江蘇省蘇北地區2025屆高三下學期適應性月考（一）數學試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．公差不為零的等差數列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數列，則數列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．42．在中，為中點，且，若，則（）A． B． C． D．3．已知雙曲線的左、右焦點分別為、，拋物線與雙曲線有相同的焦點.設為拋物線與雙曲線的一個交點，且，則雙曲線的離心率為（）A．或 B．或 C．或 D．或4．函數圖像可能是（）A． B． C． D．5．一個四面體所有棱長都是4，四個頂點在同一個球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．6．中國古代數學著作《孫子算經》中有這樣一道算術題：“今有物不知其數，三三數之余二，五五數之余三，問物幾何？”人們把此類題目稱為“中國剩余定理”，若正整數除以正整數后的余數為，則記為，例如．現將該問題以程序框圖的算法給出，執行該程序框圖，則輸出的等于（）．A． B． C． D．7．《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題“今有餅池徑丈，葭生其中，出水兩尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深，葭各幾何？”，其意思是：有一個直徑為一丈的圓柱形水池，池中心生有一顆類似蘆葦的植物，露出水面兩尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊，問水有多深，該植物有多高？其中一丈等于十尺，如圖若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（）A． B． C． D．8．已知集合，則()A． B． C． D．9．已知的共軛復數是，且（為虛數單位），則復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．設，則““是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必條件11．造紙術、印刷術、指南針、火藥被稱為中國古代四大發明，此說法最早由英國漢學家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學家所繼承，普遍認為這四種發明對中國古代的政治，經濟，文化的發展產生了巨大的推動作用.某小學三年級共有學生500名，隨機抽查100名學生并提問中國古代四大發明，能說出兩種發明的有45人，能說出3種及其以上發明的有32人，據此估計該校三級的500名學生中，對四大發明只能說出一種或一種也說不出的有（）A．69人 B．84人 C．108人 D．115人12．一個幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示，其中正視圖是直角三角形，側視圖是半圓，俯視圖是等腰三角形，該幾何體的表面積是（）A．B．C．D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設Sn為數列{an}的前n項和，若an0，a1=1，且2Sn=an（an+t），n∈N*，則S10=_____.14．若函數的圖像上存在點，滿足約束條件，則實數的最大值為__________．15．若x5=a0+a1(x-2)+a2(x-2)2+…+a5(x-2)5，則a1=_____，a1+a2+…+a5=____16．已知x，y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，則三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知集合，，，將的所有子集任意排列，得到一個有序集合組，其中.記集合中元素的個數為，，，規定空集中元素的個數為.當時，求的值；利用數學歸納法證明：不論為何值，總存在有序集合組，滿足任意，，都有.18．（12分）已知函數.（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當時，要使恒成立，求實數的取值范圍.19．（12分）設函數.（Ⅰ）討論函數的單調性；（Ⅱ）如果對所有的≥0，都有≤，求的最小值；（Ⅲ）已知數列中，，且，若數列的前n項和為，求證：.20．（12分）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，∥，為等邊三角形，平面底面，為的中點.（1）求證：平面平面；（2）點在線段上，且，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21．（12分）如圖在四邊形中，，，為中點，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）設函數.（1）若，時，在上單調遞減，求的取值范圍；（2）若，，，求證：當時，．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

設數列的公差為.由，成等比數列，列關于的方程組，即求公差.【詳解】設數列的公差為，①.成等比數列，②，解①②可得.故選：.【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，屬于基礎題.2、B【解析】

選取向量，為基底，由向量線性運算，求出，即可求得結果.【詳解】，，，，，.故選：B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎題.3、D【解析】

設，，根據和拋物線性質得出，再根據雙曲線性質得出，，最后根據余弦定理列方程得出、間的關系，從而可得出離心率．【詳解】過分別向軸和拋物線的準線作垂線，垂足分別為、，不妨設，，則，為雙曲線上的點，則，即，得，，又，在中，由余弦定理可得，整理得，即，，解得或.故選：D.【點睛】本題考查了雙曲線離心率的求解，涉及雙曲線和拋物線的簡單性質，考查運算求解能力，屬于中檔題．4、D【解析】

