上海外國語大學附中2025屆高三畢業班聯考（一）數學試題試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知的內角的對邊分別是且，若為最大邊，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．直線與圓的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．相交或相切3．對于函數，若滿足，則稱為函數的一對“線性對稱點”．若實數與和與為函數的兩對“線性對稱點”，則的最大值為（）A． B． C． D．4．已知直線：與圓：交于，兩點，與平行的直線與圓交于，兩點，且與的面積相等，給出下列直線：①，②，③，④.其中滿足條件的所有直線的編號有（）A．①② B．①④ C．②③ D．①②④5．已知函數，則函數的零點所在區間為（）A． B． C． D．6．某四棱錐的三視圖如圖所示，記S為此棱錐所有棱的長度的集合，則（）A．B．C．D．7．已知實數，滿足約束條件，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知平面，，直線滿足，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．即不充分也不必要條件9．若不等式對恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．10．現有甲、乙、丙、丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動,則乙、丙兩人恰好參加同一項活動的概率為A． B． C． D．11．已知定點，，是圓上的任意一點，點關于點的對稱點為，線段的垂直平分線與直線相交于點，則點的軌跡是（）A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓12．若兩個非零向量、滿足，且，則與夾角的余弦值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正方形的邊長為2，圓內切于正方形，為圓的一條動直徑，點為正方形邊界上任一點，則的取值范圍是______.14．已知f(x)為偶函數，當x≤0時，f(x)=e-x-1-x，則曲線y=f(x)15．若為假，則實數的取值范圍為__________.16．若變量，滿足約束條件，則的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）設點，若直線與曲線相交于、兩點，求的值18．（12分）已知函數．（1）若，求函數的單調區間；（2）若恒成立，求實數的取值范圍．19．（12分）已知函數，其中.（1）當時，求在的切線方程；（2）求證：的極大值恒大于0.20．（12分）如圖，在三棱錐中，，是的中點，點在上，平面，平面平面，為銳角三角形，求證：（1）是的中點；（2）平面平面.21．（12分）手工藝是一種生活態度和對傳統的堅持，在我國有很多手工藝品制作村落，村民的手工技藝世代相傳，有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名，還大量遠銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎，該村村民成立了手工藝品外銷合作社，為嚴把質量關，合作社對村民制作的每件手工藝品都請3位行家進行質量把關，質量把關程序如下：（i）若一件手工藝品3位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為A級；（ii）若僅有1位行家認為質量不過關，再由另外2位行家進行第二次質量把關，若第二次質量把關這2位行家都認為質量過關，則該手工藝品質量為B級，若第二次質量把關這2位行家中有1位或2位認為質量不過關，則該手工藝品質量為C級；（iii）若有2位或3位行家認為質量不過關，則該手工藝品質量為D級.已知每一次質量把關中一件手工藝品被1位行家認為質量不過關的概率為，且各手工藝品質量是否過關相互獨立.（1）求一件手工藝品質量為B級的概率；（2）若一件手工藝品質量為A，B，C級均可外銷，且利潤分別為900元，600元，300元，質量為D級不能外銷，利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件；②記1件手工藝品的利潤為X元，求X的分布列與期望.22．（10分）某大型單位舉行了一次全體員工都參加的考試，從中隨機抽取了20人的分數.以下莖葉圖記錄了他們的考試分數（以十位數字為莖，個位數字為葉）：若分數不低于95分，則稱該員工的成績為“優秀”.（1）從這20人中任取3人，求恰有1人成績“優秀”的概率；（2）根據這20人的分數補全下方的頻率分布表和頻率分布直方圖，并根據頻率分布直方圖解決下面的問題.組別分組頻數頻率1234①估計所有員工的平均分數（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表）；②若從所有員工中任選3人，記表示抽到的員工成績為“優秀”的人數，求的分布列和數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

由，化簡得到的值，根據余弦定理和基本不等式，即可求解.【詳解】由，可得，可得，通分得，整理得，所以，因為為三角形的最大角，所以，又由余弦定理，當且僅當時，等號成立，所以，即，又由，所以的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題主要考查了代數式的化簡，余弦定理，以及基本不等式的綜合應用，試題難度較大，屬于中檔試題，著重考查了推理與運算能力.2、D【解析】

由幾何法求出圓心到直線的距離，再與半徑作比較，由此可得出結論．【詳解】解：由題意，圓的圓心為，半徑，∵圓心到直線的距離為，，，故選：D．【點睛】本題主要考查直線與圓的位置關系，屬于基礎題．3、D【解析】

