相交線與平行線壓軸題型專項訓練

(8大題型40道)

旨【題型目錄】

壓軸題型一相交線壓軸題

壓軸題型二平行線的判定壓軸題

壓軸題型三平行線的性質壓軸題

壓軸題型四利用平行線的性質探究角的關系

壓軸題型五平行線中動點問題

壓軸題型六平行線中的翻折問題

壓軸題型七平行模型

壓軸題型八利用平移的性質解決問題

Joo壓軸滿分題型

以【壓軸題型一相交線壓軸題】

1.已知直線42,相交于點O,OE平分一/OC,射線OFLCD于點O,且N2O尸=40。，貝|

ZCOE=.

【答案】65。或25。

【分析】本題主要考查了相交線和角平分線有關計算.熟練掌握垂線定義，角平分線定義，余角補角定義,

分類討論，是解本題的關鍵.

當點尸和點C在43同側時，根據垂直定義得/C。尸=90。，結合N8O少=40°,得//OC=50。，根據角平

分線定義，得NCOE=25。；當點尸和點。在48異側時，可得/BOC=50。，得44。。=130°,得

NCOE=65°.

【詳解】解：當點尸和點C在42同側時，

???O尸，CD于點O,

NCOF=9。°,

■:ZBOF=40°,

.-.ZAOC^l80°-(ZCOF+ZBOF)=50°,

■.■OE^^-ZAOC,

.-.ZCOE=-ZAOC=25°；

2

當點F和點C在N8異側時，

?：NCOF=90°,

ZBOC=ZCOF-ABOF=50°,

ZAOC=180°-ZBOC=130°,

ZCOE=-ZAOC=65°.

2

故答案為：65。或25。.

2.平面內不過同一點的〃條直線兩兩相交，它們交點個數記作并且規定q=0,則出=

【答案】1.n-l.

【分析】2條直線相交只有一個交點，3條直線相交，交點數是1+2,〃條直線相交，交點數是

1+2+3H----H(n-1),即a"=l+2+3d-----l-(w-l)=,可寫出的，的解.

【詳解】解：求平面內不過同一點的〃條直線兩兩相交的交點個數，可由簡入繁，

當2條直線相交時，交點數只有一個；

當3條直線相交時，交點數為兩條時的數量+第3條直線與前兩條的交點2個，即交點數是1+2；

同理，可以推導當n條直線相交時，交點數是1+2+3+…+(〃-1),即

a“=1+2+3+，-+(72-1)=--1),

a2=—x2x(2—1)=1,

a.--1)-5("-1)("-2)=w—1,

本題的答案為：1,n-\.

【點睛】本題考查了平面內直線兩兩相交交點數的計算，涉及到一種很重要的數學方法數學歸納法的初步

應用接觸，此方法在推導證明中比較常用.

3.如圖1,々08=140。，射線0c在平面內.

圖1

(1)如圖，0c垂直。5,OM■平分/CCM,則NM08的度數為；

(2)若//OC與/8OC互補，求/2OC的大小；

⑶若射線OC繞點。從射線。4的反向延長線的位置出發，以每秒1。的速度順時針旋轉；同時射線CM以每

秒5。的速度繞點。逆時針旋轉，各自旋轉180。后停止轉動，請直接寫出使得射線CM,OB,0c中某一條

射線是另兩條射線所夾角的角平分線的時間.

【答案】⑴115。

(2)20。或160°

⑶25秒或80秒或32了0秒或2亍20秒

【分析】本題考查了角的計算，角平分線的定義，垂線的定義，一元一次方程的應用.

(1)根據垂直的定義和角平分線的定義可得出結論；

(2)根據題意需要分兩種情況：①當OC在的左側時；②當OC在。4的下方時，分別畫出圖形求解

即可得出結論；

(3)根據題意需要分三種情況：當為N/OC的角平分線時(分。4停止前和停止后)；當OA為/BOC

的角平分線時；當OC為/AOB的角平分線時分別求解即可得出結論.

【詳解】(1)解：如圖1

圖1

OC垂直OB,

/.ZBOC=90°f

?.?N/O5=140。，

：,AAOC=ZAOB-ZBOC=50°,

-OM平分/CQ4,

ZCOM=25°,

/MOB=ZBOC+/COM=115。；

故答案為：115。.

(2)解：如圖2-1當OC在05的左側時，設=則N4OC=140。+二，

B

'AA

OA

圖2T

由題意可知，a+140°+a=180°,

解得a=20。；

如圖2-2,當0c在02的右側時，設4B0C=a,則//OC=a-140。,

圖2-2

由題意可知，?+?-140°=180°,

解得a=160。；

綜上，符合題意的NBOC的度數為20。或160。；

(3)解：如圖3-1,08為24OC的平分線時,

圖3T

由題意可知4O-Z=14O-5Z,

解得t=25,

如圖3-2(CM已停止)，為240C的平分線時,

解得t-80；

如圖3-3,為N8OC的平分線時,則2(5—140)=407,

圖3-3

他,0320

解得'=1T；

如圖3-4,0c為乙的平分線時，貝151-140=2(40-。,

圖3-4

綜上，射線CM,OB,OC中某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線的時間為25秒或80秒或苦秒

.,.220..

