微專題23痛點問題之概率統計經典解答題

秒殺總結

★我們用三條主線將高中數學概率、統計的有關概念串聯起來：

一是統計的基本研究過程：收集數據一整理數據-分析數據一統計推斷.

收集數據整理數據分析數據統計推斷

三種抽樣方法：五種統計圖表：兩種數字特征：三種統計推斷：

簡單隨機抽樣頻率分布表，集中趨勢（眾數、中用樣本估計總體

（抽簽法、隨機頻率分布直方圖，位數、平均數），（估計思想），

法），莖葉圖，散點圖，離散程度（極差、回歸分析（擬合思想），

系統抽樣，列聯表.方差、標準差）.獨立性檢驗（檢驗思想）.

分層抽樣.

二是隨機事件的基本研究過程：隨機事件一事件概率-基本概型.

隨機事件事件概率基本概型

八種常見事件：三種常見求法：七種概率模型：

隨機事件，基本事件，用頻率估計概率，古典概型，幾何概型，

等可能事件，并事件，交事件，利用基本概型的概率公互斥事件概率，對立事件概率，

互斥事件，對立事件，相互獨立式，條件概率，相互獨立事件概率，

事件.轉化為簡單事件的概率.獨立重復試驗概率.

三是隨機變量的基本研究過程：隨機變量一概率分布模型一分布列及數字特征.

隨機變量概率分布模型分布列及數字特征

兩類隨機變量：四種分布模型：三個問題：

離散型隨機變量，兩點分布，超幾何分布，概率分布列，數學期望,方差.

連續型隨機變量.二項分布，正態分布.

典型例題

例1.（2022.安徽?安慶一中高三期末（理））1971年“乒乓外交”翻開了中美關系的新篇章，2021年休斯頓世

乒賽中美兩國選手又一次踐行了“乒乓外交”所蘊含的友誼、尊重、合作的精神，使“乒乓外交”的內涵和外延得

到了進一步的豐富和創新，幾十年來，乒乓球運動也成為國內民眾喜愛的運動之一，今有小王、小張、小馬

三人進行乒乓球比賽，規則為：先由兩人上場比賽，另一人做裁判，敗者下場做裁判，另兩人上場比賽，

依次規則循環進行比賽.由抽簽決定小王、小張先上場比賽，小馬做裁判.根據以往經驗比賽：小王與小張比

賽小王獲勝的概率為二，小馬與小張比賽小張獲勝的概率為：，小馬與小王比賽小馬獲勝的概率為

（1）比賽完3局時，求三人各勝1局的概率;

(2)比賽完4局時，設小馬做裁判的次數為X,求X的分布列和期望.

【答案】(1)§

(2)分布列答案見解析，數學期望：日

6

【解析】

【分析】

(1)“比賽完3局時，求三人各勝1局”分為兩種情況，①小王勝小張，小王輸給小馬，小馬輸給小張；②

小張勝小王，小張輸給小馬，小馬輸給小王.

(2)比賽完4局時，小馬做1次裁判分為兩種情況：①小王勝小張，小王輸給小馬，小馬勝小張；②小王

輸給小張，小張輸給小馬，小馬勝小王.比賽完4局時，小馬最多做2次裁判.

(1)

設小王與小張比賽小王獲勝記為事件A,小馬與小張比賽小張獲勝記為事件B,

小馬與小王比賽小馬獲勝記為事件C,且A,B,C相互獨立.

211

則P(A)=],PCB)=5，P(C)=3

設“比賽完3局時，三人各勝1局”記為事件則

P(M)=P{ACB)+P(ABC)=尸(A)?尸(C)?P(B)+P(A)P(B)-P(C)

2111122

二—x—x——F—x—x—=—

3323239

(2)

X的可能取值為1,2

P(X=1)=P(ACB)+P(ABC)=尸⑷?P(C)-P(B)+P(A)-P?P(C)

2111111

=-X—X--F—X—X—=

3323236

P(X=2)=1-尸(X=l)=*

6

則x的分布列為

則E(X)=lxL+2xg=?

