相交線與平行線壓軸題型專項訓練

(8大題型40道)

旨【題型目錄】壓軸題型一相交線壓軸題

壓軸題型二平行線的判定壓軸題

壓軸題型三平行線的性質壓軸題

壓軸題型四利用平行線的性質探究角的關系

壓軸題型五平行線中動點問題

壓軸題型六平行線中的翻折問題

壓軸題型七平行模型

壓軸題型八利用平移的性質解決問題

Joo壓軸滿分題型

陰【壓軸題型一相交線壓軸題】

1.已知直線8相交于點。，OE平分一/OC,射線。尸1CD于點。，且N8O尸=40。，則

ZCOE=.

2.平面內不過同一點的〃條直線兩兩相交，它們交點個數記作并且規定為=0,則％=

圖1

(1)如圖，0c垂直。河■平分/CQ4,則NM08的度數為；

(2)若//OC與NBOC互補，求ZBOC的大小；

⑶若射線0c繞點。從射線。4的反向延長線的位置出發，以每秒1。的速度順時針旋轉；同時射線CM以每

秒5。的速度繞點O逆時針旋轉，各自旋轉180。后停止轉動，請直接寫出使得射線CM,OB,0c中某一條

射線是另兩條射線所夾角的角平分線的時間.

4.如圖，點。在直線跖上，點A、B與點C、。分別在直線跖兩側，且4408=120。，/C0D=70°.

(D如圖1,若OC平分NBOD,OE平分NA0D,過點。作射線OGLO3,求NEOG的度數；

(2汝口圖2,若在ZBOC內部作一條射線OH,若NCOH：ZBOH=2：3,ZDOE=5ZFOH,試判斷ZAOE

與ZDOE的數量關系.

5.點。為直線上一點，在直線同側任作一個NCOD,使得/COD=90。.

圖1圖2備用圖

(1)如圖1,過點。作射線。￡,當。￡恰好為的角平分線時，請直接寫出/80。與/C0E之間的倍數

關系，即/8。。=ZC0E(填一個數字)；

(2)如圖2(44。。＜30。)，過點O作射線。￡,使OC恰好為的角平分線，另作射線。尸，使得。尸平

分NAOD,求/尸。8-/。。廠的度數；

⑶在(2)的條件下，若NAOC+NFOD-NEOF=30°,作射線OG,使得ZDOG=N/OC,求NCOG的度

數.

國【壓軸題型二平行線的判定壓軸題】

6.上周末，小金研究的一道幾何題如下：

如圖，點G在CD上，已知/A4G+//GD=180。，E/平分4B/G,FG平分4GC,請說明/￡〃G尸的

理由.

(1)小金的思路是：先根據“同角的補角相等"得到/8/G=/4GC,再根據"角平分線的定義”，得到

/3=/4,然后根據“內錯角相等，兩直線平行”，得到.你認為小金的思路是—的("正確"或"錯

誤”).

⑵請你用整合教材學到的“框圖”方式分析本題(不寫說明過程).

已知條件要說明的

/BAG+//GD=180°EA平分NBAG

AE//GF

尸G平分乙4GC

7.如圖，點A在上W上，點3在上，連接,過點A作交于點C,過點3作8。平分/N3C

交/C于點。，S.ZNAC+ZABC=90°.

MAN

/\D

CQ

(1)求證：MN//PQ.

(2)若乙48C=/M4C+10。，求/8OC的度數.

8.閱讀下列材料，完成相應任務.

折紙中的數學

綜合實踐課上，老師出示如下問題：如圖1，在一張正方形紙片的兩邊上分別有/,2兩點，連接N3,點P

是正方形紙片上一點，請同學們用折紙的方法過點尸作42的平行線.

興趣小組作法如下：如圖2,過點尸沿PC折疊紙片，使于點C；在圖2的基礎上，展平紙片，過

點尸沿DE折疊紙片，使。折痕尸。于點P,得到圖3；將圖3中的紙片展平，得到圖4,則。E〃48.

任務一：下列選項中，能作為判定上述材料中DE〃/3的依據的有一(多選)

4同位角相等，兩直線平行

8內錯角相等，兩直線平行

C同旁內角互補，兩直線平行

。平行于同一條直線的兩條直線互相平行

E.經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

任務二：如圖5,在長方形紙片48co中，AB//CD.將長方形紙片沿E尸折疊.使40落在處，再將

紙片沿GH折疊，使得2C落在2'C,且E,G,。在同一直線上.

