專題3因數(shù)與倍數(shù)2023年五年級數(shù)學(xué)下冊暑假專項培優(yōu)（思維導(dǎo)圖+舊知溫習(xí)+易錯警示+高效培優(yōu)+真題演練）1、因數(shù)與倍數(shù)。在乘法算式a×b=c（a，b，c均是非零自然數(shù)）中，a和b是c的因數(shù)，c是a和b的倍數(shù)。一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的，最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身；一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，最小的倍數(shù)是它本身，沒有最大的倍數(shù)。2、找一個數(shù)的因數(shù)的方法。方法一：列乘法算式找。方法二：列除法算式找。3、找一個數(shù)的倍數(shù)的方法。用這個數(shù)依次與非零自然數(shù)相乘，所得的積都是這個數(shù)的倍數(shù)。4、5，2和3的倍數(shù)的特征。個位上是0，2，4，6或8的數(shù)是2的倍數(shù)；個位上是0或5的數(shù)是5的倍數(shù)；各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)的數(shù)是3的倍數(shù)。5、奇數(shù)與偶數(shù)。是2的倍數(shù)的數(shù)叫作偶數(shù)；不是2的倍數(shù)的數(shù)叫作奇數(shù)。6、質(zhì)數(shù)和合數(shù)。只有1和它本身兩個因數(shù)，這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）；除了1和它本身還有別的因數(shù)，這樣的數(shù)叫作合數(shù)。7、質(zhì)因數(shù)。如果一個數(shù)的因數(shù)是質(zhì)數(shù)，那么這個因數(shù)就是它的質(zhì)因數(shù)。8、分解質(zhì)因數(shù)。把一個合數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫作分解質(zhì)因數(shù)。9、公因數(shù)和最大公因數(shù)的意義。幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫作這幾個數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個，叫作這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。10、公倍數(shù)和最小公倍數(shù)的意義。幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫作這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫作這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。11、求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法。（1）列舉法；（2）篩選法；（3）分解質(zhì)因數(shù)法。12、求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法。（1）列舉法；（2）篩選法；（3）短除法。13、求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的特殊情況。（1）成倍數(shù)關(guān)系的兩個數(shù)的最大公因數(shù)是其中的較小數(shù)，最小公倍數(shù)是其中的較大數(shù)。（2）只有公因數(shù)1的兩個數(shù)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是這兩個數(shù)的積。知識拓展：

奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù)

偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)

奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)

偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)

奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)1、因數(shù)和倍數(shù)是兩個相互依存的概念，只能說誰是誰的因數(shù)，誰是誰的倍數(shù)，因數(shù)和倍數(shù)不能單獨存在。2、一個數(shù)的倍數(shù)都大于或等于它本身，而因數(shù)都小于或等于它本身。3、3的倍數(shù)也可以是偶數(shù)。4、如果a是自然數(shù)，偶數(shù)可用2a來表示，a+2并不能表示偶數(shù)。5、1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。6、最小的質(zhì)數(shù)是2，最小的合數(shù)是4。7、2是唯一的一個偶質(zhì)數(shù)。8、分解質(zhì)因數(shù)時，除數(shù)和商都不能是1，因為1不是質(zhì)數(shù)。9、如果兩個數(shù)只有公因數(shù)1，那么1就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。10、只有兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，較小的數(shù)才是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)。11、幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。12、當(dāng)兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時，較大的數(shù)就是它們的最小公倍數(shù)。一、選擇題1．哥德巴赫猜想被譽為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”，猜想認為：任何大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和。下面的式子中反映這個猜想的是（

）。A．4＝1＋3 B．13＝2＋11 C．54＝3＋51 D．36＝7＋292．兩個不同自然數(shù)（0除外）的乘積一定（

）它們的最小公倍數(shù)。A．大于 B．小于 C．等于 D．大于或等于3．用4、5、7這三個數(shù)字組成的三位數(shù)中，2的倍數(shù)有（

）個。A．6 B．4 C．2 D．14．下列說法正確的有（

）個。（1）5和7沒有公因數(shù)，但5和7有公倍數(shù)。（2）一個兩位數(shù)，十位上的數(shù)字是8，個位上的數(shù)字是b，這個數(shù)可表示為8b。（3）方程一定是等式，等式不一定是方程。（4）3的倍數(shù)一定是9的倍數(shù)，9的倍數(shù)也一定是3的倍數(shù)。（5）若（a、b為非0自然數(shù)），則a和b的最小公倍數(shù)是ab。A．1 B．2 C．3 D．45．下面可以將學(xué)生分成人數(shù)相同（不可為1）的幾個小組的班級是（

