個人收集整理資料，僅供交流學習，勿作商業用途個人收集整理資料，僅供交流學習，勿作商業用途1/6個人收集整理資料，僅供交流學習，勿作商業用途2025年全國初中數學知識競賽試題及答案（精華版）考試時間9∶30－11∶30滿分120分一、選擇題<共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）1．在高速公路上，從3千M處開始，每隔4千M經過一個限速標志牌；并且從10千M處開始，每隔9千M經過一個速度監控儀．剛好在19千M處第一次同時經過這兩種設施，那么第二次同時經過這兩種設施的千M數是<）<A）36<B）37<C）55<D）902．已知，，且=8，則a的值等于<）<A）－5<B）5<C）－9<D）93．Rt△ABC的三個頂點A，B，C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h，則<）<A）h<1<B）h=1<C）1<h<2<D）h>24．一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數是<）<A）2004<B）2005<C）2006<D）2007<第5題圖）ABC<第5題圖）ABCDOQP<A）<B）<C）<D）二、填空題<共5小題，每小題6分，滿分30分）<第7題圖）A<第7題圖）ABCDGFE7．如圖，面積為的正方形DEFG內接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c為整數，且b不能被任何質數的平方整除，則的值等于．8．正五邊形廣場ABCDE的周長為2000M．甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發，沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場行走，甲的速度為50M/分，乙的速度為46M/分．那么出發后經過分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上．9．已知0<a<1，且滿足，則的值等于．(表示不超過x的最大整數>10．小明家電話號碼原為六位數，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數字8，成為一個七位數的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數字2，成為一個八位數的電話號碼．小明發現，他家兩次升位后的電話號碼的八位數，恰是原來電話號碼的六位數的81倍，則小明家原來的電話號碼是．三、解答題<共4題，每小題15分，滿分60分）11．已知，，為互質的正整數<即，是正整數，且它們的最大公約數為1），且≤8，．試寫出一個滿足條件的x；求所有滿足條件的x．12．設，，為互不相等的實數，且滿足關系式①②求a的取值范圍．<第13題）A<第13題）ABCOPEK14．10個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中．求n的最小值．2006年全國初中數學競賽試題參考答案一、選擇題<共5小題，每小題6分，滿分30分。以下每道小題均給出了代號為A，B，C，D的四個選項，其中有且只有一個選項是正確的。請將正確選項的代號填入題后的括號里。不填、多填或錯填均得0分）1．在高速公路上，從3千M處開始，每隔4千M經過一個限速標志牌；并且從10千M處開始，每隔9千M經過一個速度監控儀．剛好在19千M處第一次同時經過這兩種設施，那么第二次同時經過這兩種設施的千M數是<）<A）36<B）37<C）55<D）90答：C．解：因為4和9的最小公倍數為36，19＋36=55，所以第二次同時經過這兩種設施的千M數是在55千M處．故選C．2．已知，，且=8，則a的值等于<）<A）－5<B）5<C）－9<D）9答：C．解：由已知可得，．又=8，所以解得a=－9故選C．3．Rt△ABC的三個頂點A，B，C均在拋物線上，并且斜邊AB平行于x軸．若斜邊上的高為h，則<）<A）h<1<B）h=1<C）1<h<2<D）h>2答：B．解：設點A的坐標為<a，a2），點C的坐標為<c，c2）<|c|<|a|），則點B的坐標為<－a，a2），由勾股定理，得，，所以．由于，所以a2－c2=1，故斜邊AB上高h=a2－c2=1故選B．4．一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了34個六十二邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數是<）<A）2004<B）2005<C）2006<D）2007答：B．解：根據題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內角和增加360°．于是，剪過k次后，可得(k＋1>個多邊形，這些多邊形的內角和為(k＋1>×360°．因為這(k＋1>個多邊形中有34個六十二邊形，它們的內角和為34×(62－2>×180°=34×60×180°，其余多邊形有(k＋1>－34=k－33(個>，而這些多邊形的內角和不少于(k－33>×180°．