6oo

例2.(2022?全國?高三專題練習(理))2021年4月23日是第26個“世界讀書日”，某校組織“閱百年歷程，

傳精神力量”主題知識競賽，有基礎題、挑戰題兩類問題.每位參賽同學回答〃次(“23,〃eN*),每次回答一

個問題，若回答正確，則下一個問題從挑戰題庫中隨機抽取；若回答錯誤，則下一個問題從基礎題庫中隨

機抽取.規定每位參賽同學回答的第一個問題從基礎題庫中抽取，基礎題答對一個得10分，否則得0分；挑

戰題答對一個得30分，否則得0分.已知小明能正確回答基礎類問題的概率為能正確回答挑戰類問題的

2

概率為不，且每次回答問題是相互獨立的.

⑴記小明前2題累計得分為X,求X的概率分布列和數學期望；

⑵記第左題小明回答正確的概率為%,(%=1,2,…,〃)，證明：當心2時，ak=--ak_｝+~,并求｛為｝的通項

公式.

【答案】⑴

X01040

436

p

25525

數學期望為7

(2)證明見解析，%-'

【解析】

【分析】

(1)寫出X的可能取值，并求出相應的概率，從而求出分布列及期望；(2)根據題意列出應與a-的關系

式，利用構造法求出｛為｝的通項公式.

⑴

X的所有可能取值為0,10,4。

=0)=-x-=—,P(X=10)=-x-+-x-=—=-

'75525'75555255

p(X=40)=-x-=—.

'75525

，X的分布列如下:

X01040

436

P

25525

E（X）=Ox—+10x-+40x—=—

v,255255

（2）

根據題意得：第I題回答正確的概率為％,則為=%?：+（1-%）?=-3%+.所以

4=-1以T+2=-I以TJ］，而弓，成首項為白,公比為的等比數列，所以

乙。1UJ、乙）D（/J1vD

例3.（2022?廣東?高三開學考試）學習強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰”,另一項為“四人賽”.活

動規則如下：一天內參與“雙人對戰”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內參與

“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分.已知李明參

加“雙人對戰”活動時，每局比賽獲勝的概率為3；參加“四人賽”活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽

獲勝的概率分別為p,1.李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰”活動和“四人賽”活動（每天兩局），各

局比賽互不影響.

（1）求李明這5天參加“雙人對戰”活動的總得分X的分布列和數學期望；

⑵設李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為"0.求p為

何值時，"0取得最大值.

【答案】⑴分布列見解析，E（X）=7.5（分）

⑵P=g

【解析】

【分析】

（1）X可取5,6,7,8,9,10,求出對應隨機變量的概率，從而可求出分布列，再根據期望公式求出數

學期望即可;

（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率為“0,再根據導

出求出函數/（P）的單調區間，即可得出答案.

（1）

解：X可取5,6,7,8,9,10,

P（X=5）=C；f；］=^~,P（X=6）=C；x：x、］=^~,

尸（X=7）=C；q：x［m=A，P（X=8）=C；e］xt：=t

P（X=9）=C/（4xl=A,P（X=10）=Cf（4=^,

分布列如下:

X5678910

155551

P

323216163232

J5JflU￡（X）=5x—+6x—+7x—+8x—+9x—+10x—=7.5（分）；

v,323216163232

⑵

解：設一天得分不低于3分為事件A,

則P（A）===，

=普（。+丫。-）：

則恰有3天每天得分不低于3分的概率〃p）=C；21P0</?<1

則尸（P）=費x3（22+1）20_p）2_^x2（2p+l）3（1-p）

當O<P<；時，尸（0>0,當;<p<l時，/,（P）<0>

所以函數“0在［0,1上遞增，在上遞減，

所以當P=；時，”0取得最大值.

例4.（2022?全國?高三專題練習）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的

平均產卵數＞和平均溫度x有關，現收集了以往某地的7組數據，得到下面的散點圖及一些統計量的值.

平均溫度x/°C21232527293133

平均產卵數力個711212466115325

z=lny1.92.43.03.24.24.75.8

產卵數

?

400-

350-

300-

250-

200-

150-

100-?

50-.*

*

?I■............................................................II?.

