專題16填空壓軸題

x+2,x<-a,

1.(2023?北京)設々>0,函數于(x)=<da2-f，-碑！k〃，給出下列四個結論，正確的序號為.

-G-l,x>a?

①于(x)在區間(a-1,y)上單調遞減；

②當Q..1時，/(X)存在最大值；

③設M(x，/(苔))(玉,,〃)，N(X2,f(x2))(x2>a),則

④設「(七，/(x3))(x3<-a),。(%4，/(X4))(X4...-6Z),若|尸。|存在最小值，則。的取值范圍時(0,

【答案】②③

【詳解】a>0,當x<-。時，〃幻=%+2,圖像為一次函數；

當-淵作，時，f(x)=^a2-x2,圖像為以(0,0)為圓心，。為半徑的圓的上半?。?/p>

當工〉。時，于(x)=-G-\,圖像為單調遞減的曲線;

選項①，取〃=2,/(%)在區間(-1,+oo)上先單調遞增，后單調遞減，選項①錯誤；

選項②，當Q..1時，

x<-a,f(x)=x+2<2-a<2-1=1；

一磅/a,f(x)=yja2-x2,最大值為a.A；

x>a,f(x)-—yj~x-1<-yfu-1<-2；

所以/(%)存在最大值。，選項②正確；

選項③，由圖可知，當點M位于點8,點N無限接近于點。時，MN的長度最短,

當N無限接近于點。時，X。無限接近于x=a,

所以=1+&>1，選項③正確；

選項④，如上圖，若|PQ|存在最小值，則P、。應該是直線y=—x分別于/(x)=x+2,/(無)=Ja2-H的

交點,

直線y=-x與/(x)=-尤?一定存在交點,而直線y=-x與f(x)=x+2不一定存在交點,

當直線y=-x與/(x)=x+2沒有交點時，-6,-1,即a.l,此時由于尸點取不到，|尸。|不存在最小值,

所以0<°<1,選項④錯誤.

故答案為：②③.

2.(2022?北京)已知數列｛°」的各項均為正數，其前"項和S“滿足=95=1,2,...).給出下列四

個結論：

①｛%｝的第2項小于3；

②｛4｝為等比數列；

③｛%｝為遞減數列；

④｛a?｝中存在小于焉的項.

其中所有正確結論的序號是—.

【答案】①③④

【詳解】對于①〃=1時，可得q=3,當〃=2時，由a2?星=9,可得%?(4+%)=9,可得的=——<3,

故①正確；

對于②，當九.2時，由5“=2得S“1=2,于是可得4=2-2,即

a?%a?%9

若｛%｝為等比數列，則”..2時，an+1=an,即從第二項起為常數，可檢驗〃=3不成立，故②錯誤;

對于③，因為a〃?S〃=9,Qn>0，q=3,

g

當〃..2時，—,

an

g9

所以。〃=S“_S“_］=-------〉0,

冊%

所以-->----=>-->----=>VQ〃_］，

anan-l4%

所以｛%｝為遞減數列，故③正確；

對于④，假設所有項均大于等于」一,取〃>90000,貝IJ4…L,S”>900,貝l」4S〃>9與已知矛盾，故④正

100w100

確；

故答案為：①③④.

3.(2021?北京)已知函數/(尤)=|/gx|-fcc-2,給出下列四個結論：

(1)若1=0,則/(x)有2個零點；

(2)存在負數3使得/(x)恰有1個零點；

(3)存在負數左，使得/(幻恰有3個零點；

(4)存在正數k,使得/(x)恰有3個零點.

其中所有正確結論的序號是—.