先判斷函數的奇偶性可排除選項A,C，當時，可分析函數值為正，即可判斷選項.【詳解】,,即函數為偶函數，故排除選項A,C，當正數越來越小，趨近于0時，，所以函數，故排除選項B,故選：D【點睛】本題主要考查了函數的奇偶性，識別函數的圖象，屬于中檔題.5、A【解析】

將正四面體補成正方體，通過正方體的對角線與球的半徑關系，求解即可．【詳解】解：如圖，將正四面體補形成一個正方體，正四面體的外接球與正方體的外接球相同，∵四面體所有棱長都是4，∴正方體的棱長為，設球的半徑為，則，解得，所以，故選：A．【點睛】本題主要考查多面體外接球問題，解決本題的關鍵在于，巧妙構造正方體，利用正方體的外接球的直徑為正方體的對角線，從而將問題巧妙轉化，屬于中檔題．6、C【解析】從21開始，輸出的數是除以3余2，除以5余3，滿足條件的是23，故選C.7、C【解析】

由題意知：，，設，則，在中，列勾股方程可解得，然后由得出答案.【詳解】解：由題意知：，，設，則在中，列勾股方程得：，解得所以從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為故選C.【點睛】本題考查了幾何概型中的長度型，屬于基礎題.8、C【解析】

解不等式得出集合A，根據交集的定義寫出A∩B．【詳解】集合A＝{x|x2﹣2x﹣30}＝{x|﹣1x3}，，故選C．【點睛】本題考查了解不等式與交集的運算問題，是基礎題．9、D【解析】

設，整理得到方程組，解方程組即可解決問題．【詳解】設，因為，所以，所以，解得：，所以復數在復平面內對應的點為，此點位于第四象限.故選D【點睛】本題主要考查了復數相等、復數表示的點知識，考查了方程思想，屬于基礎題．10、B【解析】

解出兩個不等式的解集，根據充分條件和必要條件的定義，即可得到本題答案.【詳解】由，得，又由，得，因為集合，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B【點睛】本題主要考查必要不充分條件的判斷，其中涉及到絕對值不等式和一元二次不等式的解法.11、D【解析】

先求得名學生中，只能說出一種或一種也說不出的人數，由此利用比例，求得名學生中對四大發明只能說出一種或一種也說不出的人數.【詳解】在這100名學生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設對四大發明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎題.12、D【解析】

由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個圓錐，表面積為,故選D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、55【解析】

由求出.由，可得，兩式相減，可得數列是以1為首項，1為公差的等差數列，即求.【詳解】由題意，當n=1時，，當時，由，可得，兩式相減，可得，整理得，，即，∴數列是以1為首項，1為公差的等差數列，.故答案為：55.【點睛】本題考查求數列的前項和，屬于基礎題.14、1【解析】由題知x>0，且滿足約束條件的圖象為由圖可知當與交于點B(2,1)，當直線過B點時，m取得最大值為1.點睛：線性規劃的實質是把代數問題幾何化，即數形結合的思想.需要注意的是：一、準確無誤地作出可行域；二、畫標準函數所對應的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標函數的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.15、80211【解析】

由，利用二項式定理即可得，分別令、后，作差即可得.【詳解】由題意，則，令，得，令，得，故.故答案為：80，211.【點睛】本題考查了二項式定理的應用，屬于中檔題.16、3【解析】

先根據約束條件畫出可行域，再由y=2x-z表示直線在y軸上的截距最大即可得解.【詳解】x，y滿足約束條件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0，畫出可行域如圖所示.目標函數z=2x-y，即平移直線y=2x-z，截距最大時即為所求.2y+1=0x-y-1=0點A（12，z在點A處有最小值：z＝2×1故答案為：32【點睛】本題主要考查線性規劃的基本應用，利用數形結合，結合目標函數的幾何意義是解決此類問題的基本方法．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、；證明見解析.【解析】

