重難點02相似三角形常見幾何模型綜合訓練

明考情,知方向

中考數學中《相似三角形七大幾何模型綜合訓練》部分主要考向分為七類：

一、“A”字型

二、“8”字型

三、反“A”字型

四、“k”字型

五、射影定理

六、“共邊”模型

七、“十字架”模型

相似三角形是四川中考數學中?？嫉膸缀晤}型，很多考生往往不知道從哪里入手，本小節內容主要是

講解相似三角形中常見的七大幾何模型，引導學生進行分析，克服對幾何題的恐懼。

重難點題型解讀

考向一："A"字型

相似三角形幾何模型之"A"字模型

2.（2024?四川綿陽?三模）如圖AABC中，tanZC=1,DEJ.AC,若CE=5,DE=1,且ABEC的面積

是AADE面積的10倍，則BE的長度是（）

C.V5D.布

3.（2024?四川宜賓?一模）如圖，在矩形ABC。中，AC為對角線，點8關于AC的對稱點為點E,連接AE,

CE,CE交AD于點尸，過點尸作依人AC,垂足為G,過點G作GHL8C,垂足為點H,若AB=4,BC=8,

則的值為（

2----Q

4.（2024?四川成都?二模）如圖，。,E分別是△ABC的邊AB,AC上的點，若/ADE=/C,AD=2,AC=4,

BC=6,則DE的長度為（）

5.（2023?四川甘孜?中考真題）如圖,在矩形ABC。中，AB=4,3c=6,點尸，。分別在48和AC上，PQ//BC,

M為P。上一點，且滿足PM=2MQ.連接AM、DM,若M4=MD,則AP的長為.

P

B

6.（2023?四川眉山?中考真題）如圖，^ABC中，是中線，分別以點A,點B為圓心，大于;A8長為

半徑作弧，兩孤交于點M,N.直線交AB于點E.連接CE交AO于點足過點。作。G〃CE,交AB

于點G.若DG=2,則CP的長為.

A

nA7

7.（2024?四川成都?二模）如圖，以點O為位似中心，作四邊形9CD的位似圖形AB'C'D,已知黑=彳,

AA5

若四邊形ABC。的周長為8,則四邊形AB'C'D的周長為.

8.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,反比例函數＞=：（左*0）的圖象經過

AN

點A、8及AC的中點軸,—軸交于點乂則益的值為（)

2

D.-

0I5

9.（2024?四川綿陽?一模）如圖，在AABC中，是高，E是上一點，CE交AD于點、尸,且

AD:BD:CD:FD=12:5:3:4,貝I]sin/BEC的值是

10.（2024?四川成都一模）如圖，已知△ABC為等腰三角形，且AB=AC,延長AB至使得AB：BD=mn,

連接CD,E是BC邊上的中點，連接AE,并延長AE交C。與點R連接FB,貝U3尸：FD=.

11.（2024?四川成都?二模）如圖，在正方形"8,點E,尸在射線2C上‘皿=45。，則9最大值是一

考向二："8"字型

①對于平行（ABIIDE）類型的"8"字型模型：AABC—CDE比例關系：合=等=器；

CCUCUL

②對于非平行（ZB=ZE）類型的"8"字型模型：AABOACDE比例關系：?=2=緇

￡/CC>tUCi

1.（2024?四川成都?中考真題）如圖，在oABCD中，按以下步驟作圖：①以點8為圓心，以適當長為半徑

作弧，分別交BA,3c于點M,N；②分別以M,N為圓心，以大于;的長為半徑作弧，兩弧在—A3C

內交于點。；③作射線3。，交AD于點E,交CD延長線于點尸.若8=3,DE=2,下列結論錯誤的是

F

A.ZABE=ZCBEB.BC=5

-BE5

C.DE=DFD.=—

EF3

2.（2024?四川自貢?中考真題）如圖，在矩形ABCZ）中，AF平分NBAC,將矩形沿直線所折疊，使點4

B分別落在邊A。、3c上的點A,6'處，EF,AF分別交AC于點G,H.若GH=2,HC=8,則砥的

3.（2023?四川雅安?中考真題）如圖，在DABCD中，尸是AD上一點，CF交BD于點、E,C廠的延長線交54

的延長線于點G,EF=l,EC=3,則G尸的長為（）

D.10

4.（2023?四川內江?中考真題）如圖，在VABC中，點E為邊48的三等分點，點RG在邊2C上,

AC〃DG〃防，點”為AF與DG的交點.若AC=12,則?！钡拈L為（）

F

.1DEB

A.1C.2D.3

5.（2023?四川巴中?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，AB=6cm,BC=8cm,D、E分別為AC、3c中點,