圖5

9.如圖，在書寫藝術字時，常常運用畫“平行線段”這種基本作圖方法，此圖.是書寫的字母"M".

⑴請從正面，上面，右面三個不同方向上各找出一組平行線段，并用字母表示出來；

⑵E尸與/的有何位置關系？CC與切?有何位置關系？為什么？

⑶圖中力B所在的直線與RH所在的直線有公共點嗎？若沒有公共點，能否說明這兩條直線平行？你還能找

出一組具有類似位置關系的直線嗎？由此可知在敘述平行線的概念時，應注意什么？

10.如圖，己知乙48c=70。，ZBAC=40°,AD平分/CAE.

備用圖

(1)求證：AD//BC；

(2)若射線繞點/以每秒1。的速度順時針方向旋轉得到同時，射線CN繞點C以每秒2。的速度順時

針方向旋轉得到CN,和CN交于點尸，設旋轉時間為f秒.

①當0〈/<55時，請寫出//PC與NA4P之間的數量關系，并說明理由；

②當0</<70時，若"N4PC+ZBCP=180。，請直接寫出/的值.

陰【壓軸題型三平行線的性質壓軸題】11.課題學習：平行線的“等角轉化”功能.

⑴閱讀理解：如圖，已知點A是5c外一點，連接AB、AC,求/B+/A4C+/C的度數.閱讀并補充下面

推理過程.

解：過點A作四〃5C,所以48=,/C=

又因為ZEAB+ABAC+ADAC=180°,

所以/3+N8/C+NC=180。.

解題反思：從上面的推理過程中，我們發現平行線具有“等角轉化”的功能，將N2NC、NB、NC"湊"在一

起，得出角之間的關系，使問題得以解決.

(2)方法運用：如圖1,已知48〃CD,求ZB+NBPD+N。的度數；

⑶深化拓展：已知直線/3〃CD,點尸為平面內一點，連接尸/、PD.

①如圖2,已知乙4=50。，ZZ)=140o,請直接寫出乙4PD的度數；

②如圖3,請判斷一尸48、NCDP、N4P。之間的數量關系，并說明理由.

A------------史A、--BP

二:一

CDCDC——卜

圖1圖2圖3

12.綜合與探究

圖2圖3圖4

⑴如圖1,AO//CP,OB//PD,則與/CPQ之間的數量關系為」如圖2,AO//CP,

OB//PD,則與/CPD之間的數量關系為

⑵在圖3中，AB//CD,AF//CE,EF\\CD,44=45。，求NE的度數.

⑶在圖4中，AD//CF,DE//BC,AB//FG,AD平濟NEDH,試探究N\42C、NDHF與NCFG之

間的數量關系.

13.如圖，直線48〃CD,直線￡尸分別與N8,CD交于點、E,F,EM平分乙4EF交CD于點、M,若G是

射線上一動點(不與點尸重合).

圖1圖2

⑴如圖1,若EG平分乙BEF,試判斷與EG的位置關系，并說明理由；

(2)如圖2,若EH平分乙FEG交CD于點H,過點、H作HMLEM于點N,設乙EHN=a,乙EGF="

①當點G在點尸的右側時，若￡=60。，求a的度數；

②在點G運動的過程中，a和￡之間滿足怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，并說明理由.

14.將一塊三角板CDE(ZCED=90°,/CDE=30。)按如圖所示方式放置，使頂點C落在的邊

上，CE〃OA.經過點。畫直線交。/邊于點

(1)如圖1,若N4W=60。.

①求NEC"的度數；

②試說明：DE平分NNDC；

(2)如圖2,DF平分/MDC,交。8邊于點尸，試探索NO與NOFD之間的數量關系，并說明理由.

15.下圖所示的格線彼此平行.小明在格線中作已知角，探究角的兩邊與格線形成的銳角所滿足的數量關

系.他先作出N495=60。，

圖1圖2圖3

(1)①如圖1,點O在一條格線上，當41=20。時，Z2=。；

②如圖2,點。在兩條格線之間，用等式表示N1與N2之間的數量關系，并證明；

(2)在圖3中，小明作射線OC,使得NCO8=45。.記。4與圖中一條格線形成的銳角為a,OC與圖中另一

條格線形成的銳角為力，請直接用等式表示a與8之間的數量關系.

