圖形的相似知識歸納與題型突破（12類題型）

01思維導圖

成比例線段的概念

比例線段比例的性質(zhì)

黃金分割

平行線分線段成比例定理

平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理的推論

平行線分線段成比例定理的推論的逆定理

兩角對應相等，兩個三角形相似

圖形的相似相似三角形的判定兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似

三邊對應成比例，兩個三角形相似

似三角形的對應角相等，對應邊成比例

相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角

相似三角形的性質(zhì)的平分線成比例，都等于相似比

相似三角形周長的比等于相似比，面積的比等于

相似比的平方

位似圖形定義、性質(zhì)、作圖

02知識速記

一、成比例線段的概念

1.比例的項：

ac

在比例式a:b=c:d（即色=上）中，a,d稱為比例外項，b,c稱為比例內(nèi)項.特別地，在比例式=6:。

bd

（即3=2）中，6稱為0,c的比例中項，滿足片=四.

bc

2.成比例線段:

ac

四條線段a,b,c,d中，如果。和6的比等于c和d的比，即2=上,那么這四條線段a,b,c,4叫做成

bd

比例線段，簡稱比例線段.

二、比例的性質(zhì)

比例的性質(zhì)示例剖析

(1)基本性質(zhì)：—■=—<=^>ad=bc(bd。0)—=—<^>3x=2y

bd23

Hchdxy23八、

⑵反比性質(zhì)：：=.0'巴(abed力0)彳=7=_=_(z切W0)

baac23xy

/、--lacab4

(3)更比性質(zhì)：一=—o一二一或

bdcdXyX2_^y3,c、

7=70—=W或——㈤/0)

dc23y3x2

-=-{abed0)

ba

/、人r…-aca+bc+d八、x2x+y2+3/八、

(4)合比性質(zhì)：-==——(ZbTd70)=2O=2(尸°)

babaJ3j3

/、八rt3yaca—bc—tZ八、y3y-x3-2

(5)分比性質(zhì)：-=-O——=——Z(Tbd70)-=-?-——=------(xw0)

babax2x2

/、人八一NLaca+bc+d

(6)合分比性質(zhì)：7=：。一r=一;x2x+y2+3/八、

baa-bc-a=2。=c2(尸0/#>)

y3x—y2-3

(bdw0,awb,cwd)

(7)等比性質(zhì)：

234

B知一=一二一，則當x+>+zwO時,

———=—(b+d-\------xyz

bdn

2_3_4_2+3+4

〃+c+…+加a,,八、

=-----------------=—(z6+[+???+〃/())xyzx+y+z'

b+d+—\-nb

三、黃金分割

*-------------c-------B如圖，若線段上一點C，把線段分成兩條線段/C和2C（/C>3C），

且使/C是48和2c的比例中項（即NC?）,則稱線段被點C黃金分割，點C叫線段48的

黃金分割點，其中/C=Y"44B70.618/2,3。=匕夕/8a0.382他，NC與48的比叫做黃金比.（注

22

意:對于線段而言，黃金分割點有兩個.）

四、平行線分線段成比例定理

兩條直線被三條平行線所截，所得的對應線段成比例，簡稱為平行線分線段成比例定理.如圖：如果

,,?,??ABDEABDEBCEF

IJ/LUL,則n——=——，——=——，——=——.

3BCEFACDFACDF

【小結(jié)】若將所截出的小線段位置靠上的（如稱為上，位置靠下的稱為下，兩條線段合成的線段稱為

上上上二上下二下

全，則可以形象的表示為k=三

rr奉一套’奉一至

五、平行線分線段成比例定理的推論

平行于三角形一邊的直線，截其它兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應線段成比例.如圖：如果

AFAE_AFBE_CF

EF//BC,則一

EB~FC~AB~~AC~AB~^4C

六、平行線分線段成比例定理的推論的逆定理

什AEAF—AEAF.BECF

右商二而或:IT就或罰=就則有成〃&c.

【注意】對于一般形式的平行線分線段成比例的逆定理不成立，反例：任意四邊形中一對對邊的中點的連

線與剩下兩條邊，這三條直線滿足分線段成比例，但是它們并不平行.

【小結(jié)】推論也簡稱“N”和“8”，逆定理的證明可以通過同一法，做EF'IIBC交NC于F點，再證明?

與尸重合即可.

七、相似三角形的判定

判定定理

BCB，C,

判定定理1:簡稱為兩角對應相等，兩個三角形相似.

如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對如圖，如果//=/?,ZB=ZB',貝!!