【答案】(1)(2)(4)

【詳解】函數/(元)=|/gx|-依-2的零點的個數可轉化為函數y=|/gx|與直線y=履+2的交點的個數；

作函數y=|/gx|與直線y=fcc+2的圖象如右圖，

若k=0,貝U函數y=|/gx|與直線y=履+2的圖象在(0,1)與(l,+oo)上各有一個交點，如直線則/O)有兩

個零點，故(1)正確；

當左=-2時，當尤e(0,1］時，/(%)=-Igx+2x-2,

,1.1

/(10-2)=2+--2>0,/(10-1)=l+--2<0,

故/(尤)在(ICT?,101)上至少有一個零點，

又于(1)=。，結合圖象知，/(x)在(0,1］上有兩個零點，

即y=|/gx|與y=-2元+2有兩個不同的交點，故當直線繞點(0,2)順時針旋轉時，

存在直線丫=區+2與函數y=|/gx|與直線的圖象相切，即/(無)有一個零點，如直線6，故(2)正確；

當左<0時，函數y=|/gx|與直線y=履+2的圖象至多有兩個交點，故(3)不正確；

當左>0且上足夠小時，函數y=|/gx|與直線y=fcc+2的圖象在(0,1)與(l,+oo)上分別有1個、2個交點，如

直線小故(4)正確；

故答案為：（1）（2）（4）.

4.（2020?北京）為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業

要限期整改.設企業的污水排放量W與時間f的關系為/=/?）,用一-/①）的大小評價在川這

b-a

段時間內企業污水治理能力的強弱.已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如圖所示.

①在［小⑨這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

②在L時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；

③在與時刻，甲，乙兩企業的污水排放都已達標；

④甲企業在［0,幻，匕，t21,［t2,GJ這三段時間中，在［0，口的污水治理能力最強.

其中所有正確結論的序號是—.

【答案】①②③

【詳解】設甲企業的污水排放量W與時間f的關系為/=/?）,乙企業的污水排放量W與時間f的關系為

w=g（t）.

對于①，在L，%］這段時間內，甲企業的污水治理能力為-/心）一、4），

t2Tl

乙企業的污水治理能力為-成二史12.

由圖可知，/（G-"G）＞g（G-gS），2f

’2一’1‘2—’1

即甲企業的污水治理能力比乙企業強，故①正確；

對于②，由圖可知，/⑺在L時刻的切線的斜率小于g⑺在芍時刻的切線的斜率，但兩切線斜率均為負值，

.?.在L時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強，故②正確；

對于③，在與時刻，甲，乙兩企業的污水排放都小于污水達標排放量，

.?.在J時刻，甲，乙兩企業的污水排放都已達標，故③正確；

對于④，由圖可知，甲企業在［0,幻，［小t2］,［t2,加這三段時間中，在Z，"的污水治理能力最強，

故④錯誤.

正確結論的序號是①②③.

故答案為：①②③.

5.（2023?朝陽區一模）某軍區紅、藍兩方進行戰斗演習，假設雙方兵力（戰斗單位數）隨時間的變化遵循

蘭徹斯特模型：

其中正實數X。、玉分別為紅、藍兩方初始兵力，f為戰斗時間；x（t）,丁⑺分別為紅、藍兩方f時刻的兵力；

正實數a,6分別為紅方對藍方、藍方對紅方的戰斗效果系數；cosh無和$［吐》=史土分別為雙

22

曲余弦函數和雙曲正弦函數.規定當紅、藍兩方任何一方兵力為0時戰斗演習結束，另一方獲得戰斗演習

勝利，并記戰斗持續時長為T.給出下列四個結論：

①若x°＞為且。=6,貝（璘小T）；

②若X。＞乂且4=6,則7=!勿

a^x0-Y0

③若強＞?,則紅方獲得戰斗演習勝利；

a

④若巡〉口，則紅方獲得戰斗演習勝利.

YoV?

