專題11典型應用題·三十種典型問題【四十八大考點】

【考點一】歸一問題。.........................................................................................33

【考點二】歸一問題與正比例。...........................................................35

【考點三】歸總問題。.........................................................................................36

【考點四】歸總問題與反比例。...........................................................38

【考點五】和倍問題。.....................................................................................39

【考點六】差倍問題。.....................................................................................40

【考點七】和差問題。.....................................................................................41

【考點八】年齡問題。.....................................................................................42

【考點九】和差倍問題與小數點移動規律。............................................44

【考點十】一般行程問題。.................................................................................44

【考點十一】行程問題與比例尺、比例、按比例分配。...............46

【考點十二】一般相遇問題。.........................................................................47

【考點十三】中點相遇問題。...............................................................48

【考點十四】多次相遇問題。...........................................................49

【考點十五】動態距離問題。...............................................................50

【考點十六】動態相遇問題。...........................................................51

【考點十七】相遇問題與按比例分配問題。...................................53

【考點十八】一般追及問題。.........................................................................55

【考點十九】動態追及問題。...........................................................55

【考點二十】指針重合問題。....................................................................59

【考點二十一】列車過橋問題。...........................................................60

【考點二十二】流水行船問題。...........................................................61

【考點二十三】工程問題“基礎型”。.............................................................63

【考點二十四】工程問題“提高型”。....................................................64

【考點二十五】請假問題。...............................................................65

【考點二十六】工程問題“拓展型”。...........................................67

【考點二十七】稅率問題。.............................................................................71

【考點二十八】利率問題。........................................................................72

【考點二十九】促銷問題。...............................................................73

【考點三十】利潤問題“基礎型”。........................................................76

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【考點三十一】利潤問題“提高型”。...........................................77

【考點三十二】利潤問題“拓展型”。...........................................79

【考點三十三】濃度問題“基礎型”。....................................................81

【考點三十四】濃度問題“提高型”。...........................................83

【考點三十五】濃度問題“拓展型”。...........................................84

【考點三十六】雞兔同籠問題。.......................................................87

【考點三十七】植樹問題。........................................................................88

【考點三十八】盈虧問題。.............................................................................90

【考點三十九】容斥問題。.................................................................................92

【考點四十】鴿巢問題與最不利原則。...........................................93

【考點四十一】沏茶問題。.................................................................................94

【考點四十二】烙餅問題。.................................................................................94

【考點四十三】租車租船問題。................................................................95

【考點四十四】必勝的策略。.........................................................................97

【考點四十五】過河問題。.................................................................................97

【考點四十六】排隊問題。.................................................................................98

【考點四十七】邏輯推理問題。................................................................99

【考點四十八】還原問題。.................................................................100

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【考點一】歸一問題。

1．王阿姨要做一批香囊，她前6天做了168個。照這樣的速度，她做完這批香囊剛好需要

11天。王阿姨一共要做多少個香囊？

2．學校購買6張學生桌花了270元。學校還想再購買39張同樣的學生桌，還需要準備多少

元？

3．5個小朋友5個小時能疊300朵玫瑰花，那10個小朋友10小時能疊多少朵玫瑰花？

4．某外國語學校計劃改造校園一條126米的路，原計劃安排7個工人6天修完。后來又增加

了54米的任務，并要求在6天完工。如果每個人每天工作量一定，需要增加多少人才能如期

完工？

【考點二】歸一問題與正比例。

1．某工廠計劃生產1200個零件，前8天加工了240個，照這樣計算，完成這項生產任務要

用多少天？（用比例解）

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2．某地洪水過后要修補一條長7.2千米的公路，前12天修了4.32千米，照這樣的速度，剩

