重點(diǎn)02：總集篇·定義新運(yùn)算的九種題型專項(xiàng)練習(xí)

一、填空題。

1．把“☆”定義為一種運(yùn)算符號，其意義是：a☆b＝b×10＋a×2，那么2011☆130＝()。

26

ab37

2．如果規(guī)定=a′d-b′c，那么=()。

cd1

0.72

4

3．規(guī)定運(yùn)算“”如下：對于兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為

ab，比如：10和14，最小公倍數(shù)為70，最大公因數(shù)為2，則1014=70-2=68，812則的

結(jié)果是()。

4．我們學(xué)過＋、－、×、÷這四種運(yùn)算。現(xiàn)在規(guī)定“*”是一種新的運(yùn)算。

A*B=2A+B，如：4*3=4′2+3=11。那么7*6*5=()。

5．規(guī)定“△”是一種新運(yùn)算，a△b表示2a－b，如果4△3＝2×4－3＝5，那么10△（9△6）＝

()。

4′x′y

6．對任意兩個(gè)數(shù)x，y規(guī)定運(yùn)算“*”的含義是：x*y=（其中m是一個(gè)確定的數(shù)），

m′x+3′y

如果1*2＝1，那么m＝()，3*12＝()。

ab

7．規(guī)定：a?b=-，則2?5?3的值為()。

ba

8．已知x＞0，符號【x】表示大于或等于x的最小整數(shù)，比如【0.2】＝1，【1.9】＝2，

1

【3】＝3…，填空：【】＝()，【5.01】＝()，若【x】＝4，則x的取值范圍

5

是()。

a+2b22

9．規(guī)定“※”為一種運(yùn)算，對任意兩數(shù)a，b，有a※b=，若6※x=，則x=()。

33

10．對于正整數(shù)a與b，規(guī)定a☆b=a×（a＋1）×（a＋2）×……×（a＋b-1），如果（x☆3）

☆2=3660，那么x=()。

1

11．設(shè)a※b＝4a－2b+ab，求5※4※1=()。

2

12．如果：2&2=2+22=243&2=3+33=361&3=1+11+111=123則5&4=()。

二、解答題。

13．定義新運(yùn)算：a×b＝a×b－(a＋b)．

(1)求5×4的值．

(2)求12×(6×8)的值．

第1頁共13頁

14．對于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定aθb＝a×b＋a＋b。

（1）求6θ2；2θ6；

（2）求（17θ6）θ2；17θ（6θ2）；

（3）這個(gè)運(yùn)算θ有交換律和結(jié)合律嗎？

15．設(shè)p、q是兩個(gè)數(shù)，規(guī)定：pDq=4′q-p+q+2。求3D(4D6)。

16．規(guī)定：a◎b＝8a＋ab－2b，求x◎（10◎5）＝144中的未知數(shù)x。

17．如果1※2=1+2，2※3=2+3+4，5※6=5+6+7+8+9+10，那么x※3=54中，x=?

18．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么，4*4=?，

18*3=?

第2頁共13頁

19．如果1*5=1+11+111+1111+11111，

2*4=2+22+222+2222，

3*3=3+33+333，

4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？

a+2b5+2′2

20．規(guī)定“?”為一種新運(yùn)算，對于任意兩個(gè)數(shù)a和b都有a?b=，如果5?2=，已

33

知6?x+x?4=5，求x的值。

21．用a表示a的小數(shù)部分,a表示不超過a的最大整數(shù)．例如0.3=0.3；0.3=0;4.5=0.5,

x+2ì?1?üé?1?ù

4.5=4，記fx=,請計(jì)算íf?÷y,êf?÷ú,f1,?éf1?ù的值.

2x+1?è3?t?è3??

111

22．規(guī)定②=1′2′3，③=2′3′4，④=3′4′5，⑤=4′5′6，……如果-=′A，那么A

⑥⑦⑦

是幾？

第3頁共13頁

重點(diǎn)02：總集篇·定義新運(yùn)算的九種題型專項(xiàng)練習(xí)

一、填空題。

1．把“☆”定義為一種運(yùn)算符號，其意義是：a☆b＝b×10＋a×2，那么2011☆130＝()。

【答案】5322

【分析】根據(jù)定義新運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則，代入數(shù)值進(jìn)行計(jì)算即可。

【詳解】2011☆130＝130×10＋2011×2

＝1300＋4022

＝5322

【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算，明確運(yùn)算規(guī)則是解題的關(guān)鍵。