其中所有正確結論的序號是

【答案】①②④

x(?)=Xcosh(af)-Ysinh(af)x(r)=

【詳解】對于①，若X°＞為且a=6,則oo,即＜

y(t)=Yocosh(af)-Xgsinh(af)

y?)=

所以x?)-y(f)=e"(X。-%),

由X。>%可得x(t)-y(t)=由(X。一耳)>0,即①正確;

對于②，當時根據(1)中的結論可知x?)>y(f),所以藍方兵力先為0,

口口/、exit+,e-atye^et——e—at

即y⑺=---Y0------—X。=o,

化簡可得/區-4)=""居+匕)，

4+用

即2at=

x。-%

兩邊同時取對數可得2at=ln(X°+Y°),

X()一4

R口17/X。+均、1Jx0+E

EPz=——/〃(------)=—In

2aXo-YoaX。-天

所以戰斗持續時長為T=工牝匡亙，所以②正確;

a^XQ-Y0

對于③，若紅方獲得戰斗演習勝利，則紅方可戰斗時間大于藍方即可,

設紅方兵力為0時所用時間為4,藍方兵力為0時所用時間為芍，

玉+方

即%(%)=X。cosh(^/^q)-J~Ksinh(A/GF%)=0,可得/y[abt

{>0,

4-X。

a

LK+X。

E>0,

同理可得/s[abt2=---尸

X。修丫。

即Fa

2

為+X。V卜

b

>---,解得粵>2,

妁a

X。修丫。

又因為X。，天，a,6都為正實數，所以可得.

,紅方獲得戰斗演習勝利，所以可得③錯誤，④正

a

確.

故答案為：①②④.

6.(2023?西城區一模)如圖，在棱長為2的正方體ABCO-ABCQI中，點M，N分別在線段AR和

上.

出下列四個結論:

①MN的最小值為2；

②四面體NMBC的體積為百；

3

③有且僅有一條直線MN與ADt垂直；

④存在點M,N,使AMBN為等邊三角形.

其中所有正確結論的序號是—.

【詳解】對于①，由A/在AR上運動，N在耳。]上運動，

.".IMN|的最小值為兩條直線之間距離|2G|,而|2￡|=2,

的最小值為2,故①正確；

12

對于②，YM-BNC=3.S^BNC.?AG1=§S即NC，

i4

%zioN/vcC=—2x2x2=2，.?.四面體MV位。的體積為3—，對②正確；

對于③，由題意知當〃與2重合時，AG_LAA，

又根據正方體性質得AD[1平面,

.?.當M為AR中點，N與男重合時，MN工AD、,

.?.與A2垂直的MN不唯一，故③錯誤；

對于④，當AMBN為等邊三角形時，BM=BN,則此時AM=31N,

，只需要3M與3N的夾角等于工即可，

3

以。為原點，DA,DC,分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，如圖,

n

T^AM=BlN=n,則由題意得Af(2—BQ,2,0),N(2-n,2,2),

*仿

/ni.BMBN..41.

/.cos/MBN=—=|-----：--------—1=|-^：--------1,

2\BM\-\BN\n-+4

整理得(--1)M2-2〃+2夜=0,

該方程看成關于n的二次函數,

=4一4x(左一1)x2友=8后-4>0,

.?.存在"，使得AMBN為等邊三角形.

故答案為：①②④.

7.(2023?東城區一模)已知函數/(*)=加畝(1^+0)(2>0,0<0<萬)的部分圖象如圖1所示，A,3分別

為圖象的最高點和最低點，過A作x軸的垂線，交x軸于點A,點。為該部分圖象與x軸的交點.將繪有該

圖象的紙片沿x軸折成直二面角，如圖2所示，此時|A8|=M，則2=

①展?

②圖2中，ABAC=5；

③圖2中，過線段池的中點且與的垂直的平面與x軸交于點C；

④圖2中，S是△A2c及其內部的點構成的集合.設集合T={QeS||AQ|,,2},則T表示的區域的面積大

于工.