應相等，那么這兩個三角形相似.△ABCSLHB'C'.

簡稱為三邊對應成比例，兩個三角形相似.

判定定理2：

m心田ABBCAC

如果兩個三角形的三組對應邊成比例，那么這兩個三角如4t圖，如果N?8，c，HC,'則nil

形相似.

△ABCsAAEC’.

判定定理3：簡稱為兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三

如果兩個三角形的兩組對應邊成比例，并且對應的夾角,田ABAC_

角形相似.如圖，如n果行

一A'C'

相等，那么這兩個三角形相似.

則ZX/BCsLA'B'C'.

八、相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形的對應角相等.

如圖，AABCsAABC,則有

NA=NH,NB=NB',ZC=NC'./\人

②相似三角形的對應邊成比例.

如圖，AABCsLAEC',則有ZA

zBtACB‘_C'

ABBCAC,…宜，…、

———k（z左7為相似比）.

A'B'B'CA'C

③相似三角形的對應邊上的中線，高線和對應角的平

分線成比例，都等于相似比.

如圖，AABCsAWBC,AM,4/和4。是△NBC

中3C邊上的中線、高線和角平分線，A'M'、和上zA

力UZt.2-A-/1JDC-ID。_L0JI、［nJ4U/rj1刀

BMCB'M'C

線，則有

AB_BC_AC_卜_AM_4H_AD

A'B'~B'C'~A'C~—A'M'~A'H'~A'D'

④相似三角形周長的比等于相似比.AA

如圖，AABCsAAB'C'，則有BHCB'H'O

ABBCAC4B+BC+AC_卜

AfBf~BfCf~AC~AE+BC+ArC~*A

⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方.

如圖，/\4BCs△4MC',則有

BDCB，IXC

c^-BCAHR「4H、

?△“BC__2_______________ECAH=人2

^AA'B'CLBC?AHB'CAH，

2

（1）尺規(guī)作圖法：①確定位似中心；②確定原圖形中的關鍵點關于中心的對應點；③描出新圖形

（2）坐標法：在平面直角坐標系中，將一個多邊形每個頂點的橫坐標、縱坐標都乘于同一個數(shù)左（左W0）,

所對應的圖形與原圖形位似，位似中心是坐標原點，它們的相似比為問

03題型歸納

題型一利用成比例線段判斷及求解

例題：（23-24九年級上?吉林長春?階段練習）下列四組線段中，是成比例線段的一組是（）

A.a—\,b=2,c=3,d=4B.Q=5,b=6,c=7,d=8

C.a=l,b-V2,c=VJ,d=D.a=4,b=6,c=6,d=8

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?山東濟南?階段練習）下列線段中，能成比例的是（）

A.3cm、6cm、8cm、9cmB.3cm、5cm、6cm、9cm

C.3cm、6cm、7cm、9cmD,3cm、6cm>9cm、18cm

2.（23-24九年級上?江蘇鹽城?期末）已知線段或b滿足〃：6=3:2,且a+2b=42.

（1）求線段。、6的長；

（2）若線段c是線段〃、6的比例中項，求線段c的長.

3.（23-24九年級上?浙江寧波?階段練習）已知三條線段b,c滿足￡=當=；,且”+8+c=18.

324

⑴求a,b,c的值；

⑵若線段〃是線段。和6的比例中項，求〃的值.

題型二利用比例的合比性質(zhì)求解

X]X

例題：（24-25九年級上?重慶?階段練習）已知一=7,則——=__________.

y2x+y

鞏固訓練

X

1.（24?25九年級上?上海普陀?階段練習）已知5x=4y,其中孫w0,那么一=

y

x—2y2x

2.（24-25九年級上?四川成都?階段練習）若一則一=______.

V3y

3.（24-25九年級上?廣東深圳?階段練習）已知3=9=3,則的值為

2342x-y

題型三利用比例的等比性質(zhì)求解

ace3

例題：（23-24九年級上?江西景德鎮(zhèn)?期中）已知工=：=7=7（6+d+/*0）,則、/.

baj2b+a+j

鞏固訓練

ace3a—7c+2e

1.（24-25九年級上?上海浦東新?階段練習）如果工=:=7=7，且b-7d+2/W0,那么=_____.

baj5b-Ja+2j

2x+2y—z2x—v+2z—x+2y+2z

2.（24-25九年級上?上海?階段練習）已知非零實數(shù)1,V,z滿足-----—=——=-----------

zyx

則（x+y）（嚴江+x）的值為一

xyz

2Q2b2c

3.（24-25九年級上?陜西西安?階段練習）已知^—=——=―：=k,求后值.

b+ca+ca+b

n「e

4.己知,=§=7=2,且6+d+/#0.

bdJ

a+c+e

⑴求的值;

b+d+f

⑵若6-2d+3/=5,求。-2c+3e的值.

