第39講怎樣用向量法求空間的角和空間的距離

一、知識概要

1線段定比分點公式

在空間直角坐標系中，線段Eg的端點坐標為y,Z］）,〃（巧,必?），點，（工,y,z）分AG

Z1+Az?

所成的比為4，則%=為+2占=y+辦’2（2工一1）,特別地，當4=1,即點尸是

1+41+21+2

線段你的中點此片宥,,=中.=瞪.

2三角形的重心

△ABC三頂點坐標依次為人（4）；，4）,8（/,丁2,22）,。（七,必，4）?則其重心G的坐標為

<

X1+X2+X31+%+%馬+z?+Z3）

\3'3'31

3空間向量求空間角、空間距離公式的歸納

ABCD

⑴求異面直線A3與CD的夾角6>cos<9=--------.（2）求直線/與平面a所成角

ABCD

PMn\

6>.|sin<9|=—"（其中〃為平面a的法向量,M為/與a的交點,P為/上不同于M的任一

PM\\n\

點）.

⑶求二面角ejcosq=也*（/，加分別為兩個平面的法向量）.

PM71

（4）求點2到平面a的距離d.d=（其中n為平面。的法向量為。內任意一點）.

-IABd\

⑸求點八到直線/的距離dd=|人4|2-——L（其中B是/上任意一點,*是直線/的

\〔HJ

方向向量）.

ABri

⑹求異面直線a,b的距離d.d=|CD|=—（其中4是直線a上任意一點,B是直線b上任

同

意一點,C。是異面直線〃與人的公垂線段,"http://CZ）且〃_L4,nYb.

二、題型精析

刪1如圖3-146所示，在四棱雉P-A8C￡）中,/V）J_平面與平面A8D所成的角為

60，在四邊形43CO中,ZADC=NDAB=90,AB=4,CD=LAD=2.求異面直線PA與

8c形成的角的余弦值.

【策略點擊】

利用空間向量求兩條異面真線所成的角通常有兩種方法：①純向量法；②向量坐標法。這兩種

方法都需要運用兩向量的夾角公式，兩直線方向向量的夾角為銳角時.，該角即為兩條異由直線

所成的角，兩直線方向向量的夾角為鈍角時，其補角為兩條異面直線所成的角，若異面直線〃力

的方向向量依次為4,4,為方便可直接利用公式COS。=COS],引14闖求之.

【解法一】

(純向量法)?,?：PA=DA-DP,BC=BA+AD+DC=-4DC+AD+DC=AD-3Z)C,

,PABC=^DA-DPy^AD-3DC)=-DAi=-22=-4,

又=4,BC-\j22+32=V13,

PARC-4岳,

cos<FA,BC>=，，,

PABC4而13一

二與BC所成的角的余弦值為巫

【解法二】

（向量坐標法）建立如圖3—147所示空間直角坐標系.

BB3-147

?.?^ADC=^DAB=90,A3=4,8=1,A￡>=2,「.A(2,0,0),C(04,0),3(2,4,0).

由9_L平面ABCD,得NPAD為Q4與平面AB-C。所成的角,NPAD=60.

在Rt^PAD中，由=2,得PD=2G.0,0,2吟.

PA=(2,0「2@,8C=(-2,-3,0)

2x(2)+0X(-3)+(-2X/3)X0_屈

cos<PA,BC>=——

4>/1313

二.A4與3。所成的角的余弦值為巫

13

［例2］如圖3-148所示，已知三棱柱ABC-A^Q的側棱與底面垂直，

AA=4B=AC=1,A81AC.M是CG的中點，N是8C的中點，點p在AB】上,且滿足

A］P=AAyBl.

⑴證明:PN_L4M.

（2）當2取何值時，直線PN與平面ABC所成的角0最大?并求該角最大值的正切值.

（3）若平面PMN與平面ABC所成的二面角為45，試確定點P的位置.

圖3-148

【策略點擊】

對于第(1)問，以AS,AC,A4分別為乂工z軸,建立空間直角坐標系A-叼2,求出各點的坐標及

對應向量的坐標,易判斷PN-AM=0，即PN1AM；對于第(2)問，可設出平面ABC的一個法向

量,這樣易表達出sin。,然后利用正弦函數的單調性及正切函數的單調性的關系，求出滿足條件

的4值,進而求出此時。的正切值;對于第⑶問，平面PMN與平面ABC所成的二面角為45，則

平面尸MN與平面ABC法向量的夾角為45，代入向量夾角公式，可以構造一個關于4的方程，解

方程即可求出對應的4值，進而確定出滿足條件的.點。的位置.