所以(k＋1>×360°≥34×60×180°＋(k－33>×180°，解得k≥2005．當我們按如下方式剪2005刀時，可以得到符合條件的結論．先從正方形上剪下1個三角形，得到1個三角形和1個五邊形；再在五邊形上剪下1個三角形，得到2個三角形和1個六邊形……如此下去，剪了58刀后，得到58個三角形和1個六十二邊形．再取33個三角形，在每個三角形上剪一刀，又可得到33個三角形和33個四邊形，對這33個四邊形，按上述正方形的剪法，再各剪58刀，便34個六十二邊形和33×58個三角形．于是共剪了58＋33＋33×58=2005<刀）．故選B．<第5題圖）ABC<第5題圖）ABCDOQP<A）<B）<C）<D）答：D．<第5題圖）A<第5題圖）ABCDOQPQA=r－m．在⊙O中，根據相交弦定理，得QA·QC=QP·QD．即(r－m>(r＋m>=m·QD，所以QD=．連結DO，由勾股定理，得QD2=DO2＋QO2，即，解得所以，故選D．二、填空題<共5小題，每小題6分，滿分30分）6．已知a，b，c為整數，且a＋b=2006，c－a=2005．若a<b，則a＋b＋c的最大值為．答：5013．解：由，，得．因為，a<b，a為整數，所以，a的最大值為1002．<第7題圖）A<第7題圖）ABCDGFE7．如圖，面積為的正方形DEFG內接于面積為1的正三角形ABC，其中a，b，c為整數，且b不能被任何質數的平方整除，則的值等于．答：．解：設正方形DEFG的邊長為x，正三角形ABC的邊長為m，則，由△ADG∽△ABC，可得，解得于是，由題意，，，，所以．8．正五邊形廣場ABCDE的周長為2000M．甲、乙兩人分別從A、C兩點同時出發，沿A→B→C→D→E→A→…方向繞廣場行走，甲的速度為50M/分，乙的速度為46M/分．那么出發后經過分鐘，甲、乙兩人第一次行走在同一條邊上．答：104．解：設甲走完x條邊時，甲、乙兩人第一次開始行走在同一條邊上，此時甲走了400xM，乙走了46×=368xM．于是368(x－1>＋800－400(x－1>>400，所以，12.5≤x<13.5．故x=13，此時．9．已知0<a<1，且滿足，則的值等于．(表示不超過x的最大整數>答：6．解：因為0<，所以，，…，等于0或1．由題設知，其中有18個等于1，所以=0，=1，所以，1≤＜2．故18≤30a＜19，于是6≤10a＜，所以=6．10．小明家電話號碼原為六位數，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數字8，成為一個七位數的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數字2，成為一個八位數的電話號碼．小明發現，他家兩次升位后的電話號碼的八位數，恰是原來電話號碼的六位數的81倍，則小明家原來的電話號碼是．答：282500．解：設原來電話號碼的六位數為，則經過兩次升位后電話號碼的八位數為．根據題意，有81×=．記，于是，解得x=1250×(208－71a>．因為0≤x＜，所以0≤1250×(208－71a>＜，故≤．因為a為整數，所以a=2．于是x=1250×(208－71×2>=82500．所以，小明家原來的電話號碼為282500．三、解答題<共4題，每小題15分，滿分60分）11．已知，，為互質的正整數<即，是正整數，且它們的最大公約數為1），且≤8，．<1）試寫出一個滿足條件的x；<2）求所有滿足條件的x．解：<1）滿足條件．……………5分<2）因為，，為互質的正整數，且≤8，所以，即．當a=1時，，這樣的正整數不存在．當a=2時，，故=1，此時．當a=3時，，故=2，此時．當a=4時，，與互質的正整數不存在．當a=5時，，故=3，此時．當a=6時，，與互質的正整數不存在．當a=7時，，故=3，4，5此時，，．當a=8時，，故=5，此時所以，滿足條件的所有分數為，，，，，，．………………15分12．設，，為互不相等的實數，且滿足關系式①②求a的取值范圍．解法一：由①－2×②得，所以a>－1．當a>－1時，=．………………10分又當時，由①，②得，③④將④兩邊平方，結合③得化簡得，故，解得，或．所以，a的取值范圍為a>－1且，．………15分解法二：因為，，所以，所以．又，所以，為一元二次方程⑤的兩個不相等實數根，故，所以a>－1．當a>－1時，=．………………10分另外，當時，由⑤式有，即或，解得，或．當時，同理可得或．所以，a的取值范圍為a>－1且，．………15分<第13題）A<第13題）ABCOPEK證明：因為AC∥PB，所以∠KPE=∠ACE．又PA是⊙O的切線，所以∠KAP=∠ACE，故∠KPE=∠KAP，于是△KPE∽△KAP，所以，即．由切割線定理得所以．…………10分因為AC∥PB，△KPE∽△ACE，于是故，即PE·AC=CE·KB．………………15分14．10個學生參加n個課外小組，每一個小組至多5個人，每兩個學生至少參加某一個小組，任意兩個課外小組，至少可以找到兩個學生，他們都不在這兩個課外小組中．求n的最小值．解：設10個學生為，，…，，n個課外小組，，…，．首先，每個學生至少參加兩個課外小組．否則，若有一個學生只參加一個課外小組，設這個學生為，由于每兩個學生至少在某一個小組內出現過，所以其它9個學生都與他在同一組出現，于是這一組就有10個人了，矛盾．………………5分若有一學生恰好參加兩個課外小組