專題20玩轉外接球、內切球、棱切球

【考點預測】

知識點一：正方體、長方體外接球

1.正方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

2.長方體的外接球的球心為其體對角線的中點，半徑為體對角線長的一半.

3.補成長方體

(1)若三棱錐的三條側棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個長方體內，如圖1所示.

(2)若三棱錐的四個面均是直角三角形，則此時可構造長方體，如圖2所示.

PA

(3)正四面體P-ABC可以補形為正方體且正方體的棱長如圖3所示.

(4)若三棱錐的對棱兩兩相等，則可將其放入某個長方體內，如圖4所示

知識點二：正四面體外接球

如圖，設正四面體ABCD的的棱長為“，將其放入正方體中，則正方體的棱長為在a,顯然正四面體

2

和正方體有相同的外接球.正方體外接球半徑為R=正a?走=逅。，即正四面體外接球半徑為R=

2244

知識點三：對棱相等的三棱錐外接球

四面體ABCD中，AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=t,這種四面體叫做對棱相等四面體，可

以通過構造長方體來解決這類問題.

122

b+c=m,2,2,2,

如圖，設長方體的長、寬、高分別為a,b,c,貝u/+c2=“2,三式相加可得片+體="+"+，，

2

a2+b2=t2

而顯然四面體和長方體有相同的外接球,設外接球半徑為A,則。2+Z?+=4笈，所以R=+

知識點四：直棱柱外接球

如圖1,圖2,圖3,直三棱柱內接于球（同時直棱柱也內接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角

形）

第一步：確定球心。的位置，a是AABC的外心，則OQ_L平面A5C；

第二步：算出小圓。1的半徑A。1=r,OR=；攵（AA=6也是圓柱的高）；

第三步：勾股定理：0A2=0,A2+Ofl1=M=（1）2+/=R=/產+（|）2，解出R

知識點五：直棱錐外接球

如圖，R4_L平面ABC,求外接球半徑.

第一步：將AABC畫在小圓面上，A為小圓直徑的一個端點，作小圓的直徑AD,連接PD,則PD必

過球心O；

第二步：。1為AABC的外心，所以OR，平面ABC,算出小圓。1的半徑。1。=「（三角形的外接圓直徑

算法：利用正弦定理，得，_=―絲=二=27），OO^-PA；

sinAsinBsinC2

第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①（2X）2=卑2+@r）2o2R="A+（2廳；

②代=r2+OO;oR=Q*+OO：.

知識點六：正棱錐與側棱相等模型

1.正棱錐外接球半徑：R=T-

2h

2.側棱相等模型：

如圖，尸的射影是AABC的外心

o三棱錐P—ABC的三條側棱相等

o三棱錐P—ABC的底面AABC在圓錐的底上，頂點P點也是圓錐的頂點.

解題步驟：

第一步：確定球心。的位置，取AA5C的外心Q,則P,O,Q三點共線；

第二步：先算出小圓。?的半徑A。=r,再算出棱錐的高尸q=/z(也是圓錐的高)；

戶h-

第三步：勾股定理：OA2=A2+Oft1=>R2=(h-R)2+r2,解出R=----+----.

2h

知識點七：側棱為外接球直徑模型

方法：找球心，然后作底面的垂線，構造直角三角形.

知識點八：共斜邊拼接模型

如圖，在四面體ABCD中，AB1AD,CBYCD,此四面體可以看成是由兩個共斜邊的直角三角形拼

接而形成的，/犯為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之.設點O為公共斜邊班>的中點，根據(jù)直角

三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結論可知，OA=OC=OB=OD,即點。到A,B,C,。四點的距離

相等，故點。就是四面體ABCD外接球的球心，公共的斜邊網?就是外接球的一條直徑.

知識點九：垂面模型

如圖1所示為四面體尸-ABC,已知平面上4B_L平面ABC,其外接球問題的步驟如下：

(1)找出和△ABC的外接圓圓心，分別記為。1和..

(2)分別過。和儀作平面ELB和平面ABC的垂線，其交點為球心，記為O.

(3)過a作AB的垂線，垂足記為。，連接QO,則ar)_LAB.

(4)在四棱錐A-OOQ.中，AD垂直于平面。OjOO2,如圖2所示，底面四邊形OOQ。2的四個頂

點共圓且OD為該圓的直徑.