4

其中所有正確結論的序號是

【答案】6；②③

【詳解】在圖2中，過5作班＞垂直工軸于O,

由題意可得T=—=4,/.AD=2,

71

2

，43=J42+4,,AB=，A?+A4'=，2%+4=癡,

解得丸=百或丸=一百（舍去），

「./（%）=6sing%+0），當％=0時，6sin（p=

c157c

b＜（p＜兀，「.夕=一—或P-0=——,

66

當夕=生顯然不符合圖象的變化情況，故舍去，

6

:.（p=—,故①錯誤；

6

由題意可得AC=,3+1=2,BC=2,

10+4-4A/W

cosZBAC=

2麗、2-4

ABAC=\AB\-\AC\-COSZBAC=^/10^2X—=5,故②正確；

4

AC^BC=2,過線段AB的中點且與AS垂直的平面與x軸交于點C,故③正確；

IAQ\?2,二面角為直二面角可得|二。|,,1,

.〔T表示的區域的面積為TTXFX*C〈工，故④錯誤.

2萬4

故答案為：也；②③.

8.（2023?豐臺區一模）三等分角是“古希臘三大幾何問題”之一，目前尺規作圖仍不能解決這個問題.古

希臘數學家（約300~350前后）借助圓弧和雙曲線給出了一種三等分角的方法：如圖，以角的頂點

C為圓心作圓交角的兩邊于A,3兩點；取線段AB的三等分點O,D；以3為焦點，A,。為頂點作雙

曲線雙曲線H與弧AB的交點記為E,連接CE,則

3

①雙曲線//的離心率為；

②若NACB=壬,|AC|=3&,CE交AB于點尸，則|。尸|=

2

修B

【答案】2；7-373

【詳解】①由題可得|OA|=a,|OB|=c,所以c=2a,

所以雙曲線H的離心率為￡=2；

a

②因為NAC3=工，且|AC|=|BC|=3點，

2

所以|AB|=J18+18=6,

1jr71

又因為NBCE=-NACB，所以NACP=-,ZBCP

33~6

q-\AC\-\CP\sinZACP—

\AP\

所以=2--------------------=4=

q11~\BP\

、郎CP-\BC\-\CP\sinZBCP-

所以|4尸|=君|8尸|,

因為|48|=|4尸|+|8尸|=(6+1)|8尸|=6,解得|3尸|=3后一3,

所以|OP|=|OB|-|BP|=7-3指,

故答案為：2；7-373.

9.(2023?順義區二模)已知占，x2,X2023均為正數，并且」一+二一+-+—-—=1,給出下列

1+石1+91+X2023

四個結論：

①玉，12，…，/023中小于1的數最多只有一個；

②玉，々023中小于2的數最多只有兩個；

③不，々，…，了2023中最大的數不小于2。22；

④王，12，…，N2023中最小的數不小于?西.

其中所有正確結論的序號為—.

【答案】①②③

【詳解】根據題意，依次分析4個命題：

對于①，假設在石，々，…，々023中有2個或更多的數小于1，

不妨設。<玉<1,0<x<1,--->—,--->—,

21+%21+%2

而后111111

貝隋-----+-----+...+------->-+-=1,

1+玉1+尤21+%202322

故假設不成立，則玉，々，…，馬023中小于1的數最多只有一個，①正確;

對于②，假設在石，々，…，々023中有3個或更多的數小于2,

不妨設。<玉<2,0<x2<2,0<x3<2,

1+芯3l+x231+%33

而君111111,

1+玉1+/1+%2023333

故假設不成立，則玉，馬，…，々023中小于2的數最多只有兩個，②正確;

對于③，假設％1，…，X2023中最大的數小于2022,

即0<玉v2022,0<x2<2022,.......0<x2013<2022,

mil111111

1+%20231+x220231+x20232023

顯然+^—+...+--->2023x—=1,

1+玉l+x21+x20232023

故假設不成立，則不，12，…，X2023中最大的數不小于2022,③正確；

對于④，假設不是石，…，工2023中最小的數，

當％,=2點彳，其余％2=…=%2023=2025x2022—1,

滿足％<----,止匕時-----1------HH------=-----—---------=-----1----

20231+玉1+X21+%2023]+]2025x202220252025

2024

故④錯誤.

故答案為：①②③.

