4.3穩定性分析——Nyquist判據閉環傳遞函數為為了保證系統穩定，特征方程1+GH(s)=0的全部根，都必須位于左半s平面。奈奎斯特穩定判據正是將開環頻率響應G(j

)H(j

)與1+GH(s)=0在右半s平面內的零點數和極點數聯系起來的判據。這種方法無須求出閉環極點，得到廣泛應用。1、幅角原理復變函數F(s)為s平面上一條封閉的曲線

s不通過F(s)的奇點；映射在F(s)平面上也是一條封閉的曲線

F

s順時針包圍F(s)的零點個數為Z,極點個數為P；曲線

F逆時針圍繞原點旋轉的圈數為NN=P-ZN>0表示逆時針包圍的圈數；N<0表示順時針包圍的圈數；封閉曲線形狀無關2、輔助函數定義復變函數F(s)為若開環傳遞函數為輔助函數的極點(P)就是開環傳遞函數的極點零點(Z)就是閉環傳遞函數的極點

Z=P-N3、封閉曲線

s關心的是F(s)=1+G(s)H(s)在s右半平面的極點數，所以封閉曲線應包括整個s右半平面。半圓的半徑為無窮大將封閉曲線

s分為三段第1段，負虛軸；第2段，正虛軸；第3段，無窮大半園。1）虛軸上無開環零、極點當n>m時，映射1+G(s)H(s)平面的原點；當n=m時，映射1+G(s)H(s)平面的實軸上；映射平面轉到了1+G(j

)H(j

)平面上

F。在(－∞,0)頻率特性在(0,∞)頻率特性1+G(j

)H(j

)曲線對原點的包圍，恰等于G(j

)H(j

)軌跡對-1+j0點的包圍F(s)=1+G(s)H(s)在右半s平面的零點數Z與極點數P以及G(j

)H(j

)在G(j

)H(j

)平面上逆時針圍繞-1+j0點旋轉的圈數N的關系

Z=P-N穩定的充要條件是：P=N映射平面轉到了1+G(j

)H(j

)平面上

F。2）虛軸上有開環零、極點的情況比如

s曲線增加第4部分，以原點為圓心，無窮小半徑逆時針作圓，那么第4段為映射到G(j

)H(j

)為平面半徑為無窮大的圓弧，圓弧角度為順時針；對于虛軸上有共軛虛根，也可采用類似的方法。關于穩定性的充要條件仍然是P=NNyquist判據應用舉例步驟：繪制出幅相曲線[在(0,∞)]關于實軸對稱的繪制出在(－∞,0)范圍的G(j

)H(j

)曲線；若是型系統，從0－到0＋順時針補畫圓?。恍纬煞忾]曲線。判斷所繪制封閉曲線圍繞-1+j0點圈數N;已知F(s)在右半平面的極點數P(就是開環傳遞函數極點）最后可得Z=P-N若Z=0,系統穩定；否則系統不穩定，且有Z個不穩定根。例：試用奈氏判據分析當T>t，T=t和T<t時系統的穩定性。解：

T>tT=tT<tP=0N=0Z=0穩定經過－1+j0點臨界穩定P=0N=－2Z=P-N=2不穩定例設一個閉環系統具有下列開環傳遞函數：試確定該閉環系統的穩定性。解：P=1N=-1Z=P-N=2系統不穩定，有兩個不穩定根。Nyquist判據中“穿越”的概念(只需繪制ω0～∞的幅相曲線即可）

穿越：指開環Nyquist曲線穿過(-1,j0)點左邊實軸時的情況。

正穿越：ω增大時，Nyquist曲線由上而下穿過-1~-∞

段實軸。正穿越次數用N+表示。正穿越時，相角增加，相當于Nyquist曲線逆向包圍(-1,j0)點一圈。負穿越：ω增大時，Nyquist曲線由下而上穿過-1~-∞

段實軸。負穿越相當于Nyquist曲線反向包圍(-1,j0)點一圈。負穿越次數用N－表示。那么有N=2(N+-N－)奈氏判據可以敘述為Z=P-2(N+-N－)Nyquist穩定判據：當ω由0變化到∞時，N+=2N－=1Z=P-2(N+-N－)=2-2(2-1)=0所示系統閉環穩定。對數頻率特性穩定判據Nyquist圖與Bode圖的對應關系Nyquist圖上以原點為圓心的單位圓對應對數幅頻特性圖上的0分貝線。Nyquist圖上負實軸對應對數相頻特性圖上的－180°線。Nyquist曲線與(-1,j0)點以左實軸的穿越點相當于L(ω)>0的所有頻率范圍內的對數相頻特性曲線與－180°線的穿越點。Nyquist曲線的輔助線反映在對數相頻特性曲線上。即將對數相頻特性曲線的起始點

(0+)與

(0+)+v90°線相連(v為開環積分環節的數目)。ω1為負穿越，ω2為正穿越；ω2為對應的0分貝以下，不考慮。對數頻率特性穩定判據若系統開環傳遞函數存在P個位于右半s平面的特征根，當在L(ω)>0的所有頻率范圍內，對數相頻特性曲線