陰【壓軸題型四利用平行線的性質探究角的關系】

(2)如圖2,點E為直線48上一點，且點E在點〃右側，NMPE=NMEP,的平分線交直線于

/FPF

點尸，點尸在點E右側，求1焉的值.

⑶如圖3,NSPR繞點、P轉動,PR與CD交于點K,且尸N始終在NSPR的內部，PG平分■4NPK,交直線CD

于點G,PH平/■乙MPS,交直線于點"，若NSPR=a,4MPN=。,則乙4〃P+NCGP=_(用含a、

B的代數式表示)

17.已知直線/1〃4，直線，3，4分別與4，4交于點3,廠和A,E,點P是直線4上一動點(不與點8,

尸重合)，設NBAP=Nl,ZPEF=Z2,NAPE=N3.

(1)如圖，當點尸在8,尸兩點之間運動時，試確定Zl,N2,N3之間的關系，并給出證明；

(2)當點尸在8,尸兩點外側運動時，試探究Nl,Z2,23之間的關系，畫出圖形，給出結論，不必證明.

18.已知，AB//CD,點E為射線尸G上一點.

(2)如圖2,當點E在尸G延長線上時，此時CD與ZE交于點a，則/4ED、/EAF、NEDG之間滿足怎樣

的關系，請說明你的結論；

⑶如圖3,當點￡在尸G延長線上時，DP平分NEDC,>ZEAP:ZBAP=1:2,NAED=32。,ZP=30°,

求的度數.

19.如圖，已知直線4〃4，4、，4和4、4分別交于點A、B、c、。，點P在直線4或，4上且不與點A、

(1)若點尸在圖(1)位置時，求證：N3=ZI+N2；

(2)若點尸在圖(2)位置時，請直接寫出Nl、N2、N3之間的關系；

⑶若點尸在圖(3)位置時，寫出Nl、N2、N3之間的關系并給予證明.

20.【閱讀材料】

在“相交線與平行線”的學習中，有這樣一道典型問題：

圖①圖②圖③圖④

如圖①，AB//CD,點P在22與CZ>之間，可得結論：ZBAP+ZAPC+ZPCD=360°.

理由如下：

過點尸作P。〃/5.

ZBAP+ZAPQ=1SO°,

???AB//CD,

??.PQ//CD.

ZPCZ）+ZCP0=180°.

："BAP+ZAPC+/PCD

=/BAP+AAPQ+ACPQ+/PCD

=180°+180°

=360。

【問題解決】

（1汝口圖②，43〃。。，點尸在與之間，可得N&4a"C,NPCD間的等量關系是二（只寫結論）

⑵如圖③，，點尸,E在45與CQ之間，NBAE=|ABAP,/DCE=|ZDCP,寫出ZAEC與NAPC

間的等量關系，并寫出理由；

（3）如圖③，AB〃CD,點P,E在43與之間，若/BAE=L/BAP,ZDCE=-ZDCP9可得//EC

nn

與N/PC間的等量關系是_；（只寫結論）

⑷如圖④，43〃C。，點尸,E在AB與。。之間，NB4E=；NBAP,ZDCE=|ZDCP.可得ZAEC與NAPC

間的等量關系是（只寫結論）

國【壓軸題型五平行線中動點問題】2L已知：AB//CD,點E、下分別在直線月2、C。上，點。在

直線N8、。之間，且/EO尸=90。.

圖1圖2

(1)如圖1,若乙4￡0=150。，求NOED的度數.

(2)如圖2,射線EG平分44￡。，連接尸G,若NEG尸=135。，/GFO與NCBG相等嗎？若相等，請證明你

的結論；若不相等，請說明理由.

23

(3)如圖3,EG在NAEO內，ZAEG=-ZOEG,FH在ZOFD內,ZOFH=-ZOFD,點M、N分別為射

線EG、尸〃上的動點，且點M、N在直線42、CD之間，其中/￡MN=3〃。，ZMNH=5m°,若心機,求

n的取值范圍.

22.如圖，己知/"〃的V,點P是射線上一動點(與點/不重合)，BC,BD分別平分/NAP和

/PBN,交射線于點C,D.