10.（2023?石景山區一模）項數為以左eN*,左.2）的有限數列｛%｝的各項均不小于-1的整數，滿足

%?+%,2'2+q,243+…+/_]?2+%=0,其中為w0.給出下列四個結論:

①若k=2,則4=2;

②若左=3,則滿足條件的數列｛4｝有4個；

③存在4=1的數列｛an｝；

④所有滿足條件的數列｛%｝中，首項相同.

其中所有正確結論的序號是—.

【答案】①②④

【詳解】因為有限數列｛a?｝的各項均不小于-1的整數，

所以a-1,neN*,aneZ,

又因為q,2*'+a,?2*~，2*3+—+。斤一,2+a*=0,

所以q-2i=-(%+%.2=+…+/_］(2"2+2~+…+2］+l)=2"i-1,

所以-啜女1-§尸<1，且〃尸0，弓為整數，

所以4=-1,所以③錯誤，④正確；

當左=2時，得24+4=0，所以q=-1,則4=2,故①正確；

當人二3時，得4。］+2a2+%=。，

又因為q=-1,

所以2a2+%=4,則2a2=4—%,5,

所以-掇％4為整數，

則內的可能取值為-1，0，1，2,對應的％的取值為6,4,2,0,

故數列｛/｝可能為-1,-1,6；-1,0,4；-1,1,2；-1,2,0,共4個，故②正確.

故答案為：①②④.

11.(2023?東城區二模)定義在區間口，+oo)上的函數/(無)的圖象是一條連續不斷的曲線，/(元)在區間

2月上單調遞增，在區間［2左，2左+1］上單調遞減，k=l,2,..給出下列四個結論：

①若｛f(2k)｝為遞增數列，則f(x)存在最大值；

②若"(24+1)｝為遞增數列，則/(x)存在最小值；

f(2k)f(2k+l)>0,且/(2Q+/(2左+1)存在最小值，則|/(x)|存在最小值；

④若f(2k)f(2k+1)<0,且f(2k)-f(2k+1)存在最大值，則"(x)|存在最大值.

其中所有錯誤結論的序號有—.

【答案】①③④

【詳解】對于①，由條件知，函數“X）在區間［2左-1,2燈上單調遞增，

在區間［2%,2左+1上單調遞減，k=l,2,那么在區間［2左-1,2k+l］,函數的最大值是7（2人），

若數列｛/（2幻｝為遞增數列，則函數/（x）不存在最大值，所以①錯誤；

對于②，由條件知，函數在區間［2左-1,2月上單調遞增，在區間［2%,2Z+1］上單調遞減，

若｛/（2左+0｝為遞增數列，那么在區間［2%-1,2左+1］的最小值是/（2左-1）,且/（2々+0為遞增數列，

所以函數/（x）在區間口，+8）的最小值是了（1）,所以②正確；

fQk）=2k-；

對于③，若/（2公/（2左+1）＞0,取卜,%eN*；則/（2幻+/（2左+1）=2左，存在最小值，

/（24+1）=：

Ik

但此時I/（x）|的最小值是|/（2左+1）|=工的最小值，函數單調遞減，無最小值，所以③錯誤；

k

f（2fc）=2——

對于④，若/（2左）/（2左+1）＜0,取2,則/（2Q—/（2k+1）=2恒成立

〃2左+1）=-￥

則/（2左）-/（2左+1）有最大值，但|/（x）|的最大值是|『（26|=2-白的最大值，

函數單調遞增，無最大值，所以④錯誤.

故答案為：①③④.

12.（2023?海淀區二模）在數列｛%｝中，芯=1,無2=2.設向量。"=（當"“+1）,已知?！啊?二-%）=0（〃=1,

2,…），給出下列四個結論：①工3=3；②V〃EN*,當＞0；③V〃EN*,x〃+2；④V〃$N*,當+1。%.其

中所有正確結論的序號是—?

【答案】②③④

【詳解】對于①,由已知可得力=（為%2）=（1可）,%=（%2，%3）=（2，兀3），

所以,4-4=(L%—2).