202224262830323436溫度

（1）根據散點圖判斷，y=bx+a^y=cedx（其中e=2.718…為自然對數的底數）哪一個更適宜作為平均

產卵數y關于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數據，求

出，關于x的回歸方程.（計算結果精確到0.01）

（2）根據以往統計，該地每年平均溫度達到28。（7以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情

況均不需要人工防治，記該地每年平均溫度達到28。。以上的概率為P.記該地今后5年中，恰好需要3次人

工防治的概率為/'（0,求”0的最大值，并求出相應的概率P0.

n,_、/n__

人磯

附：回歸方程，中，b=----------=號-----二一，2=

“尤一

i=li=l

參考數據

777

yz

Z=1i=\Z=1

52151771371781.33.6

【答案】(1)y=e°33A5.31

33216

(2)當p0=w時，

625

【解析】

【分析】

(1)根據散點圖判斷>=。6"更適宜作為，關于X的回歸方程類型；對>=06"兩邊取自然對數，求出回歸

方程，再化為y關于X的回歸方程；

(2)由〃同對其求對數，利用導數判斷函數單調性，求出函數的最值以及對應的％值.

【詳解】

解：(1)由散點圖可以判斷，y=ce+適宜作為卵數了關于溫度x的回歸方程類型.

對、=。/兩邊取自然對數，得lny=lnc+人,

令$=lny,a=\ncb=d>貝!lz=/x+a,

21+23+25+27+29+31+33?

由數據得》=----------------------------二27,

7

人^(^z,.-7xz)

所以務5s------------=7T7-0-33-a==3.6-0.33x27=-5.3b

'V2產112

>-7x

i=l

所以z關于X的線性回歸方程為］=O.33X.5.31，

則》關于x的回歸方程為y=e°33A531；

(2)由〃p)=C1"(1一02得(1—0(3-5°),

因為0<"1,令/(p)>0得3-5p>0,解得0<p<：

所以在/，：上單調遞增，在［』)上單調遞減，

所以“P)有唯一的極大值為了1|J，也是最大值；

所以當為=(時，

。\J/U乙J

【點睛】

本題考查了線性回歸方程的求法與應用問題，也考查了概率的計算與應用問題，屬于中檔題.

例5.(2022?全國?高三專題練習)2020年我國科技成果斐然，其中北斗三號全球衛星導航系統7月31日正

式開通.北斗三號全球衛星導航系統由24顆中圓地球軌道衛星、3顆地球靜止軌道衛星和3顆傾斜地球同

步軌道衛星，共30顆衛星組成.北斗三號全球衛星導航系統全球范圍定位優于10米，實測的導航定位精

度都是2~3米，全球服務可用性99%,亞太地區性能更優.

(I)南美地區某城市通過對1000輛家用汽車進行定位測試，發現定位精確度X近似滿足X~,

預估該地區某輛家用汽車導航精確度在口,3］的概率；

(II)(i)某地基站工作人員30顆衛星中隨機選取4顆衛星進行信號分析，選取的4顆衛星中含3顆傾

斜地球同步軌道衛星數記為y,求y的分布列和數學期望；

(ii)某日北京、上海、拉薩、巴黎、里約5個基地同時獨立隨機選取1顆衛星進行信號分析，選取的5

顆衛星中含中圓地球軌道衛星的數目記為九求4的數學期望.

附：若貝(〃一crWXW〃+b)“0.6827,尸(〃一2cr<X<〃+2cr)20.9545,

P(//-3cr<X<^+3cr)~0.9973.

2

【答案】(I)0.84；(II)(i)分布列見解析，y；(ii)4.

【解析】

【分析】

(I)根據“3b”原則及圖形的對稱性即可求解；

(II)(i)由題可知￥服從超幾何分布，利用公式即可求解；(ii)由題可知自服從二項分布，利用公式即

可求解.

【詳解】

(I)由X~N圖),易知〃=|,b=g

.-.P(1<X<3)=P(//-3(T<X<A+<T)?0.6827+-——=-——=0.6827+0.1573=0.84,

則預估該地區某輛家用汽車導航精確度在口,3］的概率為0.84.

(II)(i)由題意知丫~//(4,3,30),尸(嗎)=筆“=0,1,2,3),

Jo

的分布列為

Y0123

13065391

P

20320310151015

2

E(y)=oX空+1X也+2X------+3x-------

203203101510155

244

(ii)5個基地相互獨立，每個基地隨機選取1顆衛星是中圓地球軌道衛星的概率為五=g,所以5個基地

選取的5顆衛星中含中圓地球軌道衛星的數目J~,

4

E^)=np=5x—=4.