知識點十：最值模型

這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導數(shù)法，基本不等式法，觀察法等

知識點十一：二面角模型

如圖1所示為四面體尸-/1BC,已知二面角P-AB-C大小為C，其外接球問題的步驟如下：

(1)找出△P4B和7BC的外接圓圓心，分別記為。|和

(2)分別過。1和儀作平面上鋁和平面MC的垂線，其交點為球心，記為O.

(3)過。?作的垂線，垂足記為。，連接打。，則

(4)在四棱錐A-nqoa中，垂直于平面DQOQ，如圖2所示，底面四邊形的四個頂

點共圓且OD為該圓的直徑.

知識點十二：坐標法

對于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標系，設球心坐標為O(x,y,z),利用球心到各頂點的

距離相等建立方程組，解出球心坐標，從而得到球的半徑長.坐標的引入，使外接球問題的求解從繁瑣的

定理推論中解脫出來，轉化為向量的計算，大大降低了解題的難度.

知識點十三：圓錐圓柱圓臺模型

1.球內接圓錐

如圖1,設圓錐的高為〃，底面圓半徑為r,球的半徑為R.通常在△OCB中，由勾股定理建立方程來

計算R.如圖2,當尸C>CB時，球心在圓錐內部；如圖3,當尸C<CB時，球心在圓錐外部.和本專題前

面的內接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷.

由圖2、圖3可知，OC=h-R^R-h,故(力一R)?+/=爐，所以R=------.

2h

2.球內接圓柱

如圖，圓柱的底面圓半徑為廠，高為3其外接球的半徑為R,三者之間滿足§)+戶=心.

3.球內接圓臺

2

R、=,+,-/一［，其中小々〃分別為圓臺的上底面、下底面、高?

知識點十四：錐體內切球

方法：等體積法，即R=2同

S表面積

知識點十五：棱切球

方法：找切點，找球心，構造直角三角形

【題型歸納目錄】

題型一：正方體、長方體模型

題型二：正四面體模型

題型三：對棱相等模型

題型四：直棱柱模型

題型五：直棱錐模型

題型六：正棱錐與側棱相等模型

題型七：側棱為外接球直徑模型

題型八：共斜邊拼接模型

題型九：垂面模型

題型十：最值模型

題型十一：二面角模型

題型十二：坐標法模型

題型十三：圓錐圓柱圓臺模型

題型十四：錐體內切球

題型十五：棱切球

【典例例題】

題型一：正方體、長方體模型

例1.（2022?陜西安康?高二期末（理））長方體的長，寬，高分別為3,后，1,其頂點都在球。的球面上,

則球。的體積為（）

A.46nB.12KC.48兀D.32百兀

例2.（2022?全國?高一階段練習）已知三棱錐P-3c。中，BCLCD,底面BCD,BC=1,PB=CD=2,

則該三棱錐的外接球的體積為（

7八92725

A.—71B.—71C.——nD.一71

4289

例3.（2022?北京市第三十五中學高一階段練習）已知正方體外接球的體積是萬萬，那么正方體的體對角線

等于（）

A.9B.4C.D.拽.

333

例4.（2022.黑龍江?勃利縣高級中學高一期中）據(jù)《九章算術》記載，“鱉腌”為四個面都是直角三角形的三

棱錐.如圖所示，現(xiàn)有一個“鱉膈”，底面ABC,ABLBC,PA=AB=BC=2,三棱錐外接球表面

積為（）

A.10萬B.12%C.14%D.167r

例5.（2022?河北?高一期中）《九章算術》中將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.現(xiàn)

有一“陽馬”P-A3CD,PAL平面ABC。，AB=4,AB4D的面積為4,則該“陽馬”外接球的表面積的最

小值為（）

A.24兀B.28兀C.32兀D.36兀

例6.（2022.河南?模擬預測（文））在三棱錐A—BCD中，已知AC,平面BCD,BC±BD,S.AC=>/3,BC^2,

BD=5則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.12TIB.7兀C.9冗D.8萬

題型二：正四面體模型

例7.（2022?全國?高三專題練習（理））棱長為。的正方體內有一個棱長為x的正四面體，且該正四面體可

以在正方體內

任意轉動，則X的最大值為（)