下的還要幾天修完？（用比例方程解）

【考點三】歸總問題。

1．育才小學為美化校園環境，購買了一些杜鵑花，要栽在一個長方形的花園里，如果每行栽

24棵杜鵑花，正好可以栽48行；如果每行栽36棵杜鵑花，要栽多少行才能栽完？

2．古樹村在脫貧工作中，要實現水泥路“戶戶通”目標。原計劃每天修路200米，需要30天

完成，實際每天多修50米，需要多少天完成任務？

3．校服廠由于改進技術，現在做一套校服用布2.5米，比原來節省了0.5米。原來做200套

校服所用的布，現在可以做多少套？

4．六年級辦公室買進一包白紙，計劃每天用25張，可以用20天。由于注意了節約用紙，實

際每天只用了20張，實際比計劃多用多少天？

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【考點四】歸總問題與反比例。

1．為了喜迎國慶，人民廣場進行部分路面整修，如果用面積為9平方分米的方磚鋪一部分路

面，需要800塊，如果改用邊長為6分米的方磚鋪這部分路面，需要多少塊？（用比例解）

2．萌萌讀一本書，計劃每天讀28頁，15天讀完。如果每天讀35頁，可以提前多少天讀完？

（要求用兩種方法解答，用比例解要寫出判斷過程。）

3．生產一批零件，計劃每天生產400個，20天完成，結果提前4天完成任務。實際每天比

原計劃多生產多少個？（用比例的知識解決問題）

【考點五】和倍問題。

1．東方小學合唱藝術團中合唱隊與器樂隊一共有96人。合唱隊的人數是器樂隊的2倍，合

唱隊和器樂隊各有多少人？

2．有兩個數的和是275，其中一個數末尾添上一個零后和另一個數相等。你知道這兩個數分

別是多少嗎？

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5

3．四季水果店運來蘋果和梨子540箱，蘋果的箱數是梨子的，兩種水果各運來多少箱？

4

【考點六】差倍問題。

1．一個百分數，去掉百分號后比原來多69.3，求這個百分數是多少。

2．野生動物園里一頭大象的體重正好是一只老虎的9倍，大象比老虎重3.2噸。大象和老虎

的體重各是多少噸？

【考點七】和差問題。

1．媽媽買一套衣服用了173元，其中上衣比褲子貴23元，買上衣和褲子各用了多少元？（先

根據題意把線段圖補充完整，再解答）

2．足球被譽為“世界第一運動”。一個足球是由32塊黑色五邊形和白色六邊形皮革制成的，

白色皮革塊數比黑色皮革多8塊。黑色和白色皮革各有多少塊？

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【考點八】年齡問題。

1．去年爸爸比小明大24歲，爸爸今年的歲數正好是小明的4倍，爸爸今年多少歲？幾年后

爸爸的年齡正好是小明的3倍？

2．爸爸今年38歲，媽媽今年36歲，幾年后爸爸媽媽的年齡和是90歲？

3．爸爸、哥哥、妹妹三人現在的年齡和70歲，當爸爸的年齡是哥哥年齡的3倍時，妹妹是9

歲，當哥哥的年齡是妹妹年齡的2倍時，爸爸是34歲，現在三人的年齡各是多少歲？

【考點九】和差倍問題與小數點移動規律。

1．甲數比乙數大198，甲數的小數點向左移動一位后正好和乙數相等。甲、乙兩數各是多

少？

2．某數的小數點向右移動一位，比原數大了144，原來的數是多少？

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【考點十】一般行程問題。

1．五一期間，小明一家開車從A地到B地，前2小時行了150千米。照這樣的速度，從A

地到B地一共要用4小時，A、B兩地相距多少千米？

2．運輸公司的一輛汽車從甲地往乙地運送一批物資，原計劃每小時行60千米，4小時到達。

現在情況有所變化，需要3小時到達，每小時要行多少千米？

3．國慶假期，小強一家騎自行車去五雷山進行戶外運動。從慈利縣城到五雷山全程約有24

千米。他們去時用了3小時，返回用了1.8小時。他們往返的平均速度是多少？

4．一輛轎車和一輛貨車同時從A、B兩地相對開出，轎車每小時行駛65千米，行駛5小時

后，轎車到達A、B的中點時，貨車離中點還有85千米。貨車每小時行駛多少千米？

【考點十一】行程問題與比例尺、比例、按比例分配。

1．在比例尺是1∶5000000的地圖上量得甲、乙兩地圖上距離是7cm，一輛汽車從甲地到乙地

行駛了5小時，這輛汽車平均每小時行多少千米？

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2．小明一家去A地旅游，去時爸爸以平均每小時95千米的速度行駛了3.6小時到達A地。