因為=所以有lxl+2(&—2)=0,解得退=耳，故①錯誤;

對于②,％=(2，])，“3=(*3，，4)=(萬,"4)，

13

所以，/一出=(——,%—])?

.13313

因為4?&—%)=0,所以有2x(——)+2(%4—3=0,解得％=上.

133

同理可得，x=—

578

33133

所以有玉心一F)=1X(2-D=1，%2(%3-x2)=2x(--2)=-l，x^(x4-%3)=-x(---)=1

22o2

1313313

x4(x5-x4)=-x(-

猜想，V〃￡N*，有九21（九2〃一%21）=1，%2〃（9〃+1

顯然，當"=1時，（*）式成立;

假設“=k（keN*）時，（*）式成立，

即V"eN*,有%1-%”-1)=1，%(受用一%“)=T?

==

因為。2“=(々“，與“+1)，。2〃+1(工2〃+1，工2〃+2)，“2〃+2(入2〃+2，*2〃+3)'

所以a2n+l~a2n=(X2n+1-X2n，X2n+2~%2〃+l)，〃2.+2—。2〃+1=(%2〃+2—X2n+\，X2n+3~X2n+2)?

由已知可得，a2n-(a2n+l-a2n)=0,

X

所以2n(%”+1—X2rl)+X2n+i(X2n+2—%“+1)=。，

所以％2〃+1(%2〃+2—X2n+1)=—(％2"+1—X2n)=1?

又，2〃+1,(。2〃+2—。2〃+1)=°，

所以X2n+l(W〃+2—%2〃+1)+九2〃+2(%2〃+3—X2n+2)=。，

所以％2〃+2(%2〃+3—X2n+2)=~X2n+\(*2〃+2-X2n+0='

即，〃=女+1時，式子（*）也成立.

所以，猜想正確.

即V”eN*，有x2n_x(尤2“-々“T)=1，x2?(x2n+1-x2n)=-l.

所以,X2n=X2n-\+~~~，X2n+1=X2n

X2n-\

(**)

孑目想，入2鹿一1，，1，,

當〃=1時，（**）式成立;

假設當〃=%（女￡N*）時,（**）式成立,即Jr/，入2&??2?

31

則々…一言叫Q1%-rI??2l+i?」一=2,

1?A2k+2-A2k+1

，X2k+\V丹+1

當且僅當馬小=,，即知+1=1時，等號成立?

X2k+\

3

因為程+「??2，所以%>2..2.

所以，當〃=左+1時，（**）式也成立.

所以，V〃cN*,>0,故②正確;

11

XX+XXXX

對于④，由（**）可得,2n=2n-\----豐2n-\，2n+1=2n----卞2n-

X2n-l

所以，V〃cN*,九〃+1￡%〃，故④正確;

對于③，因為％2〃..2，所以。<--?—f所以---->0,

一52X?”

11

所以--<所以一--->0.

1-1

X2n5

X2n

11

又X2n+2X-----1---—，所以^2n+2>X2n，

=2n+1+----=%n

%+1

X2n

同理可得，x2?+1>x2?_1.

所以，V〃cN*,xn+2>xn,故③正確.

故答案為：②③④.

13.（2023?西城區二模）已知直線/:、=立+匕和曲線給出下列四個結論：

1+X-

①存在實數％和6,使直線/和曲線C沒有交點；

②存在實數左，對任意實數6,直線/和曲線C恰有1個交點；

③存在實數b,對任意實數%,直線/和曲線C不會恰有2個交點；

④對任意實數上和6,直線/和曲線C不會恰有3個交點.

其中所有正確結論的序號是—.

【答案】①②③

【詳解】對于①，由于C:y=」z為偶函數，故圖象關于y軸對稱，且ye（0,1],如下圖:

當左=0,壇0或6>1時，此時直線和曲線。沒有交點，故①正確.