【點睛】

方法點睛：本題以北斗三號全球衛星導航系統為背景，考查正態分布、超幾何分布、二項分布，求離散型

隨機變量的分布列，首先要根據具體情況確定X的取值情況，然后利用排列，組合，概率知識求出X取各

個值時對應的概率，對應服從某種特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應用公式給出，考查學生邏輯

推理能力與計算能力，屬于中檔題.

過關測試

1.(2022?全國?高三專題練習)第13屆女排世界杯于2019年9月14日在日本舉行，共有12支參賽隊伍.

本次比賽啟用了新的排球用球M/KSAW200W，已知這種球的質量指標。(單位:g)服從正態分布N(270,52).

比賽賽制采取單循環方式，即每支球隊進行11場比賽(采取5局3勝制)，最后靠積分選出最后冠軍積分規

則如下:比賽中以3:0或3:1取勝的球隊積3分，負隊積0分;而在比賽中以3:2取勝的球隊積2分，負隊積1

分.已知第10輪中國隊對抗塞爾維亞隊，設每局比賽中國隊取勝的概率為

(1)如果比賽準備了1000個排球，估計質量指標在(260,265］內的排球個數(計算結果取整數).

(2)第10輪比賽中，記中國隊3:1取勝的概率為了(〃).

(i)求出用>)的最大值點Po；

(ii)若以P。作為P的值記第10輪比賽中，中國隊所得積分為X,求X的分布列.

參考數據：7~N(”，/),貝!!0@-。<乂<〃+。戶0.6826,p(?-2c<X<〃+2o>0.9544.

3

【答案】(1)136；(2)(i)p°=a；(ii)分布列見解析.

【解析】

【分析】

(1)由正態分布3b原則即可求出排球個數；

(2)(i)根據二項分布先求出/(P),再利用導數求出”P)取得最大值時P。的值;

(ii)根據比賽積分規則，得出中國隊得分可能的取值，然后求出分布列.

【詳解】

(1)因為^服從正態分布N(270,52),所以尸(260＜。＜265)=”出二^=0.1359,

所以質量指標在(260,265］內的排球個數為1000x0.1359忍136個;

(2)(i)=3P3(1—#,〃p)=3[3p2(l-p)+/x(-l)]=3P2(3一4p)

令-5)=0,得，=；3，

33

當pw(0q)時，f(p)>0,/(〃)在(0,/上單調遞增；

33

當P￡弓,1)時，r(P)<o,”p)在4,1)上單調遞減;

44

所以/(P)的最大值點Po=:3;

(ii)X的可能取值為0,1,2,3.

P(X=0)=(1-PY+C；P(1一假；「(x=l)=C>2(l一p)3途;

P(X=2)=C：p2(i_p)20=察；p(x=3)=p3+c；p2(i_p)p=^；

3122JO

所以X的分布列為

X0123

132781189

P

256512512256

【點睛】

求隨機變量的分布列的步驟：

(1)理解X的意義，寫出X可能取得全部值；

(2)求X取每個值的概率；

(3)寫出X的分布列；

(4)根據分布列的性質對結果進行檢驗.

還可判斷隨機變量滿足常見分布列：兩點分布，二項分布，超幾何分布，正態分布.

2.(山東省泰安肥城市2021屆高三高考適應性訓練數學試題(一))十三屆全國人大四次會議3月11日表

決通過了關于國民經濟和社會發展第十四個五年規劃和2035年遠景目標綱要的決議，決定批準這個規劃綱

要.綱要指出：“加強原創性引領性科技攻關”.某企業集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技術，已成功實現離

子注入機全譜系產品國產化，包括中束流、大束流、高能、特種應用及第三代半導體等離子注入機，工藝段覆

蓋至28nm,為我國芯片制造產業鏈補上重要一環，為全球芯片制造企業提供離子注入機一站式解決方案.

此次技術的突破可以說為國產芯片的制造做出了重大貢獻.該企業使用新技術對某款芯片進行試生產.

