2025/4/141導讀為什么要介紹本章?對于某些高階系統，由于可能包含有數十個以上的儲能元件，難以建模和求解。頻率分析法以正弦波為激勵信號建立系統的輸入輸出特性，采用圖解法分析控制系統的動態性能與穩態性能，是研究線性系統的一種工程方法。第5章線性系統的頻域分析法本章主要講什么內容?

介紹頻率特性的概念、典型環節的Bode圖、繪制控制系統Bode圖和Nyquist圖的方法、由最小相位系統Bode圖確定傳遞函數的方法、奈氏穩定判據、幅值裕度和相角裕度、運用Matlab進行相關仿真等。2025/4/1425.1

頻率特性的基本概念5.2

典型環節的頻率特性5.3

控制系統的開環頻率特性5.4

奈奎斯特穩定判據5.5控制系統的穩定裕度5.6

閉環頻率特性5.7頻率特性分析5.8Matlab頻率特性分析第5章線性系統的頻域分析法主要內容：2025/4/1431、頻率特性的定義頻率特性與傳遞函數存在下列簡單的關系頻率特性的定義：線性定常系統的輸出量的傅氏變換與輸入量的傅氏變換之比。5.1

頻率特性的基本概念2025/4/144頻率特性是復變函數，頻率w是實變量例：指數形式幅角形式代數形式5.1

頻率特性的基本概念R1Ci1(t)ur(t)uc(t)2025/4/1455.1

頻率特性的基本概念系統的穩態輸出2025/4/146頻率響應：正弦輸入信號作用下線性定常系統的穩態響應。線性定常系統在正弦輸入信號作用下：穩態輸出的正弦信號幅值，與輸入正弦信號的幅值之比，就是系統的幅頻特性；穩態輸出的正弦信號相角，與輸入正弦信號的相角之差，就是系統的相頻特性。5.1

頻率特性的基本概念

幅頻特性和相頻特性可在復平面上構成一個完整的向量G(jw)，

，它也是

w的函數。G(jw)稱為頻率特性或頻率響應。2025/4/147

這里和分別稱為系統的實頻特性和虛頻特性。

還可將

G(jw)寫成復數形式，即：5.1

頻率特性的基本概念幅頻、相頻特性和實頻、虛頻特性之間具有下列關系：2025/4/148微分方程頻率特性傳遞函數脈沖函數5.1

頻率特性的基本概念

到目前為止，已學習過的線性系統的數學模型有以下幾種：微分方程、傳遞函數、脈沖響應函數和頻率特性。它們之間的關系如下：2025/4/1495.1

頻率特性的基本概念

頻率響應法的優點之一在于它可以通過實驗量測來獲得，而不必推導系統的傳遞函數。事實上，當傳遞函數的解析式難以用推導方法求得時，常用的方法是利用對該系統頻率特性測試曲線的擬合來得出傳遞函數模型。此外，在驗證推導出的傳遞函數的正確性時，也往往用它所對應的頻率特性同測試結果相比較來判斷。頻率響應法的優點之二在于它可以用圖來表示，這在控制系統的分析和設計中有非常重要的作用。2025/4/14102、頻率特性的表示方法5.1

頻率特性的基本概念

幅相頻率特性曲線工程上常用圖形來表示頻率特性，常用的有三種：對數頻率特性曲線又稱奈奎斯特(Nyquist)圖、極坐標圖。以開環頻率特性的實部為直角坐標橫坐標，以其虛部為縱坐標，以w為參變量的幅值與相位的圖解表示法。對數幅相特性曲線又稱尼柯爾斯(Nichols)圖。以為橫坐標，以為縱坐標，以w為參變量的一種圖示法。又稱伯德(Bode)圖、對數坐標圖。由兩張圖組成，以lgw為橫坐標(按對數分度)，分別以和作縱坐標的一種圖示法。2025/4/14115.1

頻率特性的基本概念(1)幅相頻率特性曲線——奈奎斯特(Nyquist)圖、極坐標圖

它是在復平面上用一條曲線表示w

由時的頻率特性。即用矢量的端點軌跡形成的圖形。w

是參變量。在曲線上的任意一點可以確定實虛頻、幅相頻特性。

由于是偶函數，所以當w從和變化時，奈奎斯特曲線對稱于實軸。2025/4/14125.1

頻率特性的基本概念(2)對數頻率特性曲線——伯德(Bode)圖、對數坐標圖由兩條曲線組成：幅頻特性曲線和相頻特性曲線。Bode圖坐標(橫坐標是頻率，縱坐標是幅值和相角)的分度：

