江蘇百校大聯考2025屆下學期高三數學試題第8周測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知定義在上的奇函數和偶函數滿足（且），若，則函數的單調遞增區間為（）A． B． C． D．2．若直線y＝kx＋1與圓x2＋y2＝1相交于P、Q兩點，且∠POQ＝120°(其中O為坐標原點)，則k的值為()A． B． C．或－ D．和－3．一袋中裝有個紅球和個黑球（除顏色外無區別），任取球，記其中黑球數為，則為（）A． B． C． D．4．已知復數是純虛數，其中是實數，則等于（）A． B． C． D．5．集合，則（）A． B． C． D．6．設集合，，則()A． B．C． D．7．已知，，，若，則（）A． B． C． D．8．設函數恰有兩個極值點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．9．公元前世紀，古希臘哲學家芝諾發表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在跑步英雄阿基里斯前面米處開始與阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的倍.當比賽開始后，若阿基里斯跑了米，此時烏龜便領先他米，當阿基里斯跑完下一個米時，烏龜先他米，當阿基里斯跑完下-個米時，烏龜先他米....所以，阿基里斯永遠追不上烏龜.按照這樣的規律，若阿基里斯和烏龜的距離恰好為米時，烏龜爬行的總距離為（）A．米 B．米C．米 D．米10．已知為拋物線的焦點，點在拋物線上，且，過點的動直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，拋物線的準線與軸的交點為.給出下列四個命題：①在拋物線上滿足條件的點僅有一個；②若是拋物線準線上一動點，則的最小值為；③無論過點的直線在什么位置，總有；④若點在拋物線準線上的射影為，則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．411．閱讀下面的程序框圖，運行相應的程序，程序運行輸出的結果是（）A．1．1 B．1 C．2．9 D．2．812．在天文學中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1,2）.已知太陽的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為()A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，則的展開式中含的項的系數為_______.14．已知為矩形的對角線的交點，現從這5個點中任選3個點，則這3個點不共線的概率為________.15．某市高三理科學生有名，在一次調研測試中，數學成績服從正態分布，已知，若按成績分層抽樣的方式取份試卷進行分析，則應從分以上的試卷中抽取的份數為__________.16．直線xsinα＋y＋2＝0的傾斜角的取值范圍是________________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知f(x)=|x+3|-|x-2|（1）求函數f(x)的最大值m；（2）正數a，b，c滿足a+2b+3c=m，求證：18．（12分）已知動圓經過點，且動圓被軸截得的弦長為，記圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的標準方程；（2）設點的橫坐標為，，為圓與曲線的公共點，若直線的斜率，且，求的值．19．（12分）在平面直角坐標系中，曲線的參數方程是(為參數)，以原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標方程；(Ⅱ)已知直線與曲線交于，兩點，與軸交于點，求.20．（12分）甲、乙兩班各派三名同學參加知識競賽，每人回答一個問題，答對得10分，答錯得0分，假設甲班三名同學答對的概率都是，乙班三名同學答對的概率分別是，，，且這六名同學答題正確與否相互之間沒有影響．（1）記“甲、乙兩班總得分之和是60分”為事件，求事件發生的概率；（2）用表示甲班總得分，求隨機變量的概率分布和數學期望．21．（12分）設橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．（1）求橢圓的方程；（2）設圓上任意一點處的切線交橢圓于點，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，請說明理由．22．（10分）已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標分別為(,0),(,0),圓E是△ABC的內切圓,在邊AC,BC,AB上的切點分別為P,Q,R,|CP|=2,動點C的軌跡為曲線G.（1）求曲線G的方程;（2）設直線l與曲線G交于M,N兩點,點D在曲線G上,是坐標原點,判斷四邊形OMDN的面積是否為定值?若為定值,求出該定值;如果不是,請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

根據函數的奇偶性用方程法求出的解析式，進而求出，再根據復合函數的單調性，即可求出結論.【詳解】依題意有，①，②①②得，又因為，所以，在上單調遞增，所以函數的單調遞增區間為.故選:D.【點睛】本題考查求函數的解析式、函數的性質，要熟記復合函數單調性判斷方法，屬于中檔題.2．C【解析】