對于②‘1占'"肅了當時'g（x）=Al*g'⑺

所以當-3

<x<o,g'（無）<0,y單調遞減,

3

當x<-走，

g，O）>0,y單調遞增,

3

故當％=_且時，此時V取極大值，也是最大值為士叵.

38

，某一點處的切線的斜率最大值為d亙，

故曲線C:y=

l+x28

當后>攣時，此時直線/和曲線c恰有1個交點，故②正確.

8

對于④，當直線/:>="+人與曲線C:y=」方某一點處的切線平行時（斜率小于

,且在切點之上的

1+X

位置時，如下圖:

此時直線與曲線有3個交點，故④錯誤.

故答案為：①②③.

14.(2023?朝陽區二模)斐波那契數列又稱為黃金分割數列，在現代物理、化學等領域都有應用，斐波那

契數列｛?！埃凉M足%=。2=1，%=%+/_2(〃..3,〃eN*).給出下列四個結論：

①存在meN*,使得am,am+l,am+2成等差數列；

②存在meN*,使得金，am+1,金+,成等比數列；

③存在常數乙使得對任意“eN*,都有。“，％+2，氏+4成等差數列；

④存在正整數彳，小，0，且2V<>使得4+4+…+4,“=2。23.

其中所有正確結論的序號是—.

【答案】①③④

【詳解】由題設4=%+4=2，%=3，顯然電，a3,&成等差數列，①正確；

由題設知：｛金，。,加，。，.｝在機eN*上，依次為｛奇數，奇數，偶數｝或｛奇數，偶數，奇數｝或｛偶數，

奇數，奇數｝,

所以不可能有其M=a?A?+2,故不存在eN*使勺，am+1,成等比數列，②錯誤；

a

由。“+4=4+3+n+2，4+3=a“+2+??+1-??+1=限一%，

3

所以見+4=3*-4，故。“+4+%=3*>則an,-an+2,an+4成等差數列,

故存在已使得對任意〃都有％，%，j成等差數列，③正確；

由出二名一弓，=a4-a2,a4=a5—a3,an_x=an-an_2,(〃..3,〃eN*),

1

所以4+%+4+…+a“_]=a“+—a、—q,貝(J4+%+/+a4+…+=cin—1)

由題設，數列前16項分別為1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,

其中1+1+2+3+8+13+21+377+610+987=2023,

所以存在正整數彳，%,一，i,“，且?；<%<<zm,使得4+4++%=2023,④正確.

故答案為：①③④.

15.(2023?海淀區一模)在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,。是邊AC的中點，E是邊上的動

點(不與A,3重合)，過點E作AC的平行線交于點P,將她呼沿歷折起，點3折起后的位置記

為點P,得到四棱錐尸-ACFE,如圖所示，給出下列四個結論：

①AC//平面PEF；

②APEC不可能為等腰三角形；

③存在點E,P,使得PDLAE；

④當四棱錐尸-ACRE的體積最大時，AE=6.

其中所有正確結論的序號是—.