(ω)(含輔助線)與-180°線的正負穿越次數之差應滿足下列關系：

Z=P-2(N+-N－)當正負穿越次數之差等于P/2，則系統穩定。例：已知系統開環傳遞函數判斷閉環系統的穩定性。解：系統沒有位于右半s平面的開環特征根，P=0N－＝1N+＝0Z=P-2(N+-N－)＝2系統不穩定。4.4相對穩定性當——幅值裕度和相位裕度相對穩定性，時域分析中可以用超調量或者特征根靠近虛軸的遠近來衡量。在頻域分析中也有衡量相對穩定性的量，就是幅值裕度和相位裕度。結論：開環Nyquist曲線與(-1,j0)點的接近程度可以反映系統閉環的相對穩定性，即穩定程度。1、

幅值裕度Kg開環頻率特性曲線與GH平面負實軸的交點頻率稱為相位穿越頻率，顯然它應滿足幅值裕度Kg：是指相位穿越頻率所對應的開環幅頻特性的倒數值，即對于開環系統沒有右半平面的極點情況，即P=0，Kg>1[Kg(

dB)>0]代表系統穩定；Kg＝

1[Kg(

dB)=0]代表系統臨界穩定；Kg<

1[Kg(

dB)<0]代表系統不穩定。對于開環系統有右半平面的極點情況,正好相反?；蜷_環系統沒有右半平面的極點情況：幅值裕度的物理意義可表述為： 在保持系統穩定條件下，開環增益所允許增加的最大分貝數。幅值裕度的局限條件穩定系統條件穩定系統需要兩個幅值裕度Kg1(>1)和Kg2(<1)共同表示。物理意義：條件穩定系統開環增益放大Kg1或Kg2倍時，系統均達到臨界穩定狀態。幅值裕度相同但穩定程度不同的系統2、相位裕度

(ωc)幅值穿越頻率ωc開環Nyquist曲線與單位圓的交點對應的頻率ωc稱為幅值穿越頻率，又稱剪切頻率。顯然：或相位裕度是指幅值穿越頻率所對應的相移

與－1800角的差值，即

對于開環系統在右半平面無極點時，閉環系統穩定，則有>0；閉環系統臨界穩定，則有＝0；閉環系統不穩定，則有<0；對于開環有右半平面的極點時，正好相反。相位裕度的含義：就是在幅值穿越頻率ωc上，使系統開環Nyquist曲線穿過(-1,j0)點（即達到臨界穩定）尚可增加（對于開環穩定的系統）的相位滯后量

(ωc)。相位裕度的局限相位裕度相同但穩定程度也可能不同的系統由此可見，應同時考慮幅值裕度和相位裕度來說明系統的穩定程度。最小相位系統，只有幅值裕度和相位裕度都是正值時，系統才是穩定的。一般要求：

Kg>6dB且

(ωc)

＝30°～60°3、幅值裕度與相位裕度計算（1）根據定義求先根據相位等于－180°，求出相應的相位穿越頻率ωg，然后代入幅值的公式求幅值裕度Kg。根據幅值等于1求相應的幅值穿越頻率ωc，然后根據定義求相位裕度。例：已知求幅值裕度。解：求出相應的相位穿越頻率ωg若T1＝1，T2＝0.25顯然閉環穩定時，要求：K<5求相位裕度首先求剪切頻率

c用迭代法代入相位裕度的定義式系統不穩定。當系統階次較高時，

g和

c用解析法不好求，可用作圖法求。（2）根據圖形求根據bode圖求根據幅相曲線求Kg=?Kg=∞求相位裕度和幅值裕度解：首先求剪切頻率

c系統穩定。例：已知單位反饋系統作bode圖4、穩定裕度與時域性能指標的關系標準二階系統可以求出剪切頻率

c，令求出代入相位裕度準確關系所以

與最大超調量存在確定的關系。調節時間與

和

n有關,而

n與

c有關,都與

有關對確定的

(ωc)(或ξ)，ts與ωc成反比。二階系統和ωc與系統動態性能密切相關4.5用開環頻率特性分析閉環性能開環對數幅頻特性的低頻段(第一個轉折頻率ω1

之前的頻段)、中頻段(ω1~10ωc)、高頻段(10ωc

以后的頻段)分別表征了系統的穩態性能、動態性能和抗干擾的能力。1、低頻段由型別和K決定的，穩態性能要求型別越高越好；2、高頻段：要求衰減越快，抗擾動性能越好。最好－40dB/dec斜率或－60dB/dec斜率3、中頻段（ωc附近）中頻段反映系統的穩定性和快速性。最小相位系統的相位裕量主要取決于開環對數幅頻特性中頻段的斜率，同時，低頻段和高頻段的斜率、中頻段的帶寬等都對系統的相位裕量有影響。當低、中、高頻段斜率相同斜率負的越大，相位裕度越小。（1）低頻段斜率變化對

的影響低頻段有更大的斜率將導致相位裕量減?。ㄔ瓉頌?0°），影響的大小與ωc/ω1有關，ω1離ωc越遠，影響越小。（2）高頻段斜率變化對

的影響高頻段有更大的斜率同樣導致相位裕量減小。ω2離ωc越遠，影響越小。（3）高、低頻段斜率對

的影響當

1<<c<<2易知：

1、

2離

c

越遠，即h=

2

/

1越大，相位裕量

越大。當

最大結論一個設計合理的系統：

中頻段的斜率以－20dB為宜；

低頻段和高頻段可以有更大的斜率。 低頻段斜率大，提高穩態