原路返回時，爸爸開車的速度提高了20%，照這樣的速度，幾小時就可以從A地返回家中？

（用比例解答）

3．一艘輪船以每小時45千米的速度從A港開往B港，行駛了全程的15%后，又行駛了1小

時，這時剩下的路程與已行駛的路程比為4∶1。求A、B兩港相距多少千米？

【考點十二】一般相遇問題。

1．甲、乙兩車同時從相距675千米的兩地相對開出，經過4.5小時輛車相遇。甲車每小時行

87.5千米，乙車每小時行多少千米？

2．青藏鐵路是世界上海拔最高、線路最長的高原鐵路，東起青海西寧，南至西藏拉薩，全長

1956千米。兩列火車分別從拉薩和西寧同時出發，已知快車的速度為85千米/時，慢車的速

度為78千米/時。兩列火車行駛多少時相遇？（先寫出等量關系，再列方程解答。）

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【考點十三】中點相遇問題。

1．甲、乙兩車從兩地同時出發，相向而行，甲車速度是每小時60千米，乙車速度是每小時

58千米，甲乙兩車在距離中點6千米處相遇，求兩地之間距離？

2．甲、乙兩輛汽車同時從A、B兩地相向開出，甲車每小時行66千米，乙車每小時行58千

米。兩車距中點20千米處相遇。A、B兩地相距多少千米？

【考點十四】多次相遇問題。

1．小李和小劉在周長為400米的環形跑道上跑步，小李每秒跑5米，小劉每秒跑3米，他們

從同一地點同時出發，反向而跑。那么兩人從出發到第二次相遇需多長時間？（用方程解）

4

2．客貨兩車從甲乙兩地同時相向而行，第一次相遇時貨車行了全程的，后繼續前進，分別

9

到達乙甲兩地后立即返回，第二次相遇，已知兩次相遇地點相距96千米，甲乙兩地相距幾千

米？

【考點十五】動態距離問題。

1．甲、乙兩人同時從相距400米的兩地出發，相向而行，甲每分鐘行60米，乙每分鐘行40

米。甲帶著一只狗，狗每分鐘跑100米，這只狗與甲一起出發，碰到乙時調頭跑向甲，碰到

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甲又調頭跑向乙，直到兩人相遇為止，這只狗一共跑了多少米？

2．帶著小狗的小明和小兵同時從相距1200米的兩地相向而行，小明每分行55米，小兵每分

行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明這邊跑，遇到小明后再

向小兵那邊跑……當小明和小兵相遇時，小狗一共跑了多少米？

【考點十六】動態相遇問題。

1．在長方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝4cm，動點P從A點出發，沿A→B→C→D

的路線運動，到點D停止。動點Q從D點出發，沿D→C→B→A的路線運動到點A停止。

若P、Q同時出發，點P的速度為1cm/s，點Q的速度為2cm/s，3s后P、Q同時改變速度，

點P的速度變為2cm/s，點Q的速度變為1cm/s，

（1）P點出發幾秒后。P、Q兩點相遇？

（2）當Q點出發幾秒后，點P在點Q在運動路線上相距的路程為8cm？

2．如圖所示，正方形和圓相距30厘米，正方形的邊長和圓的直徑都是10厘米，正方形沿著

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直線向右做平移運動，圓沿著直線向左做平移運動。正方形每秒運動3厘米，比圓的速度慢