或5-秒.

故答案為：25秒或80秒或320*秒或卷220秒.

點A、B與點C、。分別在直線跖兩側，且4408=120。，ZCOD=70°.

圖2

⑴如圖1,若0c平分Z8OO,OE平分2/0D,過點。作射線OGLO3,求NEOG的度數;

(2汝口圖2,若在，2OC內部作一條射線若NCO〃：ZBOH=2：3,ZDOE=5ZFOH,試判斷

與ZDOE的數量關系.

【答案】⑴80。或100。

(2)NAOE=2ZDOE一105°或NAOE=ZDOE-105°

【分析】本題主要考查角度的和差計算，角平分線的定義,

(1)根據角平分線定義和周角是360。可得//OC的度數；分兩種情況：當OG在防下方時；當OG在跖

上方時，計算即可;

(2)由=2:3,/D0E=5/F0H,設/D0E=5a,貝i」NR9〃=a,再結合角平分線的性質

可用a表達出ZCOH/BOC的度數，求出NAOE與/DOE的度數.

【詳解】(1)???。。平分/5。。，

ZBOD=2/C0D=2x70。=140。，

\ZAOB=120°f

...ZAOD=360。一ZAOB-ZBOD=360°—120。一140。=100°.

?.?OE平分4。。，ZAOD=100°,

圖1

/.ZAOE=-ZAOD=50°

2f

?/OG1OB,

N5OG=90。，

/.ZAOG=NAOB-/BOG=120。-90°=30°,

.../EOG=ZAOG+ZAOE=80°.

???OGVOB,

/BOG=90°,

???ZAOE+ZAOB+/BOG+/EOG=360°,AAOB=120°,

/./EOG=360。—50°-120°-90°=100。；

(2)設ZDOE=5a,貝i」/尸W=

D

NCOH=180°-/DOE-ZCOD-ZFOH=110°-6a

圖3

?:NCOH/BOH=2:3,

ABOC=-ACOH=275°-15a,

2

ZAOD=360°-ZCOD-ZBOC-ZAOB=360°-70°-(2750-15a)-120°=15?-105°,

AZAOE=ZAOD-NDOE=10a-105°,

ZAOE=2ZDOE-105°.

當OH在。尸的下方時，同理可得

ZCOH=180°-ZDOE-ZCOD+ZFOH=110°-4a,

?:/COH:/BOH=2:3,

ZBOC=-ACOH=275°-10a,

2

NAOD=360°-ZCOD-ZBOC-ZAOB=360°-70°-(275°-1Oa)-120°=1Oa-105°,

NAOE=NAOD-ZDOE=5c-105°,

ZAOE=ZDOE-105°.

綜上所述：NAOE=2ZDOE-105°或乙1OE=ZDOE-105°

5.點。為直線42上一點，在直線42同側任作一個NCOQ,使得/COD=90。.

圖1圖2備用圖

（1）如圖1,過點。作射線OE,當。￡恰好為乙40。的角平分線時，請直接寫出N8O。與/COE之間的倍數

關系，即NBOD=ZCOE（填一個數字）；

（2）如圖2（乙4。。＜30。），過點。作射線OE,使0c恰好為/ZOE的角平分線，另作射線。尸，使得。尸平

分乙4OD,求NFO3-NCO尸的度數；

⑶在（2）的條件下，^ZAOC+ZFOD-ZEOF=30°,作射線OG,使得NDOG=N/OC,求NCOG的度

數.

【答案】（1）2

(2)90°,詳見解析

(3)80。或100。,詳見解析

【分析】(1)由題意得出44OC=90。，ABOD=\^°-ZAOD,再由角平分線的定義進行計算，即

可得出結果；

(2)設44OC=/COE=x,由角平分線定義和已知得出乙=Z尸。。+480。=135。-)》，

ZCOF=45°-1x,即可得出結果；

(3)分別用x表示出NEOF,列方程求出x,再分別討論0G的位置即可得解.

【詳解】(1)ZBOD=2ZCOE；理由如下：

???ZCOD=90°.