A.~aB.旦aC.在“D.如“

2263

例8.（2022.河南?西平縣高級中學模擬預測（理））一個正四面體的棱長為2,則這個正四面體的外接球的

體積為（）

A.娓兀B.2TtC.3乃D.2A/2TT

例9.（2022?貴州師大附中高二開學考試（理））已知正四面體的棱長為2,則其外接球的表面積為（）

A.4兀B.6兀C.8兀D.10it

例10.（2022.河北?石家莊二中一模（理））如圖所示，正四面體ABCD中，E是棱AD的中點，P是棱AC上

一動點，BP+PE的最小值為E，則該正四面體的外接球表面積是（）

A.12萬B.32萬C.8%D.24萬

例1L（2022?貴州?凱里一中高二期末（理））我們將四個面均為正三角形的四面體稱為“正四面體”，在正四

面體ABCD中，分別為棱AB,CD的中點，當斯=0時，四面體ABCD的外接球的表面積為

A,12%B.4兀C.3萬D.6K

例12.（2022?全國?高三專題練習）金剛石是碳原子的一種結構晶體，屬于面心立方晶胞（晶胞是構成晶體

的最基本的幾何單元），即碳原子處在立方體的8個頂點，6個面的中心，此外在立方體的對角線的;處也

有4個碳原子，如圖所示（綠色球），碳原子都以共價鍵結合，原子排列的基本規(guī)律是每一個碳原子的周圍

都有4個按照正四面體分布的碳原子.設金剛石晶胞的棱長為心則正四面體SPQR的棱長為；

正四面體SPQR的外接球的體積是.

題型三：對棱相等模型

例13.（2022?讓胡路區(qū)校級模擬）在四面體ABCD中，若⑷5=CE>=,,AC=BD=2,AD=BC=#,

則四面體ABCD的外接球的表面積為（）

A.2%B.4%C.6兀D.8萬

例14.已知四面體ABCD中，AB=CD=#,BC=AD=J1O,AC=BD=y/13,若該四面體的各個頂點

都在同一球面上，則此球的表面積為（）

A.42萬B.43萬C.14萬D.16萬

例15.如圖，在三棱錐尸—ABC中，PA=BC=6,PB=AC=2,PC=AB=45,則三棱錐P—ABC外

接球的體積為（）

A.血兀B.由兀C.#）兀D.6兀

例16.（2022?永安市校級期中）在三棱錐尸—ABC中，PA=BC^4,PB=AC=5,PC=AB=而,則三

棱錐尸-ABC的外接球的表面積為（）

A.26萬B.1271C.8萬D.24萬

例17.（2022?羅湖區(qū)月考）已知在四面體ABCD中，AB=CD=2垃,AD=AC=BC=BD=也,則四面體

ABCD的外接球表面積為.

例18.（2022?三模擬）在四面體ABCD中，AC=BD=2,AD=BC=^5,AB=CD=/7,則其外接球的

表面積為

題型四：直棱柱模型

例19.（2022.山西?太原五中高一階段練習）在直三棱柱ABC-\BXC,中，若AB，BC,AB=6,=8,44,=6,

則該直三棱柱外接球的表面積為（）

A.72萬B.114乃C.136萬D.1447r

例20.（2022?安徽?合肥市第六中學高一期中）設直三棱柱ABC-4gq的所有頂點都在一個球面上，

AB=AC=AA],ZBAC=120°,且底面AABC的面積為，則此直三棱柱外接球的表面積是（）

A.16萬B.史巫巴C.40萬D.64%

3

例21.（2022?河南?高三階段練習（文））已知正六棱柱A2CDE尸一A瓦GR瓦片的每個頂點都在球。的球面

上，且筋=3,M=4,則球。的表面積為（）

A.42TIB.48兀C.50KD.52兀

例22.（2022?全國?高二課時練習）表面積為81%的球，其內接正四棱柱（底面是正方形的直棱柱）的高是

7,則這個正四棱柱的底面邊長為.

例23.（2022?河南?高三階段練習（理））已知正三棱柱ABC-的外接球表面積為40%,則正三棱柱

ABC-的所有棱長之和的最大值為.

例24.（2022?浙江?高二期中）在直三棱柱ABC-A4G中，/54C=90。且8瓦=4,已知該三棱柱的體積為

2,則此三棱柱外接球表面積的最小值為.