（1）在試產初期，該款芯片的1批次生產有四道工序，前三道工序的生產互不影響，第四道是檢測評估工

序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款芯片在生產中，前三道工序的次品率分別為片=白，鳥=（，

333

①求批次/芯片的次品率4；

②第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進入流水線并由工人進行抽查檢驗.

己知批次/的芯片智能自動檢測顯示合格率為92%,求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為

合格品的概率（百分號前保留兩位小數）.

（2）已知某批次芯片的次品率為P（O<P<1）,設100個芯片中恰有1個不合格品的概率為°（p）,記9（p）的

最大值點為此，改進生產工藝后批次J的芯片的次品率尸,=%.某手機生產廠商獲得/批次與J批次的芯片,

并在某款新型手機上使用.現對使用這款手機的用戶回訪，對開機速度進行滿意度調查.據統計，回訪的100名

用戶中，安裝/批次有40部，其中對開機速度滿意的有28人；安裝J批次有60部，其中對開機速度滿意的

有57人.求片，并判斷是否有99.9%的把握認為芯片質量與用戶對開機速度滿意度有關？

n^ad-bc^

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.0050.001

k3.8416.6357.87910.828

3

【答案】（1）①5；②99.38%；（2）4=0.01,有99.9%的把握認為芯片質量與用戶對開機速度滿意度有

美.

【解析】

【分析】

(1)①利用對立事件、相互獨立事件概率乘法公式求得所求的次品率.

②根據條件概率計算公式，計算出所求概率.

(2)先求得°(p)的表達式，利用導數求得1，填寫2x2列聯表，計算K?，由此作出判斷.

【詳解】

(1)①I批次芯片的次品率為

"1一[(1_4(1_鳥)(1_月)]=1_季參||=奈

②設批次I的芯片智能自動檢測合格為事件A,人工抽檢合格為事件B,

由己知得尸(田二盂，-48)=1一月=1一行=行，

則工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品為事件為4

尸⑷止第=季魯箸嗡338%

(2)100個芯片中恰有1個不合格的概率e(o)=c；0Gxpx(l-2)9,

因此°(0=]OO[(l_p)99_99pQ_p)98]=]00(1_098(1_]000,

令9(p)=o，得P=0.01.

當pe(O,O.Ol)時，(p(p)>0；當pe(0.01,l)時，

所以夕(p)的最大值點為品=。。1.

由(1)可知，6=0.09,P,=Po=O.Ol,故批次J芯片的次品率低于批次/,故批次J的芯片質量優

于批次/.

由數據可建立2x2列聯表如下：(單位：人)

芯片批次

開機速度滿意度合計

IJ

不滿意12315

滿意285785

合計4060100

根據列聯表得

n(adbc￥100x(12x57-28x3)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)40x60x15x85

100x600x600

=—?11.765>10.828.

40x60x15x8517

因此，有99.9%的把握認為芯片質量與用戶對開機速度滿意度有關.

【點睛】

求解最值點有關的題目，是利用導數研究函數的單調性，由此來求得最值點.

3.（廣西桂林市、崇左市2021屆高三5月份數學（理）第二次聯考試題）十三屆全國人大常委會第二十次

會議審議通過的《未成年人保護法》針對監護缺失、校園欺凌、煙酒損害、網絡沉迷等問題，進一步壓實

監護人、學校、住宿經營者及網絡服務提供者等主體責任，加大對未成年人的保護力度.某中學為宣傳未

成年人保護法，特舉行一次未成年人保護法知識競賽，比賽規則是：兩人一組，每一輪競賽中，小組兩人

分別答兩題，若答對題數不少于3題，被稱為“優秀小組”，己知甲乙兩位同學組成一組，且同學甲和同學乙

答對每道題的概率分為Pi，P2.

32

（1）若R=W，p2=~,則在第一輪競賽中，求他們獲“優秀小組”的概率；

（2）當月+p?=g,且每輪比賽互不影響，如果甲乙同學在此次競賽活動中要想獲得“優秀小組”的次數為

9次，那么理論上至少要進行多少輪競賽？

【答案】（1）f;（2）至少要進行19輪競賽.

