控制系統的穩定性控制系統的穩定性第一節：線性系統有界輸入-有界輸出（BIBO）穩定性第二節：特征方程與穩定性的關系第三節：Liapunov穩定性及漸進穩定性第四節：Liapunov直接法控制系統的穩定性

liapunov穩定和漸進穩定只要求掌握概念，不用計算。liapunov直接法不要求，不講。這章重點講勞斯判據和奈奎斯特判據。控制系統的穩定性系統處于初始平衡狀態，在受到外界擾動作用后，將會偏離該平衡狀態。如果該擾動作用消失后，系統在有限時間內能恢復到原平衡狀態，則系統穩定；否則，系統不穩定。根據穩定性定義，系統穩定性應當決定于系統響應中的暫態分量。而暫態分量與系統的參數、結構和初始條件有關，與外作用無關，因此，分析系統響應中暫態分量的運動形式，即可找出系統穩定的充分必要條件。控制系統的穩定性設線性定常系統閉環傳遞函數為：特征方程為：為闡述簡單起見，設前述特征方程不存在重極點（對有重極點的情況，以下結論也是成立的），則在擾動作用下系統響應的暫態分量為：控制系統的穩定性

從c1(t)的表達式可知，只有當特征方程的所有根（閉環極點）都具有負的實部時，隨著時間的推移，

c1(t)才能趨于零，即回到初始狀態。

線性定常系統穩定的充分必要條件為：系統特征方程的所有根（即閉環傳遞函數的所有極點）均具有負的實部。（或特征方程的所有根均在S平面的左半部）。

根據充要條件，如果能將系統所有極點求出，即可立即判斷穩定性。但系統階次較高時，所有極點不易求出。勞斯判據系統特征方程如下：（1）ai>0（2）利用特征方程的系數構成勞斯表：勞斯判據注意：勞斯表的每一行右邊要計算到出現零為止；總行數應為n+1;如果計算過程無誤，最后一行應只有一個數，且等于an；可用一個正整數去乘或除勞斯表中的任意一行，不改變判斷結果。勞斯判據：(ai>0)

勞斯表中第一列的所有計算值均大于零，則系統穩定。反之，如果第一列中出現小于或等于零的數，系統不穩定。而且第一列各系數符號的改變次數，等于特征方程正實部根的數目。

例1系統特征方程為S4＋2S3＋3S2＋4S＋5=0，試用勞斯判據判別系統是否穩定；若不穩定，確定正實部根的數目。解根據特征方程系數計算勞斯表

因第一列出現負數，系統是不穩定的。且第一列系數符號改變兩次，故特征方程有兩個正實部根。例2某系統特征方程為S4＋3S3＋3S2＋2S＋2=0，試用勞斯判據判斷系統的穩定性。解根據特征方程系數計算勞斯表

因第一列出現負數，系統是不穩定的。且第一列系數符號改變兩次，故特征方程有兩個正實部根。勞斯判據特殊情況

勞斯表某一行中的第一項等于零，而該行的其余各項不等于零或沒有其余項。

若勞斯表第一列中系數的符號有變化，其變化的次數就等于該方程在S右半平面上根的數目，相應的系統為不穩定

如果第一列上面的系數與下面的系數符號相同，則表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統也屬不穩定是以一個很小的正數來代替為零的這項1解決的辦法據此算出其余的各項，完成勞斯表的排列已知系統的特征方程式為試判別相應系統的穩定性。例3由于表中第一列上面的符號與其下面系數的符號相同，表示該方程中有一對共軛虛根存在，相應的系統為（臨界）不穩定。解：列勞斯表習題1系統的特征方程為S4＋2S3+s2+2s＋1=0,試判別系統的穩定性。勞斯表中出現全零行

用系數全為零行的上一行系數構造一個輔助多項式，并以這個輔助多項式導數的系數來代替表中系數為全零的行。完成勞斯表的排列。2解決的辦法這些大小相等、徑向位置相反的根可以通過求解這個輔助方程式得到，而且其根的數目總是偶數的。相應方程中含有一些大小相等符號相反的實根或共軛虛根。相應的系統為不穩定勞斯判據特殊情況

例如，一個控制系統的特征方程為列勞斯表顯然這個系統處于臨界(不)穩定狀態。

例4某系統特征方程為S5＋S4十3s3十3s2＋2S＋2=0，試用勞斯判據判斷系統的穩定性。解根據特征方程系數計算勞斯表構成輔助方程：

Q（s）=S4＋3S2＋2=0

求導后得

4S3十6S=0，用其系數構成全為零的行，繼續計算余下各行：可知，系統不穩定，但第一列元素未改變符號，所以系統沒有位于S右半平面的根，有位于虛軸上的根。虛軸上根的求取由輔助方程求得

S4＋3s2＋2=0則有（S2＋1）（S2＋2）=0故S1、2=±j，S3、4=±j

勞斯判據的應用實際系統希望S左半平面上的根距離虛軸有一定的距離。為變量的特征方程式，然后用勞斯判據去判別該方程中是否有根位于垂線此法可以估計一個穩定系統的各根中最靠近右側的根距離虛軸有多遠，從而了解系統穩定的“程度”。代入原方程式中，得到以

穩定判據能回答特征方程式的根在S平面上的分布情況，而不能確定根的具體數據。解決的辦法設右側。用勞斯判據檢驗下列特征方程是否有根在S的右半平面上，并檢驗有幾個根在垂線的右方。

例5解：列勞斯表

第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統穩定。令代入特征方程：式中有負號，顯然有根在的右方。列勞斯表第一列的系數符號變化了一次，表示原方程有一個根在垂直直線的右方。例6設控制系統結構圖如圖所示，試確定滿足穩定要求時K1的解系統的閉環傳遞函數為為使系統穩定，必須有（1）K1>0（2）K1<6綜合考慮，使系統穩定的K1取值范圍應為：0<K1<6已知一單位反饋控制系統如圖所示，試回答

例7時，閉環系統是否穩定？

單位反饋控制系統方塊圖時，

特征方程為排勞斯表

第一列均為正值，S全部位于左半平面