題型五：直棱錐模型

例25.（2022?青海?海東市第一中學模擬預測（理））已知四棱錐P-A8CZ）中，平面ABC。，底面ABC。

是矩形，AD=3AB=3PA,若四棱錐外接球的表面積為11萬，則四棱錐的體積為（）

A.3B.2C.y[2D.1

例26.（2022.全國?高三專題練習）《九章算術》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉腌.若三棱錐

ABC為鱉膈，聞平面ABC,ABVBC,AB=3C=2,M4=4,三棱錐ABC的四個頂點都在

球。的球面上，則球。的表面積為（）

A,B.I671C,20萬D,24萬

例27.（2022.廣西.賓陽中學高一階段練習）己知三棱錐S-ABC中，SA，平面ABC,AB=BC=CA=343,

三棱錐S-ABC外接球。的表面積為100兀，則球。的體積為,異面直線&4,08所成角的余弦值為

例28.（2022?河南?新鄉(xiāng)市第一中學高一期末）已知三棱錐S-ABC中，平面ABC,SA=4,BC=26，

NBAC=60。，則三棱錐S-ABC外接球的表面積為.

例29.（2022?青海?海東市第一中學模擬預測（文））已知在三棱錐尸-ABC中，PA=4,BC=25

PB=PC=3,24，平面尸3。，則三棱錐尸-ABC的外接球的表面積是（）

A.434B.42萬C.48乃D.46萬

例30.（2022?全國?高一階段練習）已知三棱錐尸-5CD中，BC1CD,尸5,底面5CD,BC=1,PB=CD=2,

則該三棱錐的外接球的體積為（）

,7八927八25

A.—71B.-7CC.—TCD.—71

4289

例31.（2022?河北滄州.高一期末）已知在三棱錐A-BCD中，AB_L平面BCD,AB=2區(qū)AC=AD=4,CD=2,

則三棱錐BCD外接球的表面積為（)

,40?！?2兀

A.-----B.15兀C.-----D.20TI

33

題型六：正棱錐與側棱相等模型

例32.（2022.江西.高三階段練習（文））在正三棱錐尸-ABC中，PA1PB,P到平面ABC的距離為2,則

該三棱錐外接球的表面積為（）

1671

A.361B.16/rC.-----D.4萬

3

例33.（2022?江蘇?高一課時練習）如圖在正三棱錐S-ABC中，M,N分別是棱SC,5c的中點，。為棱AC

上的一點，且AQ=；QC,MN1MQ,若AB=2也,則此正三棱錐S—ABC的外接球的體積為（）

C.8aD.兀

例34.（2022?重慶市實驗中學高一階段練習）三棱錐尸-ABC體積為也，且

6

PA=PB=PC,AB=AC=l,BC=y/3,則三棱錐外接球的表面積為

例35.（2022?重慶?高二期末）如圖，在三棱錐A-3CD中，AB=AC=BC=BD=CD,二面角A—3C—O的

余弦值為-g,若三棱錐A-BCD的體積為:，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為.

例36.（2022?全國?高一期末）在正三棱錐尸-ABC中，AB=2。正三棱錐尸-ASC的體積是4石，則正

三棱錐尸-ABC外接球的表面積是（）

A.5〃B.15TTC.257rD.35萬

例37.（2022?天津市咸水沽第一中學模擬預測）已知正三棱錐S-ABC的三條側棱兩兩垂直，且側棱長為1,

則此三棱錐的外接球的表面積為（）

A,B.3兀C,6TID,9萬

例38.（2022?河南安陽?高二階段練習（理））如圖，在三棱錐4-58中，AB=BC=AC=CD=2,ZBCD=120°9

二面角A-BC-D的大小為120。，則三棱錐A-3CD的外接球的表面積為（）

82萬駟244萬

A.B,C.27萬D.

39

例39.（2022?江蘇南通?高三期末）已知正四棱錐尸-ABCD的底面邊長為2啦，側棱抬與底面A8CQ所成

的角為45。，頂點尸，A,B,C,。在球。的球面上，則球。的體積是（）

32Q/o

A.16萬B.——兀C,8兀D.土萬

33

例40.（2022.全國?高考真題）已知正四棱錐的側棱長為I,其各頂點都在同一球面上.若該球的體積為36萬，

且34”3石，則該正四棱錐體積的取值范圍是（）

題型七：側棱為外接球直徑模型

例41.（2022?五華區(qū)校級期末）已知三棱錐P-ABC的所有頂點都在球。的球面上，AB=5,AC=3,BC=4,

PB為球。的直徑，PB=10,則這個三棱錐的體積為（）

A.306B.15上C.106D.5百

例42.（2022?紅花崗區(qū)校級月考）已知三棱錐A-3CD的所有頂點都在同一個球面上，ABCD是邊長為2

的正三角形，AC為球。的直徑，若該三棱錐的體積為乎，則該球。的表面積（）

A.64%B.487rC.32兀D.16萬

例43.（2022?撫順校級月考）已知三棱錐尸-ABC的所有頂點都在球。的球面上，PC為球O的直徑，且

PC±OA,PCVOB,AAO3為等邊三角形，三棱錐尸-ABC的體積為絡，則球。的表面積為（）

A.47rB.87rC.127rD.16萬

例44.（2022?永春縣校級月考）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，AABC是邊長為1的