.-.ZBOD+ZAOC=9Q°,

?；OE平分NAOD,

.-.ZAOE=/DOE=-ZAOD,

2

又7/BOD=180。-NAOD,

:"COE=ZAOE-ZAOC=^ZAOD-(900-ZBOD)=^(180°-ZBOD)-900+ZBOD=|NBOD,

.??ZBOD=2ZCOE；

故答案為：2；

(2)?.?OC為/4OE的角平分線，OF平分/AOD,

.^ZAOC=ZCOE=xf

_i_xi

.?.ZAOF=ZDOF=--------=45°+-x,

22

/FOB=AFOD+ZBOD=45°+-x+90°-x=135°--x,

22

ZCOF=ZAOF-ZAOC=45o+-x-x=45°--x

22

oo

-.ZFOB-ZCOF=135°--x-45°--x]=135--x-45+-x=90°;

2{2J22

113

(3)由(2)知，ZEOF=-ZAOD-2ZAOC=45°+-x-2x=45°——x,

222

???ZAOC=x,/FOD=45°+1x,

.?.ZAOC+ZFOD-/EOF=30°,

3

.?./EOF=ZAOC+ZFOD-30°=15°+-x,

2

33

.-.45°——x=15°+-x,

22

??.x=10。

???N/OC=10。，

當OG在OQ左側時，ZCOG=90°-10°=80°,

當OG在。。右側時，ZCOG=90°+10°=100°.

【點睛】本題考查了角平分線定義、角的互余關系、鄰補角定義、角的計算及解一元一次方程等知識點;

熟練掌握角平分線定義，得出角之間的關系是解決問題的關鍵.

◎【壓軸題型二平行線的判定壓軸題】

6.上周末，小金研究的一道幾何題如下：

如圖，點G在。上，已知/8/G+//GD=180。，EA平分/BAG,FG平分4GC,請說明NE〃GF的

理由.

(1)小金的思路是：先根據“同角的補角相等"得到/A4G=//GC,再根據"角平分線的定義”，得到

/3=/4,然后根據“內錯角相等，兩直線平行"，得到"E〃Gb.你認為小金的思路是—的("正確"或"錯

誤”).

(2)請你用整合教材學到的"框圖”方式分析本題(不寫說明過程).

已知條件要說明的

/BAG+//GD=180°EA平分ABAG

AE//GF

尸G平分乙1GC

【答案】⑴錯誤

⑵詳見解析

【分析】本題主要考查了平行線的判定，能正確判斷內錯角是解決本題的關鍵.

(1)根據N3與N4不是內錯角，故/3=/4不能證明/￡〃G尸，即可得到答案；

(2)先根據同角的補角相等得到/B/G=44GC,由角平分線定義得到=Z2=1z^GC,貝ij

Zl=Z2,即可證明結論.

【詳解】(1)解：小金的思路不對，N3與N4不是內錯角，故/3=/4不能證明/E〃G尸；

故答案為：錯誤；

(2)■：ZBAG+ZAGD=1^0°,ZAGC+ZAGD=180°,

；./BAG=NAGC,

?；E4平分NBAG,

.-.Z1=-ZBAG.

2

FGZAGC,

.-.Z2=-ZAGC,

2

.-.Zl=Z2,

AE//GF.

7.如圖，點A在腦V上，點5在尸。上，連接過點A作/交尸。于點C,過點8作2。平分N/2C

交NC于點。，且/M4C+445c=90°.

MNN

PBCQ

(1)求證：MN//PQ.

⑵若乙15C=/M4C+10。，求。的度數.

【答案】⑴證明見解析；

(2)Z5DC=115°.

【分析】(1)根據垂直的定義得到/B/C=90。，推出=根據平行線的判定定理即可得到結

論；

(2)根據三角形的內角和列方程得到/4BC=50。，根據角平分線的定義得到乙48O=g/"C=25。，于

是得到結論；

本題考查了同角的余角相等，垂直的定義，平行線的判定和性質，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵.

【詳解】（1）證明：-.-ACLAB,

：.ABAC=90°,

■.ZABC+ZACB=9Q°,

■■ZNAC+ZABC=9Q°,

ANAC=NACB,

：.MN//PQ.

（2）解：ZABC=ZNAC+100=ZACB+10°,

ZACB+ZABC=9Q°,

；.NACB+//C3+10°=90°,

ZACB=40°,

ZABC=50°,

?:BD平分/ABC,

.-.ZABD=-ZABC=25°,

2

■：ABAC=90°,

.?.ZSDC=90°+25°=115°.

8.閱讀下列材料，完成相應任務.

折紙中的數學

綜合實踐課上，老師出示如下問題：如圖1,在一張正方形紙片的兩邊上分別有4,B兩點,連接N8,點P

是正方形紙片上一點，請同學們用折紙的方法過點P作/8的平行線.

興趣小組作法如下：如圖2,過點P沿PC折疊紙片，使尸于點C；在圖2的基礎上，展平紙片，過

點P沿。E折疊紙片，使DEL折痕PC于點P,得到圖3：將圖3中的紙片展平，得到圖4,則。E〃4B.

任務一：下列選項中，能作為判定上述材料中OE〃力8的依據的有_（多選）

4同位角相等，兩直線平行

8.內錯角相等，兩直線平行

C同旁內角互補，兩直線平行

。平行于同一條直線的兩條直線互相平行

E.經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行

任務二：如圖5,在長方形紙片/8CZ（中，AB//CD.將長方形紙片沿E尸折疊.使/D落在處，再將

紙片沿G8折疊，使得BC落在夕C,且B,E,G,。在同一直線上.