【答案】①③

【詳解】①因為AC//EF，EFu平面PEF,AC,平面PEF,

所以AC//平面PEF,故①正確；

②因為AABC是等腰直角三角形，所以AP印也是等腰直角三角形，則￡F=PF,

因為AC_L3C,EF//AC,所以EF_L3C,且EFJ_P/，

當NP_FC=90°時，APFC=AEFC,所以EC=PC,

此時APEC是等腰三角形，故②錯誤；

③因為EF_LBC,且EF_LP尸，BC（'PF=F,

且3Cu平面尸CF,PRu平面PCF,所以EF_L平面尸CF,EFu平面ABC,

所以平面ABC_L平面尸CF,且平面ABCC平面尸CF=3C,

如圖，過點尸作尸M_L3C,連結DM,

則R0_L平面ABC,A￡u平面ABC,所以QW_LAE,

若PZ）_LA￡,PDPM=P,PDu平面PDM,PMu平面PDM,

所以y4E_L平面PDA/,DMu平面PDM,所以AE_LDM,

如圖，AC=2,延長ME）,交43于點N,

則ADCM和AAM）都是等腰直角三角形，

則CA/=1,點N到直線AC的距離等于工，

2

這樣在翻折過程中，若能構成四棱錐，則所>9,

設FC—X,貝!]2-x>l+x,貝UO<x<,，

2

則存在點E,P,使得故③正確：

④當底面ACFE的面積一定時，平面ABC_L平面PEF時，即PF_L平面ABC時，四棱錐尸-ACEE的體積

最大，

設尸C=x,EF=BF=PF=2-x,0<x<2,

i41

Vf=-x2-2x+-=-(3x2-12x+8)=0,

得x=2+?若(舍)或尤=2-2/，當xe(0,2-2若)，Vf>0,函數單調遞增，

333

當xe(2-竽，2),口<0,函數單調遞減，

所以當x=2-空時，函數取得最大值，此時AE="v=2應-偵，故④錯誤;

33

故答案為：①③.

16.(2023?豐臺區二模)已知函數/(x)=|cos2x|+l.給出下列四個結論：

①/(%)的最小正周期是萬；

②/(X)的一條對稱軸方程為x=—；

4

__Q77-

③若函數g(x)=/(x)+仇beR)在區間［0,3］上有5個零點，從小到大依次記為王，%,/，與，%,則

8

%+2(X2+%3+14)+/=5萬；

77"1

④存在實數a,使得對任意meR,都存在玉，％e［——，0］且占Hx,,滿足of(xQ=f(rri)-\-----(k=1,2).

6-

其中所有正確結論的序號是—.

【答案】②③

【詳解】/(x)=|cos2x|+l的圖象如下：

對于②，/(幻的一條對稱軸方程為X=工，②正確；

4

__Qjr

對于③，畫出圖象，y=-》與〉=/(尤)在工€[0,二]上有5個交點，

8

Q77"

這5個交點即為函數g(x)=/(x)+b(beR)在區間[0,—]上有5個零點,

8

從小到大依次記為玉，x2,x3,x4,x5,且玉，元2關于X=?對稱，

、兀、3兀、

X9

X2,冗3關于X=Q對稱，3%關于％=彳對稱，%4，/關于％=%對稱，

則網"，三+%言，

故石+2(X2+&+/)+%5=(玉+々)+(%2+1)+(芯3+%4)+(Z+毛)=萬+%+萬+2%=5%，③正確；

對于④，X0]時，/(尤)=|cos2x|+l單調遞增，且y(x)eB，2],

62

對任意meR,f(/n)e[l,2],由對勾函數性質可知y=/(〃?)+」一在/(〃?)e[l,2]上單調遞增，

15

故/(加)+----e[2,-],由單調性可知存在實數a,

f(m)2

使得對任意〃zeR，只有一個xe[-工，0],滿足4(無)=/(加)+—-—,④錯誤.

6f(m)

故答案為：②③.

17.(2023?房山區一模)設函數=x>°，給出下列四個結論：①函數八%)的值域是R；②

[x+4x+1,x,,0-

Va>l,方程/⑸二。恰有3個實數根；③玉：0￡氏+,使得了(-/0)-/(%)=。；④若實數%<%2<%3<工4，且

4

/(石)=/(%2)=/(%)=/(X4)?則(玉+%2)(%3-％4)的最大值為公——.其中所有正確結論的序號是.

--e

【答案】②③④

【詳解】作出函數/(刈=[以1'的圖象如下圖所示：

lx+4x+1,茗，0

對于①，由圖可知，函數/(%)的值域不是R,故①不正確；

對于②，由圖可知，Va>l,方程/(%)=。恰有3個實數根，故②正確；

對于③，當現￡尺+時，使得有了(-%。)=/(%0)成立，即廣爐-4x+l與尸|加有交點，這顯然成立，故③

正確；

對于④，不妨設互不相等的實數玉，X?，/，/滿足玉<%2<%3<%4，當滿足/(石)=/(%2)=/(%3)=/g)

時，

由圖可知"