本例是以立體幾何、空間向量為載體的探究性問題,涉及線線垂直的證明，求動態下線面角的最大

值,由已知二面角確定點的位置，屬于組合探究型、結論探究型、條件探究型及信息遷移型問題,

關聯的知識多，解題技巧強，能夠很好地訓練學生應用能力和創新能力，提升數學核心素養。

【解】

⑴證明:如圖3—149所示，以AB,AC,例分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系4-外”則

1

U2)I2)

1

PNAM=|--/I|xO+-xl-lx-=0,:.PNA.AM

222

⑵顯然平面ABC的個法向量為〃=（0,0,1）則

PN.川

sin^=|cos<PN,Az>|

叫同

5

A—

2J4

于是問題轉化為二次函數求最值，而0,-

2

當。最大時,sin。最大，即tan〃最大（。=巳除外），由（1）式知,

2

1，、尺

當2時，（sinO）2二段，（tan0）a=2.

⑶已知給出了平面PMN與平面ABC所成的二面角為4s，即可得到平面ABC的一個法向量為

n-A4j=（0,0,1）.

（i

設平面PMN的一個法向量為w=（x,y,z）,由⑴知MP=2,-1,-

<2

122+1

』f+z=0y二『

m,NP=b,

，解得4

m-MP—0,

Ax-y+^z=0

3

令x=3,得加=(3,24+1,2(1-/I)).

?I\fn-n\-刈及i

于是由cos<//i,n>=\-77-\=??，=—，解得2=一一.

1HH|J9+(2-+1尸+4(1-/I):22

故點p在44的延長線上閭AP|=g.

【例3】

如圖3—150所示，四邊形ABCD是直角梯形，ZABC=90,S4_L平面

ABCD,SA=AB=BC=\,AD=-.

2

⑴求線段SC的長；

(2)求AB與SC所成的角；

⑶求平面SCO與平面S4B所成二面角的大小；

(4)求人4與SC的距離；

(5)求3點到平面SZX7的距離；

(6)若￡為SC上一點，當E處于什么位置時,DEH平面SAB?

圖3-150

［策略點擊］

本題涉及求線段長、異面直線所成角、二面角、異面直線間的距離、點面距離以及探索E在什

么位置時線面平行(即線面角為零)，可通過建立空間直角坐標系，利用空間向量坐標法求解。

【解】

⑴如圖3-⑸所示，以AS為x,y,z軸，以A3為單位長度鍵立空間直角坐標系，則有

A(0,0,0)，d；,0,0］,C(l1,0),8(0』,0),S(0,0,l),

I//

2

93-151

AD=f^0,0LSC=(l,1,-1),AB=(0,1,0)

|SC|2=SC2=(5A+AB+BC)2

222

=SA+AB+BC+2s4A8+2SA?BC+2gBe=‘A『+A3|、|BCr=3.

/.|SC|=V3.

ABSC1

⑵AB=(0,1,0),SC=(1,1,—l),cos<AB,SC>=.如

ABSC1x63

AB和SC所成角為arccos^^Z

3

⑶有AD=是平面SAB的法向量.

設平面SCD的法向量為n、并設〃=(x,y,z).

〃?oc=o,”y=°

由。C=(g/,0,SD=心。一)

得

山SO=(),3一二()

2

ADn_瓜,從而a=arccos"

cosa=

AD\\n\33

⑷設與AB和SC均垂直的法向量為“，并設n=(x,y,z),

由A3=(O,l,O),SC=(l,L—l)得

小八°,即.V=0

令x=1,測y=z=0,〃h=(),

小sc=o.x-z=0,

在A8和SC上各取一點，如A和S，則向量AS=(0,0,1)在〃方向上的投影的長度即為所求，所

以公回|=一也

|同Ilx5/22

⑸由⑶知平面SCD的法向量為〃=(I,—；,?,在平面SDC上取一點，如C,則向量BC在法

向量〃上的投影長度即為所求.

BC=(l,0,0),.,.”二

3

(6)設七點分SC所成的比為力,則

=如.⑹設E點分SC所成的比為丸，則

比二(1,0,0),.?.仁

3

0+1xA_A

1+2-T+I

0+lx2_2

,若OE〃平面SAB,則

\+A,1+4

0+lx/l_A

1+A-T+I

121

￡>E=，〃AS+〃A8.即=(0,0,w)+(0,w,0)

、1+221+41+4,

1+222=1

21

—=/?,?HPin=—

1+Z2

11

-------=m.n=-

工當E為SC中點時,DE〃用面SAB.

方法提煉

1向量法解題

由于向量有幾何法和坐標法兩種表示,它的運算也因為這兩種不同的表示而有兩種方向.因此用

向量法解題，理論上講總有兩個途徑，即基于幾何表示的幾何法和基于坐標表示的代數法.

在具體解題時，要善于從不同的角度考慮問題.

(1)在運用向量法求空間的角和空間的距離時必定會涉及平行問題和垂直問題(特別是線線垂直),

共面問題的證明，淺段的長度即向量模的計算.

(2)求異面直線所成的角.可直接運用向量的數量積公式,但注意線線角不超過三,而兩向量的夾角

2

是［0,句.

(3)求線面角.先找出角，而要找出角，得先找出斜線在平面內的射影，再借助于三角形求線線角(即

斜線與其射影所成角),當直線/垂直于平面。時,其在平面內的射影為一個點即垂足，此時所成角

為工.