連接AE、3D相交于點R點G在CD上，且OG：GC=1：2,則四邊形DEEG的面積為（）

A.2cm2B.4cm2C.6cm2D.8cm2

6.（2022?四川攀枝花?中考真題）如圖，在矩形ABC。中，AB=6,4）=4,點￡、尸分別為2C、CD的中

點，BF、OE相交于點G,過點E作即〃CD,交即于點H,則線段的長度是（）

7.（2024?四川瀘州?一模）如圖，在邊長為4的正方形A3CO中，E,尸分別在邊AO,AF,鹿相交于點

G,若AE=3ED,tan/"X=2,則AG的長為（）

A1075R12A/5「1175口1班

11111012

8.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，菱形ABCD的邊長為6,ZBAD=120°,過點。作OE_LBC,交BC的

延長線于點E,連結AE分別交50,CD于點F，G,則FG的長為.

AD

9.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB^2,AD=4,E、/分別是邊CD、AD±.

的動點，且CE=X當AE+C尸的值最小時，則CE=.

10.（2023?四川瀘州?中考真題）如圖，E,尸是正方形ASCD的邊的三等分點，尸是對角線AC上的動

Ap

點，當PE+尸產取得最小值時,胃的值是.

②如圖2所示:已知NABD=NACB,貝必ABDdACB,線段比例關系：籌=等=.

/1￡JDC/IC

③如圖3所示：AADE-AABC,線段比例關系：竿=案=雋

AC*D\J/\,D

1.（2024?四川內江?一模）如圖，在矩形A8CZ）中，BC=A/3,DC=1,點。為對角線5。的中點，OE±BD,

交3C于點E,點尸是對角線3。上的動點，尸E+尸C的最小值為（）

?2

BEC

A.2B.1后C.-V22D.-V23

333

2.（2024?四川巴中?二模）如圖，在AABC中，點。，E分別在邊A3,AC上，且NA￡D=NB,則下列各

式中一定正確的是（）

A

BL----

A.CEAC=BDABB.AE-AC=AD>AB

C.ACAD=AEABD.AECE=AD-BD

3.（2024?四川自貢?一模）如圖，在AABC中，ZC=90°,ZB=60°,。是AC上一點，DE工AB于E,且

CD=2,DE=1,則8C的長為（）

A

CB

A.2B.-V3C.2A/3D.473

3

4.（2024?四川成都?一模）如圖，矩形ABCD中，已知A5=3,8C=6,E為人￡）邊上一動點，將沿延邊

翻折到AEBE.點A與點下重合.連接ORCF.則。：歹C的最小值為.

5.（2023?四川資陽?中考真題）如圖，已知。。的圓心。在AABC的邊AC上，與AC相交于A、E兩點,

且與邊BC相切于點。，連結DE.

（1）若求證：AB是。。的切線;

（2）若CD=4,CE=2,求0。的半徑.

6.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，8E是。。的直徑，點A在。。上，點C在8E的延長線上，ZEAC=ZABC,

AD平分44E交。。于點。，連結DE.

⑴求證：C4是。。的切線；

（2）當AC=8,CE=4時，求DE的長.

7.（2024?四川雅安?中考真題）如圖，AB是。。的直徑，點C是0。上的一點，點尸是54延長線上的一點,

連接AC,ZPCA=ZB.

⑴求證：尸C是。。的切線；

(2)若sin=(,求證：AC=AP；

(3)若CDJ_A3于。，PA=4,BD=6,求AD的長.

8.(2024?四川資陽?中考真題)如圖，已知A3是。。的直徑，AC是。。的弦，點。在。。外，延長。C,

相交于點E,過點。作QFLAB于點/，交AC于點G,DG=DC.

(2)若。。的半徑為6,點F為線段。4的中點，CE=8,求OF的長.

證明：,.NACD=N2+NA,zACD=zl+zECD,zl=z2

/.zA=zECD

又「N2=N3.?.△ABC^CED。

②鈍角型K字和直角型K字證明（同上）

結論:BCxCD=ABxED（即底乂底=月要x月要）

1.（2023?四川南充?中考真題）如圖，數學活動課上，為測量學校旗桿高度，小菲同學在腳下水平放置一平

面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端.已知小

菲的眼睛離地面高度為1.6m,同時量得小菲與鏡子的水平距離為2m,鏡子與旗桿的水平距離為10m,則旗

桿高度為（）

A.6.4mB.8mC.9.6mD.12.5m

2.（2024?四川達州?一模）如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、G尸翻折，使得點A、B、。都落在點。處,

且點G、。、C在同一條直線上，點、E、0、F在另一條直線上.以下結論:①AAEGsADG/；?AB=&AD;

