2025屆云南民族大學附屬中學高三下學期期末考試（1月）數學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的一條漸近線方程是，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．已知復數滿足：（為虛數單位），則（）A． B． C． D．3．命題“”的否定是（）A． B．C． D．4．甲在微信群中發了一個6元“拼手氣”紅包,被乙?丙?丁三人搶完,若三人均領到整數元,且每人至少領到1元,則乙獲得“最佳手氣”(即乙領到的錢數多于其他任何人)的概率是（）A． B． C． D．5．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示，圓柱表面上的點在正視圖上的對應點為，圓柱表面上的點在左視圖上的對應點為，則在此圓柱側面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為（）A． B． C． D．26．函數的圖象大致是（）A． B．C． D．7．已知函數，若曲線在點處的切線方程為，則實數的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．28．由曲線圍成的封閉圖形的面積為（）A． B． C． D．9．定義在上的函數與其導函數的圖象如圖所示，設為坐標原點，、、、四點的橫坐標依次為、、、，則函數的單調遞減區間是（）A． B． C． D．10．已知，則，不可能滿足的關系是（）A． B． C． D．11．劉徽(約公元225年-295年)，魏晉期間偉大的數學家，中國古典數學理論的奠基人之一他在割圓術中提出的，“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，這可視為中國古代極限觀念的佳作，割圓術的核心思想是將一個圓的內接正n邊形等分成n個等腰三角形(如圖所示)，當n變得很大時，這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積，運用割圓術的思想，得到的近似值為（）A． B． C． D．12．已知三棱錐的外接球半徑為2，且球心為線段的中點，則三棱錐的體積的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點M是曲線y＝2lnx＋x2﹣3x上一動點，當曲線在M處的切線斜率取得最小值時，該切線的方程為_______．14．已知，且，則__________．15．已知函數.若在區間上恒成立.則實數的取值范圍是__________．16．已知數列的各項均為正數，記為數列的前項和，若，，則______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知在三棱錐中，平面，分別為的中點，且.（1）求證：；（2）設平面與交于點，求證：為的中點.18．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的參數方程為（為參數），直線經過點且傾斜角為.（1）求曲線的極坐標方程和直線的參數方程；（2）已知直線與曲線交于，滿足為的中點，求.19．（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求學生在語數外3門全國統考科目之外，在歷史和物理2門科目中必選且只選1門，再從化學、生物、地理、政治4門科目中任選2門，后三科的高考成績按新的規則轉換后計入高考總分.相應地，高校在招生時可對特定專業設置具體的選修科目要求.雙超中學高一年級有學生1200人，現從中隨機抽取40人進行選科情況調查，用數字1~6分別依次代表歷史、物理、化學、生物、地理、政治6科，得到如下的統計表：序號選科情況序號選科情況序號選科情況序號選科情況11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）雙超中學規定：每個選修班最多編排50人且盡量滿額編班，每位老師執教2個選修班（當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的1位老師只教1個班）.已知雙超中學高一年級現有化學、生物科目教師每科各8人，用樣本估計總體，則化學、生物兩科的教師人數是否需要調整？如果需要調整，各需增加或減少多少人？（2）請創建列聯表，運用獨立性檢驗的知識進行分析，探究是否有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其熱門人文專業的招生簡章中明確要求，僅允許選修了歷史科目，且在政治和地理2門中至少選修了1門的考生報名.現從雙超中學高一新生中隨機抽取3人，設具備高校專業報名資格的人數為，用樣本的頻率估計概率，求的分布列與期望.20．（12分）管道清潔棒是通過在管道內釋放清潔劑來清潔管道內壁的工具，現欲用清潔棒清潔一個如圖1所示的圓管直角彎頭的內壁，其縱截面如圖2所示，一根長度為的清潔棒在彎頭內恰好處于位置（圖中給出的數據是圓管內壁直徑大小，）.（1）請用角表示清潔棒的長；（2）若想讓清潔棒通過該彎頭，清潔下一段圓管，求能通過該彎頭的清潔棒的最大長度.21．（12分）在銳角中，，，分別是角，，所對的邊，的面積，且滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．22．（10分）函數，且恒成立.（1）求實數的集合；（2）當時，判斷圖象與圖象的交點個數，并證明.（參考數據：）

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】雙曲線的漸近線方程是，所以，即，，即，，故選D.2、A【解析】