正三角形，SC為球。的直徑，且SC=2,則此棱錐的體積為（）

A.皂B.BC.交D也

6632

例45.（2022?本溪月考）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，AABC是邊長為1的正三角

形，SC為球O的直徑，且SC=2；則棱錐%Y5C：%.SA5=（）

A.1:1B.1:2C.2:1D.1:3

例46.（2022?云南校級月考）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球。的球面上，AABC是邊長為2的正

三角形，SC為球。的直徑，且SC=4,則此棱錐的體積為（）

A.逑B.史C.迪D.4夜

333

題型八：共斜邊拼接模型

例47.在矩形A3CO中，A3=4,3C=3,沿AC將矩形A3CD折成一個直二面角3—AC-。，則四面

體A3cD的外接球的體積為（）

A.艮華，C.肇，D券加

12

例48.三棱錐尸—ABC中，平面尸AC，平面A3C,AC=2,PA±PC,AB±BC,則三棱錐P—ABC

的外接球的半徑為

例49.在平行四邊形ABCD中,滿足通?赤=廟，2/2=4-麗―若將其沿8。折成直二面角A-3D-C,

則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（）

A.16萬B.8萬C.4萬D.2%

22

例50.在平行四邊形ABCD中，AC.CB=0,2BC+AC-4=0,若將其沿AC折成直二面角AC-3,

則三棱錐O-ACB的外接球的表面積為（）

A.16萬B.8萬C.4乃D.2萬

例5L（2022?全國?高一期末）已知三棱錐A-8CQ中，cr>=2&,BC=AC=BD=AD=2f則此幾何體外

接球的表面積為（）

A.B.2%C.D.8%

33

例52.（2022.江西.高二階段練習（理））如圖，在四棱錐P48C。中，底面是菱形，PB1.底面ABC。，0

-TT

是對角線AC與8。的交點，若PB=1,ZAPB=~,則三棱錐尸-30C的外接球的體積為（）

----------------

D.2萬

題型九：垂面模型

例53.已知AABC是以3c為斜邊的直角三角形，P為平面ABC外一點，且平面PBC_L平面ABC,BC=3,

PB=2應,PC=5則三棱錐P-ABC外接球的表面積為.

【解析】由題意知3c的中點。為AABC外接圓的圓心，且平面PBC_L平面ABC

過O作面ABC的垂線/,則垂線/一定在面ABC內.

根據(jù)球的性質，球心一定在垂線/上，

,球心一定在平面FBC內，且球心a也是APBC外接圓的圓心.

在APBC中，由余弦定理得cosNPBC=吁+BU-PU=叵,.sinZPBC=—,

2PB,BC

=2R,解得R=?,

由正弦定理得:

sinNPBC2

三棱錐的外接球的表面積=4萬N=io乃.

故答案為：10萬.

例54.已知點A是以3c為直徑的圓O上異于3,C的動點，尸為平面ABC外一點，且平面平面ABC,

BC=3,PB=2屈,PC=y/5,則三棱錐尸-ABC外接球的表面積為.

【解析】因為O為AABC外接圓的圓心，且平面PBC_L平面ABC,過。作面ABC的垂線人則垂線/一定

在面PBC內，

根據(jù)球的性質，球心一定在垂線/,

球心。|一定在面PBC內，即球心。］也是APBC外接圓的圓心，

在AP8C中，由余弦定理得cos3=0'+'C—PC=變,nsin8=變,

2BP.BC22

由正弦定理得：—=27?,解得R=巫，

sin52

???三棱錐P-ABC外接球的表面積為s=4標=io",

故答案為：10/1.

例55.在三棱錐尸—ABC中，AB=AC=4,44c=120。，尸8=PC=4石，平面PBC_L平面ABC,

則三棱錐尸-ABC外接球的表面積為.