直線過定點，直線y=kx+1與圓x2+y2=1相交于P、Q兩點，且∠POQ=120°（其中O為原點），可以發現∠QOx的大小，求得結果．【詳解】如圖，直線過定點（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，?∠1=120°，∠2=60°，∴由對稱性可知k=±．故選C．【點睛】本題考查過定點的直線系問題，以及直線和圓的位置關系，是基礎題．3．A【解析】

由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，進而可求得隨機變量的數學期望值.【詳解】由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、，則，，，.因此，隨機變量的數學期望為.故選：A.【點睛】本題考查隨機變量數學期望的計算，考查計算能力，屬于基礎題.4．A【解析】

對復數進行化簡，由于為純虛數，則化簡后的復數形式中，實部為0，得到的值，從而得到復數.【詳解】因為為純虛數，所以，得所以.故選A項【點睛】本題考查復數的四則運算，純虛數的概念，屬于簡單題.5．D【解析】

利用交集的定義直接計算即可.【詳解】，故，故選：D.【點睛】本題考查集合的交運算，注意常見集合的符號表示，本題屬于基礎題.6．D【解析】

利用一元二次不等式的解法和集合的交運算求解即可.【詳解】由題意知,集合,,由集合的交運算可得,.故選:D【點睛】本題考查一元二次不等式的解法和集合的交運算;考查運算求解能力;屬于基礎題.7．B【解析】

由平行求出參數，再由數量積的坐標運算計算．【詳解】由，得，則，，，所以．故選：B．【點睛】本題考查向量平行的坐標表示，考查數量積的坐標運算，掌握向量數量積的坐標運算是解題關鍵．8．C【解析】

恰有兩個極值點，則恰有兩個不同的解，求出可確定是它的一個解，另一個解由方程確定，令通過導數判斷函數值域求出方程有一個不是1的解時t應滿足的條件.【詳解】由題意知函數的定義域為，.因為恰有兩個極值點，所以恰有兩個不同的解，顯然是它的一個解，另一個解由方程確定，且這個解不等于1.令，則，所以函數在上單調遞增，從而，且.所以，當且時，恰有兩個極值點，即實數的取值范圍是.故選：C【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性與極值，函數與方程的應用，屬于中檔題.9．D【解析】

根據題意，是一個等比數列模型，設，由，解得，再求和.【詳解】根據題意，這是一個等比數列模型，設，所以，解得，所以.故選：D【點睛】本題主要考查等比數列的實際應用，還考查了建模解模的能力，屬于中檔題.10．C【解析】

①：由拋物線的定義可知，從而可求的坐標；②：做關于準線的對稱點為，通過分析可知當三點共線時取最小值，由兩點間的距離公式，可求此時最小值；③：設出直線方程，聯立直線與拋物線方程，結合韋達定理，可知焦點坐標的關系，進而可求，從而可判斷出的關系；④：計算直線的斜率之差，可得兩直線斜率相等，進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解：對于①，設，由拋物線的方程得，則，故，所以或，所以滿足條件的點有二個，故①不正確；對于②，不妨設，則關于準線的對稱點為，故，當且僅當三點共線時等號成立，故②正確；對于③，由題意知，，且的斜率不為0，則設方程為：，設與拋物線的交點坐標為，聯立直線與拋物線的方程為，，整理得，則，所以，則.故的傾斜角互補，所以，故③正確.對于④，由題意知，由③知，則，由，知，即三點在同一條直線上，故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了直線與拋物線的位置關系，考查了拋物線的性質，考查了直線方程，考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題，結合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.11．C【解析】

根據程序框圖的模擬過程，寫出每執行一次的運行結果，屬于基礎題.【詳解】初始值，第一次循環：，；第二次循環：，；第三次循環：，；第四次循環：，；第五次循環：，；第六次循環：，；第七次循環：，；第九次循環：，；第十次循環：，；所以輸出.故選：C【點睛】本題考查了循環結構的程序框圖的讀取以及運行結果，屬于基礎題.12．A【解析】

由題意得到關于的等式，結合對數的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數對數運算.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

首先根據定積分的應用求出的值,進一步利用二項式的展開式的應用求出結果.【詳解】，根據二項式展開式通項：，令，解得，所以含的項的系數.故答案為：【點睛】本題考查定積分，二項式的展開式的應用,主要考查學生的運算求解能力,屬于基礎題.14．【解析】