利用復數的乘法、除法運算求出，再根據共軛復數的概念即可求解.【詳解】由，則，所以.故選：A【點睛】本題考查了復數的四則運算、共軛復數的概念，屬于基礎題.3、D【解析】

根據全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．【點睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.4、B【解析】

將所有可能的情況全部枚舉出來,再根據古典概型的方法求解即可.【詳解】設乙,丙,丁分別領到x元,y元,z元,記為,則基本事件有,,,,,,,,,,共10個,其中符合乙獲得“最佳手氣”的有3個,故所求概率為,故選：B.【點睛】本題主要考查了枚舉法求古典概型的方法,屬于基礎題型.5、B【解析】

首先根據題中所給的三視圖，得到點M和點N在圓柱上所處的位置，將圓柱的側面展開圖平鋪，點M、N在其四分之一的矩形的對角線的端點處，根據平面上兩點間直線段最短，利用勾股定理，求得結果.【詳解】根據圓柱的三視圖以及其本身的特征，將圓柱的側面展開圖平鋪,可以確定點M和點N分別在以圓柱的高為長方形的寬，圓柱底面圓周長的四分之一為長的長方形的對角線的端點處，所以所求的最短路徑的長度為，故選B.點睛：該題考查的是有關幾何體的表面上兩點之間的最短距離的求解問題，在解題的過程中，需要明確兩個點在幾何體上所處的位置，再利用平面上兩點間直線段最短，所以處理方法就是將面切開平鋪，利用平面圖形的相關特征求得結果.6、C【解析】

根據函數奇偶性可排除AB選項；結合特殊值，即可排除D選項.【詳解】∵，，∴函數為奇函數，∴排除選項A，B；又∵當時，，故選：C.【點睛】本題考查了依據函數解析式選擇函數圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎題.7、B【解析】

求出函數的導數，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域為（﹣1，+∞），因為f′（x）a，曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【點睛】本題考查函數的導數的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．8、A【解析】

先計算出兩個圖像的交點分別為，再利用定積分算兩個圖形圍成的面積.【詳解】封閉圖形的面積為.選A.【點睛】本題考察定積分的應用，屬于基礎題.解題時注意積分區間和被積函數的選取.9、B【解析】

先辨別出圖象中實線部分為函數的圖象，虛線部分為其導函數的圖象，求出函數的導數為，由，得出，只需在圖中找出滿足不等式對應的的取值范圍即可.【詳解】若虛線部分為函數的圖象，則該函數只有一個極值點，但其導函數圖象（實線）與軸有三個交點，不合乎題意；若實線部分為函數的圖象，則該函數有兩個極值點，則其導函數圖象（虛線）與軸恰好也只有兩個交點，合乎題意.對函數求導得，由得，由圖象可知，滿足不等式的的取值范圍是，因此，函數的單調遞減區間為.故選：B.【點睛】本題考查利用圖象求函數的單調區間，同時也考查了利用圖象辨別函數與其導函數的圖象，考查推理能力，屬于中等題.10、C【解析】

根據即可得出，，根據，，即可判斷出結果．【詳解】∵；∴，；∴，，故正確；，故C錯誤；∵，故D正確故C．【點睛】本題主要考查指數式和對數式的互化，對數的運算，以及基本不等式：和不等式的應用，屬于中檔題11、A【解析】

設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,則每個等腰三角形的面積為,由割圓術可得圓的面積為,整理可得,當時即可為所求.【詳解】由割圓術可知當n變得很大時,這n個等腰三角形的面積之和近似等于圓的面積,設圓的半徑為,每個等腰三角形的頂角為,所以每個等腰三角形的面積為,所以圓的面積為,即,所以當時,可得,故選:A【點睛】本題考查三角形面積公式的應用,考查閱讀分析能力.12、C【解析】

由題可推斷出和都是直角三角形，設球心為，要使三棱錐的體積最大，則需滿足，結合幾何關系和圖形即可求解【詳解】先畫出圖形，由球心到各點距離相等可得，，故是直角三角形，設，則有，又，所以，當且僅當時，取最大值4，要使三棱錐體積最大，則需使高，此時，故選：C【點睛】本題考查由三棱錐外接球半徑，半徑與球心位置求解錐體體積最值問題，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求導數可得切線斜率，利用基本不等式可得切點橫坐標，從而可得切線方程.【詳解】，，＝1時有最小值1，此時M(1，﹣2)，故切線方程為：，即．故答案為：.【點睛】本題主要考查導數的幾何意義，切點處的導數值等于切線的斜率是求解的關鍵，側重考查數學運算的核心素養.14、【解析】試題分析：因,故,所以，,應填.考點：三角變換及運用．15、【解析】