橫坐標分度：它是以頻率w

的對數值

lgw

進行分度的。所以橫坐標(稱為頻率軸)上每一線性單位表示頻率的十倍變化，稱為十倍頻程(或十倍頻)，用Dec表示。如圖所示：2025/4/1413由于以對數分度(單位：弧度/秒)，所以零頻率線在處。5.1

頻率特性的基本概念在此坐標系內不可能標出這一點。通常，把0dB線定義為橫軸，而縱軸位置根據需要選定。2025/4/1414相頻特性曲線的縱坐標以度或弧度為單位進行線性分度。

一般將幅頻特性和相頻特性畫在一張圖上，使用同一個橫坐標(頻率軸)。

當幅頻特性值用分貝值表示時，通常將它稱為增益。幅值和增益的關系為：增益＝20lg(幅值)。20151086420增益10.05.623.162.512.001.561.261幅值5.1

頻率特性的基本概念

縱坐標分度：幅頻特性曲線的縱坐標以lgA(w)或20lgA(w)表示。其單位分別為貝爾(Bl)和分貝(dB)。直接將lgA(w)或20lgA(w)值標注在縱坐標上。2025/4/14155.1

頻率特性的基本概念可以展寬頻帶：頻率是以10倍頻表示的，因此可以清楚的表示出低頻、中頻和高頻段的幅頻和相頻特性；可以將乘法運算轉化為加法運算；所有的典型環節的頻率特性都可以用分段直線(漸近線)近似表示；對實驗所得的頻率特性用對數坐標表示，并用分段直線近似的方法，可以很容易的寫出它的頻率特性表達式。使用對數坐標圖的優點：2025/4/14165.1

頻率特性的基本概念(3)對數幅相特性曲線——尼柯爾斯圖

尼柯爾斯圖是將對數幅頻特性和相頻特性兩條曲線合并成一條曲線。橫坐標為相角特性，單位度或弧度。縱坐標為對數幅頻特性，單位分貝。橫、縱坐標都是線性分度。2025/4/1417ReImK(1)比例環節實頻特性：；虛頻特性：；幅頻特性：；相頻特性：。比例環節的極坐標圖為實軸上的K點。1、典型環節的極坐標圖5.2

典型環節的頻率特性頻率特性：2025/4/1418頻率特性：ReIm(2)積分環節

積分環節的極坐標圖為負虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由虛軸的－∞趨向原點。5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1419(3)微分環節

微分環節有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數分別為：頻率特性分別為：5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1420①純微分環節ReIm

微分環節的極坐標圖為正虛軸。頻率w從0→∞特性曲線由原點趨向虛軸的+∞。5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1421②一階微分ReIm

一階微分環節的極坐標圖為平行于虛軸直線。頻率w從0→∞特性曲線相當于純微分環節的特性曲線向右平移一個單位。5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1422③二階微分環節幅頻和相頻特性為：5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1423(4)慣性環節5.2

典型環節的頻率特性頻率特性：2025/4/1424極坐標圖是一個圓，對稱于實軸。證明如下：整理得：

下半個圓對應于正頻率部分，而上半個圓對應于負頻率部分。5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1425實頻、虛頻、幅頻和相頻特性分別為：(5)振蕩環節討論時的頻率特性：5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1426當時，，曲線在3、4象限；當 時，與之對稱于實軸。實際曲線還與阻尼系數有關。5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1427由圖可見無論是欠阻尼還是過阻尼系統，其圖形的基本形狀是相同的。當過阻尼時，阻尼系數越大其圖形越接近圓。5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1428極坐標圖是一個圓心在原點，半徑為1的圓。(6)延遲環節傳遞函數：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：5.2

典型環節的頻率特性1ImRe2025/4/1429幅頻特性：(1)比例環節：

；對數幅頻特性：相頻特性：2、典型環節的對數坐標圖相頻特性：

5.2

典型環節的頻率特性在此坐標系內不可能標出w=0這一點。2025/4/1430(2)積分環節可見斜率為－20dB/dec。5.2

典型環節的頻率特性當時，；當時，。注意橫豎坐標交點處的橫坐標值(如果交點處沒有標橫坐標值，則斜線不到頭)。2025/4/1431如果n個積分環節串聯，則傳遞函數為對數幅頻特性為：因此，它是一條斜率為