圖5

【答案】任務一：A,B,C；任務二：見解析

【分析】本題主要考查平行線的判定，根據平行線的判定定理進行判定即可

【詳解】解：任務一：如圖，

■：PC1AB,

■■.Z.PCA=Z.PCB=90°,

又PC1DE,

；/CPE=4CPD=/.EPM=z90°,

??ZMPE=乙BCP=90°,

DE//AB,

故選項A正確；

,:乙DPC=4BCP=90°

■■.DE//AB,

故選項B正確；

?:乙BCP+乙EPC=90°+90°=180°,

?-.DE//AB,

故選項C正確；

D.平行于同一條直線的兩條直線互相平行，說法錯誤；

E.經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行說法錯誤;

所以，能作為判定上述材料中。E〃4B的依據的有A,B,C；

故答案為：A,B,C；

任務二：???/B〃CO,

??/DEF=Z-EFG,

由折疊得，乙DEF=2FEG,

'-Z.EFG=Z-FEG,

又乙EGB=乙EFG+Z.FEG

.ZEGB=2/-FEG,

由折疊得，^EGH=Z.BGH,

；ZEGB=2(EGH,

?ZEGH=Z.FEG,

：.EF//GH.

9.如圖，在書寫藝術字時，常常運用畫“平行線段”這種基本作圖方法，此圖.是書寫的字母"M".

⑴請從正面，上面，右面三個不同方向上各找出一組平行線段，并用字母表示出來；

(2)E/與N?有何位置關系？CC與HR有何位置關系？為什么？

⑶圖中力B所在的直線與RH所在的直線有公共點嗎？若沒有公共點，能否說明這兩條直線平行？你還能找

出一組具有類似位置關系的直線嗎？由此可知在敘述平行線的概念時，應注意什么？

【答案】⑴正面48〃斯(答案不唯一)

上面48〃/Z'(答案不唯一)

右面功?〃(答案不唯一)

(2)EF//A'B,CC//HR,理由見解析；

⑶見解析.

【分析】本題主要考查同一平面內兩直線平行.能從復雜的圖形中找出同向線段，就要求同學們練就一雙

慧眼，這與平時的努力是密不可分的，熟練掌握平行線的定義是解題的關鍵.

(1)正面4E、MF、NG、是平行的，MP、3平行，PN、C。平行；上面/4、BB'、CC\DD'

相互平行，AB.AE、CD、C'。'平行；右側H?、平行，HD、及。平行；據此分別找出一組平行線即可；

(2)防與40都與4B平行，所以平行；CC，與。ZT平行，ZVT與。〃垂直，因為它們不在同一平面內,

所以是異面垂直.

(3)根據平行線的定義作答即可.

【詳解】（1）解：正面/￡、MF、NG、DH是平行的，AB,防平行；

二正面：AB//EF（答案不唯一），

上面：上面44'、BB'、CC\相互平行，AB、A'B\CD、C'。平行；

■-AB//AB-

右側：HR、OD平行，HD、R。平行

HR//DD'■,

故答案為：正面：AB//EF-上面：AB//AB■.右側：HR//DD'；（答案不唯一）

（2）解：?.?犯〃/2',AB//EF,HR//DD',CC//DD',

.■.EF//A'B',CC'//HR（如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行）；

（3）解：圖中AB所在的直線與RH所在的直線沒有公共點，不能說明這兩條直線平行，比如直線與直

線跖也具有類似位置關系，這樣的兩條直線不在同一個平面內，由此可知在敘述平行線的概念時，應注意

敘述平行線的概念時應注意“在同一平面內”這一限制條件，即在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線.

10.如圖，已知乙45c=70。，ZBAC=4Q°,4D平分/C4E.

⑴求證：AD//BC；

（2）若射線40繞點/以每秒1。的速度順時針方向旋轉得到同時，射線C/繞點C以每秒2。的速度順時

針方向旋轉得到CN,NM和CN交于點尸，設旋轉時間為f秒.

①當0<55時，請寫出/ZPC與N84P之間的數量關系，并說明理由；

②當0</<70時，若g/4PC+/BCP=180。，請直接寫出/的值.

【答案】⑴見解析

⑵①NAPC=NBAP,理由見解析；②60或竽

9

【分析】（1）易得/C/￡=140。，根據角平分線的定義得出=70。，即可求證4O〃8C；

（2）①根據題意得出NC4M=70。—，ZBAP=U00-t,ZACP=2t,根據三角形的內角和定理得出

ZAPC=1800-ZCAM-ZACP=110°-t,即可得出結論；

②根據題意進行分類討論：當0<f<55時，由①可得：ZAPC=U0°-t,ZACP=It,貝ij

ZBCP=100+2t,1^APC+ZBCP=180°,列出方程求解即可；當55Vt<70時，ZACP=2t,

ZACB=70°,推出NBC尸=290。-2/,根據g//PC+/BCP=180。，列出方程求解即可.