首先解不等式，再由在區間上恒成立，即得到不等組，解得即可.【詳解】解：且，即解得，即因為在區間上恒成立，解得即故答案為：【點睛】本題考查一元二次不等式及函數的綜合問題，屬于基礎題.16、63【解析】

對進行化簡，可得，再根據等比數列前項和公式進行求解即可【詳解】由數列為首項為，公比的等比數列，所以63【點睛】本題考查等比數列基本量的求法，當處理復雜因式時，常用基本方法為：因式分解，約分。但解題本質還是圍繞等差和等比的基本性質三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）要做證明，只需證明平面即可；（2）易得∥平面，平面，利用線面平行的性質定理即可得到∥，從而獲得證明【詳解】證明：（1）因為平面，平面，所以.因為，所以.又因為，平面，平面，所以平面.又因為平面，所以.（2）因為平面與交于點，所以平面.因為分別為的中點，所以∥.又因為平面，平面，所以∥平面.又因為平面，平面平面，所以∥，又因為是的中點，所以為的中點.【點睛】本題考查線面垂直的判定定理以及線面平行的性質定理，考查學生的邏輯推理能力，是一道容易題.18、（1），；（2）.【解析】

（1）由曲線的參數方程消去參數可得曲線的普通方程，由此可求曲線的極坐標方程；直接利用直線的傾斜角以及經過的點求出直線的參數方程即可；（2）將直線的參數方程，代入曲線的普通方程，整理得，利用韋達定理，根據為的中點，解出即可.【詳解】（1）由（為參數）消去參數，可得，即，已知曲線的普通方程為，，，，即，曲線的極坐標方程為，直線經過點，且傾斜角為，直線的參數方程：（為參數，）.（2）設對應的參數分別為，.將直線的參數方程代入并整理，得，，.又為的中點，，，，，即，，，，即，.【點睛】本題考查了圓的參數方程與極坐標方程之間的互化以及直線參數方程的應用，考查了計算能力，屬于中檔題.19、（1）不需調整（2）列聯表見解析；有的把握判斷學生“選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關（3）詳見解析【解析】

（1）可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2，推理得對應開設選修班的數目分別為15，1．推理知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調整．（2）根據列聯表計算觀測值，根據臨界值表可得結論．（3）經統計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12，頻率為．用頻率估計概率，則，根據二項分布概率公式可得分布列和數學期望．【詳解】（1）經統計可知，樣本40人中，選修化學、生物的人數分別為24，11，則可估計高一年級選修相應科目的人數分別為120，2．根據每個選修班最多編排50人，且盡量滿額編班，得對應開設選修班的數目分別為15，1．現有化學、生物科目教師每科各8人，根據每位教師執教2個選修班，當且僅當一門科目的選課班級總數為奇數時，允許這門科目的一位教師執教一個班的條件，知生物科目需要減少4名教師，化學科目不需要調整．（2）根據表格中的數據進行統計后，制作列聯表如下：選物理不選物理合計選化學19524不選化學61016合計251540則，有的把握判斷學生”選擇化學科目”與“選擇物理科目”有關．（3）經統計，樣本中選修了歷史科目且在政治和地理2門中至少選修了一門的人數為12，頻率為．用頻率估計概率，則，分布列如下：01230.3430.4410.1890.021數學期望為．【點睛】本題主要考查了離散型隨機變量的期望與方差，考查獨立性檢驗，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．20、（1）；（2）.【解析】

（1）過作的垂線，垂足為，易得，進一步可得；（2）利用導數求得最大值即可.【詳解】（1）如圖，過作的垂線，垂足為，在直角中，，，所以，同理，.（2）設，則，令，則，即.設，且，則當時，，所以單調遞減；當時，，所以單調遞增，所以當時，取得極小值，所以.因為，所以，又，所以，又，所以，所以，所以，所以能通過此鋼管的鐵棒最大長度為.【點睛】本題考查導數在實際問題中的應用