上海浦東新區2025屆高三下學期3月質量檢測試題數學試題試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，正方形網格紙中的實線圖形是一個多面體的三視圖，則該多面體各表面所在平面互相垂直的有（）A．2對 B．3對C．4對 D．5對2．一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的體積為（）A． B． C． D．3．已知函數，，若對任意的，存在實數滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．54．若不等式對于一切恒成立，則的最小值是（）A．0 B． C． D．5．的展開式中含的項的系數為（）A． B．60 C．70 D．806．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的非負半軸重合，若點在角的終邊上，則（）A． B． C． D．7．已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示，俯視圖中的兩個小三角形全等，則（）A．PA，PB，PC兩兩垂直 B．三棱錐P-ABC的體積為C． D．三棱錐P-ABC的側面積為8．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的結果為（）A． B． C． D．9．甲乙兩人有三個不同的學習小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．10．如圖所示，網格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的各個面中最大面的面積為（）A． B． C． D．11．設全集，集合，則＝()A． B． C． D．12．已知（為虛數單位，為的共軛復數），則復數在復平面內對應的點在（）.A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某市公租房源位于、、三個小區，每位申請人只能申請其中一個小區的房子，申請其中任意一個小區的房子是等可能的，則該市的任意位申請人中，恰好有人申請小區房源的概率是______.（用數字作答）14．曲線在點處的切線方程是__________.15．在的二項展開式中，x的系數為________．（用數值作答）16．函數在區間上的值域為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設數陣，其中、、、．設，其中，且．定義變換為“對于數陣的每一行，若其中有或，則將這一行中每個數都乘以；若其中沒有且沒有，則這一行中所有數均保持不變”（、、、）．表示“將經過變換得到，再將經過變換得到、，以此類推，最后將經過變換得到”，記數陣中四個數的和為．（1）若，寫出經過變換后得到的數陣；（2）若，，求的值；（3）對任意確定的一個數陣，證明：的所有可能取值的和不超過．18．（12分）設橢圓：的右焦點為，右頂點為，已知橢圓離心率為，過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設過點的直線與橢圓交于點（不在軸上），垂直于的直線與交于點，與軸交于點，若，且，求直線斜率的取值范圍.19．（12分）已知曲線的參數方程為（為參數），曲線的參數方程為（為參數）.（1）求和的普通方程；（2）過坐標原點作直線交曲線于點（異于），交曲線于點，求的最小值.20．（12分）為了響應國家號召，促進垃圾分類，某校組織了高三年級學生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷作答隨機抽出男女各20名同學的問卷進行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績大于70分的為“合格”.（Ⅰ）由以上數據繪制成2×2聯表，是否有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果”有關？男女總計合格不合格總計（Ⅱ）從上述樣本中，成績在60分以下（不含60分）的男女學生問卷中任意選2個，記來自男生的個數為，求的分布列及數學期望.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.82821．（12分）如圖，在長方體中，，為的中點，為的中點，為線段上一點，且滿足，為的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.22．（10分）在平面直角坐標系中，點，直線的參數方程為為參數），以坐標原點為極點，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求曲線的直角坐標方程；（2）若直線與曲線相交于不同的兩點是線段的中點，當時，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

畫出該幾何體的直觀圖，易證平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，從而可選出答案．【詳解】該幾何體是一個四棱錐，直觀圖如下圖所示，易知平面平面，作PO⊥AD于O，則有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面平面，同理可證：平面平面，由三視圖可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，所以該多面體各表面所在平面互相垂直的有4對．【點睛】本題考查了空間幾何體的三視圖，考查了四棱錐的結構特征，考查了面面垂直的證明，屬于中檔題．2、C【解析】

由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，求出底面面積，代入錐體體積公式，可得答案．【詳解】由已知中的三視圖，可知該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，其底面面積，高，故體積，故選：．【點睛】本題考查的知識點是由三視圖求幾何體的體積，解決本題的關鍵是得到該幾何體的形狀．3、A【解析】