【詳解】（1）證明：??,/A4c=40。，

???/CAE=180。—ABAC=140°,

v40平分/C4E,

；./DAE=L/CAE=70。,

2

-ZABC=70°f

/./ABC=ZDAE,

AD//BC；

（2）解：①???/DAE=/DAC=70。,射線4D繞點4以每秒1。的速度順時針方向旋轉得到,

??.NGW=70。7，

???ZBAC=40°,

；"BAP=ABAC+/CAM=40。+（70。一。二110。T,

???射線C4繞點C以每秒2。的速度順時針方向旋轉得到CN,

.?.AACP=2t,

.?./ZPC=180。-/CW-/ZCP=180。-（70。-，）-2，=110。-

NAPC=/BAP；

F.

②當0</<55時，

由①可得：ZAPC=U00-tfZACP=2t,

/.ZBCP=100+2t,

?.」N/PC+NBC尸=180。，

5

解得：

9

當55W70時,

vZACP=2t,/ACB=7。。，

/BCP=360°-ZACB-ZACP=360°-70°-2t=290°-2t,

-ZAPC=U00-tf|z^PC+Z5CP=180°,

.?.1(110°-?)+(290°-2。=180。，

解得：t=60,

綜上：/的值為60或

【點睛】本題考查了平行線的判定，角平分線的定義,三角形的內角和定理，一元一次方程的實際應用,

解題的關鍵是熟練掌握各個性質定理，正確畫出圖形，列出方程求解.

陰【壓軸題型三平行線的性質壓軸題】

11.課題學習：平行線的“等角轉化"功能.

(1)閱讀理解：如圖，已知點A是BC外一點，連接48、AC,求++的度數.閱讀并補充下面

推理過程.

解：過點A作助〃8C,所以48=,NC=

又因為NEAB+ZBAC+NDAC=180。，

所以N2+NA4C+NC=180。.

解題反思：從上面的推理過程中，我們發現平行線具有"等角轉化”的功能，將/氏4C、NB、湊”在一

起，得出角之間的關系，使問題得以解決.

(2)方法運用：如圖1,已知/5〃CZ),求NB+NBPD+ZD的度數；

⑶深化拓展：已知直線48〃CD,點尸為平面內一點，連接尸/、PD.

①如圖2,已知44=50。，ZJD=140°,請直接寫出N4PZ)的度數；

②如圖3,請判斷-P48、NCDP、4之間的數量關系，并說明理由.

」A-------------?:Av--------B■P

CDCDc——b

圖1圖2圖3

【答案】(l)NEAB；/DAC

(2)NB+NBPD+N。=360°

⑶①90°；(2)^PAB+ZCDP-ZAPD=180°,理由見解析

【分析】(1)根據兩直線平行內錯角相等即可得出結論；

(2)過點P作尸尸〃48,根據兩直線平行同旁內角互補得出/D+/FPO=180。，NB+NFPB=180。,即可

得到最后結論；

(3)①N4PZ)的度數為90。，過點尸作尸G〃/3,根據平行線性質求得//PG=50。，ZGPD=40°,即可

求得N4PA的度數；@ZPAB+ZCDP-AAPD=180°,過點尸作尸尸〃根據平行線性質得到

ACDP=ZDPF,ZPAB+ZAPE=180°,即可退出最后結論.

【詳解】(1)解：過點A作四〃5C,

Z.B=NEAB,ZC=ADAC,

又因為NEAB+ABAC+ADAC=180。，

所以ZB+N8/C+NC=180。；

(2)解：如圖，過點尸作尸尸〃A8,

U

PF//CD,

ZD+ZFPZ)=180°,

---PF//AB,

：.ZB+ZFPB=iS0o,

：.ZB+ZFPB+ZFPD+ZD=360°,

?.ZB+ZBPD+ZD=360°；

(3)解：①乙4PQ的度數為90。；

CD

理由：過點P作尸G〃/8,

:.ZA=ZAPG=50°f

AB//CD,

:.GP//CD,

/G尸。+/D=180。，

vZD=140°,

??,/G尸。=180。—140。=40。，

NAPD=ZAPG+ZGPD=50°+40°=90°；

②NPAB+ZCDP-ZAPD=180。，

理由：過點〃作P/〃45,

?「AB//CD,

PF//CD,

ZCDP=ZDPF,

?:PF〃AB、

NPAB+NAPE=180。,

???ZAPF=ZDPF-ZAPD,

/.ZPAB+ZDPF-ZAPD=180。，

/./PAB+ZCDP-ZAPD=180°.

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解答本題的關鍵是正確作出輔助線，利用平行線的性質進行推

理.

12.綜合與探究

」D「1

PDCt/F

圖1圖2圖3圖4

⑴如圖1,AO//CP,OB//PD,則/NOB與/CPZ）之間的數量關系為」如圖2,AO//CP,

OB//PD,則N/08與/CPD之間的數量關系為

⑵在圖3中，AB//CD,AF//CE,EF\\CD,44=45。，求NE的度數.

⑶在圖4中，AD//CF,DE//BC,AB//FG,AD平濟NEDH,試探究N\42C、NDHF與NCFG之

間的數量關系.