）。班級一班二班三班人數(shù)414543A．一班 B．二班 C．三班 D．三個班都不好分6．一張長6厘米，寬4厘米的長方形紙，要分成大小相等的小正方形，且沒有剩余。最少可以分成（

）個。A．2 B．12 C．6 D．4二、填空題7．一個四位數(shù)，千位上的數(shù)既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，百位上的數(shù)是最小的合數(shù)，十位上的數(shù)既是奇數(shù)又是合數(shù)，個位上的數(shù)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，這個數(shù)是()。8．丹丹和星星定期圖書館閱讀，丹丹每6天去一次，星星每8天去一次。她們6月30日同時去圖書館閱讀，下一次同時去閱讀的日期是()。9．有兩根彩帶，一根長42厘米，另一根長30厘米。現(xiàn)在要把它們剪成長度一樣的短彩帶且沒有剩余，每根短彩帶最長是()厘米，一共可以剪成()段。10．一個兩位數(shù)3，它既有因數(shù)2，又是3的倍數(shù)，里的能填的數(shù)最大是()，把這個兩位數(shù)分解質(zhì)因數(shù)是()。11．1、3、9、10、18、90這6個數(shù)中，其中18的因數(shù)有()，18的倍數(shù)有()。12．小華爸爸剛買了一輛新車，車牌號從左到右，第一位數(shù)是所有自然數(shù)（0除外）的公因數(shù)；第二位數(shù)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)；第三位數(shù)是10以內(nèi)最大的奇數(shù)；第四位數(shù)是最小的合數(shù)；第五位數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是5。這個車牌號碼是。三、判斷題13．一個自然數(shù)，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。()14．因為24÷8＝3，所以24是倍數(shù)，8是因數(shù)。()15．既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)，它的個位上一定是0。()16．66＝6×11，6和11都是66的質(zhì)因數(shù)。()四、計算題17．求下面每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。26和13

11和1316和12

15和4018．我出下列每組數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。13和5

25和16

17和51

24和36五、解答題19．王明過生日，媽媽買來16塊小蛋糕和30塊餅干平均分給王明和他的朋友們，結(jié)果小蛋糕少了2塊，餅干多了3塊。王明最多一共來了多少個朋友？20．把下面兩根彩帶剪成長度一樣的短彩帶且沒有剩余，最少可以剪成多少段？

21．火車站是1路和3路公交車的起點站。1路車每5分鐘發(fā)車一次，3路車每8分鐘發(fā)車一次。這兩路公交車同時發(fā)車以后，至少再過多少分鐘又同時發(fā)車？22．五年級（1）班學(xué)生人數(shù)在40～60之間。參加植樹活動時，如果每4人一組或6人一組都剛好分完而且無剩余。這個班有多少人？23．一桶巧克力有五十多顆。平均分給6個人，多3顆，平均分給8個人，少5顆。這桶巧克力有多少顆？24．?dāng)[一擺：從0、1、3、8這4個數(shù)字卡片中選出3個，按要求組成一個三位數(shù)，并說說你的想法。（1）組成的數(shù)是3的倍數(shù)。（2）組成的數(shù)是偶數(shù)，同時有因數(shù)3和5。25．加工一套服裝，要經(jīng)過三道工序，第一道工序每人每小時可完成3個零件，第二道工序每人每小時可完成4個零件，第三道工序每人每小時可完成7個零件，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？26．把下面的方格圖（每小格邊長看成1厘米）分割成幾個面積最大并相等的正方形，且沒有剩余。能分成多少個這樣的正方形？先寫出計算過程，再在圖中畫出分割過程。1．（2023春·江蘇泰州·五年級統(tǒng)考期中）在252米長的直路上掛紅、藍、紫三種顏色的燈籠，藍燈籠每隔6米掛一個，紫燈籠每隔9米掛一個。如果藍燈籠和紫燈籠重復(fù)的地方就改掛一個紅燈籠，那么除兩端外，中間掛有多少個紅燈籠？2．（2023春·江蘇泰州·五年級統(tǒng)考期中）一張長方形的紙片長28厘米，寬22厘米。如下圖，在紙的四邊留2厘米的空白，然后把中間的長方形平均分成若干個相同的正方形，正方形的邊長最大是多少厘米（邊長是整厘米數(shù)）？至少可以分成多少個正方形？3．（2023春·江蘇淮安·五年級統(tǒng)考期中）在本學(xué)期的因數(shù)和倍數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們了解過像6、28等這樣的完全數(shù)（6的因數(shù)有1、2、3、6，這幾個因數(shù)的關(guān)系是1＋2＋3＝6），這是古希臘的數(shù)學(xué)家畢達哥拉斯在對數(shù)的研究過程中發(fā)現(xiàn)的。其實他在研究的過程中還發(fā)現(xiàn)了有趣的“親和數(shù)”。例如：A的所有因數(shù)除去本身外，其它的因數(shù)加起來等于B；而B的所有因數(shù)除去本身外，所有的因數(shù)加起來等于A。那么A和B這兩個數(shù)字就被稱為“親和數(shù)”。人類發(fā)現(xiàn)的最小的一對“親和數(shù)”是220和（