(1)①當/4=56。時，//8N的度數是；

@--AM//BN,;./ACB=/；

(2)//=x時，/C8D的度數=(用含x的代數式表示)；

⑶當點尸運動時，N4PB與N4DB的度數之比是否隨點尸的運動而發生變化？若不變化，請求出這個比值,

若變化，請寫出變化規律；

⑷當點尸運動到使=且/4=x時，求—/AP的度數.

23.如圖1,已知直線48〃成),點、C為AB,內部的一個動點，連接C3,CD,/ABC的平分線交

直線于點E,NCAE的平分線交直線可于點/,BE和ZX4交于點E

EDED

圖1圖2

(1)/FDC+//3C=18O。，猜想40和BC的位置關系，并證明；

3

(2)如圖2,在(1)的基礎上連接CF,則在點C的運動過程中，當滿足。尸〃/3且=時,

求/8C。的度數.

24.如圖，直線4〃/?,點/為乙線上的一個定點，點5為直線4、4之間的定點，點C為直線4上的動點.

(1)當點C運動到圖1所示位置時，求證：ZS=Z1+Z2；

(2)點。在直線上，且4>8C=/2(/2<90。)，BE平分NABD.

①如圖2,若點。在的延長線上，/1=50。，求/E5C的度數；

②若點。不在43的延長線上，請你利用圖1補全圖形，探究并證明/E3C與N1之間的數量關系.(本問

中的角均為小于180。的角)

25.如圖(。)，直線NC〃卻，直線NC、2。及直線42把平面分成①、②、③、④、⑤、⑥六個部

分，點P是其中的一個動點，連接尸/、PB,觀察NAPB、APAC./PAD三個角?規定：直線NC、

BD、N8上的各點不屬于①、②、③、④、⑤、⑥六個部分中的任何一個部分.

圖(c)備用圖

⑴當動點P落在第①部分時(圖S)),可得：ZAPB=/PAC+/PBD,請說明理由.

(2)當動點P落在第②部分時(圖(c)),/APB、APAC./尸8。之間的關系是怎樣的？請直接寫出

/4PB、APAC,/PAD之間滿足的關系式，并說明理由.

⑶當動點P在第③部分時，NAPB、NPAC、一尸5。之間的關系是怎樣的？請直接寫出相應的結論.

嗎【壓軸題型六平行線中的翻折問題】

26.已知：在圖1一圖6中，AB〃CD,點、E,點、F,點、G與AB,CD在同一平面內.

⑴探究與表達請直接寫出:

的數量關系;

③圖3中NE,NA,的數量關系:

④圖4中NE,/4,-C的數量關系;

⑤圖5中ZE,N4,NC的數量關系;

⑥圖6中NF,ZE,NG,NC的數量關系；

⑵推導與應用如圖7,將長方形紙片沿歷折疊，已知/1=26。35',求N2的度數.

圖7

27.數學活動課上，琳琳同學將一張長方形紙條沿5E折疊，點A落在點尸處.

(1汝口圖1,她通過測量發現：4DE尸+/。2萬=乙4,請你證明她的結論;

(2)如圖2,點凹在4D上，點N在2C上，連接MV,MN\\EF,將四邊形〃OCN沿MN所在直線折疊得

到MHGN,MN交BC千R,點。的對應點落在點〃處，點C的對應點落在點G處.她通過測量發現：

ZCNG=4NABE，請你證明她的結論.

(3汝口圖3,在(2)的條件下，將四邊形"HGN沿RN向上折疊得到四邊形RPQV,點4的對應點恰好落

到40上的點P處，點G落到點。處，猜想N/AF,NMN。與/MRN的數量關系，并證明你的結論.

28.如圖，延時課上，梅梅將一張長方形紙條(上、下兩邊平行)沿直線EF折疊，跖為折痕.

圖1圖2

⑴請依據所學知識判斷N1和Z2的數量關系，并說明理由;

⑵若22=104。，求ZMEF的度數.

29.綜合與實踐

【閱讀理解】：兩條平行線間的拐點問題經常可以通過作一條直線的平行線進行轉化.例如：（1）如圖1,

AB//CD,/尸48=131。，ZPC￡?=100°,求/4PC的度數.

小明的思路是：過點尸作PE〃/8,通過平行線性質來求乙4尸C.

按小明的思路，易求得乙4尸。的度數為一度；（直接寫出答案）

【類比應用】：

（2）如圖2,AB//CD,點E在直線ZB、CD之間.則乙8,ABED,ND存在一定的數量關系，請認

真思考后得出結論，并進行證明.