2

(4)求二面角，先找平面角，轉化為求線線角,若用向量法解，則可通過兩個半平面的法向量的夾角,

再求夾角的補角.

(5)用向量方法求點面距離.可找出點在平面內的射影的坐標，轉化為兩點間的距離或求向量的模,

也可找出平面的一個單位法向量,通過向量在單位法向量上的射影的絕對值來求.

當然，用向量方法解題，特別要注意幾何體的結構特征，建立適當的空間直角坐標系,盡量使運算簡

單化.

2用空間向量求空間角的解題思路

(1)異面直線所成角.利用直線的方向向量轉化成向量所成的角.

(2)線面角的求解策略.

1)分別求出斜線和它所在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補

角);

2）通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜

線和平面所成的角.特別提醒:斜線與平面所成的角是指這條斜線與它在平面內的射影所成的銳

角.

（3）二面角的求解策略.

1）分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量,然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的

大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小；

2）分別在二面角的兩個平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的

大小就是二面角的大小.

3向量法求空間角的解題程序

第一步:識圖.

分析幾何體，找到確定幾何體底面和高的條件，根據所學知識，厘清圖形中的數量關系.

第二步:建系設點.

尋找題目中有三條直線兩兩垂直的特征,建立空間直角坐標系，從而確定點的坐標.

第三步:求向量坐標.

用終點坐標減去起點坐標寫出所需要的向量坐標.

第四步:計算或證明.

利用證明兩個非零向量垂直的充要條件和向量夾角的余弦公式進行計算和證明.

4向量法求空間距離的解題程序

向量法求空間距離的解題程序可參照向量法求空間角的解題程序，但思路相對簡單，解法固定.

5球面距離

關于球面距離的計算自有一套立體幾何的求解方法，通常不用向量法，但作為空間距離的一種，歸

納在一起,供讀者參考.

三、易錯警示

【例】

如圖3-152所示，四棱錐S-ABCD中.底面ABCD為矩形，SDL底面

ABCD,AD=RDC=SD=2,點M

在側棱SC上,—AAM=6).

（I）證明:例是側棱SC的中點;

（2）求二面角S—AM—8的大小.

@B3-152

錯解一：對條件=60量化時寫成cos<AB,BM>=包，勺=1,甚至寫成

ABBM\2

77K77AMBM1

cos<AM,BM>=----------=—

AMBM2

錯解二:在用空間向量解塊立體幾何問題時，點的坐標、平面的法向量、兩向量的夾角等運算出現

大量錯誤.

【評析及正解】

在應用向量數量積公式時忽視“兩向皇共起點''這一基本要求且基本運算不過關.

正確的解法如下：

解:分別以OAOCOS為x,y,z軸，如圖3-153所示建立空間直角坐標系。一Dz,則

A（VI,0,0）,4（Q,2,0）,C（0,2,0）,S（0,0,2）.

圖3-153

⑴設/"（（）,外力）（々>0,〃>0）廁8A=（0,-2,0）,8例式一夜，〃一2,Z?）,SM

=(O,a/一2),SC=(O,2,—2).由題意得

1-2(.-2)1

cos<BA,BM>=-------/,,”，=~

2,即?2xJ(〃-2)2+6+22

SMISC-2a=2(b-2)

解之得a=l,〃=1,即〃(0,1,1).

是側棱SC的中點.

⑵由(1)得知(0,1,1),^4=(0,-1,-1),又45=(一夜,0,2),48=(0,2,()),

\n..M4=0,f/i,MA=0

則i且<”.，

[/?1-AS=0,?AB=0

日」以一X-4=0,/岳2--Z2=。

即1L且'，

[-外+2z,=0,[2y2=0

分別令玉=w=0,得y=1,%=°，Z[=1/2=2,即勺=(忘1,1),%=(72,0,2).

2+0+2#

cos/],h

22x76~3

二面角S-AA7—3的大小為萬一arccos

3

四、難題攻略

例如圖3-154所示，在四棱柱45。。-人出￡。中.底面是邊長為1的菱形，側棱長為2,且側棱垂

直于底面.

(1)4A與4。能否垂直?請證明你的結論；

(2)當NAAC在上變化時，求異面直線AG與A4所成角的取值范圍.

JL

【破難析疑】本題若從立體幾何方法入手，則需要作出異面直線SA與4。，44與AG所成的

角認及相應的計算,有點難以把握.如果建立空間直角坐標系，用向量坐標表示，則可完全程序化,

從而簡化r思維過程、降低了難度.當然，建立恰當的直角坐標系，盡量利用已知條件中線線垂直、

線面垂直關系，有利于各點坐標的表示，這一點非常重要.本題中由于上、下底面菱形是不完全確

定的圖形,若引進/4用。1=2。為參變量，則所要解決的空間圖形問題可以轉化為三角函數問

題,采用換元法后，又轉化為一般的代數函數問題，可運用函數