【答案】⑴NAOB=NCPDZAOB+ZCPD^18Q°

⑵/￡=135。

（3）NDHF+ZCFG=ZABC

【分析】（1）根據平行線的性質，同位角相等，等量代換，即可；平行線的性質，內錯角相等，同旁內角

互補，即可；

（2）根據平行公理，平行線的性質，即可；

（3）延長48,CF交于點根據平行線的性質，得/2=NCFG,/3=/1,NEZM=,根據等

量代換，得NEDA=N1=N3=NBHM,再根據平角等于180。，等量代換，即可.

【詳解】([)???/O〃CP,OB//PD,

?.ZAOB=NCEB,ZCPD=ZCEB,

ZCPD=ZAOB,

故答案為：ACPD=AAOB；

???AO//CP,OB//PD,

ZAOB=NOEP,ZOEP+NDPC=180°,

03+ZDPC=180°,

故答案為：//O3+/DPC=180°.

(2)???AB//CD,EF\\CD,

AB//EF,

.-.ZA=ZAFE=45°,

AF//CE,

.?.//FE+/E=180°,

.?./E=180°-45°=135°.

(3)延長48,CF交于點

■.■AB\\GF,

AM//GF,,

??.Z2=ZCFG

AD//CF,

??.AD//MF,

.?./3=/l,

???BC//ED,

???NEDA=ABHM,

vAD平分NEDH,

???NEDA=Z1,

,?"EDA==/BHM,

VZ2+/BCM+ZMBC=180°,/ABC+4MBe=180°,

；22+/BCM=/ABC,

；"DHF+ZCFG=/ABC.

【點睛】本題考查平行線的知識，解題的關鍵是掌握平行線的性質，平行公理，平角的性質.

13.如圖，直線直線所分別與45,CD交于點E,F,EM平分乙4EF交CD于點M,若G是

射線上一動點(不與點產重合).

圖1圖2

⑴如圖1,若EG平分乙BEF,試判斷與EG的位置關系，并說明理由；

(2)如圖2,若EH平分NFEG交CD于點H,過點H作HNLEM于點、N,設HCV=a,乙EGF邛.

①當點G在點尸的右側時，若￡=60。，求a的度數；

②在點G運動的過程中，a和￡之間滿足怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，并說明理由.

【答案】(1)EW與EG垂直，理由見解析

(2)?=1/?,理由見解析

【分析】(1)由角平分線的定義求得NMEG=90。；

(2)由(1)先求得NNEH^ZAEG,進一步可求得a尸.

【詳解】(1)解：???￡”,￡G分別是N4ER4"的角平分線

ZAEM=ZFEM=工ZAEF,NBEG=ZFEG=|NBEF

22

ZMEG=ZFEM+ZFEG=g(NAEF+NBEF)=1xl80°=90°

.?.EW與EG垂直.

(2)解：①?：AB〃CD,

p=ZBEG=60°,

由(1)知：ANEH=1AAEG=x(180°-60°)=60°,

a=90°-60°=30°,

②理由如下：

由①知，a=90°-ZNEH=90。一；x(180°-ZGEB),

=90。得義(180。_0=".

【點睛】本題考查了角平分線的定義，互余的概念，平行線的性質，解題的關鍵是要善于把握問題之間的

聯系，從而獲得思路.

14.將一塊三角板CDE(ZCED=90°,/CDE=30。)按如圖所示方式放置，使頂點C落在的邊。2

上，CE〃OA.經過點。畫直線交CM邊于點

(1)如圖1,若N4W=60。.

①求NEC8的度數；

②試說明：DE平分NNDC；

(2)如圖2,DF平分乙MDC,交。邊于點尸，試探索/。與/OED之間的數量關系，并說明理由.

【答案】⑴①/￡C8=60。；②見詳解

(2)/。即=150-；/。；理由見詳解

【分析】(1)①根據河乂〃。3,可得N/MV=NO=60。，再根據CE/ON,即可得出結論；②計算出角

度即可；

(2)設/O=x，根據平行線的性質和角平分線定義把/。，/OED表示出來即可；

【詳解】(1)①?\,MN〃OB,

：.ZAMN=ZO=600°f

?；CE〃OA,

.?.ZECB=NO=60°,

(2)-ZCED=90°,ZCDE=30°,ZECB=60°

??.ZDCE=60°

??.ZDCO=60°

-MN//OB,

??.ZNDC=ZDCO=60°,

vZCD￡=30°,

??.ZCDE=ZNDE=30°

DE平分/NDC.

OFCB

?：CE〃OA,

??.ZECB=NO=x,

：.ZDCB=600+x

-MN//OB,

ZMDC=ZDCB=60。+x,

?；DF平分NMDC,

ZCDF=ZMDF=30°+-x,

2

-MN//OB

ZCFD=ZMDF=30。+L

2

ZOFD=150--x,

2

：.AOFD=X50--AO.