【解析】如圖，設AABC的外接圓的圓心為。1

連接O|C,OtA,BC^\OtA=H,連接P”.

11l

由題意可得AH_L3C,5.AH=-O1A^2,BH=-BC=2^3.

因為平面PBC_L平面ABC,且PB=PC,

所以PH_L平面ABC,5.PH=7(4^)2-(2A/3)2=6.

設。為三棱錐P-ABC外接球的球心，

連接。。1，OP,OC,過O作QD_LPH,垂足為￡),

則外接球的半徑R滿足A?=OO；+42=(6-OOJ2+,

即。O；+16=(6-OOj2+4,解得og=2,

從而A?=20,故三棱錐P—ABC外接球的表面積為4TTR2=80萬.

故答案為：80TT.

例56.在菱形ABCD中，ZDAB=60°,將這個菱形沿對角線比）折起，使得平面八40_L平面BDC,

若此時三棱錐A-BCD的外接球的表面積為5n,則AB的長為—.

【解析】取BD的中點H,連接AH,CH,

在等邊三角形ABZ）中，AH=^-a,

2

在等邊三角形CBZ）中，CH=a,

2

由平面D46_L平面3DC,AH±BD,平面ABDC平面。8。=瓦＞,

可得AH_L平面CBD,即有AH_LCH,

AACF7為等腰直角三角形，

設三棱錐A-3CD的外接球的球心為O,半徑設為R,

底面BCD的中心為。，面453的外心為初,

貝=O'C=—a,

63

在直角三角形ACH中，OC=R=,0（72+oc，=J（率了+（呼＞.

而4萬4=5乃，解得R=亞,則=解得〃=若，

262

故答案為：73.

A

例57.在邊長為a菱形ABCD中，ZDAB=60°,將這個菱形沿對角線BD折起，使得平面DAB，平面BDC,

若此時三棱錐A-BCD的外接球的表面積為5萬，則“=（）

A.—B.6C.A/5D.3

2

【解析】取BD的中點H，連接A",CH,

在等邊三角形他。中，AH=—a,

在等邊三角形CBZ）中，CH=-^-a

2

由平面2145_1平面砒)C,AH±BD,平面ABDC平面CBO=BZ),

可得A"_L平面CBD,即有AH_LS,

AACH為等腰直角三角形,

設三棱錐A-BCD的外接球的球心為O,半徑設為R,

底面BCD的中心為O,

在直角三角形ACH中，OC=R=y/00'2+O'C2=

而4萬R2=5］，解得R=，

2

例58.在三棱錐尸-ABC中，平面，平面ABC,AP=2-j5,AB=6,ZACB=-,且直線24與平面ABC

3

所成角的正切值為2,則該三棱錐的外接球的表面積為（）

A12nsc52"52岳兀

A.13兀B.527rC?------D.----------

33

【解析】如圖，過點P作于E,D為AB的中點，

設AABC的外心是。|,半徑是r,連接。出，。］￡,0.D,

由正弦定理得2r=—竺一=473,

sinZACB

則0]B=r=2若，

D為AB的中點，BD^AD=-AB=3,

2

OtD±AB,所以O1A=JO蘆-應＞2=也,

因為平面平面ABC,PE±AB于E,平面R4BC平面ABC=AB,

則FE_L平面ABC,所以直線R4與平面ASC所成的角是NB4E,則

PF

tanZPAE=——=2,^PE=2AE,

AE

因為AP=JPE2+A￡2=2』,所以

PE=2AE=4,則DE=1,故aE=2,

設三棱錐尸-ABC外接球球心是O,

連接。?！窸B,OP,過O作于H,

則OO]_L平面ABC,于是OO"/PE,從而OQHE是矩形，

所以外接球半徑尺滿足

22222

R=OO；+QB=OH+(PE-HE)=O1E+(PE-OO^,

解得R=A/13.

所以外接球的表面積為4萬R2=52萬.

故選：B.

P

例59.已知在三棱錐C-Afi￡＞中，AABD是等邊三角形，BCYCD,平面MD_L平面BCD,若該三棱錐

的外接球表面積為4萬，則AC=()

A.—B.—C.73D.-

222

【解析】設外接球球心O,半徑R,由題意可得，4萬代=4萬，解可得R=l,

根據(jù)題意可得O為正三角形詼的中心，

因為00=1,所以AO=1,0F=~,

2

所以正三角形ABD的邊長為世，

由3cd.cD可得。尸=！2。=走，

22

因為平面AKDJ_平面BCD,所以乙4/。=工,

2

所以AC=JA尸2+cy2=曰+2=百.