基本事件總數，這3個點共線的情況有兩種和，由此能求出這3個點不共線的概率．【詳解】解：為矩形的對角線的交點，現從，，，，這5個點中任選3個點，基本事件總數，這3個點共線的情況有兩種和，這3個點不共線的概率為．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題．15．【解析】

由題意結合正態分布曲線可得分以上的概率，乘以可得.【詳解】解：，所以應從分以上的試卷中抽取份.故答案為：.【點睛】本題考查正態分布曲線，屬于基礎題.16．【解析】因為sinα∈[－1，1]，所以－sinα∈[－1，1]，所以已知直線的斜率范圍為[－1，1]，由傾斜角與斜率關系得傾斜角范圍是．答案：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）見解析【解析】

（1）利用絕對值三角不等式求得的最大值.（2）由（1）得.方法一，利用柯西不等式證得不等式成立；方法二，利用“的代換”的方法，結合基本不等式證得不等式成立.【詳解】（1）由絕對值不等式性質得當且僅當即時等號成立，所以（2）由（1）得.法1：由柯西不等式得當且僅當時等號成立，即，所以.法2：由得，，當且僅當時“=”成立.【點睛】本小題主要考查絕對值三角不等式，考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式，屬于中檔題.18．見解析【解析】

（1）設，則點到軸的距離為，因為圓被軸截得的弦長為，所以，又，所以，化簡可得，所以曲線的標準方程為．（2）設，，因為直線的斜率，所以可設直線的方程為，由及，消去可得，所以，，所以．設線段的中點為，點的縱坐標為，則，，所以直線的斜率為，所以，所以，所以．易得圓心到直線的距離，由圓經過點，可得，所以，整理可得，解得或，所以或，又，所以．19．（1）(x－1)2＋y2＝4,直線l的直角坐標方程為x－y－2＝0；（2）3.【解析】

(1)消參得到曲線的普通方程，利用極坐標和直角坐標方程的互化公式求得直線的直角坐標方程；(2)先得到直線的參數方程，將直線的參數方程代入到圓的方程，得到關于的一元二次方程，由根與系數的關系、參數的幾何意義進行求解.【詳解】(1)由曲線C的參數方程(α為參數)(α為參數)，兩式平方相加，得曲線C的普通方程為(x－1)2＋y2＝4；由直線l的極坐標方程可得ρcosθcos－ρsinθsin＝ρcosθ－ρsinθ＝2，即直線l的直角坐標方程為x－y－2＝0.(2)由題意可得P(2，0)，則直線l的參數方程為(t為參數)．設A，B兩點對應的參數分別為t1，t2，則|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|，將(t為參數)代入(x－1)2＋y2＝4，得t2＋t－3＝0，則Δ>0，由韋達定理可得t1·t2＝－3，所以|PA|·|PB|＝|－3|＝3.20．（1）（2）分布列見解析，期望為20【解析】

利用相互獨立事件概率公式求解即可;由題意知,隨機變量可能的取值為0，10，20，30,分別求出對應的概率,列出分布列并代入數學期望公式求解即可.【詳解】（1）由相互獨立事件概率公式可得,（2）由題意知,隨機變量可能的取值為0，10，20，30.，，，,所以，的概率分布列為0102030所以數學期望.【點睛】本題考查相互獨立事件概率公式和離散型隨機變量的分布列及其數學期望;考查運算求解能力;確定隨機變量可能的取值,求出對應的概率是求解本題的關鍵;屬于中檔題、常考題型.21．（1）；（2）見解析.【解析】

（I）結合離心率，得到a,b,c的關系，計算A的坐標，計算切線與橢圓交點坐標，代入橢圓方程，計算參數，即可．（II）分切線斜率存在與不存在討論，設出M,N的坐標，設出切線方程，結合圓心到切線距離公式，得到m,k的關系式，將直線方程代入橢圓方程，利用根與系數關系，表示，結合三角形相似，證明結論，即可．【詳解】(Ⅰ)設橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為知，，∴橢圓的方程可設為.易求得，∴點在橢圓上，∴，解得，∴橢圓的方程為.(Ⅱ)當過點且與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線方程為，由(Ⅰ)知，，，∴.當過點且與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為，，∴，即.聯立直線和橢圓的方程得，∴，得.∵，∴，，∴.綜上所述，圓上任意一點處的切線交橢圓于點，都有.在中，由與相似得，為定