當時，集合共有個子集，即可求出結果；分類討論，利用數學歸納法證明.【詳解】當時，集合共有個子集，所以；①當時，，由可知，，此時令，，，，滿足對任意，都有，且；②假設當時，存在有序集合組滿足題意，且，則當時，集合的子集個數為個，因為是4的整數倍，所以令，，，，且恒成立，即滿足對任意，都有，且，綜上，原命題得證.【點睛】本題考查集合的自己個數的研究，結合數學歸納法的應用，屬于難題.18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求函數的導函數，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；（Ⅱ）構造函數，對參數分類討論，求得函數的單調性，以及最值，即可容易求得參數范圍.【詳解】（Ⅰ）當時，，則.所以.又，故所求切線方程為，即.（Ⅱ）依題意，得，即恒成立.令，則.①當時，因為，不合題意.②當時，令，得，，顯然.令，得或；令，得.所以函數的單調遞增區間是，，單調遞減區間是.當時，，，所以，只需，所以，所以實數的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數的幾何意義求切線方程，以及利用導數研究恒成立問題，屬綜合中檔題.19、（Ⅰ）函數在上單調遞減，在單調遞增；（Ⅱ）；（Ⅲ）證明見解析．【解析】

（Ⅰ）先求出函數f（x）的導數，通過解關于導數的不等式，從而求出函數的單調區間；（Ⅱ）設g（x）＝f（x）﹣ax，先求出函數g（x）的導數，通過討論a的范圍，得到函數的單調性，從而求出a的最小值；（Ⅲ）先求出數列是以為首項，1為公差的等差數列，，，問題轉化為證明：，通過換元法或數學歸納法進行證明即可．【詳解】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（﹣1，+∞），，當時，f′（x）＜2，當時，f′（x）＞2，所以函數f（x）在上單調遞減，在單調遞增．（Ⅱ）設，則，因為x≥2，故，（ⅰ）當a≥1時，1﹣a≤2，g′（x）≤2，所以g（x）在[2，+∞）單調遞減，而g（2）＝2，所以對所有的x≥2，g（x）≤2，即f（x）≤ax；（ⅱ）當1＜a＜1時，2＜1﹣a＜1，若，則g′（x）＞2，g（x）單調遞增，而g（2）＝2，所以當時，g（x）＞2，即f（x）＞ax；（ⅲ）當a≤1時，1﹣a≥1，g′（x）＞2，所以g（x）在[2，+∞）單調遞增，而g（2）＝2，所以對所有的x＞2，g（x）＞2，即f（x）＞ax；綜上，a的最小值為1．（Ⅲ）由（1﹣an+1）（1+an）＝1得，an﹣an+1＝an?an+1，由a1＝1得，an≠2，所以，數列是以為首項，1為公差的等差數列，故，，，?，由（Ⅱ）知a＝1時，，x＞2，即，x＞2．法一：令，得，即因為，所以，故．法二：?下面用數學歸納法證明．（1）當n＝1時，令x＝1代入，即得，不等式成立（1）假設n＝k（k∈N*，k≥1）時，不等式成立，即，則n＝k+1時，，令代入，得，即：，由（1）（1）可知不等式對任何n∈N*都成立．故．考點：1利用導數研究函數的單調性；1、利用導數研究函數的最值；3、數列的通項公式；4、數列的前項和；5、不等式的證明．20、（1）見解析（2）【解析】

（1）根據等邊三角形的性質證得，根據面面垂直的性質定理，證得底面，由此證得，結合證得平面，由此證得：平面平面.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，為的中點，∴∵平面底面，平面底面，∴底面平面，∴又由題意可知為正方形，又，∴平面平面，∴平面平面（2）如圖建立空間直角坐標