定。l

反映絕對誤差的最大偏差A數值不同，成比例放大。●2.521.50.5100510152032530AAAK=2K=1K=0.5trtptsl

相對指標σ和n不變說明什么？A’A’K≠1時，穩態誤差不為零！高階系統時域響應1）解析法2）降階法拉氏變換求特征方程特征根拉氏反變換拉氏變換求特征方程特征根找主導極點有閉環主導極點將高階系統分解為低階系統的線性組合將高階系統降階為二階系統Y(s)的拉氏反變換為：高階系統的響應曲線是由一些指數曲線和阻尼正弦曲線疊加而成。當所有的閉環極點都位于s左半平面時，因此，當t→∞時，上式中所有的指數項和阻尼指數項都趨于零，因此它們是系統的暫態分量，系統的穩態輸出為

y(∞)=a。閉環主導極點要滿足的兩個條件是：l

控制系統過渡過程的形式以及性能指標主要取決于這對閉環主導極點。2、與其它閉環極點距虛軸的距離在5倍以上。1、在S平面上，距離虛軸比較近，且周圍沒有其它的零極點。l

一般高階系統的動態響應都是振蕩的，主導極點往往是一對共軛復根。閉環零極點：偶極子：一對靠得非常近的零點和極點，附近沒有其它零極點。3.6控制系統的穩定性分析控制系統設計的首要目的就是要確保被控系統的穩定；

不穩定的系統沒有實際應用價值線性系統的穩定性是系統自身的一種屬性。

與系統輸入量無關。在有限的輸入變量作用下，系統輸出一定是有限值3.6.1系統穩定性的概念及條件二階系統：ζ>0時，系統的極點具有負實部，系統階躍響應過程按指數衰減趨勢變化，系統是穩定的；ζ＝0時，系統極點是純虛數，階躍響應過程等幅振蕩，系統處于臨界狀態；ζ＜0時，系統特征根具有正實部，階躍響應過程曲線發散，系統不穩定。一個穩定系統可定義為：在有界輸入的情況下，其輸出也是有界的。極點的實部出現在單位階躍響應的指數項中，決定輸出響應的形式，負實部使指數項衰減，最終輸出恒定，正實部使指數項無限增加，最終輸出發散，實部為零，指數項為0，輸出等幅振蕩。問題：極點虛部決定單位階躍響應的什么部分？問題：極點實部決定單位階躍響應的什么部分？推廣結論：解析方法－求解系統的特征方程

roots(abc)→求(as2+bs+c)的根高階系統求解困難勞斯穩定判據－不用求解系統的特征方程，就可以得知系統閉環極點的分布情況線性系統穩定的充分必要條件是系統特征根（極點）全部具有負實部。

3.6.2勞斯(Routh)穩定判據已知系統的特征方程式為：特征根全部具有負實部(3-52)(1)系統特征方程式的系數必須皆為正—必要條件；(2)勞斯行列式第一列的系數全為正—充分條件；(3)第一列的系數符號改變的次數等于實部為正的根的個數。勞斯行列式：系統穩定的必要且充分條件是：在系統特征方程的系數全為正的基礎上，勞斯行列式中第一列的系數全為正號。勞斯穩定判據：例3-6利用勞斯穩定判據，判斷下列系統的穩定性。解：它的特征方程式是：特征方程式中系數皆為正，滿足穩定性的必要條件，勞斯行列式：勞斯行列式第一列全為正，因而系統是穩定的。實際上該系統的4個根為：