）。你知道括號里的數(shù)字是多少嗎？請寫出你的計算過程。4．（2023春·山西太原·五年級統(tǒng)考期中）在方格紙上畫一個長方形，使得它的面積是12cm2，邊長是整厘米數(shù)。（每個小方格的邊長表示1cm）（1）可以這樣想：12＝（

）×（

）＝（

）×（

）＝（

）×（

）。所以12的因數(shù)有：（

）。（2）在圖中畫出所有可能的情況。（3）12的所有因數(shù)中，質(zhì)數(shù)有（

），合數(shù)有（

），奇數(shù)有（

）。參考答案1．D【分析】根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義，除了1和本身外，沒有其它因數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)；根據(jù)題意“這個猜想的內(nèi)容是任何大于2的偶數(shù)都是兩個質(zhì)數(shù)之和”進行判斷逐項分析即可。【詳解】A．“4＝1＋3”中1既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，不符合猜想；B．“13＝2＋11”中13是奇數(shù)，不是偶數(shù)，不符合猜想；C．“54＝3＋51”中51是合數(shù)，不是質(zhì)數(shù)，不符合猜想；D．“36＝17＋19”中36是偶數(shù)，7和29是質(zhì)數(shù)，符合猜想。哥德巴赫猜想被譽為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”，猜想認為：任何大于2的偶數(shù)都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和。下面的式子中反映這個猜想的是36＝7＋29。故答案為：D【點睛】此題考查了質(zhì)數(shù)的意義以及拓展應(yīng)用，要熟練掌握熟練掌握質(zhì)數(shù)的意義是解答本題的關(guān)鍵。2．D【分析】利用求最小公倍數(shù)的方法：幾個數(shù)的公有因數(shù)與獨有因數(shù)的連乘積；由此可以得到兩個不同自然數(shù)（0除外）的乘積一定大于或等于它們的最小公倍數(shù)，從而解決問題。【詳解】因為相鄰的兩個自然數(shù)（0除外），是互質(zhì)數(shù)，比如：5和6，由求最小公倍數(shù)的方法可知，它們的乘積一定大于或等于它們的最小公倍數(shù)。故答案為：D【點睛】此題考查了求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的靈活應(yīng)用。3．C【分析】根據(jù)2的倍數(shù)的特征，一個數(shù)的個位如果是偶數(shù)，這個數(shù)就是2的倍數(shù)；據(jù)此先寫出所以符合條件的數(shù)。【詳解】用4、5、7組成的三位數(shù)有：457，475，547，574，754，745，一共有6個；其中2的倍數(shù)有：574，754一共有2個。用4、5、7這三個數(shù)字組成的三位數(shù)中，2的倍數(shù)有2個。故答案為：C【點睛】本題主要考查2的倍數(shù)特征，關(guān)鍵是用給出的三個數(shù)字寫出所有的三位數(shù)，進而分類得解。4．B【分析】（1）先列舉出5和7的因數(shù)、倍數(shù)，再求出它們的公因數(shù)和公倍數(shù)，即可得出答案；（2）因為十位上的數(shù)字是幾就表示幾個十，個位上的數(shù)字是幾就表示幾個一，由此得出兩位數(shù)的表示方法：十位數(shù)字×10＋個位數(shù)字；（3）方程是含有未知數(shù)的等式，表示兩個數(shù)或兩個代數(shù)式相等關(guān)系的式子叫做等式；（4）舉例說明：6是3的倍數(shù)，但是6不是9的倍數(shù)；（5）因為a、b都是非0的自然數(shù)，b－a＝1，那么a和b是互質(zhì)數(shù)，是互質(zhì)數(shù)的兩個數(shù)，它們的最小公倍數(shù)即這兩個數(shù)的乘積；據(jù)此判斷即可。【詳解】（1）5的因數(shù)有1和5，7的因數(shù)有1和7，5和7的公因數(shù)是1；所以說5和7沒有公因數(shù)，錯誤。5的倍數(shù)有5、10、15、20、25、30、35、40、45、50、55、60、65、70……7的倍數(shù)有7、14、21、28、35、42、49、56、63、70……5和7的公倍數(shù)有35、70……所以5和7有公倍數(shù)，正確。所以5和7沒有公因數(shù)，但5和7有公倍數(shù)，說法錯誤。（2）這個兩位數(shù)可寫成8×10＋b＝80＋b，所以原題說法錯誤。（3）根據(jù)方程與等式的意義可知，方程一定是等式，但等式不一定是方程，說法正確。（4）由以上分析，6是3的倍數(shù)，但是6不是9的倍數(shù)；因此9的倍數(shù)一定是3的倍數(shù)，但3的倍數(shù)不一定是9的倍數(shù)，原題說法錯誤。