-20ndB/dec

的直線，并在w＝1處穿越橫軸。對數相頻特性為：

所以，相頻特性是通過縱軸上-n?90°且平行于橫軸的直線。5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1432(3)慣性環節①對數幅頻特性：，為了圖示簡單，采用分段直線近似表示。方法如下：低頻段：當時，，稱為低頻漸近線。高頻段：當時，，稱為高頻漸近線。這是一條斜率為-20dB/dec

的直線(表示每增加10

倍頻程下降20分貝)。5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1433低頻高頻漸近線的交點為：，得： 稱為轉折頻率或交換頻率。可以用這兩個漸近線近似的表示慣性環節的對數幅頻特性。繪漸近線的關鍵是找到轉折頻率1/T。②對數相頻特性：作圖時先用計算器計算幾個特殊點：

當時，對數幅頻曲線趨近于低頻漸近線，當時，趨近于高頻漸近線。5.2

典型環節的頻率特性當時，；當時，；當時，。2025/4/1434圖中，紅、綠線分別是低頻、高頻漸近線，藍線是實際曲線。5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1435(4)微分環節

微分環節有三種：純微分、一階微分和二階微分。傳遞函數分別為：頻率特性分別為：5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1436①純微分環節5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1437②一階微分環節這是斜率為+20dB/dec的直線。低、高頻漸近線的交點為相頻特性：幾個特殊點如下：相角的變化范圍從0到。5.2

典型環節的頻率特性低頻段漸近線：當時，高頻段漸近線：當時，對數幅頻特性（用漸近線近似）：2025/4/1438一階微分環節的伯德圖5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1439幅頻幅頻和相頻特性為：③二階微分環節：低頻漸近線：時，轉折頻率為：，高頻段的斜率+40dB/dec。對數幅頻特性：5.2

典型環節的頻率特性高頻漸近線：時，2025/4/1440對數相頻特性：5.2

典型環節的頻率特性當時，；當時，；當時，

。可見，相角的變化范圍從0~180

度。二階微分環節的伯德圖2025/4/1441(5)振蕩環節討論時的頻率特性：幅頻特性為：對數幅頻特性：低頻段漸近線：時

高頻段漸近線：時兩漸近線的交點稱為轉折頻率。斜率為－40dB/dec。5.2

典型環節的頻率特性2025/4/1442相頻特性：幾個特征點：5.2

典型環節的頻率特性由圖可見：對數幅頻特性曲線有峰值。2025/4/1443當x較小時，在w=wn附近，A(w)出現峰值，即發生諧振。諧振峰值Mr

對應的頻率為諧振頻率wr。令得諧振頻率5.2

典型環節的頻率特性諧振峰值x>0.707時，幅值曲線不可能有峰值出現，即不會有諧振。2025/4/1444

左圖是不同阻尼系數情況下的對數頻率特性曲線圖。下圖是不同阻尼系數情況下的對數幅頻特性實際曲線與漸近線之間的誤差曲線。5.2

典型環節的頻率特性可見當x較小時誤差比較大，通常要在折線的基礎上依據兩特征點的值進行修正。2025/4/1445(6)延遲環節傳遞函數：頻率特性：幅頻特性：相頻特性：對數頻率特性：5.2

典型環節的頻率特性延遲環節的伯德圖2025/4/14465.2

典型環節的頻率特性2025/4/14471、開環系統幅相頻率特性曲線的繪制

開環系統的頻率特性或由典型環節的頻率特性組合而成，或是一個有理分式，不論哪種形式，都可由下面的方法繪制。

使用Matlab工具繪制。將開環系統的頻率特性寫成或 的形式，根據不同的算出或可在復平面上得到不同的點并連之為曲線。——手工畫法繪制方法：5.3

控制系統的開環頻率特性精確繪制——描點概略繪制——把握好四點：起點、終點、象限、與負實軸的交點2025/4/14485.3

控制系統的開環頻率特性1、將開環傳遞函數表示成若干典型環節的串聯形式：2、求系統的頻率特性：即：概略繪制的具體步驟：2025/4/14495.3

控制系統的開環頻率特性3、求、；、。4、補充必要的特征點（主要指曲線與負實軸的交點）。5、根據、的變化趨勢確定曲線歷經的象限與單調性，畫出Nyquist的大致曲線。與負實軸的交點：在-1的左邊還是右邊？求法一：令G(jw)的虛部為零，求實部；求法二：令G(jw)的，再求模值。2025/4/1450例5-1：已知系統的開環傳遞函數，試繪制系統的開環Nyquist圖并求與實軸的交點。解：5.3