?^COFCDG；@EF=3DF.其中正確結論的個數為（

C.3個D.4個

3.（2024?四川樂山?一模）如圖所示，在邊長為6的正方形A3CD中，E為CZ）上的點，尸為的中點，過

點廠作板_LEF交AB于點打，點N分別是H尸和3尸的中點，若DE=2,則MN的長為（）

8

C

D.9-

4.（2024?四川巴中?一模）在平面直角坐標系中，將一塊直角三角板如圖放置，直角頂點與原點0重合，頂

點A、8恰好分別落在函數y=-工（無＜0）,y=2（尤＞0）的圖象上，則佚的值為（

XX±3Cz

rLV.io--D

10-f

5.（2023?四川成都?二模）如圖，點A（l,0）,3（0,2）,以AB為邊作正方形ABC。，點E是邊45上一點,

6.（2024?四川涼山?一模）如圖，點E在矩形ABCD的邊上，將4ADE沿OE翻折，點A恰好落在3C邊

上的點尸處，若CD=2BF,BE=3,則AD的長為（）

BFC

A.9B.10C.12D.15

7.（2024?四川內江?三模）如圖，矩形ABCD中，AB=8,5C=12,石為4。中點，尸為AB上一點，將/

沿E尸折疊后，點A恰好落到b上的點G處，則折痕E尸的長是（）.

A.竺17

B.C.8D.7

2~2

8.（2024?四川巴中?一模）如圖，AB=4,射線5M和線段A5互相垂直，。為線段上一點，點E在射

線瀏/上，且2BE=DB,作EFLDE,并截取=連接A尸并延長交射線3M于點C,設=

16x—2x?8x12x

A.y=------B.y=------D.y=-------

8-xx-1c'k二?x-14

2Q

9.（2024?四川宜賓?二模）已知點A、5分別在反比例函數y=一（％>0）,y=--（x>0）的圖象上，且。4_LO5,

xx

則tanA為.

10.（2024?四川巴中?三模）如圖，在^ABC中，。是CB延長線上一點，ZBAD=ZBAC.在AD上有一點

E,ZEBA=ZACB=120°.若AC=23C=2,則DE的長為（）

A

色

D.

7

考向五：射影定理

1.（2024?四川瀘州?二模）如圖，AD//BC,A￡>,8C,OC分別與。。相切與點A,B,E,連接。O并延長

與CB的延長線相交于點f已知AD=3,EC=5,則的長為（）

AD

C.576D.5幣

2.（2024?四川雅安?二模）如圖，是。。的直徑,經過圓上點。的直線CD恰使/ADC=/B.過點A作

直線的垂線交的延長線于點E,且48=有，BD=2,則線段AE的長為

3.（2023?四川涼山?中考真題）如圖，在QABCD中,對角線AC與相交于點0,ZCAB=ZACB,過點8

作交AC于點E.

(1)求證：ACJ.BD；

⑵若AB=10,AC=16,求OE的長.

4.（2024?四川南充?二模）如圖，AABC內接于。O,為。。的直徑，過點。作ODLAC于點E,交。。

于點E連接AD,NC=ND.

（1）求證：AO是0。的切線；

（2）若AB=2,EF=2OE,求DR的長.

5.（2024.四川綿陽三模）在Rt^ABC中，ABAC=90°,AD是斜邊BC上的高,

(1)求證：△ABD^MBA.

(2)若AB=6,BC=10,則BD=

6.（2024?四川廣元?一模）如圖，在口ABCD中，對角線AC與8。相交于點0,ZCAB=ZACB,過點3作

交AC于點E.

(1)求證：AABOS^BEO；

(2)若48=10,AC=16,求OE的長.

7.（2023?四川綿陽?三模）如圖，在DABCD中，將AABC繞著點A逆時針方向旋轉到△AEF的位置，點E

恰好落在邊8c上，E尸與C。交于點M,AB=6,4）=8,BE=2,則QW的長為（）

9

c7D.

24

2.（2022?四川綿陽?中考真題）如圖，四邊形ABCD中，ZADC=90°,ACLBC,ZABC=45°,AC與BD

交于點E,若AB=2j記，CD=2,則△ABE的面積為.

D

'E

AB

3.(2023?四川廣元?中考真題)如圖1,已知線段AB,AC,線段AC繞點A在直線45上方旋轉，連接8C,

以BC為邊在上方作Rt.BDC,且ZDBC=30°.

圖1圖2圖3

⑴若/3DC=90。，以48為邊在AB上方作且NAEB=90。，ZEBA=30°,連接DE,用等式表

示線段AC與DE的數量關系是；

(2)如圖2,在(1)的條件下，若DE上AB,AB=4,AC=2,求8C的長；

(3)如圖3,若/BCD=90。，AB=4,AC=2,當AD的值最大時，求此時tan/CBA的值.

4.(2025?四川瀘州?一模)如圖，已知點C在圓上，E4為0。的一條割線，ZPCB=ZA.

C

(1)求證：APBCSAPCA；

(2)若尸3=4,AB=6,求PC.