V44

例60.如圖，已知四棱錐尸-ABCD的底面為矩形，平面B4Z5_L平面ABCD,AD=2尬,PA=PD=AB=2,

則四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為（）

A.2TTB.4萬C.8萬D.12TT

【解析】取仞的中點E,連接PE,

AE4D中，PA=PD=2,AD=2^2,:.PA±PD,:.PE=y/2,

設ABCD的中心為O,球心為O,貝1|0缶=j3。=6，

2

設O到平面ABCD的距離為d,貝I長=屋+（港了=產+（④_擰,

.,.<7=0,R=A/3,

四棱錐尸-ABCD的外接球的表面積為4萬汗=12萬.

故選：D.

題型十：最值模型

7T

例61.（2022.河南省杞縣高中模擬預測（文））在邊長為6的菱形ABC。中，ZA=-,現(xiàn)將沿BO

折起到△PSD的位置，當三棱錐尸-3CD的體積最大時，三棱錐尸-BCD的外接球的表面積為（）

A.60兀B.45兀C.30兀D.20兀

例62.已知A,8是球。的球面上兩點，ZAOB=90°,C為該球面上的動點，若三棱錐O-A3C體積

的最大值為36,則球O的表面積為（）

A.367rB.64萬C.144萬D.256萬

【解析】如圖所示，當點C位于垂直于面AO5的直徑端點時，三棱錐O-A3C的體積最大，設球O的半

徑為R，此時/一4"=/川《=：'：＞＜相'氏=：*=36，故氏=6,則球0的表面積為4切?2=144萬，

故選：C.

例63.已知三棱錐O-ABC的頂點A,B,C都在半徑為2的球面上，O是球心，ZAOB=120°,當AAOC

與ABOC的面積之和最大時，三棱錐O-ABC的體積為（）

A.也B.mC.2

2333

【解析】設球O的半徑為R,因為SVAOC+SVB℃=；R2（sinZAOC+sinZBOC）,所以當

ZAOC=ZBOC=90°時，SV4OC+SVBOC取得最大值，此時04_LOC,OB_LOC,OBcOA=O,所

以OC，平面AO3,所以

iii9\/3

=-OC-OAOB=-R3sinZAOB=.

噎BCfQBsinZAOB

3263

例64.體積為18小'的正三棱錐A-BCD的每個頂點都在半徑為R的球O的球面上，球心O在此三棱錐內

部，且R:BC=2:3,點E為JB。的中點，過點E作球O的截面，則所得截面圓面積的最小值是.

【解析】設R>0)，則BC=3f,因為體積為18萬的正三棱錐A-BCD的每個頂點都在半徑為區(qū)的

球O的球面上，所以Lx魚x(3rYx/z=18",解得〃=絲.

34—t2

由R2=(〃—R),得r=2或(舍)，所以R=4.

由題意知點E為3。的中點，在AOS。中，OD=OB=4,DB=6,解得OE=",

所以當截面垂直于OE時，截面圓的半徑為灰^萬=3,

故截面圓面積的最小值是9萬.

例65.已知底面為正三角形的三棱柱內接于半徑為1的球，則三棱柱的體積的最大值為

【解析】解過球心O作OD，平面A3C,則。為正三角形的中心，連結OA,則。4=1.

設三棱柱的底面邊長為a,則人。=2義且=魚.(0<a<6).

323

OD=yJoA2-AD2

棱柱的高?！?"=20。'=2

2

棱柱的體積V=S^BC-DD'=也ax=叵三

4V32

令/(a)=3a4一.

則尸(a)=1勿3-6a,5=3,3(2—/),令/(°)=。得4=4或a=。(舍)或°=一五(舍).

當0<a<4時，f(a)>0,當正<a<6時，f'(a)<0.

.?.當a=亞時，f(a)取得最大值/(亞)=4,

???當八五時,“二2^取得最大值1.

例66.已知底面為正三角形的直三棱柱內接于半徑為1的球，當三棱柱的體積最大時,三棱柱的高為

【解析】如圖所示，設O為外接球球心，三棱柱的高為人則由題意可知，A,O=BV=C,O=1,OE』,