【解析】

【分析】

（1）由題意可知獲“優秀小組”的情況包含三種情況，分別計算概率，再求和；

⑵首先計算甲乙同學獲得“優秀小組”的概率「=20北（口+0）-3（月0）2,再根據0+必=（利用基本

不等式求網必的范圍，再將概率表示為二次函數求P的最大值，根據Gw）a=9,計算〃的最小值.

【詳解】

（1）由題可知，所以可能的情況有:

①甲答對1次，乙答對2次的概率6=

②甲答對2次，乙答對1次的概率

③甲答對2次，乙答對2次的概率巴=仁弓［=：

1112

故所求的概率

（2）他們在輪競賽中獲“優秀小組”的概率為:

尸=。；。1（1-口）。；（。2）2+。；（四）2。；。2（1-2）+。；（口）2。；（必）2=22也（口+0）-3（°］°2）2

因為OWP］W1,0<p2<1,P\+P2~~^所以yV百〈1,二《上41，

1?/、？

所以尸=可口。2-3（"出2）一

利用基本不等式知桃2J2愛］°q,當且僅當月=p2=］時，等號成立,

19

「.——AP?——，

251225

令％=，，則⑺(一]]+^-,19

Pi2P=/?=—3/+￡%=—3/tG

5925

所以當，二三9時,_297

他們小組在〃競賽中獲“優秀小組”次數4滿足J?B（n,p）

n—___—___~IQ

由（秋）1mx=9,則也一33,所以理論上至少要進行19輪比賽.

625

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查獨立事件概率，二項分布，最值的綜合應用，重點考查讀懂題意，抽象與概括能力,

屬于中檔題型，本題第二問的關鍵是求出每次獲得“優秀小組”的概率的最大值，并能抽象概括他們小組在“

競賽中獲“優秀小組”次數4滿足4~B5,p）.

4.（2022?山東濰坊?模擬預測）某學校組織數學，物理學科答題競賽活動，該學校準備了100個相同的箱子,

其中第左化=1,2,…,100）個箱子中有左個數學題，100-左個物理題.每一輪競賽活動規則如下：任選一個箱

子，依次抽取三個題目（每次取出不放回），并全部作答完畢，則該輪活動結束；若此輪活動中，三個題目

全部答對獲得一個獎品.

（1）已知學生甲在每一輪活動中，都抽中了2個數學題，1個物理題，且甲答對每一個數學題的概率為P,答

對每一個物理題的概率為q.

①求學生甲第一輪活動獲得一個獎品的概率；

②已知p+q=l,學生甲理論上至少要進行多少輪活動才能獲得四個獎品？并求此時q的值.

(2)若學生乙只參加一輪活動，求乙第三次抽到物理題的概率.

【答案】⑴①P7；②至少要進行27輪游戲，p=g,q".

99

(2)---

200

【解析】

【分析】

(1)①利用獨立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率；

②利用導數求出學生甲在每一輪活動中獲得一個獎品的概率為尸=P7的最大值，可知學生甲在〃輪活動中

獲得獎品的個數4~3(〃,2)，由(〃尸)1rax=4可求得”的值，即可得解；

(2)設選出的是第七個箱子，計算出在第％個箱子中第三次取出的是物理題的概率為p?=*，，進而可

100I

求得所求概率為P=Zp「云，結合數列的求和公式可求得所求事件的概率.

k=iiuu

(1)

解：①記“學生甲第一輪活動獲得一個獎品”為事件A.則P(A)=p%；

②學生甲在每一輪活動中獲得一個獎品的概率為P=Fq=P2(1-°)=-/+p2,

令/(%)=-彳3+d,XG[0,1],/(力=一3%2+2x=-3x[x-|J,

當0<x<§時，/r(x)>0,當§<兄<1時，/r(x)<0,

所以〃尤)在0,|上單調遞增，在1,1上單調遞減，“X/=/「]=:，

即當P=|時，嘮=2

學生甲在〃輪活動中獲得獎品的個數看~見”,尸)，由5尸)鵬=4,知”=27.

21

故理論上至少要進行27輪游戲，此時0=耳，q=-.

(2)

解：設選出的是第七個箱子，連續三次取出題目的方法數為100(100-1)(10。-2).