（5）因為a、b都是非0的自然數(shù)，b－a＝1，那么a和b是互質(zhì)數(shù)，則a和b的最小公倍數(shù)是ab，說法正確。說法正確的有2個。故答案為：B【點睛】此題主要考查了求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，方程與等式的關(guān)系，公因數(shù)等知識，要熟練掌握。5．B【分析】41、43是質(zhì)數(shù)，因數(shù)只有1和它本身，所以一班、三班不能分成人數(shù)相同的幾個小組；45是合數(shù)，除了有因數(shù)1和它本身外，還有別的因數(shù)，所以可以分成人數(shù)相同的小組。據(jù)此解答。【詳解】45＝5×9，可以分成5個小組或9個小組。故答案為：B【點睛】首先根據(jù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)的意義進行確定是完成本題的關(guān)鍵。6．C【分析】要分成大小相等的小正方形，且沒有剩余，就是小正方形的邊長是24和18的公因數(shù)，要求分的最少就是求24和18的最大公因數(shù)為小正方形的邊長，然后用長方形紙的長和寬分別除以小正方形的邊長，就是長方形紙的長邊最少可以分幾個，寬邊最少可以分幾個，最后把它們乘起來即可。【詳解】6＝2×34＝2×2所以6和4的最大公因數(shù)是：2，即小正方形的邊長是2厘米，長方形紙的長邊可以分；6÷2＝3（個）寬邊可以分：4÷2＝2（個）一共可以分成：3×2＝6（個）最少可以分成6個。故答案為：C【點睛】本題關(guān)鍵是理解：要分成大小相等的小正方形，且沒有剩余，就是小正方形的邊長是6和4的公因數(shù)。7．1492【分析】1既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，最小的合數(shù)是4，既是奇數(shù)又是合數(shù)的一位數(shù)是9，2既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，據(jù)此寫數(shù)。【詳解】一個四位數(shù)，千位上的數(shù)既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，百位上的數(shù)是最小的合數(shù)，十位上的數(shù)既是奇數(shù)又是合數(shù)，個位上的數(shù)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)，這個數(shù)是1492。【點睛】解答本題需熟練掌握質(zhì)數(shù)、合數(shù)、偶數(shù)和奇數(shù)的意義。8．7月24日【分析】已知丹丹每6天去一次，星星每8天去一次。如果6月30日他們兩人在圖書館相遇，要求下一次幾天后相遇，也就是求6和8的最小公倍數(shù)，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，先將這兩個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，最小公倍數(shù)是兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)的乘積。然后用6月30日加上最小公倍數(shù)推算出下次相遇的日子。【詳解】6＝2×38＝2×2×22×2×2×3＝246月有30天，她們6月30日同時去圖書館閱讀，下一次同時去閱讀的日期是7月24日。【點睛】本題考查了求最小公倍數(shù)的方法和應(yīng)用。9．612【分析】要求每根短彩帶最長是多少厘米，即求42和30的最大公因數(shù)，求最大公因數(shù)也就是這幾個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，由此解決問題；再用兩根彩帶的長度和÷每根短彩帶的長度即可求解。【詳解】42＝2×3×730＝2×3×5所以42和30的最大公約數(shù)是：2×3＝6（42＋30）÷6＝72÷6＝12（根）答：每根短彩帶最長是6厘米，一共可以剪12根。【點睛】本題主要考查求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法：兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)連乘積是最大公因數(shù)；數(shù)字大的可以用短除法解答。10．636＝2×2×3×3【分析】根據(jù)2、3的倍數(shù)的特征：個位數(shù)是0、2、4、6、8是都是2的倍數(shù)；一個數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，這個數(shù)一定是3的倍數(shù)。因此，既有因數(shù)2，又是3的倍數(shù)，里的能填的數(shù)最大是6，再把36分解質(zhì)因數(shù)即可。【詳解】一個兩位數(shù)3，它既有因數(shù)2，又是3的倍數(shù)，里的能填的數(shù)最大是（6），把這個兩位數(shù)分解質(zhì)因數(shù)是（36＝2×2×3×3）。