26

ab37

2．如果規(guī)定=a′d-b′c，那么=()。

cd1

0.72

4

【答案】0.9

261

【分析】分析題意可知a＝，b＝，c＝0.7，d＝2，把a(bǔ)、b、c、d的值代入a′d-b′c，

374

計(jì)算出結(jié)果即可。

【詳解】由題意可知

216

×2－×0.7

347

296

＝×－×0.7

347

3

＝－0.6

2

＝1.5－0.6

＝0.9

【點(diǎn)睛】分析題意找出題中新運(yùn)算的計(jì)算方法是解答題目的關(guān)鍵。

3．規(guī)定運(yùn)算“”如下：對于兩個(gè)自然數(shù)a和b，它們的最大公因數(shù)與最小公倍數(shù)的差記為

ab，比如：10和14，最小公倍數(shù)為70，最大公因數(shù)為2，則1014=70-2=68，812則的

結(jié)果是()。

【答案】20

【分析】根據(jù)新的定義運(yùn)算，先求出8與12的最小公倍數(shù)和最大公因數(shù)，問題即可解決。

【詳解】8＝2×2×2

12＝2×2×3

第4頁共13頁

8與12的最小公倍數(shù)是：2×2×2×3＝24

最大公因數(shù)是：2×2＝4

812=24-4=20

【點(diǎn)睛】解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)定義新運(yùn)算，得出新的運(yùn)算意義，再利用新的運(yùn)算意義和

運(yùn)算方法，解答即可。

4．我們學(xué)過＋、－、×、÷這四種運(yùn)算。現(xiàn)在規(guī)定“*”是一種新的運(yùn)算。

A*B=2A+B，如：4*3=4′2+3=11。那么7*6*5=()。

【答案】45

【分析】定義新運(yùn)算的一般解題步驟：

（1）關(guān)鍵問題：審題。正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。

（2）嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算順序，將數(shù)值代入算式中，準(zhǔn)確找出要計(jì)算的習(xí)題中數(shù)據(jù)與定義

中字母的對應(yīng)關(guān)系，把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運(yùn)算，然后進(jìn)行計(jì)算。

（3）求解。

【詳解】7*6*5

=7′2+6*5

=14+6*5

=20*5

=20′2+5

=40+5

=45

【點(diǎn)睛】定義新運(yùn)算是指用一個(gè)符號和已知運(yùn)算表達(dá)式表示一種新的運(yùn)算。

5．規(guī)定“△”是一種新運(yùn)算，a△b表示2a－b，如果4△3＝2×4－3＝5，那么10△（9△6）＝

()。

【答案】8

【分析】先把9和6帶入a△b＝2a－b求出結(jié)果再把求出的結(jié)果當(dāng)作b，10當(dāng)作a，代入10△b

＝2a－b，求出最后的結(jié)果即可。

【詳解】10△（9△6）

＝10△（2×9－6）

＝10△12

＝2×10－12

第5頁共13頁

＝8

【點(diǎn)睛】本題考查定義新運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)新運(yùn)算的公式，把數(shù)據(jù)逐步代入求解

即可。

4′x′y

6．對任意兩個(gè)數(shù)x，y規(guī)定運(yùn)算“*”的含義是：x*y=（其中m是一個(gè)確定的數(shù)），

m′x+3′y

如果1*2＝1，那么m＝()，3*12＝()。

24

【答案】2

7

【分析】定義新運(yùn)算的一般解題步驟：

（1）關(guān)鍵問題：審題。正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。

（2）嚴(yán)格按照新定義的計(jì)算順序，將數(shù)值代入算式中，準(zhǔn)確找出要計(jì)算的習(xí)題中數(shù)據(jù)與定義

中字母的對應(yīng)關(guān)系，把它轉(zhuǎn)化為一般的四則運(yùn)算，然后進(jìn)行計(jì)算。

（3）求解。

4′1′2

【詳解】1*2＝＝1

m′1+3′2

4′1′2

＝1

m′1+3′2

解：m＋6＝8

m＝2

4′3′1214424

3*12＝==

2′3+3′12427

【點(diǎn)睛】這里要注意的是：

（1）新的運(yùn)算有自己的特點(diǎn)，適用于加法和乘法的運(yùn)算定律不一定適用于定義運(yùn)算，要特別

注意運(yùn)算順序；

（2）新定義的算式中，有括號的，要先算括號里面的。

（3）每個(gè)新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用。

ab

7．規(guī)定：a?b=-，則2?5?3的值為()。

ba

161

【答案】

120

【分析】根據(jù)規(guī)定的新運(yùn)算，先算小括號里的，再計(jì)算括號外的。

【詳解】2?5?3

53

＝2?（-）

35

16

＝2?