控制系統的開環頻率特性1、系統的頻率特性2、起點和終點：：2025/4/14515.3

控制系統的開環頻率特性3、曲線與實軸的交點4、系統Nyquist圖如右圖所示。相交時滿足：解得：-3.16舍去又解得：2025/4/1452開環Nyquist圖的一般形狀：5.3

控制系統的開環頻率特性考慮如下系統：(1)

Nyquist圖的起點2025/4/14535.3

控制系統的開環頻率特性(2)

Nyquist圖的終點對控制系統而言,2025/4/14545.3

控制系統的開環頻率特性結論：（最小相位系統）（快速做題方法）(1)開環含有v個積分環節系統，Nyquist曲線起自幅角為-v90°的無窮遠處。(2)n=m時，Nyquist曲線起自實軸上的某一有限遠點，且止于實軸上的某一有限遠點。(3)n>m時，Nyquist曲線終點幅值為0，而相角為-(n-m)*90°。(4)不含一階或二階微分環節的系統，相角滯后量單調增加。含有一階或二階微分環節的系統，由于相角非單調變化，Nyquist曲線可能出現凹凸。2025/4/14555.3

控制系統的開環頻率特性2025/4/1456例5-2：已知系統的開環傳遞函數,試概略繪制系統的開環幅相曲線。解：5.3

控制系統的開環頻率特性系統的頻率特性各環節在w：時的相頻特性范圍：(象限判斷)開環幅相曲線的起點幅頻：開環幅相曲線的終點幅頻：因此，開環頻率特性的相頻范圍為：2025/4/14575.3

控制系統的開環頻率特性與實軸的交點：令虛部為零，得：系統Nyquist圖如右圖所示。因K>0，與實軸無交點。ImRe0即2025/4/14582、開環系統對數頻率特性曲線的繪制系統的開環傳遞函數一般都由典型環節構成：對應的開環頻率特性為：開環對數幅頻特性：相頻特性：結論：開環對數頻率特性等于相應的基本環節對數頻率特性之和。5.3

控制系統的開環頻率特性2025/4/1459注意：在繪制對數幅頻特性曲線時，總是用基本環節的直線或漸近線代替精確幅頻特性，然后求它們的和。(2)在求直線漸近線的和時，要用到下述規則：在平面坐標上，幾條直線相加的結果仍為一條直線，和的斜率等于各直線斜率之和。(3)相頻特性曲線由各環節的相頻特性相加獲得，計算幾個點的值繪出大致曲線。5.3

控制系統的開環頻率特性2025/4/1460例5-3：開環系統傳遞函數為：，T1>T2，試畫出該系統的伯德圖。解：該系統由四個典型環節組成。一個比例環節，一個積分環節，兩個慣性環節。手工將它們分別畫在一張圖上。然后，在圖上相加。5.3

控制系統的開環頻率特性2025/4/1461

繪制開環對數幅頻特性的步驟：(1)將開環傳遞函數寫成基本環節相乘的形式。(2)計算各基本環節的轉折頻率，并標在橫軸上。(3)繪出的低頻區圖形，為最低的轉折頻率。(4)按低頻到高頻的順序將已畫好的直線或折線圖形延長。每到一個轉折頻率，折線發生轉折，直線的斜率就要在原數值上加上對應的基本環節的斜率。每條折線上應注明斜率。(5)如有必要，可對折線在轉折頻率處進行修正。

實際上，畫圖不用如此麻煩。我們注意到：幅頻曲線由折線(漸近線)組成，在轉折頻率處改變斜率。5.3

控制系統的開環頻率特性2025/4/1462一般的近似對數幅頻曲線有如下的特點：(1)最左端直線的斜率為－20

dB/dec，這里是積分環節的個數；(2)在時，最左端直線或其延長線的分貝值等于20lgK；(3)在交接頻率處，曲線的斜率發生改變，改變多少取決于典型環節種類。例如，慣性環節后，斜率減少20dB/dec；而在振蕩環節后，斜率減少40dB/dec。5.3

控制系統的開環頻率特性2025/4/1463例5-4：系統開環特性為：，試畫出伯德圖。解：1、系統由三個典型環節組成：比例、慣性、振蕩環節。則2、低頻漸近線：斜率為，過點(1,20)。3、對數幅頻特性曲線如右圖所示：5.3