5.(2024?四川巴中?中考真題)如圖，AABC內接于，點。為8c的中點，連接AD、BD,BE平分工ABC

交于點E,過點。作。尸〃3C交AC的延長線于點F.

(1)求證：DF是0。的切線.

(2)求證：BD=ED.

(3)若DE=5,CF=4,求AB的長.

1.（2023?四川瀘州?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6,E是的中點，AE與8。交于點凡連接CV.若

AELBD,則CP的長為（）

A.5.5B.6C.6.5D.7

2.（2024?四川達州一模）如圖，在矩形ABCD中，BE，AC于點凡B尸=1,3C=6，則DE的長度是

3.（2024?四川綿陽?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,以點C為圓心作。。與直線50相切,

點尸是0。上一個東點，連接互交3。于點T,則=的最大值是（）

C.^6D.3

4.（2024?四川自貢?二模）如圖，矩形ABC。的邊長AD=3,AB=2,E為A5的中點，尸在邊BC上，且

BF=2FC,AF分別與DE、相交于點N,則的長為

5.（2024?四川南充?一模）矩形ABC。中，AB:AD=2:3,E是CO中點，AFXBE于H交3c于尸，連接,

下列結論中正確的是

①△ABHsABCE,?DH=AD,?ZDHE=ZEBC,?AH:HE^3:4

6.（2024?四川南充?二模）如圖，在矩形ABCD中，CE=3DE,于點?下面四個結論：①

19

△DEFS^BDA；②AF=3EF；③tanZAED=2；④S四邊形比麻=可.其中正確的結論有.（填

寫序號）

7.（2024?四川達州?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,點E在邊BC上，CE=2,若點尸、

。分別為邊C。與上兩個動點，線段PQ始終滿足與AE垂直且垂足為F，則AP+QE的最小值為.

8.（2024?四川自貢?二模）（1）發現：如圖①所示，在正方形旗8中，E為AD邊上一點，將AAEB沿BE

翻折到/XBEF處，延長EE交C￡>邊于G點，求證：ABFGHBCG.

（2）探究：如圖②，在矩形A5C￡>中，E為邊上一點，且AD=8,AB=6.將AAEB沿BE翻折到△3EF

處，延長砂交BC邊于G點，延長B尸交CD邊于點S.FH=CH,直接寫出AE的長.

9.（2023?四川成都?一模）（1）如圖1,在正方形ABCD中，點E、歹分別在邊BC和AB上，。尸，4￡于

點0,求證：DF=AE；

（2）如圖2,在矩形ABCD中，將矩形ABCD折疊，得到四邊形EEPG,EP交CD于點、H,點A落在BC邊

上的點E處，折痕交邊48于尸，交邊CD于G,連接AE交G歹于點。；

①若四=2,且tan/CGP=g,GF=2M,求AE與CP的長；

AB34

②先閱讀下面內容，再解決提出的問題：當尤2_2》-3>0時，我們可以利用配方法求出此時x的取值范圍.由

題意可知x2-2x+l-4>0,BP（x-1）2>4,顯然此時x-l>2或x-l<-2,所以x>3或x<—l.如圖3,若BC=6,

AB^W,請根據前述方法直接寫出CH的最大值及此時FG的長.

圖1圖2圖3

限時提升練

（建議用時：90分鐘）

1.（2023?四川綿陽?中考真題）如圖，在邊長為4的正方形ABC。中，點G是BC上的一點，且3G=3GC,

DELAG于點E,BFHDE,且交AG于點尸，貝UtanNED尸的值為（）

AD

a

BGC

A.；B-|C-|D-1

2.（2023?四川瀘州?中考真題）如圖，在?△ABC中,ZC=9（點D在斜邊48上，以AD為直徑的半圓

。與BC相切于點E,與AC相交于點尸，連接DE.若AC=f3,BC=6,則DE的長是（）

pC

AODB

A生叵B.亞C?里D.§

99273

3.（2023?四川巴中?一模）如圖，在AABC中，DE//BC,AD=2,BO=3,則的值是（）

A

x

BLA

-3-c「4-2

D.3

A.—B.—C.一

252555

4.（2024?四川瀘州?二模）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=8,3C=6,AT>,C石分別平分/GW,

NACB,且相交于點R則。F的長為（）

A

A4石?5sl3?3Mn2回

3343

S1

5.（2024?四川樂山?中考真題）如圖，在梯形ABCD中，仞〃3C,對角線AC和交于點O,若產也,

^△BCD3

則於叫

、4BOC

6.（2024?四川宜賓?中考真題）如圖，正五邊形ABCDE的邊長為4,則這個正五邊形的對角線AC的長

是.

2

7.（2023?四川達州?中考真題）如圖，一次函數y=2x與反比例函數y=—的圖象相交于A、3兩點，以A8為

x

邊作等邊三角形A3C,