15

第6頁共13頁

3016

＝－

1630

161

＝

120

【點(diǎn)睛】根據(jù)定義的運(yùn)算規(guī)則計(jì)算即可，注意分子分母不要寫反了。

8．已知x＞0，符號【x】表示大于或等于x的最小整數(shù)，比如【0.2】＝1，【1.9】＝2，

1

【3】＝3…，填空：【】＝()，【5.01】＝()，若【x】＝4，則x的取值范圍

5

是()。

【答案】163＜x≤4

【分析】根據(jù)材料上提供的計(jì)算方法，就是表示若是整數(shù)，就是數(shù)本身，如果是一個(gè)小數(shù)，

是指比這個(gè)數(shù)較大的最小的整數(shù)，計(jì)算即可。

1

【詳解】【】＝1，【5.01】＝6

5

若【x】＝4，則x的取值范圍是x≤【x】＜x＋1，解得3＜x≤4。

【點(diǎn)睛】本題是新定義問題，解題的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確理解新的定義，即【x】表示大于或等于x

的最小整數(shù)的意義，得到x≤【x】＜x＋1，有一定的難度。

a+2b22

9．規(guī)定“※”為一種運(yùn)算，對任意兩數(shù)a，b，有a※b=，若6※x=，則x=()。

33

【答案】8

a+2b6+2x

【詳解】因?yàn)閍※b=，所以6※x=；

33

6+2x22

即：=

33

解得，x=8

故答案為8．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義運(yùn)算，根據(jù)給出的運(yùn)算法則列出方程是解答本題的關(guān)鍵．

10．對于正整數(shù)a與b，規(guī)定a☆b=a×（a＋1）×（a＋2）×……×（a＋b-1），如果（x☆3）

☆2=3660，那么x=()。

【答案】3

【詳解】3660=60×61，那么x☆3=60，x☆3=x×（x＋1）×（x＋2）=60=3×（3＋1）×（3＋

2），所以x=3.

1

11．設(shè)a※b＝4a－2b+ab，求5※4※1=()。

2

【答案】28【詳解】略

第7頁共13頁

12．如果：2&2=2+22=243&2=3+33=361&3=1+11+111=123則5&4=()。

【答案】6170

【詳解】略

二、解答題。

13．定義新運(yùn)算：a×b＝a×b－(a＋b)．

(1)求5×4的值．

(2)求12×(6×8)的值．

【答案】（1）11（2）362

【詳解】(1)5*4＝5×4－(5＋4)＝11

(2)12*(6*8)

＝12*[6×8－(6＋8)]

＝12*34

＝12×34－(12＋34)

＝362

14．對于兩個(gè)數(shù)a與b，規(guī)定aθb＝a×b＋a＋b。

（1）求6θ2；2θ6；

（2）求（17θ6）θ2；17θ（6θ2）；

（3）這個(gè)運(yùn)算θ有交換律和結(jié)合律嗎？

【答案】（1）20；20；

（2）377；377

（3）θ有交換律和結(jié)合律。

【分析】第一、第二小題，根據(jù)給出的式子得出新的運(yùn)算方法是：將運(yùn)算符號的前后兩個(gè)先

相乘再相加，由此解答。

第三小題，根據(jù)交換律和結(jié)合律的意義，驗(yàn)證θ具有交換律和結(jié)合律即可。

【詳解】（1）6θ2

＝6×2＋6＋2

＝12＋6＋2

＝20

2θ6

＝2×6＋2＋6

＝12＋2＋6

第8頁共13頁

＝20

（2）（17θ6）θ2

＝（17×6＋17＋6）θ2

＝（102＋17＋6）θ2

＝125θ2

＝125×2＋125＋2

＝250＋125＋2

＝377

17θ（6θ2）

＝17θ（6×2＋6＋2）

＝17θ（12＋6＋2）

＝17θ20

＝17×20＋17＋20

＝340＋17＋20

＝377

（3）aθb

＝a×b＋a＋b

＝b×a＋b＋a

所以，aθb＝bθa，即θ滿足交換律。

（aθb）θc

＝（a×b＋a＋b）θc

＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c

＝a×b×c＋a×c＋b×c＋a×b＋a＋b＋c

aθ（bθc）

＝aθ（b×c＋b＋c）

＝a×（b×c＋b＋c）＋b×c＋b＋c

＝a×b×c＋a×c＋b×c＋a×b＋a＋b＋c

所以，（aθb）θc＝aθ（bθc），即θ具有結(jié)合律。

答：θ有交換律和結(jié)合律。

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵是根據(jù)給出的式子，得出新的運(yùn)算方法，再利用新的運(yùn)算方法解決問題。

