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江蘇省淮陰區(qū)2025屆高三下學(xué)期摸底調(diào)研模擬考數(shù)學(xué)試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知橢圓的右焦點(diǎn)為F,左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)P橢圓上,且,若,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B. C. D.3.射線測(cè)厚技術(shù)原理公式為,其中分別為射線穿過被測(cè)物前后的強(qiáng)度,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),為被測(cè)物厚度,為被測(cè)物的密度,是被測(cè)物對(duì)射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241()低能射線測(cè)量鋼板的厚度.若這種射線對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為()(注:半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度,,結(jié)果精確到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.4.已知f(x)=是定義在R上的奇函數(shù),則不等式f(x-3)<f(9-x2)的解集為()A.(-2,6) B.(-6,2) C.(-4,3) D.(-3,4)5.已知函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為()A. B. C. D.6.已知,則下列說法中正確的是()A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題7.已知數(shù)列對(duì)任意的有成立,若,則等于()A. B. C. D.8.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.9.已知為定義在上的奇函數(shù),若當(dāng)時(shí),(為實(shí)數(shù)),則關(guān)于的不等式的解集是()A. B. C. D.10.若圓錐軸截面面積為,母線與底面所成角為60°,則體積為()A. B. C. D.11.若集合,,則()A. B. C. D.12.若,則的虛部是A.3 B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.齊王與田忌賽馬,田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬,劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬,劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬.現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽,則田忌的馬獲勝的概率為__________.14.已知實(shí)數(shù),滿足約束條件,則的最小值為______.15.在數(shù)列中,,,曲線在點(diǎn)處的切線經(jīng)過點(diǎn),下列四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④數(shù)列是等比數(shù)列;其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是______.16.若雙曲線的兩條漸近線斜率分別為,,若,則該雙曲線的離心率為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)(1)當(dāng)時(shí),求不等式的解集;(2)若,求的取值范圍.18.(12分)如圖,已知在三棱臺(tái)中,,,.(1)求證:;(2)過的平面分別交,于點(diǎn),,且分割三棱臺(tái)所得兩部分幾何體的體積比為,幾何體為棱柱,求的長(zhǎng).提示:臺(tái)體的體積公式(,分別為棱臺(tái)的上、下底面面積,為棱臺(tái)的高).19.(12分)已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)分別為橢圓與軸正半軸和軸正半軸的交點(diǎn),是橢圓上在第一象限的一點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),直線與軸交于點(diǎn),問與面積之差是否為定值?說明理由.20.(12分)已知函數(shù),其中.(1)當(dāng)時(shí),求在的切線方程;(2)求證:的極大值恒大于0.21.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)的極值;(2)當(dāng)時(shí),求證:.22.(10分)已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2,(1)求的值與拋物線的方程;(2)拋物線上第一象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè),拋物線上第四象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),滿足,求直線的斜率范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【解析】
不妨設(shè)在第一象限,故,根據(jù)得到,解得答案.【詳解】不妨設(shè)在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的離心率,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2.A【解析】
由計(jì)算出的取值范圍,利用正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域.【詳解】,,,因此,函數(shù)的值域?yàn)?故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)在區(qū)間上的值域的求解,解答的關(guān)鍵就是求出對(duì)象角的取值范圍,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.C【解析】
根據(jù)題意知,,代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程;屬于中檔題.4.C【解析】
由奇函數(shù)的性質(zhì)可得,進(jìn)而可知在R上為增函數(shù),轉(zhuǎn)化條件得,解一元二次不等式即可得解.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù),所以,即,解得,即,易知在R上為增函數(shù).又,所以,解得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用,考查了一元二次不等式的解法,屬于中檔題.5.A【解析】
首先求得時(shí),的取值范圍.然后求得時(shí),的單調(diào)性和零點(diǎn),令,根據(jù)“時(shí),的取值范圍”得到,利用零點(diǎn)存在性定理,求得函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí),.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),且,則是唯一零點(diǎn).由于“當(dāng)時(shí),.”,所以令,得,因?yàn)?,,所以函?shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為.故選:A【點(diǎn)睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點(diǎn),考查零點(diǎn)存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6.D【解析】
舉例判斷命題p與q的真假,再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.【詳解】當(dāng)時(shí),故命題為假命題;記f(x)=ex﹣x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex,易知f(x)=ex﹣x(﹣∞,0)上遞減,在(0,+∞)上遞增,∴f(x)>f(0)=1>0,即,故命題為真命題;∴是假命題故選D【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷,考查全稱命題與特稱命題的真假,考查指對(duì)函數(shù)的圖象與性質(zhì),是基礎(chǔ)題.7.B【解析】
觀察已知條件,對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn),運(yùn)用累加法和裂項(xiàng)法求出結(jié)果.【詳解】已知,則,所以有,,,,兩邊同時(shí)相加得,又因?yàn)?,所?故選:【點(diǎn)睛】本題考查了求數(shù)列某一項(xiàng)的值,運(yùn)用了累加法和裂項(xiàng)法,遇到形如時(shí)就可以采用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和,需要掌握數(shù)列中的方法,并能熟練運(yùn)用對(duì)應(yīng)方法求解.8.D【解析】