設數學題為物理題為W,第三次取出的是物理題W有如下四種情形:

(W,W,W)取法數為(100—4)(100—左—1)(100—左—2),

(W,M,W)取法數為左(100-k)(100-左一1),

(M,W,W)取法數為^(100-^)(100-*-1),

(跖M,W)取法數為"("1)(100-左),

從而，第三次取出的是物理題的種數為

(100-^)(100-^-l)(100-yt-2)+^(100-yt)(100-yt-l)+^(100-?t)(100-^-l)+fc(^-l)(100-^)

=(100-1)(100-2)(100-^).

inn_

則在第左個箱子中第三次取出的是物理題的概率為&=彳/.

而選到第k個箱子的概率為專,

100100

故所求的概率為*另100Pk?而1=之一100十—Z?-礪1=歷了1之(10。-左)=歷1冷299=50x9999

2

左=11UUk=l1uuiUU1UUk=l1UUj=o100200

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查概率與數列的綜合應用，在求解第三問時，關鍵要求出在第左個箱子中第三次取出物

理題的概率，那么就應該對前三次取出的題目所屬科目進行列舉，進而求解.

5.(2022?湖南?一模)甲、乙運動員進行乒乓球友誼賽，每場比賽采用5局3勝制(即有一運動員先勝3局即

獲勝，比賽結束).比賽排名采用積分制，積分規則如下：比賽中，以3：0或3：1取勝的運動員積3分，

負者積0分，以3：2取勝的運動員積2分，負者積1分，已知甲、乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為g.

(1)甲、乙兩人比賽1場后，求甲的積分X的概率分布列和數學期望；

(2)甲、乙兩人比賽2場后，求兩人積分相等的概率.

5Q

【答案】(1)分布列見解析，數學期望為2；

【解析】

【分析】

(1)根據題意知X的可能取值為0,1,2,3.x=o時，乙以3：。或3：1成績勝甲；X=1時，乙以3：2成

績勝甲；X=2時，甲以3：2成績勝乙；X=3時，甲以3：0或3：1成績勝乙.

(2)設第i場甲、乙兩名運動員積分分別為X’M，貝lJX『=3-匕,，=1,2,則乂+乂2=4+為，即

X1+X2=(3-X1)+(3-X2),則X1+X?=3,據此根據(1)中分布列計算概率即可.

⑴

隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,

2；2（）；2

P（X=O）=|+Cxgx|x|=||-PX=l=Cxlx

331381

尸（X=2）=cW[x仔[x；=1,尸（X=3）=

r+c|xxx

y3yJ3o1I?tr?

???X的分布列為:

X0123

16168J_

P

2781819

，數學期望E(X)=0x竺+lx竺+2x^+3/="；

278181981

(2)

記“甲、乙比賽兩場后，兩名運動員積分相等”為事件M,

設第i場甲、乙兩名運動員積分分別為X”工,則X,=37，i=l,2,

因兩名運動員積分相等，二七+*2=乂+七，即X1+X?=(3—Xj+(3-Xj,則X1+Xz=3,

P（M）=P（X[=0）P（X2=3）+P（X]=1）P（X2=2）+P（X1=2）P（X2=1）+P（X1=3）P（X2=0）

1611688161161120

=——X—H------x-------1xF—X——=---------

279818181819276561

6.(2022?福建福州?模擬預測)某超市開展購物抽獎送積分活動，每位顧客可以參加〃(〃eN*,且“22)

12

次抽獎，每次中獎的概率為不中獎的概率為:，且各次抽獎相互獨立.規定第1次抽獎時，若中獎則得

10分，否則得5分.第2次抽獎，從以下兩個方案中任選一個;

方案①：若中獎則得30分，否則得。分;

方案②：若中獎則獲得上一次抽獎得分的兩倍，否則得5分.

第3次開始執行第2次抽獎所選方案，直到抽獎結束.

（1）如果〃=2,以抽獎的累計積分的期望值為決策依據，顧客甲應該選擇哪一個方案？并說明理由;

⑵記顧客甲第i次獲得的分數為X,（i=l,2,…，浦，并且選擇方案②.請直接寫出E（X.）與E（XJ的遞推關

系式，并求E（X.）的值.（精確到0.1,參考數據：?0.059.）

【答案】（1）應選擇方案①，理由見解析；

7in

⑵E（Xm）=gE（X,）+w，片舊卜9.8

【解析】

【分析】

（1）分別求得兩個方案的累計積分的期望值即可進行選擇;

（2）依據題給條件即可求得E（Xg）的值.