根據條件將問題轉化為，對于恒成立，然后構造函數，然后求出的范圍，進一步得到的最大值.【詳解】，，對任意的，存在實數滿足，使得，易得，即恒成立，，對于恒成立,設，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點睛】本題考查了利用導數研究函數的單調性，零點存在定理和不等式恒成立問題，考查了轉化思想，屬于難題.4、C【解析】

試題分析：將參數a與變量x分離，將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，即可得到結論．解：不等式x2+ax+1≥0對一切x∈(0，]成立，等價于a≥-x-對于一切成立，∵y=-x-在區間上是增函數∴∴a≥-∴a的最小值為-故答案為C．考點：不等式的應用點評：本題綜合考查了不等式的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，屬于中檔題5、B【解析】

展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數項和項相乘得到，由二項式的通項，可得解【詳解】由題意，展開式中含的項是由的展開式中含和的項分別與前面的常數項和項相乘得到，所以的展開式中含的項的系數為．故選：B【點睛】本題考查了二項式系數的求解，考查了學生綜合分析，數學運算的能力，屬于基礎題.6、D【解析】

由題知，又，代入計算可得.【詳解】由題知，又.故選：D【點睛】本題主要考查了三角函數的定義，誘導公式，二倍角公式的應用求值.7、C【解析】

根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖，然后再計算可得.【詳解】解：根據三視圖，可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示，其中D為AB的中點，底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為，，，，，、不可能垂直，即不可能兩兩垂直，，.三棱錐P-ABC的側面積為.故正確的為C.故選：C.【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖，以及三棱錐的表面積、體積的計算問題，屬于中檔題.8、D【解析】循環依次為直至結束循環，輸出，選D.點睛：算法與流程圖的考查，側重于對流程圖循環結構的考查.先明晰算法及流程圖的相關概念，包括選擇結構、循環結構、偽代碼，其次要重視循環起點條件、循環次數、循環終止條件，更要通過循環規律，明確流程圖研究的數學問題，是求和還是求項.9、A【解析】依題意，基本事件的總數有種，兩個人參加同一個小組，方法數有種，故概率為.10、B【解析】

根據三視圖可以得到原幾何體為三棱錐，且是有三條棱互相垂直的三棱錐，根據幾何體的各面面積可得最大面的面積．【詳解】解：分析題意可知，如下圖所示，該幾何體為一個正方體中的三棱錐，最大面的表面邊長為的等邊三角形，故其面積為，故選B．【點睛】本題考查了幾何體的三視圖問題，解題的關鍵是要能由三視圖解析出原幾何體，從而解決問題．11、A【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合的補集.【詳解】由解得，故，所以，故選A.【點睛】本小題主要考查補集的概念及運算，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎題.12、D【解析】

設，由，得，利用復數相等建立方程組即可.【詳解】設，則，所以，解得，故，復數在復平面內對應的點為，在第四象限.故選：D.【點睛】本題考查復數的幾何意義，涉及到共軛復數的定義、復數的模等知識，考查學生的基本計算能力，是一道容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

基本事件總數，恰好有2人申請小區房源包含的基本事件個數，由此能求出該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源的概率．【詳解】解：某市公租房源位于、、三個小區，每位申請人只能申請其中一個小區的房子，申請其中任意一個小區的房子是等可能的，該市的任意5位申請人中，基本事件總數，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源包含的基本事件個數：，該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請小區房源的概率是．故答案為：．【點睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．14、【解析】

利用導數的幾何意義計算即可.【詳解】由已知，，所以，又，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導數的幾何意義，考查學生的基本計算能力，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區別，是一道容易題.15、-40【解析】

由題意，可先由公式得出二項展開式的通項，再令10-3r=1，得r=3即可得出x項的系數【詳解】的二項展開式的通項公式為，r=0，1，2，3，4，5，令，所以的二項展開式中x項的系數為.故答案為：-40.【點睛】本題考查二項式定理的應用，解題關鍵是靈活掌握二項式展開式通項的公式，屬于基礎題.16、【解析】

由二倍角公式降冪，再由兩角和的正弦公式化函數為一個角的一個三角函數形式，結合正弦函數性質可求得值域．【詳解】，，則，.故答案為：．【點睛】本題考查三角恒等變換（二倍角公式、兩角和的正弦公式），考查正弦函數的的單調性和最值．求解三角函數的性質的性質一般都需要用三角恒等變換化函數為一個角的一個三角函數形式，然后結合正弦函數的性質得出結論．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）見解析.【解析】