設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.9.A【解析】
先根據(jù)奇函數(shù)求出m的值,然后結(jié)合單調(diào)性求解不等式.【詳解】據(jù)題意,得,得,所以當(dāng)時(shí),.分析知,函數(shù)在上為增函數(shù).又,所以.又,所以,所以,故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用,側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).10.D【解析】
設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由軸截面面積為可得半徑,再利用圓錐體積公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)圓錐底面圓的半徑為,由已知,,解得,所以圓錐的體積.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的體積的計(jì)算,涉及到圓錐的定義,是一道容易題.11.A【解析】
用轉(zhuǎn)化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定義求解即可.【詳解】解:由集合,解得,則故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了并集及其運(yùn)算,分式不等式的解法,熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】
因?yàn)?,所以的虛部?故選B.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13..【解析】分析:由題意結(jié)合古典概型計(jì)算公式即可求得題中的概率值.詳解:由題意可知了,比賽可能的方法有種,其中田忌可獲勝的比賽方法有三種:田忌的中等馬對(duì)齊王的下等馬,田忌的上等馬對(duì)齊王的下等馬,田忌的上等馬對(duì)齊王的中等馬,結(jié)合古典概型公式可得,田忌的馬獲勝的概率為.點(diǎn)睛:有關(guān)古典概型的概率問題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時(shí),用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí),要做到不重復(fù)、不遺漏,可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合,以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.14.【解析】
作出滿足約束條件的可行域,將目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率,觀察圖形斜率最小在點(diǎn)B處,聯(lián)立,解得點(diǎn)B坐標(biāo),即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域,該目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率,故由題可知,聯(lián)立得,聯(lián)立得所以,故所以的最小值為故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題,屬于簡(jiǎn)單題.15.①③④【解析】
先利用導(dǎo)數(shù)求得曲線在點(diǎn)處的切線方程,由此求得與的遞推關(guān)系式,進(jìn)而證得數(shù)列是等比數(shù)列,由此判斷出四個(gè)結(jié)論中正確的結(jié)論編號(hào).【詳解】∵,∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則.∵,∴,則是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列,從而,,.故所有正確結(jié)論的編號(hào)是①③④.故答案為:①③④【點(diǎn)睛】本小題主要考查曲線的切線方程的求法,考查根據(jù)遞推關(guān)系式證明等比數(shù)列,考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.16.2【解析】
由題得,再根據(jù)求解即可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為,可令,,則,所以,解得.故答案為:2.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線求離心率的問題.屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)通過討論的范圍,得到關(guān)于的不等式組,解出取并集即可.(2)去絕對(duì)值將函數(shù)寫成分段函數(shù)形式討論分段函數(shù)的單調(diào)性由恒成立求得結(jié)果.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),,即或或解之得或,即不等式的解集為.(2)由題意得:當(dāng)時(shí)為減函數(shù),顯然恒成立.當(dāng)時(shí),為增函數(shù),,當(dāng)時(shí),為減函數(shù),綜上所述:使恒成立的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了解絕對(duì)值不等式問題,考查不等式恒成立問題中求解參數(shù)問題,考查分類討論思想,轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.18.(1)證明見解析;(2)2【解析】
(1)在中,利用勾股定理,證得,又由題設(shè)條件,得到,利用線面垂直的判定定理,證得平面,進(jìn)而得到;(2)設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為,根據(jù)棱臺(tái)的體積公式,列出方程求得,得到,即可求解.【詳解】(1)由題意,在中,,,所以,可得,因?yàn)椋傻?又由,,平面,所以平面,因?yàn)槠矫?,所?(2)因?yàn)椋傻茫?,,設(shè)三棱臺(tái)和三棱柱的高都為上、下底面之間的距離為,則,整理得,即,解得,即,又由,所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面垂直的判定與應(yīng)用,以及幾何體的體積公式的應(yīng)用,其中解答中熟記線面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理,以及熟練應(yīng)用幾何體的體積公式進(jìn)行求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.19.(1)(2)是定值,詳見解析【解析】
(1)根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,離心率,則有求解.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,再根據(jù)求解.【詳解】(1)依題意得,解得,則橢圓的方程.(2)設(shè),則,直線,令得,,則,直線,令,得,則,.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系,還考查了平面幾何知識(shí)和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20.(1)(2)證明見解析【解析】
(1)求導(dǎo),代入,求出在處的導(dǎo)數(shù)值及函數(shù)值,由此即可求得切線方程;(2)分類討論得出極大值即可判斷.【詳解】(1),當(dāng)時(shí),,,則在的切線方程為;(2)證明:令,解得或,①當(dāng)時(shí),恒成立,此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴函數(shù)無極值;②當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴;③當(dāng)時(shí),令,解得,令,解得或,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增,在,上單調(diào)遞減,∴,綜上,函數(shù)的極大值恒大于0.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程,考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.21.(1)的極小值為,無極大值.(2)見解析.【解析】
(1)對(duì)求導(dǎo),確定函數(shù)單調(diào)性,得到函數(shù)極值.(2)構(gòu)造函數(shù),證明恒成立,得到,,得證.【詳解】(1)由題意知,,令,得,令,得.則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的極小值為,無極大值.(2)當(dāng)時(shí),要證,即證.令,則,令,得,令,得,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以當(dāng)時(shí),,所以,即.因?yàn)闀r(shí),,所以當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),不
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