根據已知有，可得，只需求出的最小值，根據，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結論.【詳解】依題意知，與為函數的“線性對稱點”，所以，故（當且僅當時取等號）.又與為函數的“線性對稱點，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.【點睛】本題以新定義為背景，考查指數函數的運算和圖像性質、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達式是解題的關鍵，屬于中檔題.4、D【解析】

求出圓心到直線的距離為：，得出，根據條件得出到直線的距離或時滿足條件，即可得出答案.【詳解】解：由已知可得：圓：的圓心為（0,0），半徑為2，則圓心到直線的距離為：，∴，而，與的面積相等，∴或，即到直線的距離或時滿足條件，根據點到直線距離可知，①②④滿足條件.故選：D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關系的應用，涉及點到直線的距離公式.5、A【解析】

首先求得時，的取值范圍.然后求得時，的單調性和零點，令，根據“時，的取值范圍”得到，利用零點存在性定理，求得函數的零點所在區間.【詳解】當時，.當時，為增函數，且，則是唯一零點.由于“當時，.”，所以令，得，因為，，所以函數的零點所在區間為.故選：A【點睛】本小題主要考查分段函數的性質，考查符合函數零點，考查零點存在性定理，考查函數的單調性，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.6、D【解析】

如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件，故，得到答案.【詳解】如圖所示：在邊長為的正方體中，四棱錐滿足條件.故，，.故，故，.故選：.【點睛】本題考查了三視圖，元素和集合的關系，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.7、B【解析】

畫出可行域，根據可行域上的點到原點距離，求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由，，三點所圍成的三角形及其內部，如圖中陰影部分，而可理解為可行域內的點到原點距離的平方，顯然原點到所在的直線的距離是可行域內的點到原點距離的最小值，此時，點到原點的距離是可行域內的點到原點距離的最大值，此時.所以的取值范圍是.故選：B【點睛】本小題考查線性規劃，兩點間距離公式等基礎知識；考查運算求解能力，數形結合思想，應用意識.8、A【解析】

，是相交平面，直線平面，則“”“”，反之，直線滿足，則或//或平面，即可判斷出結論．【詳解】解：已知直線平面，則“”“”，反之，直線滿足，則或//或平面，“”是“”的充分不必要條件．故選：A.【點睛】本題考查了線面和面面垂直的判定與性質定理、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力．9、B【解析】

轉化為，構造函數，利用導數研究單調性，求函數最值，即得解.【詳解】由，可知．設，則，所以函數在上單調遞增，所以．所以．故的取值范圍是．故選：B【點睛】本題考查了導數在恒成立問題中的應用，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數學運算的能力，屬于中檔題.10、B【解析】

求得基本事件的總數為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數為,利用古典概型及其概率的計算公式，即可求解.【詳解】由題意，現有甲乙丙丁4名學生平均分成兩個志愿者小組到校外參加兩項活動，基本事件的總數為，其中乙丙兩人恰好參加同一項活動的基本事件個數為,所以乙丙兩人恰好參加同一項活動的概率為，故選B.【點睛】本題主要考查了排列組合的應用，以及古典概型及其概率的計算問題，其中解答中合理應用排列、組合的知識求得基本事件的總數和所求事件所包含的基本事件的個數，利用古典概型及其概率的計算公式求解是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題.11、B【解析】

根據線段垂直平分線的性質，結合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點，如下圖所示：所以有，而是中點，連接，故，因此當在如下圖所示位置時有，所以有，而是中點，連接,故，因此，綜上所述：有，所以點的軌跡是雙曲線.故選：B【點睛】本題考查了雙曲線的定義，考查了數學運算能力和推理論證能力，考查了分類討論思想.12、A【解析】

設平面向量與的夾角為，由已知條件得出，在等式兩邊平方，利用平面向量數量積的運算律可求得的值，即為所求.【詳解】設平面向量與的夾角為，，可得，在等式兩邊平方得，化簡得.故選：A.【點睛】本題考查利用平面向量的模求夾角的余弦值，考查平面向量數量積的運算性質的應用，考查計算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據向量關系表示，只需求出的取值范圍即可得解.【詳解】由題可得：，故答案為：【點睛】此題考查求平面向量數量積的取值范圍，涉及基本運算，關鍵在于恰當地對向量進行轉換，便于計算解題.14、y=2x【解析】試題分析：當x>0時，-x<0，則f(-x)=ex-1+x．又因為f(x)為偶函數，所以f(x)=f(-x)=ex-1+x，所以f'【考點】函數的奇偶性、解析式及導數的幾何意義【知識拓展】本題題型可歸納為“已知當x>0時，函數y=f(x)，則當x<0時，求函數的解析式”．有如下結論：若函數f(x)為偶函數，則當x<0時，函數的解析式為y=-f(x)；若f(x)為奇函數，則函數的解析式為y=-f(-x)．15、【解析】