2

【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是掌握平行線的判定與性質.

15.下圖所示的格線彼此平行.小明在格線中作已知角，探究角的兩邊與格線形成的銳角所滿足的數量關

系.他先作出N495=60。，

圖1圖2圖3

(1)①如圖1,點。在一條格線上，當41=20。時，Z2=。；

②如圖2,點。在兩條格線之間，用等式表示N1與N2之間的數量關系，并證明；

⑵在圖3中，小明作射線OC,使得NCO8=45。.記。4與圖中一條格線形成的銳角為a,0c與圖中另一

條格線形成的銳角為力，請直接用等式表示a與8之間的數量關系.

【答案】⑴①40；@Z1+Z2=6O°,證明見解析；

⑵a+￡=105。或a-p=15°

【分析】(1)①先標出N3和N4,然后再根據平行的性質可得N1=N3,N2N4,然后再利用角的和差解答即

可；

②如圖：過點C作一條直線平行于格線，標出N3和44,再根據平行的性質可得N1=N3,N2=N4,然后再

利用角和差解答即可；

(2)分兩種情況：當射線OC在乙的內部，當射線OC在4102的外部，然后利用平行線的性質和三

角形的外角的性質進行計算，即可解答.

【詳解】(1)解：①如圖L標出N3和N4

由格線平行，利用平行的性質可得：N1=N3,N2=N4

?.23+44=-08=60°,41=20°

.,.41+42=60°

.-.Z2=60°-20°=40°

證明：如圖：過點C作一條直線平行于格線，標出N3和44

由格線平行可得N1=N3,N2=N4

vZ.3+z4=zS4O5=60°

(2)解：設。/與圖中一條格線形成的銳角為a,0C與另一條格線形成的銳角為尸

當射線OC在乙108的內部，如圖：

在圖中隨意選擇兩條格線標出a、4且過O點作平行于格線的輔助線，并標出N1和N2

由格線平行可得42=力，Zl+Z2=?

?402=60°,"05=45°

.?.ZJOC=15°即41=15。，Nl+/=a

.-.a=15°+^

即a-￡=15°

當射線OC在々108的外部，如圖:

?."03=45°,乙405=60°

???Z^OC=Z^OB+NCO2=105°

由（1）中②知，UOC=a+B

.-?ct+^=105°

綜上所述：a+￡=105。或aa=15。.

【點睛】本題考查了平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.難點是作輔助線，第（2）要分

類討論，不要出現遺漏情況.

⑥【壓軸題型四利用平行線的性質探究角的關系】

⑴如圖1,判斷/MPN、/AMP、NCWP之間的數量關系，并說明理由.

（2）如圖2,點E為直線48上一點，且點E在點M右側，ZMPE=ZMEP,/MPN的平分線交直線于

/FPF

點尸，點尸在點E右側，求吃怒的值.

ZCNP

⑶如圖3,ZSPR繞點尸轉動，PR與CD交于點K,且尸N始終在ZSPR的內部，尸G平分ZNPK,交直線CD

于點G,PH平分■4MPS,交直線42于點7/,若NSPR=a,4MPN=0,則44心+NCGP=_（用含a、

P的代數式表示）

【答案】⑺NMPN=NAMP+NCNP,理由見解析

【分析】（1）過點P作電|1N3,運用平行公理的推論和平行線的性質即可得解；

（2）先證明/MPP=/FPN=/MPE+/EPF,繼而得至!J/EPN=/PEN+2/EP尸，再利用（1）的方法得

到NEPN=/MEP+NCNP,從而得到NCNP=2NEP尸，從而得解；

（3）ZNPG=ZGPK=x,2MPH=2HPS=y,從而得到=x+y+NSPN,又證明

ZSPR+ZMPN=2x+2y+2ZSPN=a+/],從而得到/〃?G="2,利用（1）得方法得到

2

ZAHP+ZCGP=ZHPG,繼而得解.

【詳解】（1）ZMPN=AAMP+ACNP,理由如下:

過點尸作包||N8,

???AB//CD,PL\\AB,

.-.PL//CD//AB,

：.AAMP=AMPL,ZCNP=ZNPL,

ZMPN=AMPL+ZNPL=/LAMP+ZCNP；

（2）?:PF平分NMPN,

ZMPF=ZFPN=AMPE+ZEPF,

???AMPE=ZMEP,

???乙EPN=ZNPF+/EPF=乙MPE+2/EPF=ZPEM+2ZEPF,

由（1）同理得=尸+NGVP,

??.ZCNP=2/EPF,

ZEPF_1

ZCNP~2；

（3）?.?PG平分NNPK,PH*分乙MPS

ZNPG=ZGPK=-ZNPK,ZMPH=ZHPS=-ZMPS,

22

設4NPG=4GPK=x,ZMPH=ZHPS=y,則NNPK=2x,AMPS=,

ZHPG=/NPG+ZHPS+ZSPN=x+y+ZSPN

ZSPR+ZMPN=ZNPK+ZMPS+2ZSPN=2x+2y+2ZSPN=a+,

：.ZHPG=x+y+ZSPN=^^-

由（1）同理得：AAHP+ACGP=ZHPG,

ZAHP+ZCGP=ZHPG=,

2

故答案為：號.