⑴

若甲第2次抽獎選方案①，兩次抽獎累計積分為鼻則4的可能取值為40,35,10,5.

ill212

P(^=40)=-x-=->^=35)=-x-=-1

P(^=10)=-x-=-,P(^=5)=-x-=-,

339339

…、40702020150

99999

若甲第2次抽獎選方案②，兩次抽獎累計積分為〃，則〃的可能取值為30,15,10,

5111C/,八2I124?224”306040130

貝ljP(r)=30)=-x-=—,P(77=15)=—x-+-x—=—,P(n=10)=—x—=—,E(rf)=-----F——+——=——

339333393399999

因為EC）＞E（〃），所以應選擇方案①.

(2)

7in

依題意得E(Xm)=gE(X,)+可,

X1的可能取值為10,5其分布列為

所以E(XJ=§,則E(Xj_10=-可,

oino

由E(XH)=§E(XJ+可得/X,+J—10=§[E(XAi0],

所以｛E(XJ-1O｝為等比數列.其中首項為一日，公比為:.

所以”)一10=?0，故磯Xg)=—舉(|)+10-9.8.

7.(2022?全國?模擬預測)某商店計劃七月份訂購某種飲品，進貨成本為每瓶2元，未售出的飲品降價處理，

以每瓶1元的價格當天全部處理完.依經驗，零售價與日需求量依據當天的溫度而定，當氣溫TZ35P時，零

售價為每瓶5元，日需求量為300瓶；當30。(247<35。(2時，零售價為每瓶4元，日需求量為200瓶；當

T<3(ZC時，零售價為每瓶3元，日需求量為100瓶.已知七月份每天氣溫7235。(2的概率為0.6,

30℃<T<35℃的概率為0.2,T<30C的概率為0.2.

(1)求七月份這種飲品一天的平均需求量；

(2)若七月份某連續三天每天的氣溫均不低于3(rc,求這三天銷售這種飲品的總利潤的分布列及數學期望.

【答案】⑴240瓶

(2)答案見解析

【解析】

【分析】

(1)根據題意可得日需求量分別為300、200、100時的概率，然后利用隨機變量的數學期望公式即可求解；

(2)先設出每天的進貨量，分30。(247<35。(：和7235。(2求出日禾U潤，然后由題意得3(TC4T<35。(2和

7235(的概率，對這三天的氣溫情況討論，求得這三天的總利潤丫的所有可能取值及其對應的概率，進而

得分布列，即可求得數學期望.

(1)

解：設七月份這種飲品的日需求量為X,則X的可能取值有300、200,100,

由題意知尸(X=300)=0.6,P(X=200)=0.2,P(X=100)=0.2,

所以E(X)=300x0.6+200*0.2+100x0.2=240,

故七月份這種飲品一天的平均需求量為240瓶.

(2)

解：因為這三天每天的氣溫不低于30P,所以這三天這種飲品每天的需求量至多為300瓶，至少為200瓶，

設這三天每天的進貨量為〃瓶，貝U200V〃V300,

當30。?<7<35(時，日禾!]y=4x200+(n-200)xl_2“=600_“(200<〃W300)；

當T235-C時，日利潤y=57z—2〃=3”(200<〃<300).

由題意知七月份某一天的氣溫723(TC的概率P=1-。2=0.8,

八。1八二2

所以30°CWT<35℃的概率R=----T235℃的概率P，

0.840.84

設這三天銷售這種飲品的總利潤為Y,

若這三天的氣溫都滿足7235。?,則y=9〃，p(y=9n)=Jpl=^|J=|J；

若這三天中有兩天的氣溫滿足7235P,一天的氣溫滿足3(TCWT<35y，

則y=2x3”+600—"=5"+600,

127

P{Y=5/1+600)=C|?/?;-7?!=3x|^-Jx-=^-

若這三天中有一天的氣溫滿足7235P,兩天的氣溫滿足30。(247<35。(2,

則y=3〃+2(600—")=1200+〃，

2CXX；

P(y=1200+n)=C*-jp2-p1=3|^=(

若這三天的氣溫都滿足30。€：<