100

001000例3-7若一系統的特征方程為：利用勞斯穩定判據，判定系統是否穩定。解：特征方程的系數均為正，列寫勞斯行列式：該系統的特征方程式有兩個實部為正的特征根，系統不穩定。系統的4個根為：符號改變一次→符號改變一次→幾種特殊情況（1）第一列有零值出現用一很小的正數ε來代替這個零，并繼續勞斯行列式的計算；當得到完整的勞斯行列式后，令ε→0，檢驗第一列的符號變化次數；若符號沒有發生變化，則說明系統具有一對純虛根,可利用輔助方程求出；若符號發生變化，符號變化的次數，就是系統具有不穩定根的個數。例3-8系統特征方程判斷該系統的穩定性。解：勞斯行列式：ε上下符號相同，說明系統有一對共軛虛根。通過解輔助方程可知，02ε0例3-9試判定該系統的穩定性，系統特征方程為：解：特征方程的系數均為正，計算勞斯行列式如下：ε→0首列整理為:系統有二個實部為正的特征根，系統是不穩定的。方程解為：05/2符號改變一次→符號改變一次→（2）某行的系數都為零l

表明系統具有成對的實根或共軛虛根，這些根大小相等，符號相反；l

利用全零行上面的一行系數構成輔助多項式P（s），然后由的系數代替零行，繼續勞斯行列式的計算；l

輔助多項式為系統特征多項式的因子式，可以通過求解輔助方程求出那些對根。

若全零行上下符號沒有變化，則說明系統具有一對純虛根；若第一列符號發生變化，符號變化的次數，就是系統具有不穩定根的個數；例3-10試判定該系統的穩定性，系統的特征方程為：解：計算勞斯行列式輔助多項式：00求p(s)對s的導數:導數方程的系數代入s3行。896例3-11可利用輔助方程求出那些大小相等，符號相反的根：輔助方程是系統特征方程的一個因子式。行列式第一列系數符號變化一次，說明系統有一個正實部的根，系統不穩定3.6.3勞斯穩定判據的應用1、判斷系統的穩定性2、分析系統參數對系統穩定性的影響3、確定使系統閉環穩定的參數范圍解題思路：1、列出閉環傳遞函數2、寫出閉環特征方程式3、利用勞斯行列式判斷例3-12控制系統方塊圖如圖所示，確定能保證該系統穩定的K值范圍。解：系統的閉環傳遞函數為：R(s)Y(s)﹣其閉環特征方程為：勞斯行列式為：為使系統穩定，K必須大于零，同時還必須滿足:因此，保證系統穩定的K值范圍是(2)若要求閉環極點全部位于s=-1垂線的左側，求K的取值范圍。例3-13已知單位反饋控制系統的開環傳遞函數為確定使閉環系統產生持續振蕩的K的取值，并求振蕩頻率。分析：(1)若使系統產生持續振蕩，則必有一對共軛虛根存在。系統的振蕩頻率就是此根的虛部值。

-10[s]

0確定使閉環系統產生持續振蕩的K的取值，確定振蕩頻率。解：（1）系統閉環傳遞函數勞斯行列式：由為零的上一行組成輔助方程：則K=119。可求出：（振蕩頻率）119？解：（2）

代入閉環特征方程：勞斯行列式：則有11<K<35。當11<K<35時，所有閉環極點落在s=-1垂線左側。

(2)若要求閉環極點全部位于s=-1垂線的左側，求K的取值范圍。？例3-14粗略畫出特征方程為所對應的階躍響應曲線y(t)。分析：考察根據勞斯行列式判斷特征根的情況以及掌握特征根的分布與過渡過程的關系。勞斯行列式：根據勞斯判據：勞斯行列式中某一行都為零，且上下符號相同，說明有一對虛根存在，其輸出分量曲線呈等幅振蕩。解:第一列系數符號改變一次，說明有一個正實根存在，輸出分量曲線呈發散振蕩狀態。根據以上二條，1ty(t)判定系統的階躍響應曲線為單調發散振蕩曲線。3.5控制系統穩態誤差分析誤差一般定義為系統的希望值與實際值之差。一般有以下兩種：R(s)Y(s)﹣+++F(s)E(s)Z(s)第一種特指為偏差從輸入端定義：e(t)=r(t)-z(t)從輸出端定義：e(t)=r(t)-y(t)當為單位反饋系統時，兩者相同。3.5控制系統穩態誤差分析l