（1）由，能求出經過變換后得到的數陣；（2）由，，求出數陣經過變化后的矩陣，進而可求得的值；（3）分和兩種情況討論，推導出變換后數陣的第一行和第二行的數字之和，由此能證明的所有可能取值的和不超過．【詳解】（1），經過變換后得到的數陣；（2）經變換后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共個，經過變換后第一行均變為、；含有且不含的子集共個，經過變換后第一行均變為、；同時含有和的子集共個，經過變換后第一行仍為、；不含也不含的子集共個，經過變換后第一行仍為、．所以經過變換后所有的第一行的所有數的和為.若，則的所有非空子集中，含有的子集共個，經過變換后第一行均變為、；不含有的子集共個，經過變換后第一行仍為、．所以經過變換后所有的第一行的所有數的和為．同理，經過變換后所有的第二行的所有數的和為．所以的所有可能取值的和為，又因為、、、，所以的所有可能取值的和不超過．【點睛】本題考查數陣變換的求法，考查數陣中四個數的和不超過的證明，考查類比推理、數陣變換等基礎知識，考查運算求解能力，綜合性強，難度大．18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）由題意可得，，，解得即可求出橢圓的C的方程；（Ⅱ）由已知設直線l的方程為y=k(x-2)，(k≠0)，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系求得B的坐標，再寫出MH所在直線方程，求出H的坐標，由BF⊥HF,解得.由方程組消去y，解得，由,得到,轉化為關于k的不等式，求得k的范圍.【詳解】（Ⅰ）因為過焦點且垂直于長軸的直線被橢圓截得的線段長為3，所以，因為橢圓離心率為，所以，又，解得，，，所以橢圓的方程為；（Ⅱ）設直線的斜率為，則，設，由得，解得，或，由題意得，從而，由（Ⅰ）知，，設，所以，，因為，所以，所以，解得，所以直線的方程為，設，由消去，解得，在中，，即，所以，即，解得，或.所以直線的斜率的取值范圍為.【點睛】本題考查在直線與橢圓的位置關系中由已知條件求直線的斜率取值范圍問題，還考查了由離心率求橢圓的標準方程，屬于難題.19、（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：（2）【解析】

（1）消去曲線參數方程中的參數，求得和的普通方程.（2）設出過原點的直線的極坐標方程，代入曲線的極坐標方程，求得的表達式，結合三角函數值域的求法，求得的最小值.【詳解】（1）曲線的普通方程為：；曲線的普通方程為：.（2）設過原點的直線的極坐標方程為；由得，所以曲線的極坐標方程為在曲線中，.由得曲線的極坐標方程為，所以而到直線與曲線的交點的距離為，因此，即的最小值為.【點睛】本小題主要考查參數方程化為普通方程，考查直角坐標方程化為極坐標方程，考查極坐標系下距離的有關計算，屬于中檔題.20、（Ⅰ）填表見解析，有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果”有關；（Ⅱ）分布列見解析，【解析】

（Ⅰ）根據莖葉圖填寫列聯表，計算得到答案.（Ⅱ），計算，，，得到分布列，再計算數學期望得到答案.【詳解】（Ⅰ）根據莖葉圖可得：男女總計合格101626不合格10414總計202040，故有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果””有關.（Ⅱ）從莖葉圖可知，成績在60分以下（不含60分）的男女學生人數分別是4人和2人，從中任意選2人，基本事件總數為，，，，012.【點睛】本題考查了獨立性檢驗，分布列，數學期望，意在考查學生的綜合應用能力.21、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）解法一：作的中點，連接，.利用三角形的中位線證得，利用梯形中位線證得，由此證得平面平面，進而證得平面.解法二：建立空間直角坐標系，通過證明直線的方向向量和平面的法向量垂直，證得平面.（2）利用平面和平面法向量，計算出二面角的余弦值.【詳解】（1）法一：作的中點，連接，.又為的中點，∴為的中