【點睛】掌握能被2、3整除的數(shù)的特征是解答此題的關(guān)鍵。11．1、3、9、1818、90【分析】根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的意義，當(dāng)a×b＝c（a、b、c為非0自然數(shù)）我們說c是a和b的倍數(shù)，a和b是c的因數(shù)。一個數(shù)的最小的因數(shù)是1，最大的因數(shù)是它本身，最小的倍數(shù)是它本身，據(jù)此解答。【詳解】18÷1＝1818÷3＝618÷9＝218÷18＝118÷10＝1.890÷18＝51、3、9、10、18、90這6個數(shù)中，其中18的因數(shù)有1、3、9、18；18的倍數(shù)有18、90。【點睛】此題是考查因數(shù)和倍數(shù)的意義，注意不要忽略a、b、c為非0自然數(shù)這點。12．【分析】所有自然數(shù)（0除外）的公因數(shù)是1；既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)是2；10以內(nèi)最大的奇數(shù)是9；最小的合數(shù)是4；一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是5，那么這個數(shù)就是5。據(jù)此解答。【詳解】第一位數(shù)是所有自然數(shù)（0除外）的公因數(shù)；第二位數(shù)既是偶數(shù)又是質(zhì)數(shù)；第三位數(shù)是10以內(nèi)最大的奇數(shù)；第四位數(shù)是最小的合數(shù)；第五位數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是5。這個車牌號碼是【點睛】此題考查了奇數(shù)和偶數(shù)，合數(shù)與質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。13．×【分析】一個數(shù)只有1和它本身兩個因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作質(zhì)數(shù)。一個數(shù)的因數(shù)除了1和它本身還有別的因數(shù)，像這樣的數(shù)叫作合數(shù)，1既不是質(zhì)數(shù)，又不是合數(shù)。據(jù)此判斷即可。【詳解】由分析可知：1是自然數(shù)，它既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，原題說法錯誤。故答案為：×【點睛】本題考查質(zhì)數(shù)和合數(shù)，明確質(zhì)數(shù)和合數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵。14．×【分析】如果a×b＝c（a、b、c都是非0的自然數(shù)）那么a和b就是c的因數(shù)，c就是a和b的倍數(shù)【詳解】根據(jù)24÷8＝3可得3×8＝24，所以3和8是24的因數(shù)，24是3和8的倍數(shù)。原說法錯誤。故答案為：×【點睛】因數(shù)和倍數(shù)兩個不同的概念是相互依存的，不能單獨存在。15．√【分析】因為5的倍數(shù)的特點是：個位上的數(shù)是0或5；2的倍數(shù)的特點是：個位上的數(shù)是0、2、4、6、8的數(shù)；所以既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)，個位上一定是0。【詳解】由分析可知，既是2的倍數(shù)又是5的倍數(shù)的數(shù)，個位上一定是0；原題說法正確。故答案為：√【點睛】本題考查了2，5倍數(shù)的特點，要記住這些特點，并靈活運用。16．×【分析】根據(jù)質(zhì)因數(shù)的意義和分解質(zhì)因數(shù)的方法，把一個合數(shù)寫成幾個質(zhì)數(shù)連乘積的形式，叫做把這個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)；由此解答。【詳解】66＝2×3×11，質(zhì)因數(shù)由2、3、11，所以原題干表述錯誤。故答案為：×【點睛】此題主要考查分解質(zhì)因數(shù)的意義和分解質(zhì)因數(shù)的方法，明確在自然數(shù)中，只有1和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，是解題的關(guān)鍵。17．13；26；1；1434；48；5；120【分析】求最大公因數(shù)也就是這幾個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，最小公倍數(shù)是公有質(zhì)因數(shù)與每一個數(shù)的獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積；如果兩個數(shù)成倍數(shù)關(guān)系，兩個數(shù)的最大公因數(shù)是兩個數(shù)中較小的那個數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)；如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積，由此解決問題即可。