控制系統的開環頻率特性對數相頻特性曲線在同樣的坐標系下繪制一條近似的曲線即可。注意相頻的角度范圍不要錯即可。2025/4/1464紅線為漸近線，蘭線為實際曲線。5.3

控制系統的開環頻率特性伯德圖如下圖所示：2025/4/1465

最小相角(相位)系統的零點、極點均在s平面的左半平面，在s平面的右半平面有零點或極點的系統是非最小相角系統。3、最小相角系統和非最小相角系統例如傳遞函數：5.3

控制系統的開環頻率特性最小相角系統的幅頻特性和相頻特性一一對應，只要根據其對數幅頻曲線就能寫出系統的傳遞函數。如：w20-20L(w)102025/4/14665.3

控制系統的開環頻率特性半對數坐標系中的直線方程其中，[w1,L(w1)]和[w2,L(w2)]為直線上的兩點，k(dB/Dec)為直線斜率。

L(w)50-20-40100w2025/4/1467例5-5：某最小相位系統的對數幅頻特性的漸近線如圖所示，確定該系統的傳遞函數。5.3

控制系統的開環頻率特性解：由圖可寫出

其中所以2025/4/1468例5-6：某最小相位系統的對數幅頻特性的漸近線如圖所示，確定該系統的傳遞函數。5.3

控制系統的開環頻率特性解：由圖知，系統最左端直線的斜率為-20dB/dec，得v=1，系統有一個積分環節。w1和w2分別是兩個慣性和兩個微分環節的轉折頻率，則系統開環傳遞函數為：2025/4/14695.3

控制系統的開環頻率特性若w=1時與實軸有交點得：得：K=25則系統開環傳遞函數為：2025/4/1470控制系統的閉環系統穩定性是系統分析和設計所需要解決的首要問題。奈奎斯特穩定判據和對數頻率穩定判據是常用的兩種頻域穩定判據。頻域穩定判據的特點是根據開環系統頻率特性曲線判定閉環系統的穩定性。頻率判據使用方便，易于推廣。5.4奈奎斯特穩定判據1、奈奎斯特穩定判據

——由開環傳遞函數判斷閉環穩定性

若系統的開環傳遞函數在右半平面上有P

個極點，且開環頻率特性曲線對(-1,j0)點包圍的次數為R，(R>0逆時針，R<0順時針)，則閉環系統在右半平面的極點數為：Z=P-R

。若Z=0，則閉環系統穩定，否則不穩定。

當系統的開環傳遞函數在s平面的原點及虛軸上無極點時2025/4/14715.4奈奎斯特穩定判據閉環系統穩定的充要條件是：當w從

到變化時，極坐標圖不包圍(-1,j0)點。如果奈氏曲線剛好通過(-1,j0)點，表明閉環極點在s平面虛軸上，閉環系統處于臨界穩定狀態。

當系統開環穩定時，即P=0如果開環傳遞函數G(s)中含有ν個積分環節，則應從繪制的開環幅相特性曲線上ω=0+對應點處逆時針方向作ν90°、無窮大半徑圓弧的輔助線，找到ω=0時曲線G(jω)的起點，再應用奈奎斯特穩定判據。ν=1ν=2ν=32025/4/14725.4奈奎斯特穩定判據

正負穿越G(jw)穿越負實軸

段對數幅值L(w)>0范圍內相頻曲線穿越

線正穿越N+(↓)自上而下(↑)自下而上負穿越N-(↑)自下而上(↓)自上而下2025/4/14735.4奈奎斯特穩定判據(1)若開環傳遞函數有P個極點在右半平面，w從變化時的奈氏曲線正負穿越之差為P/2(

P/2=N=N+-N-)，則閉環系統穩定。(2)開環極點全部在左半平面（P=0），則在曲線正負穿越次數之差為零，則閉環系統穩定。

奈奎斯特穩定判據也可如下表述：自實軸區間開始向下稱為半次正穿越；自實軸區間開始向上稱為半次負穿越。N+-1

Re

ImN+N-N-2025/4/1474例5-7：設系統的開環幅相頻率特性如圖所示，判斷閉環系統是否穩定。圖中P為開環傳遞函數右半s平面的極點數，r為其s=0的極點數。穩定不穩定不穩定穩定5.4奈奎斯特穩定判據(a)P=1，Nyquist圖逆時針包圍(-1,j0)點半圈(Z=P–2R=1-1=0)，系統穩定。