題型四利用黃金分割求線段的長

例題：點尸是長度為10的線段上的黃金分割點，則較短線段的長度為（）

A.575-5B.30-1075C.15-575D.1075-20

鞏固訓練

I.在長度為1的線段48上有一點尸.滿足=3P4B,則AP長為（）

A.3-遙B.3-45C.V5-2D.

22

2.“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術等領域有著廣泛的應用.如圖（1）,點C把線段分成兩部

分，如果3C：AC=AC：AB,那么稱點C是線段42的黃金分割點.如圖（2）,點C、D、E分別是線段

AB,AC.4D的黃金分害U點，（AOBC,AD>DC,AE>ED）,若/8=1,則/E的長是（）

ACBAEDCB

圖⑴圖⑵

「3—VsD.

A.V5-2B.#-1

222

3.鸚鵡螺是一類古老的軟體動物.鸚鵡螺曲線的每個半徑和后一個半徑的比都是黃金比例，是自然界最美

的鬼斧神工.如圖，尸是48的黃金分割點（AP>BP）,若線段的長為8c"?,則5P的長為

cm.（結(jié)果保留根號）

題型五由平行判斷成比例的線段

例題：如圖，在中，DE//BC,DF//AC,則下列比例式中正確的是（）

BF_DFBFCE

"7c-7cFC~AE

1.如圖，直線a〃b〃c,分別交直線機、〃于點4、C、E、B、D、F,下列結(jié)論不正確的是（)

AC_ABCEDFAE_BF

CEDF~AE~^F~AE~~BF~AC~^D

2.如圖，在平行四邊形/BC。中，E是4。上一點，連接CE并延長交切的延長線于點R則下列結(jié)論錯

誤的是（）

D__大

\

F

AB

,ABDEAEAFFAFEFAAE

/-----------B-----------c----=-----D-----------

AFEAADFB'ABEC'CDBC

3.（24-25九年級上?黑龍江哈爾濱?階段練習）如圖，在△ABC中，D、E分別為48、/C邊上的點,

DE〃BC,點、F為BC邊上一點、,連接/下交DE于點G,則下列結(jié)論中一定正確的是（）

--------------------------------/~J-----------------------------(-----------------------------/)---------------------------------

ABECGFBD'ADAE'AFEC

題型六由平行截線求相關線段的長

例題：（24-25九年級上?陜西西安?階段練習）如圖，直線〃斯，AC:CE=2:3,BD=3,則。尸

的長是一

鞏固訓練

1.（24-25九年級上?四川巴中?階段練習）如圖，AD、2。相交于點。，點E、尸分別在BC、AD

AB//CD//EF.若CE=4,EO=2,BO=3,AF=10,則/￡>=.

2.（2024九年級上?北京?專題練習）如圖，在中Q、E、尸分別是28、3c上的點，且。E〃/C,/E〃。尸，

BD3

——=—,BF=9cm,求石產(chǎn)和R7的長.

AD2

B

3.（2024九年級上?河北?專題練習）如圖，已知直線4，4，4分別截直線乙于點A,B,C,截直線4于

點、D,E,F,且4〃4〃4.

(1)如果/B=4,5C=8,EF=\2,求的長;

(2)如果。尸=2:3,AC=25,求的長.

題型七由平行截線求相關線段的比值

例題：（24-25八年級上?四川成都?階段練習）如圖，直線4〃4〃/3,直線/C分別交/i，h，4于點4B,

C;直線M分別交4,4,4于點，E,F."與正相交于點",且6=2,*1,BC=5,則百的

值為.

鞏固訓練

1.（23-24九年級上?河南南陽?期中）如圖，已知在A/BC中，點、D、E、尸分別是邊/8、AC.8C上的點,

DE//BC,EF//AB,且/。:。8=3:5,那么C5:CB等于

A

2.（2024九年級下?全國?專題練習）如圖，4D是△4BC的中線，E是4D上一點，過點C作CG〃4B,交

Ap

8E的延長線于點G,交/C于點足若FG=3EF,求二二的值.

3.（24-25九年級上?山東濟南?階段練習）如圖，為2c邊上的中線，￡為4。上的點，連接班并延長,

交/C于尸.