【詳解】26和1326和13是倍數(shù)關(guān)系，最大公因數(shù)是13，最小公倍數(shù)是26；13和1113和11是互質(zhì)數(shù)，最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是13×11＝143；16和1216＝2×2×2×2，12＝2×2×3；16和12的最大公因數(shù)是2×2＝4，最小公倍數(shù)是2×2×3×2×2＝48；15和4015＝3×540＝2×2×2×5；15和40的最大公因數(shù)是5，最小公倍數(shù)是2×2×2×3×5＝120。18．13和5的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)分別是：1，65；25和16的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)分別是：1，400；17和51的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)分別是：17，51；24和36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)分別是：12，72【分析】求兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，如果兩個數(shù)互質(zhì)，則這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1，最小公倍數(shù)是它們的乘積；如果兩個數(shù)是倍數(shù)關(guān)系，則這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是其中較大的數(shù)；如果兩個數(shù)既不互質(zhì)，也不是倍數(shù)關(guān)系，則先把兩個數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)，這兩個數(shù)的最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，最小公倍數(shù)是兩個數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)和各自獨有的質(zhì)因數(shù)的乘積，據(jù)此解答。【詳解】13和5互質(zhì)，13×5＝6513和5的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)分別是：1，65；25和16互質(zhì)，25×16＝40025和16的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)分別是：1，400；51÷17＝351和17是倍數(shù)關(guān)系，它們的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)分別是：17，51；24＝2×2×2×336＝2×2×3×32×2×3＝122×2×2×3×3＝7224和36的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)分別是：12，72。19．8個【分析】根據(jù)媽媽買來16塊小蛋糕和30塊餅干平均分給王明和他的朋友們，結(jié)果小蛋糕少了2塊，餅干多了3塊，可知這些小朋友的人數(shù)是（16＋2）、（30－3）的公因數(shù)，求出最大公因數(shù)，最大公因數(shù)是兩個數(shù)的公有的質(zhì)因數(shù)的乘積，然后減去1即可求出王明最多一共來了多少個朋友。【詳解】16＋2＝1830－3＝2718＝2×3×327＝3×3×3最大公因數(shù)是3×3＝99－1＝8（個）答：王明一共來了8個朋友。【點睛】本題考查了最大公因數(shù)的應(yīng)用，掌握最大公因數(shù)的計算方法是解答本題的關(guān)鍵。20．7段【分析】要把兩根彩帶剪成長度一樣的短彩帶且沒有剩余，求每根彩帶最長是多少厘米，就是求45和60的最大公因數(shù)，求兩個數(shù)的最大公因數(shù)也就是這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)的連乘積，可以先分別把這兩個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，再把這兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)相乘，最后用兩條彩帶的總厘米數(shù)除以每段長度求剪成的段數(shù)，由此解決問題即可。