由為假，可知為真，所以對任意實數恒成立，求出的最小值，令即可.【詳解】因為為假，則其否定為真，即為真，所以對任意實數恒成立，所以.又，當且僅當，即時，等號成立，所以.故答案為：.【點睛】本題考查全稱命題與特稱命題間的關系的應用，利用參變分離是解決本題的關鍵，屬于中檔題.16、【解析】

根據約束條件可以畫出可行域，從而將問題轉化為直線在軸截距最大的問題的求解，通過數形結合的方式可確定過時，取最大值，代入可求得結果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示：將化為，則最大時，直線在軸截距最大；由直線平移可知，當過時，在軸截距最大，由得：，.故答案為：.【點睛】本題考查線性規劃中最值問題的求解，關鍵是能夠將問題轉化為直線在軸截距的最值的求解問題，通過數形結合的方式可求得結果.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）的普通方程為，的直角坐標方程為；（2）.【解析】

（1）在曲線的參數方程中消去參數可得出曲線的普通方程，利用兩角和的正弦公式以及可將直線的極坐標方程化為普通方程；（2）設直線的參數方程為（為參數），并設點、所對應的參數分別為、，利用韋達定理可求得的值.【詳解】（1）由，得，，曲線的普通方程為，由，得，直線的直角坐標方程為；（2）設直線的參數方程為（為參數），代入，得，則，設、兩點對應參數分別為、，，，，，.【點睛】本題考查了參數方程、極坐標方程與普通方程之間的轉化，同時也考查了直線參數方程幾何意義的應用，考查計算能力，屬于中等題.18、（1）增區間為，減區間為；（2）.【解析】

（1）將代入函數的解析式，利用導數可得出函數的單調區間；（2）求函數的導數，分類討論的范圍，利用導數分析函數的單調性，求出函數的最值可判斷是否恒成立，可得實數的取值范圍．【詳解】（1）當時，，則，當時，，則，此時，函數為減函數；當時，，則，此時，函數為增函數.所以，函數的增區間為，減區間為；（2），則，.①當時，即當時，，由，得，此時，函數為增函數；由，得，此時，函數為減函數.則，不合乎題意；②當時，即時，.不妨設，其中，令，則或.（i）當時，，當時，，此時，函數為增函數；當時，，此時，函數為減函數；當時，，此時，函數為增函數.此時，而，構造函數，，則，所以，函數在區間上單調遞增，則，即當時，，所以，.，符合題意；②當時，，函數在上為增函數，，符合題意；③當時，同理可得函數在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，此時，則，解得.綜上所述，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查恒成立問題，正確求導和分類討論是關鍵，屬于難題.19、（1）（2）證明見解析【解析】

（1）求導，代入，求出在處的導數值及函數值，由此即可求得切線方程；（2）分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】（1），當時，，，則在的切線方程為；（2）證明：令，解得或，①當時，恒成立，此時函數在上單調遞減，∴函數無極值；②當時，令，解得，令，解得或，∴函數在上單調遞增，在，上單調遞減，∴；③當時，令，解得，令，解得或，∴函數在上單調遞增，在，上單調遞減，∴，綜上，函數的極大值恒大于0.【點睛】本小題主要考查利用導數求切線方程，考查利用導數研究函數的極值，考查分類討論的數學思想方法，屬于中檔題.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析；【解析】

（1）推導出，由是的中點，能證明是有中點．（2）作于點，推導出平面，從而，由，能證明平面，由此能證明平面平面．【詳解】證明：（1）在三棱錐中，平面，平面平面，平面，，在中，是的中點，是有中點．（2）在三棱錐中，是銳角三角形，在中，可作于點，平面平面，平面平面，平面，平面，平面，，，，平面，平面，平面平面．【點睛】本題考查線段中點的證明，考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想，屬于中檔題．21、（1）；（2）①可能是2件；②詳見解析【解析】

（1）由一件手工藝品質量為B級的情形，并結合相互獨立事件的概率公式，列式計算即可；（2）①先求得一件手工藝品質量為D級的概率為，設10件手工藝品中不能外銷的手工藝品可能是件，可知，分別令、、，可求出使得最大的整數，進而可求出10件手工