【解決問題】

（3）小明研究兩條平行線間的拐點問題在生活中的應用.他發現家中的護眼燈是一款長臂折疊型的（

如圖3所示），EF與桌面九W垂直.當發光的燈管28恰好與桌面平行時，若NDEF=126。,

NBCD=104°,則ZCDE的度數為

30.綜合與實踐：

七年級下冊第二章我們學習了平行線的性質與判定，今天我們繼續探究：折紙中的數學一長方形紙條的折疊

與平行線

⑴知識初探

如圖1,長方形紙條/3CZ）中，AB//CD,AD//BC,//=/B=NC=/D=90。.將長方形紙條沿直線跖

折疊，點/落在4處，點。落在。'處，HE交CD于點G.

①若//￡尸=40。，求乙4，GC的度數.

②試猜想N4EF和ZA'GC之間的數量關系，并進行說明.

（2）類比再探

如圖2,在圖1的基礎上將/CGE對折，點C落在直線GE上的U處.點8落在長處，得到折痕G〃，點

A\G、E、C'在同一條直線上，則折痕E尸與GH有怎樣的位置關系?請說明理由.

國【壓軸題型七平行模型】

3L【探索發現】

CD之間，連接CM.證明：NAMC=NBAM+NMCD.

【深入思考】

(2)如圖2,點E,尸分別是射線C。上一點，點G是線段CF上一點，連接ZG并延長，交直線￡尸

【拓展延伸】

(3)如圖3,在(2)的條件下，AB〃CD,AN平濟/MAC,FN平貨/MFC,AN與FN交點、N,若NCAN=25。,

ZANF=ZAEG,ZMGE=2ZCAN+3ZMEG.求/MFC的度數.

32.已知/5〃CD,點M、N分別是N8、CD上的點，點G在/8、。之間，連接MG、NG.

(2)如圖2,若點尸是C。五方一點，MG平分NBMP,ND平分NGNP,已知NBMG=32°,求NMGN+NMPN

的度數;

(3)如圖3,若點E是上方一點，連接EM、EN,且GM的延長線初尸平分NZME,NE平■令■4CNG,

2NMEN+ZMGN=105°,求ZBMG的度數.

33.如圖1,E點在上，/A=/D,ZACB+ZBED=180°.

(1)求證：AB//CD,

⑵如圖2,AB//CD,BG平分NABE,與NED尸的平分線交于//點，若NDEB比NDHB大60°,求NDEB

的度數.

⑶在(1)的結論下，保持(2)中所求的NZJE2的度數不變，如圖3,BM平分NEBK,DN平分NCDE,

作8P〃ON,則/尸比W■的度數是否改變？若不變，請求值；若改變，請說明理由.

34.已知點/,點3分別在線段MN,PQ上，ZACB-ZMAC=ZCBP.

(2)分別過點/和點C作直線4G、CH使AG〃CH,以點5為頂點的直角ZD8/繞點B旋轉，并且4D8/

的兩邊分別與直線C”,4G交于點尸和點E,如圖2試判斷NCEB、/3EG之間的數量關系，并說明理由;

⑶在(2)的條件下，若8D和NE恰好分別平分/CAP和NON,并且NNC8=60。，求NCRB的度數.

35.(1)如圖1,CD,點E在兩平行線之間，連接BE,DE,求證：NE=N2+ZD證明過程如下:

如圖2

過點E作所〃(①)

???EF//AB

Z5=Z1(②)

■：EF//AB,AB//CD

：.CD//EF(③)

Z2=ZZ>(④)

Z1+Z2=ZS+AD(⑤)

即：NBED=NB+ND.

請在上面的括號中填上作圖或每一步推理的依據

(2)如圖3,CD,點E在兩平行線之間，連接BE,DE.求證：ZE+ZB+ZD=360°.

(3)如圖4,AB//CD,2NM=3NN,/B=3NC,直接寫出/C、N”之間的數量關系.

■【壓軸題型八利用平移的性質解決問題】

36.如圖，直線48〃CD,直線EF與AB、C。分別交于點G、H,/E5C=a(0°<a<90。).小新將一個

含30。角的直角三角板尸AW按如圖①放置，使點MM分別在直線NB、C。上，/尸=90。，NPMN=60°；

Q)若PM〃EF,/九WG的角平分線NO交直線C￡(于點。

①如圖②，當NO〃所時