【詳解】45＝3×3×560＝2×2×3×5所以45和60的最大公因數(shù)是：3×5＝15（45＋60）÷15＝105÷15＝7（段）答：最少可以剪成7段。【點睛】熟練掌握求兩個數(shù)最大公因數(shù)的方法是解答本題的關(guān)鍵。21．40分鐘【分析】1路車每5分鐘發(fā)車一次，3路車每8分鐘發(fā)車一次，所以在5和8的公倍數(shù)的時候會同時發(fā)車，求這兩路公交車同時發(fā)車以后至少再過多少分鐘又同時發(fā)車，就是求5和8的最小公倍數(shù)，據(jù)此解答即可。【詳解】5和8是互質(zhì)數(shù)，5和8的最小公倍數(shù)是：5×8＝40至少再過40分鐘又同時發(fā)車。答：至少再過40分鐘又同時發(fā)車。【點睛】求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)就是兩個數(shù)的公有質(zhì)因數(shù)與每一個數(shù)的獨有質(zhì)因數(shù)的連乘積，如果兩個數(shù)為互質(zhì)數(shù)，最小公倍數(shù)是兩個數(shù)的乘積。22．48人【分析】根據(jù)題意可知，五（1）班學(xué)生人數(shù)是4和6的公倍數(shù)，先求出4和6的最小公倍數(shù)，列出最小公倍數(shù)的倍數(shù)，再根據(jù)人數(shù)在40～60之間，找出這個班的人數(shù)。【詳解】6＝2×34＝2×26和4的最小公倍數(shù)是：2×2×3＝1212的倍數(shù)：12、24、36、48、60……由于48在40～60之間。答：這個班有48人。【點睛】此題屬于最小公倍數(shù)的實際應(yīng)用，利用求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法解決問題。23．51顆【分析】由于平均分給6個人多3顆，那么去掉3顆的話，這個糖的數(shù)量是6的倍數(shù)；平均分給8個人，少5顆，此時已經(jīng)去掉3顆，那么相當(dāng)于少8顆，也就是說此時的數(shù)量也是8的倍數(shù)，那么找出6和8的公倍數(shù)，之后再加上3，那么此時的數(shù)量是50到60之間即可。【詳解】6＝2×38＝2×2×26和8的最小公倍數(shù)是：2×2×2×3＝246和8的公倍數(shù)是：24、48、72……由于數(shù)量是五十多顆，則選擇去掉3顆后是48顆。48＋3＝51（顆）答：這通巧克力有51顆。【點睛】本題主要考查公倍數(shù)的找法，要清楚本題求出6和8的公倍數(shù)之后，還需要加上之前少算的3顆是解題的關(guān)鍵。24．（1）138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；（2）810、180【分析】（1）3的倍數(shù)特征：一個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)；（2）要求組成的數(shù)是偶數(shù)，同時有因數(shù)3和5，也就是組成的數(shù)同時是2、3、5的倍數(shù)，同時是2、3、5的倍數(shù)特征：個位是0，各個數(shù)位上的數(shù)字之和是3的倍數(shù)，據(jù)此解答。【詳解】故分析可知，（1）組成的數(shù)是3的倍數(shù)有：138、183、318、381、831、813、801、810、180、108；（2）組成的數(shù)是偶數(shù)，同時有因數(shù)3和5的數(shù)有：810、180；【點睛】熟練掌握2、3、5的倍數(shù)的特征是解題的關(guān)鍵。25．第一道工序：28人；第二道工序：21人；第三道工序：12人【分析】要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序的零件總數(shù)應(yīng)是3、4、7的公倍數(shù)，要求三道工序“至少”多少工人，要先求出3，4，7的最小公倍數(shù)；再進一步求解每道工序上的人數(shù)。【詳解】3，4，7的最小公倍數(shù)是：3×4×7＝8484÷3＝28（人）84÷4＝21（人）84÷7＝12（人）答：第一道工序至少分配28人，第二道工序至少分配21人，第三道工序至少分配12人。【點睛】本題考查最小公倍數(shù)的實際生活中的應(yīng)用。26．所以用3厘米做正方形的邊長。（個）（個）（個）作圖見詳解。能分成6個這樣的正方形。【分析】通過觀察發(fā)現(xiàn)，這個長方形的長為9厘米，寬為6厘米，9和6的最大公因數(shù)是3，用3厘米作正方形的邊長。求出一共能分成多少個正方形。【詳解】9＝3×36＝2×3所以用3厘米做正方形的邊長。9÷3＝3（個）6÷3＝2（個）3×2＝6（個）能分成6個這樣的正方形。【點睛】解決本題得關(guān)鍵是找到長和寬的最大公因數(shù)。真題演練1．13個【分析】由于藍燈籠和紫燈籠重復(fù)的地方就改掛一個紅燈籠，那么只需要找6和9的公倍數(shù)，注意兩端要除外，據(jù)此即可找出相應(yīng)的紅燈籠數(shù)量。【詳解】6