2024－2025學年度下學期第一次質量檢測高二數學試題本試卷共150分，考試時間120分鐘。命題人：王曉慧審題人：高潔鄒永新（導數、排列組合、二項式定理）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）A.2 B. C.1 D.2.已知函數，則（）A. B.1 C.0 D.3.將六位數“”重新排列后得到不同的六位偶數的個數為（）A. B. C.216 D.4.已知，則（）A. B. C. D.5.設函數在定義域內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象為（）A. B.C. D.6.將5名實習教師分配到某校高二年級的甲、乙、丙3個班級實習，要求每個班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（）A.種 B.種 C.種 D.種7.如圖，已知函數的圖象在點處的切線為，則（）A. B. C.1 D.28.已知函數在上可導且滿足，則下列不等式一定成立的為（）A. B.C D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A.若，則 B.C. D.10.高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，下列說法正確的有（）A.所有可能方法有種B.如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種C.如果同學甲必須選擇社區A，則不同安排方法有25種D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種11.對于函數，下列說法正確的有（）A.在處取得極大值B.只有一個零點C.D.若在上恒成立，則第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學校舉行校慶文藝晚會，已知節目單中共有七個節目，為了活躍現場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經典歌曲，并要將這三個不同節目添入節目單，而不改變原來的節目順序，則不同的安排方式有________種．13.若的展開式中的系數為70，則實數___________．14.設，，，比較，，的大小關系并用“”連接起來____________四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸.15.已知函數.（1）求單調區間；（2）求在區間上最大值和最小值.16.已知函數.（1）求在點處切線方程；（2）過點作曲線的切線，求的方程.17.已知(1＋m)n(m是正實數)的展開式的二項式系數之和為256，展開式中含有x項的系數為112.（1）求m，n的值；（2）求展開式中偶數項的二項式系數之和；（3）求(1＋m)n(1－x)的展開式中含x2項的系數．18.已知函數（1）討論函數的單調性（2）當時，恒成立，求實數的取值范圍.19.已知函數，.（1）若函數在定義域上單調遞增，求的取值范圍；（2）若函數有兩個極值點，求的取值范圍.

2024－2025學年度下學期第一次質量檢測高二數學試題本試卷共150分，考試時間120分鐘。命題人：王曉慧審題人：高潔鄒永新（導數、排列組合、二項式定理）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】求出函數的導數，再利用導數的定義求出極限值.【詳解】函數，求導得，所以.故選：B2.已知函數，則（）A. B.1 C.0 D.【答案】A【解析】【分析】先求得，令，求得，得到函數的解析式，進而求得的值，得到答案.【詳解】由函數，可得，令，可得，解得，所以，則.故選：A.3.將六位數“”重新排列后得到不同的六位偶數的個數為（）A. B. C.216 D.【答案】D【解析】【分析】由題意，分末尾是或，末尾是，即可得出結果.【詳解】由題意，末尾是或，不同偶數個數為，末尾是，不同偶數個數為，所以共有個.故選：D4.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據，利用二項展開式的通項公式，求得的值．【詳解】，則.故選：D．5.設函數在定義域內可導，的圖象如圖所示，則導函數的圖象為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據原函數圖像，由導函數與原函數圖像之間關系，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】由圖可知，函數在上單調遞減，所以在上恒成立，排除選項B和D；函數在上先遞減后遞增再遞減，所以在上應為負、正、負的趨勢，即選項A錯誤，C正確；故選：C．【點睛】本題主要考查導數與原函數圖像之間關系的判定，屬于基礎題型.6.將5名實習教師分配到某校高二年級的甲、乙、丙3個班級實習，要求每個班至少一名，最多兩名，其中不去甲班，則不同的分配方案有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】D【解析】【分析】本著排列組合混合的題型要“先分類，后分步，先組合，后排列”的原則分析解決問題.【詳解】根據題意，去甲班實習的教師可以是1人或2人.有1人去甲班時，因為不去甲班，可從另外4人中選1人去甲班，有種選法，再選2人去乙班，有種選法，剩下2人去丙班，有種方法，這是分3步完成的，故有種方案；有2人去甲班時，因為不去甲班，可從另外4人中選2人去甲班，有種選法，再剩余3人分配到2個班的分法有種方法，所以這類辦法有種.故不同的分配方案有:.故選：D7.如圖，已知函數的圖象在點處的切線為，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據圖像算出函數在點處的切線，即可求出其在處的函數值與導數取值。【詳解】由圖象可得，切線過點和，切線斜率為，所以，又因為切線方程為，則切點坐標為，有，所以.故選：C8.已知函數在上可導且滿足，則下列不等式一定成立的為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】構造函數，討論其單調性即可求解.【詳解】構造函數，在時恒成立，所以時單調遞增，所以，即，所以，故選:C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列求導運算正確的是（）A.若，則 B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據求導公式依次判定選項即可得到答案.【詳解】對于A，若，則，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：AC10.