15．設(shè)p、q是兩個(gè)數(shù)，規(guī)定：pDq=4′q-p+q+2。求3D(4D6)。

第9頁共13頁

【答案】47

【分析】所求算式是兩重運(yùn)算，先計(jì)算括號里面的，所得結(jié)果再計(jì)算。

【詳解】4D6

＝4×6－（4＋6）＋2

＝24－10＋2

＝16

3D16

＝4×16－（3＋16）＋2

＝64－19＋2

＝45＋2

＝47

【點(diǎn)睛】定義新運(yùn)算要注意的是：（1）新的運(yùn)算有自己的特點(diǎn)，適用于加法和乘法的運(yùn)算定

律不一定適用于定義運(yùn)算，要特別注意運(yùn)算順序；（2）新定義的算式中，有括號的，要先算

括號里面的。（3）每個(gè)新定義的運(yùn)算符號只能在本題中使用。

16．規(guī)定：a◎b＝8a＋ab－2b，求x◎（10◎5）＝144中的未知數(shù)x。

【答案】x=3

【分析】根據(jù)a◎b＝8a＋ab－2b，先求出10◎5的值，再列出方程求出未知數(shù)x即可。

【詳解】由a◎b＝8a＋ab－2b，可得：

10◎5

＝8×10＋10×5－2×5

＝120

x◎120

＝8x＋120x－2×120

＝128x－240

由x◎（10◎5）＝144可得：

128x－240＝144

解：128x－240＋240＝144＋240

128x＝384

128x÷128＝384÷128

x＝3

【點(diǎn)睛】本題主要考查定義新運(yùn)算，根據(jù)已知的新運(yùn)算規(guī)律這個(gè)法則去解決問題即可。

第10頁共13頁

17．如果1※2=1+2，2※3=2+3+4，5※6=5+6+7+8+9+10，那么x※3=54中，x=?

【答案】17

【分析】觀察已知算式可得※的新運(yùn)算法則是：※前面的數(shù)是右邊第一個(gè)自然數(shù)，※后面的

數(shù)是加幾個(gè)連續(xù)自然數(shù)；據(jù)此解答。

【詳解】由題意可得：x※3＝x＋x＋1＋x＋2＝54，即x＋x＋1＋x＋2＝54，

x＋x＋1＋x＋2＝54

3x＋3＝54

x＝17

【點(diǎn)睛】解答此類問題，關(guān)鍵是要正確理解新定義的算式含義。

18．如果1*5=1+11+111+1111+11111，2*4=2+22+222+2222，3*3=3+33+333，……那么，4*4=?，

18*3=?

【答案】4936；183654

【分析】根據(jù)題目中所給的式子可知，a*b=a+aa+aaa+……，直到b個(gè)a為止，據(jù)此解答。

【詳解】4*4

＝4＋44＋444＋4444

＝48＋444＋4444

＝492＋4444

＝4936

18*3

＝18＋1818＋181818

＝1836＋181818

＝183654

【點(diǎn)睛】這是一道定義新運(yùn)算的題目，根據(jù)給出的式子，找出運(yùn)算規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵。

19．如果1*5=1+11+111+1111+11111，

2*4=2+22+222+2222，

3*3=3+33+333，

4*2=4+44。那么7*4=？，210*2=？

【答案】8638；210420

【分析】按照前面的定義的運(yùn)算，7*4＝7＋77＋777＋7777進(jìn)行計(jì)算；210*2＝210＋210210，

再進(jìn)行計(jì)算，即可解答。

【詳解】7*4

第11頁共13頁

＝7＋77＋777＋777

＝84＋777＋7777

＝861＋7777

＝8638

210*2

＝210＋210210

＝210420

【點(diǎn)睛】此題屬于定義新運(yùn)算，明確新的運(yùn)算符號表示的含義是解題關(guān)鍵。

a+2b5+2′2

20．規(guī)定“?”為一種新運(yùn)算，對于任意兩個(gè)數(shù)a和b都有a?b=，如果5?2=，已

33

知6?x+x?4=5，求x的值。

1

【答案】x＝

3

【分析】根據(jù)題中的新定義計(jì)算即可。

6+2xx+2′4

【詳解】根據(jù)題中的新定義可得：＋＝5

33

1

解方程可得x＝

3

1

答：x的值是。

3

【點(diǎn)睛】本題是一道定義新運(yùn)算問題，解題的關(guān)鍵是正確理解定義的運(yùn)算符號的意義。

21．用a表示a的小數(shù)部分,a表示不超過a的最大整數(shù)．例如0.3=0.3；0.3=0;4.5=0.5,

x+2ì?1?üé?1?ù

4.5=4，記fx=,請計(jì)算íf?÷y,êf?÷ú,f1,?éf1?ù的值.

2x+1?è3?t?è3??

【答案】0.4101

【詳解】閱讀→題中的符號有﹛﹜；[]；fx，

理解→﹛﹜，〔〕；fx的意義及表示方法應(yīng)用吧！

17

+2

?1?7

f