N+-N-=0.5-0=P/2(b)P=1，Nyquist圖順時針包圍(-1,j0)點半圈(Z=P–2R=1+1=2)，系統不穩定。N+-N-=0-0.5≠P/2(c)P=1，Nyquist圖順時針包圍(-1,j0)點半圈(Z=P–2R=1+1=2)，系統不穩定。N+-N-=0-0.5≠P/2(d)P=0，Nyquist圖逆時針包圍(-1,j0)點零圈(Z=P–2R=0-0=0)，系統穩定。N+-N-=0-0=P/22025/4/14755.4奈奎斯特穩定判據2025/4/14765.4奈奎斯特穩定判據

若系統的開環傳遞函數有P個極點位于右半s平面，則當在L(w)>0的所有頻率范圍內，對數相頻特性曲線與-180°線的正負穿越次數之差等于P/2

時，閉環系統穩定，否則不穩定。2、對數頻率特性穩定判據2025/4/1477

系統的穩定裕度是用來衡量閉環系統的相對穩定程度的指標，是控制系統常用的開環頻率性能指標，它與閉環系統的動態性能密切相關。兩個表征系統穩定程度的指標：幅值裕度h和相角裕度

r。5.5

控制系統的穩定裕度2025/4/1478對數幅頻特性上，幅值裕度

相角穿越頻率wg：開環頻率特性的相角為－180°時所對應的角頻率。1、幅值裕度h開環幅頻特性在相角穿越頻率處的倒數，稱為幅值裕度。5.5

控制系統的穩定裕度2025/4/1479

幅值裕度表示出Nyquist圖在負實軸上離(-1,j0)點的遠近程度。幅值裕度大，系統不易變成不穩定。對于開環穩定的系統，欲使閉環穩定，其幅值裕度必須為正。通常要求或。

物理意義：如果系統是穩定的，那么系統的開環增益增大到原來的h倍，則系統就處于臨界穩定狀態，或者在Bode圖上，開環對數幅頻特性再向上移動多少分貝，系統就不穩定了。如果系統是不穩定的系統，則相反。5.5

控制系統的穩定裕度2025/4/1480

幅值穿越頻率wc：開環頻率特性幅值為1時所對應的角頻率。在極坐標平面上，開環Nyquist圖與單位圓交點所對應的角頻率。在Bode圖上，開環幅頻特性與0dB線交點所對應的角頻率。

開環頻率特性在幅值穿越頻率處的相角與相角穿越頻率之差，稱為相角裕度。2、相角裕度g5.5

控制系統的穩定裕度2025/4/1481

相角裕度表示出Nyquist圖在單位圓上離(-1,j0)點的遠近程度。相角裕度大，系統不易變成不穩定。對于開環穩定的系統，欲使閉環穩定，其相角裕度必須為正。通常要求5.5

控制系統的穩定裕度物理意義：如果系統是不穩定的，那么系統的開環相頻特性還需要改善多少度就處于穩定狀態了。2025/4/14820

w

wg

wc

Im

-1

j(wc)1/h5.5

控制系統的穩定裕度

Re0

hL(w)-180

wg

wc

w

w

j(w)2025/4/14835.5

控制系統的穩定裕度2025/4/14845.5

控制系統的穩定裕度2025/4/1485對于高階系統，一般難以準確計算幅值穿越頻率wc。在工程設計和分析時，只要求粗略估計系統的相角裕度，故一般可以根據對數幅頻漸近特性（即折線圖）確定幅值穿越頻率wc。再由相頻特性確定相角裕度。

求法：對數幅頻特性漸近線與wc的位置關系3、幅值穿越頻率wc的近似求解5.5

控制系統的穩定裕度wc位于某段漸近線的兩個轉折頻率之間。2025/4/1486步驟：5.5

控制系統的穩定裕度(1)