高二年級安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，下列說法正確的有（）A.所有可能的方法有種B.如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有61種C.如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有25種D.如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，則不同的安排方法共有20種【答案】BC【解析】【分析】根據分步乘法原理判斷A、C，根據間接法判斷B，根據分類加法原理和乘法原理判斷D.【詳解】對于選項A，安排甲、乙、丙三位同學到A，B，C，D，E五個社區進行暑期社會實踐活動，每位同學只能選擇一個社區進行活動，且多個同學可以選擇同一個社區進行活動，故有種選擇方案，錯誤；對于選項B，如果社區A必須有同學選擇，則不同的安排方法有（種），正確；對于選項C：如果同學甲必須選擇社區A，則不同的安排方法有（種），正確；對于選項D：如果甲、乙兩名同學必須在同一個社區，再分為丙與甲、乙兩名同學在一起和不在一起兩種情況，則不同的安排方法共有（種），錯誤.故選：BC11.對于函數，下列說法正確的有（）A.在處取得極大值B.只有一個零點C.D.若在上恒成立，則【答案】AB【解析】【分析】對A，利用導數求出函數的單調區間，進一步求出函數的極值即可判斷；對B，利用函數的單調性和函數值的范圍即可判斷；對C，利用函數的單調性比較出函數值的大小關系即可判斷；對D，利用不等式恒成立，參數分離法即可求解．【詳解】對于A，函數，，令，即，解得，當時，，故在上為單調遞增函數，當時，，故在上為單調遞減函數，在時取得極大值，故A正確；對于B，在上單調遞增函數，，函數在上有唯一零點，當時，恒成立，即函數在上沒有零點，故有唯一零點，故B正確；對于C，在上為單調遞減函數，，，故C錯誤；對與D，由在上恒成立，即在上恒成立，設，則，令，解得：，當時，，函數在上單調遞增；當時，，函數在上單調遞減，當時，函數取得最大值，最大值為，，故D錯誤．故選：AB【點睛】方法點睛：本題考查導數的應用，利用導數研究函數單調性和極值，研究不等式恒成立問題，要利用分離參數法處理恒成立問題，再轉化為最值問題，考查數學運算和數學抽象的核心素養，屬于中檔題．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某學校舉行校慶文藝晚會，已知節目單中共有七個節目，為了活躍現場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經典歌曲，并要將這三個不同節目添入節目單，而不改變原來的節目順序，則不同的安排方式有________種．【答案】【解析】【分析】根據分步乘法計數原理求得正確答案.【詳解】原來個節目，形成個空位，安排一位老校友；個節目，形成個空位，安排一位老校友；個節目，形成個空位，安排一位老校友.所以不同的安排方式有種.故答案為：13.若的展開式中的系數為70，則實數___________．【答案】2【解析】【分析】先得到的通項公式，進而得到的展開式中含的項為，從而得到不等式，求出答案.【詳解】的通項公式為，當時，，當時，，故的展開式中含的項為，由題意知，解得．故答案為：214.設，，，比較，，的大小關系并用“”連接起來____________【答案】【解析】【分析】構造函數，用導數求函數的單調性，即可求得題目.【詳解】由，設函數，則，當時，單調遞減，因為，所以，所以．故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步棸.15.已知函數.（1）求單調區間；（2）求在區間上的最大值和最小值.【答案】（1）遞增區間為，遞減區間為；（2）最大值為2，最小值為.【解析】【分析】（1）求出函數的導數，再解導函數大于0、小于0的不等式得解.（2）由（1）的結論，確定在區間上單調性，進而求出最值.【小問1詳解】函數的定義域為R，求導得，由，得或；由，得，所以函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為.【小問2詳解】由（1）知，在上單調遞增，在上單調遞減，而，，則，，所以在區間上的最大值和最小值分別為.16.已知函數.（1）求在點處的切線方程；（2）過點作曲線的切線，求的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出函數的導函數，求得切線的斜率，由點斜式方程即可得到切線的方程.（2）設切點，利用導函數求得切線的斜率，利用點斜式寫出切線方程，再將點代入切線方程，求出，進而求得切線方程.【小問1詳解】，因此，所以在點處的切線方程為：，即.【小問2詳解】設切點，則切線的斜率為，切線為過，所以整理得，從而斜率，所以切線的方程為.17.已知(1＋m)n(m是正實數)的展開式的二項式系數之和為256，展開式中含有x項的系數為112.（1）求m，n的值；（2）求展開式中偶數項的二項式系數之和；（3）求(1＋m)n(1－x)的展開式中含x2項的系數．【答案】（1）m，n的值分別為2，8；（2）128；（3）1008.【解析】【分析】（1）利用二項式系數之和為256，求出n；由含有x項的系數為112，求出m；（2）直接求出即可；（3）利用二項展開式直接求解即可.【詳解】（1）因為(1＋m)n(m是正實數)的展開式的二項式系數之和為256，所以2n＝256，解得n＝8，∴二項展開式的通項為，∴含x項的系數為，解得m＝2或m＝－2(舍去)．故m，n的值分別為2，8.（2）展開式中偶數項的二項式系數之和為.（3）∵，∴含x2項的系數為.18.已知函數（1）討論函數單調性（2）當時，恒成立，求實數取值范圍.【答案】（1）當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.（2）【解析】【分析】（1）通過求導，分類討論，根據導函數與的大小關系來討論函數的單調性；（2）將不等式恒成立問題轉化為求函數最值問題，通過求導研究函數的單調性進而求出最小值.小問1詳解】首先求的導數，可得.然后分情況討論：當時，因為恒成立，所以恒成立.所以在上單調遞增.當時，令，即，解得.當時，，所以.此時單調遞減.當時，，所以.此時單調遞增.綜上，當時，在上單調遞增；當時，在上單調遞減，在上單調遞增.【小問2詳解】當時，恒成立，即，移項可得.因為，兩邊同時除以，得到恒成立.令，對求導，可得.令，對求導，可得.因為，所以，即.可知在上單調遞增.那么，即在上恒成立.令，即，因為，，所以的解為.當時，即，因為，，所以，解得，即在上單調遞增.當時，即，因為，，所以，解得，即在上單調遞減