（1）若E是4。的中點，貝；

⑵若AE:ED=1:2,則/尸：/C=；

⑶若NE:助=1:3,貝!]/尸：NC=；

（4）若皮）=1:〃，猜想/尸：NC=........,并證明.

題型八補充條件使兩個三角形相似

例題：如圖，在A/5C中，48>/C,點。在48上（點。與A,B不重合），若再增加一個條件就能使

AACD^AABC,則這個條件是（寫出一個條件即可）.

BC

鞏固訓練

1.如圖，在A/8C中，點。在48邊上，點E在/C邊上，請?zhí)砑右粋€條件,使

△ADE?^ABC.

2.如圖，已知/CAD相交于點O,若補充一個條件后，便可得到A4O2~AZ）OC,則要補充的條件可以是

3.如圖所示，在四邊形48CD中〃DII8C,如果要使那么還要補充的一個條件是

.（只要求寫出一個條件即可）

題型九利用三角形相似的性質(zhì)求解

例題：（24-25九年級上?福建泉州?階段練習）已知AABCs^DEF,相似比為1:3,則△4BC與S斯的周

長比為.

1.（24-25九年級上?浙江寧波?階段練習）如圖，AABCS^ADE,S^ABC-SmBDEC=A5,其中C3=2,

DE=

A

2.（23-24九年級下?湖南岳陽?期末）若△ZBCSA40C，,AB=2,A'B'=4,△48。面積為10,則A/?。

的面積為.

3.（24-25九年級上?山東聊城?階段練習）在△N3C中，AB=5,AC=4,E是48上一點，AE=2,在/C

上取一點尸，使以/、E、尸為頂點的三角形與ZUBC相似，那么2尸=.

4.（24-25九年級上?福建泉州?階段練習）如圖，AC,5。相交于點。，NA=ND.

(1)求證：△AOBsLDOC；

(2)已知20=5,DO=3,的面積為50,求△DOC的面積.

題型十三角形相似的判定與性質(zhì)

例題：如圖，03c和AZ）EF的頂點都在邊長為1的小正方形的頂點上

（1）求證：△A8C?△DM

（2）“BC的力EF的面積比為

鞏固訓練

DE1

1.如圖所示，延長平行四邊形/BCD一邊3c至點足連接4尸交CZI于點￡,

CE3

(1)求證：AADESAFCE；

(2)若BC=3,求CF的長.

2.如圖，在正方形/BCD中，E是4D的中點，點廠在C。上，且C/=3ED.

(1)求證：/\ABEsADEF；

⑵與ABE尸相似嗎？為什么？

3.如圖，在AASC中，4D平分/A4C,點￡在/。上，且ZEAD=ZADE.

(1)求證：ADCEsABCA；

⑵若43=6,/C=8,求空的值.

題型十一利用位似在網(wǎng)格中作圖求解

例題：(23-24九年級上?四川成都?階段練習)如圖，△NBC的頂點坐標分別為8(2,3),C(3,0).

zvAk

二

小

釬

譚

寄

3哥nXc/w

01rn|m

T>5=

喙

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T-4

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『

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力

口

。

『F0n

『

〃

q必M

出IjIaI

』

(1)作出△N3C先向左平移4個單位，再向上平移1個單位后得到的aHQ。；

(2)在第三象限內(nèi)，以點。為位似中心作出△4BC的位似圖形使新圖與原圖的位似比為2:1.

(3)在(2)的條件下，若M為4C邊上的中點，則△42"C"的邊上與點M對應的點AT的坐標為

鞏固訓練

1.(23-24九年級上?海南海口?階段練習)如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，△4BC的頂點在格

點(網(wǎng)格線的交點)上，以點。為原點建立平面直角坐標系，點2的坐標為(1,0).

(1)將△48。向左平移5個單位長度，得到△4gC],畫出△4片。；

(2)以點。為位似中心，將△吊耳G放大到兩倍(即新圖與原圖的相似比為2),得到△4與6,在所給的方

格紙中畫出

(3)若點M是48的中點，經(jīng)過(1)、(2)兩次變換，〃的對應點監(jiān)的坐標是一.

2.(23-24八年級下?山東煙臺?期末)已知，△NBC在平面直角坐標系的位置如圖所示，點),B,C的坐標

分別為(L0)，(3,-1),(4,2).

⑴以點O為位似中心，在y軸右側(cè)畫A/2'C',使它與△4BC的相似比為2:1；

(2)AH"U的面積為；

(3)若點、M(a,b)為&ABC內(nèi)一點，則點〃的對應點V的坐標為.

3.（23-24八年級下?江蘇蘇州?階段練習）己知在平面直角坐標系中的位