寫出對數幅頻特性曲線在各個頻段的漸近線方程；(2)按順序求各漸近線20lgAK(w)與0dB線的交點頻率；(3)若

，則

。2025/4/1487例5-8：已知系統的開環傳遞函數，試求相角裕度與幅值裕度。解：(1)開環頻率特性求wc，則令用插值法求得：5.5

控制系統的穩定裕度2025/4/1488求wc5.5

控制系統的穩定裕度2025/4/1489解得：5.5

控制系統的穩定裕度可見：實際：2025/4/1490則求wg，則令所以，于是，5.5

控制系統的穩定裕度2025/4/14915.6閉環頻率特性向量法等M圓和等N圓尼柯爾斯曲線1、閉環頻率特性的求取(1)利用向量法求取閉環頻率特性

單位反饋控制系統，閉環頻率特性與開環頻率特性的關系為一般情況下，求解系統的閉環頻率特性十分復雜煩瑣，在實際中通常都是采用圖解法來求取。2025/4/14925.6閉環頻率特性O

w1

A

Im

-1

G(jw)

Re

P設系統的開環頻率特性如圖所示。當頻率時，向量表示G(jw1)，向量表示1+G(jw1)。在

=0

的范圍內逐點采用圖解計算支求出整個系統的閉環頻率特性。2025/4/14935.6閉環頻率特性(2)尼柯爾斯曲線

尼柯爾斯圖是將對數幅頻特性和相頻特性兩條曲線合并成一條曲線。橫坐標為相角特性，單位度或弧度。縱坐標為對數幅頻特性，單位分貝。橫、縱坐標都是線性分度。尼柯爾斯圖線由兩簇曲線組成，一簇對應于閉環頻率特性的幅值(20lgM)

為定值時的軌跡；另一簇則是對應于閉環頻率特性的相角(

)為定值時的軌跡。兩簇曲線在對數幅相平面上繪制等幅值、等相角軌跡而得到。尼柯爾斯圖對稱于-180°的軸線。每隔360°，等幅值圖線和等相角圖線重復一次。2025/4/14945.6閉環頻率特性

注意：尼柯爾斯圖是根據單位負反饋結構繪制的，若系統不是單位反饋結構，則必須進行適當的變換之后才能運用此圖。(3)等M圓和等N圓

該知識點略。學習可參考教材“鄢景華.自動控制原理(修訂版).哈爾濱：哈爾濱工業大學出版社，2006”。

按通常的方法對兩者進行處理，然后再將兩者的對數頻率特性疊加。2025/4/14955.6閉環頻率特性2、閉環頻率特性(1)零頻幅值M0為時的閉環頻特性值。

(2)諧振峰值Mr為幅頻特性極大值與零頻幅值之比，即。(3)諧振頻率wr為出現諧振峰值時的頻率。(4)系統帶寬閉環幅頻特性幅值減小到時的頻率，稱為帶寬頻率，用表示。頻率范圍為系統帶寬。“頻帶寬、峰值小，過渡過程性能好”2025/4/14965.7頻率特性分析

1、控制系統的性能指標

時域指標：靜態指標：靜態誤差ess、無差度v、開環放大系數K

動態指標：上升時間tr、峰值時間tp、調整時間ts、超調量

s%

頻域指標：開環指標：剪切頻率wc、相角裕度g、幅值裕度h

閉環指標：閉環諧振峰值Mr、諧振頻率wr、帶寬頻率wb2025/4/14972、開環對數幅頻特性與性能指標間的關系

對于常見系統，主要利用開環對數幅頻特性分析和設計系統

(1)低頻段

——第一個轉折頻率以前的頻段對數頻率坐標的低頻段反映了系統的靜態特性，即無差度v

和開環放大系數

K

低頻段的斜率越小，對應于系統的積分環節的數目越多；位置越高，開環增益越大，閉環系統在滿足穩定的條件下，其穩態誤差越小。5.7頻率特性分析2025/4/1498(2)中頻段

——幅值穿越頻率wc

所在的直線段為中頻段

反映了閉環系統動態響應的平穩性和快速性開環頻率特性最好以－20dB/dec的斜率通過0dB線

(3)高頻段

——頻率遠大于wc的頻段

其形狀主要影響系統的抗干擾性

高頻段對系統的性能指標影響不大5.7頻率特性分析2025/4/14995.8Matlab頻率特性分析Matlab控制系統工具箱在頻率響應法方面提供了許多函數支持，使用它們可以很方便地繪制控制系統的頻率特性圖并對系統進行頻域分析或設計。常用的函數有：bode()

繪制控制系統的伯德圖；nyquist()

繪制控制系統的奈奎斯特曲線；nichols()

繪制控制系統的尼科爾斯圖；margin()

計算控制系統的穩定裕量；freqresp()計算系統在指定頻率處的頻率響應值；evalfr()計算LTI系統在單個復頻率處的頻率響應