【點睛】本題考查平行公理的推論，利用平行線的性質求角度，角平分線的相關計算等知識，理解和運用

（1）中結論并結合角平分線探究角的關系是解題的關鍵.

17.已知直線直線4，4分別與4，4交于點3,廠和A,E,點P是直線。上一動點（不與點8,

尸重合），設NA4P=N1,NPEF=N2,ZAPE=Z3.

（D如圖，當點尸在8,尸兩點之間運動時，試確定Zl,N2,N3之間的關系，并給出證明；

（2）當點尸在8,尸兩點外側運動時，試探究Nl,Z2,23之間的關系，畫出圖形，給出結論，不必證明.

【答案】⑴/1+/2=/3,理由見解析

（2）/3+/2=/1或/3+/1=22

【分析】（1）首先過點尸作尸。〃4,交NE于點C,由直線（〃/2,可得CP〃/"/4,然后由兩直線平行,

同位角相等，求得答案；

（2）分兩種情況：①當點尸在班'的延長線上運動時（如圖2）,Z3+Z2=Z1；②當點尸在網的延長線

上運動時（如圖3）,Z3+Z1=Z2；進行解答即可求解；

此題考查了平行線的性質，平行公理的推論，正確作出輔助線是解題的關鍵.

【詳解】（1）解：Z1+Z2=Z3.

證明：如圖1,過點P作尸C〃/一交AE于點C,

則Z1=/APC,Za=Zj3,

?.】〃/2，

:.Za=Zy,CP//\//l2

"=々,Z2=ZCPE,

Z1+Z2=ZAPC+ZCPE=ZAPE,

即Z1+Z2=Z3；

（2）解：有兩種情況：

①當點尸在火的延長線上運動時（如圖2）,/3+/2=/1.

證明：過點P作PC〃/一

〃/2，

：.CP//lx//l2,

NAPC=Z1,/EPC=Z2,

Z3=ZACP-/ECP=Z1-Z2,

/.Z3+Z2=Z1；

②當點P在尸5的延長線上運動時（如圖3）,Z3+Z1=Z2.

Z1///2,

NPDB=Z2,

?；N1+N3=/PDB,

.?.Nl+N3=/2；

綜上，/3+/2=/l或N3+Zl=/2.

18.已知，AB//CD,點￡為射線FG上一點.

⑵如圖2,當點E在尸G延長線上時，此時CD與NE交于點則//￡〃、NEAF、/EDG之間滿足怎樣

的關系，請說明你的結論；

⑶如圖3,當點E在尸G延長線上時，DP平分NEDC,5.ZEAP:ZBAP=1:2,ZAED=32°,ZP=30°,

求的度數.

【答案】⑴70。

⑵NEAF=ZAED+ZEDG.理由見解析

(3)122°

【分析】本題主要考查了平行線的性質和判定，正確作出輔助線是解決問題的關鍵.

(1)過E作EH//AB,根據平行線的性質得到NEAF=ZAEH=25°,ZEDG=ZDEH=45°,即可求得ZAED;

(2)過過E作瓦0〃48,根據平行線的性質得到NE/尸=180。-/但/,ZEDG+AAED=1800-MEH,即

ZEAF=ZAED+ZEDG；

（3）設NE4/=%,貝IJNR45=3%,通過三角形內角和得到N或）K=%-2。，由角平分線定義及〃CD得到

3x=32°+2x-4°,求出X的值再通過三角形內角和求ZEKD.

【詳解】（1）解：過E作EH〃AB,

???AB//CD,

圖1

:.EH\\CD,

ZEAF=ZAEH=25°,ZEDG=ZDEH=45°,

/AED=ZAEH+ZDEH=70°.

(2)解：/EAF=/AED+/EDG.

理由如下：

過E作瓦l/〃45,

ZEAF+/MEH=180°,AEDG+AAED+MEH=180°,

:.ZEAF=\S00-ZMEH,ZEDG+ZAED=180O-MEH,

/EAF=ZAED+ZEDG.

(3)解：?/NEAP:/BAP=1:2,

設N胡尸=》,貝ljN6ZE=3%,

???ZAED-ZP=32°-30°=2°,ADKE=ZAKP,

又ZEDK+ZDKE+ZDEK=180。，ZKAP+ZKPA+ZAKP=180。，

/.ZEDK=ZEAP-2°=x-2°,

???Q尸平分NET)。，

NCDE=2ZEDK=2x-4°,

???AB//CD,

ZEHC=ZEAF=ZAED+ZEDG,

BP3x=32°+2x-4°,解得x=28。，

:.NEDK=28°-2°=26°,

.?.NEm=180°—26°-32°=122°.

19.如圖，已知直線4〃4，4、,4和4、4分別交于點A