求取穩態誤差的前提是（閉環）控制系統穩定（注意：例3-5(3)題有錯）l

一般常用階躍、斜坡或拋物線輸入信號測試穩態誤差l

穩態誤差與輸入函數的形式有關l

控制系統的設計任務之一，就是盡量減小穩態誤差l

穩態誤差（余差）是反映控制系統精度的重要技術指標閉環系統對誤差的影響開環控制系統Gc(s)G0(s)RYF+閉環控制系統﹢﹣Gc(s)G0(s)RYF+開環控制系統閉環控制系統若兩類輸入均為單位階躍函數：結論：在階躍干擾作用下，閉環比開環誤差減小倍。3.5.1穩態誤差與系統類型

R(s)Y(s)﹣+++F(s)E(s)Z(s)誤差e(t)的拉氏變換為：esr:給定穩態誤差

esf:擾動穩態誤差穩態誤差與系統的開環傳遞函數G(s)H(s)有關。以給定穩態誤差esr為例分析。(3-40)一般開環傳遞函數可以零極點形式表示為：K0:系統的開環增益N:在根平面坐標原點處具有的開環極點的個數×也可以表示為標準形式：K叫作標準開環增益在工程上，常根據G(s)H(s)的形式來規定控制系統的“型”。(3-41)在分母中包含sN

項，它表示開環傳遞函數中包含N個積分環節（在原點處有N重極點）。N=0，N=1，N=2，系統分別稱為0型，1型，2型系統。注意：系統的“型”與系統的階次不同。該系統的階次？開環傳遞函數中包含積分環節的個數稱為系統的“型”。3.5.2給定穩態誤差分析

3.5.2.1單位階躍信號此時，由式(3-40)有：定義穩態位置誤差系數Kp于是(3-40)對于不同類型的系統，計算對應的Kp值和穩態誤差：0型系統：2型系統:1型系統：Kp＝∞，esr=0Kp=∞，esr=03.5.2.2單位斜坡信號有定義穩態速度誤差系數Kv:(3-40)0型系統：3122.521.50.51003r(t)y(t)1型單位反饋系統對斜波輸入信號的響應Kv＝0，esr＝∞；Kv=K，esr＝1/K；Kv＝∞，esr＝0。1型系統：2型系統：3.5.2.3單位拋物線（加速度）信號有定義穩態加速度誤差系數Ka:20型系統：Ka＝0，esr＝∞；Ka＝0，esr＝∞；Ka＝K，esr＝1/K1型系統：2型系統：小結：表2給定信號輸入下的給定穩態誤差esr階躍輸入r(t)=1斜坡輸入r(t)=t拋物線輸入r(t)=1/2t2

Kp=K∞∞Kv=0Ka=0Kp=∞0Kv=K∞Ka=00型系統1型系統2型系統Kp=∞00Kv=∞Ka=KKp—穩態位置誤差系數Kv—

穩態速度誤差系數Ka—穩態加速度誤差系數對角線上出現的穩態誤差具有有限值，對角線以上出現的穩態誤差為∞，對角線以下出現的穩態誤差為零。結論：①

輸入信號形式影響系統的穩態誤差。②

esr與N有關，在系統中增加積分器（提高N），可以改善穩態性能。③

開環增益直接影響系統的穩態特性。K越大，穩態誤差越小，增大開環增益可以改善閉環系統的穩態特性。④

應注意到，增大N值和K值同時也會使控制系統的穩定性和動態性能變差，必須在控制精度與穩定性之間折衷。例3-4某控制系統的閉環方塊圖如圖所示，a>0,Ti>0,其中Gc(s)表示為比例加積分控制器的傳遞函數，G0(s)是被控對象的傳遞函數。對這一系統施加的給定信號為：，試計算穩態誤差。Gc(s)G0(s)討論1.解題步驟2.信號疊加？A倍？解：該系統的開環傳遞函數為：設系統的標準開環增益:可以看出，此系統為2型，即N＝2。分析：由于給定信號是三種典型信號的線性疊加，并被分別乘以了

A1,

A2,A3倍，根據線性定常系統的兩個重要性質，可疊加性和均勻性，該系統的穩態誤差應為它們各自單獨