2

。當圓和正方形完全重疊時，沒有重合部分的面積是多少？正方形與圓同時開始運動到最

5

后完全分開經過的時間是多少秒？

【考點十七】相遇問題與按比例分配問題。

1．在比例尺1∶2000000的地圖上，量得A、B兩地的距離是10.5厘米。甲、乙兩車同時從兩

地相向開出，2小時后相遇。甲車與乙車的速度之比為3∶4，甲、乙兩車每小時各行多少千

米？

2．在一幅比例尺是1∶2000000的地圖上，量得A、B兩個城市之間的距離為12厘米。一輛

貨車和一輛客車從兩地同時相對開出，2小時相遇。客車和貨車的速度比是7∶5，貨車每小時

行多少千米？

【考點十八】一般追及問題。

1．小明早上以每分鐘50米的速度從家向學校出發，12分鐘后，小明的爸爸發現小明沒有帶

文具盒，騎自行車以每分鐘110米的速度去追小明，請問爸爸多少分鐘后能追上小明？

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2．小紅和小麗在800米的環形跑道上跑步。小紅跑一圈要4分鐘，小麗跑一圈要5分鐘，如

果兩人同時同地出發，同方向而行，多少分鐘后小紅超出小麗一整圈？

【考點十九】動態追及問題。

1．市實驗小學學生步行到郊外旅行。六（1）班學生組成前隊，步行速度為4千米/時，六

（2）班學生組成后隊，速度為6千米/時。前隊出發1小時后，后隊才出發，同時后隊派一

名聯絡員騎自行車在兩隊之間不間斷地來回進行聯絡，他騎車的速度為12千米/時。

（1）后隊追上前隊的時間內，聯絡員走的路程是多少？

（2）六（1）班出發多長時間，兩隊相距2千米？

2．甲、乙兩支“徒步隊”到野外沿相同路線徒步，徒步的路程為24千米。甲隊步行速度為4

千米/時，乙隊步行速度為6千米/時。甲隊出發1小時后，乙隊才出發，同時乙隊派一名聯絡

員跑步在兩隊之間來回進行一次聯絡（不停頓），他跑步的速度為10千米/時。

（1）乙隊追上甲隊需要多長時間？

（2）聯絡員從出發到與甲隊聯系上后返回乙隊時，他跑步的總路程是多少？

（3）從甲隊出發開始到乙隊完成徒步路程時止，何時兩隊間間隔的路程為1千米？

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【考點二十】指針重合問題。

1．若現在是9點零5分，再過()分鐘，時針和分針第一次重合。

2．某天，小明于晚上6時整開始做家庭作業，這時鐘面上的時針和分針在同一條直線上，寫

完作業時時針和分針重合在一起。已知小明做作業的時間不到1小時，小明做作業用了

()分鐘。

【考點二十一】列車過橋問題。

1．一列火車通過一條長1140米的橋梁（車頭上橋直至車尾離開橋）用了50秒，這列火車穿

越長1980米的隧道用了80秒。求這列火車的車速和車身長。

2．一列火車車長120米，它以每秒15米的速度向前行駛，一個人在火車前面400米的地方

沿著與火車前進相同的方向向前走去，步行人每秒走2米，經過幾秒火車離開這個人？

【考點二十二】流水行船問題。

1．某人在河里游泳，逆流而上。他在A處丟失一只水壺，但向前又游了20分鐘后，才發現

丟了水壺，立即返回追尋，在離A處1000米的地方追到。假定此人在靜水中的游泳速度為

每分鐘30米，那么水流的速度為每分鐘多少米？

2．一條小河上，A在B上游150千米處。甲、乙兩船分別從A、B兩地同時出發，若相向而

行，3小時后相遇；若同向而行，15小時后甲被乙追上。則甲船的靜水速度是每小時多少千

米？

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3．一條船從甲港到乙港往返一次需要2小時，由于返回時是順水，比去時每小時多行了8千

米，因此第2小時比第1小時多行駛了6千米，那么甲、乙兩港相距多少千米？

【考點二十三】工程問題“基礎型”。

1．修一條路，如果甲工程隊單獨修需要20天，乙工程隊單獨修需要30天，現在甲、乙兩隊

合修需要多少天？

4

2．一項工程，甲獨做30天完成，乙的工效比甲快，現兩人合作，幾天可以完成這項工

13

程？

3．一項工程，甲隊單獨做要35天完成，乙隊單獨做要28天完成，現在兩隊合作，幾天后剩

1

下任務的？

10

【考點二十四】工程問題“提高型”。

1．要生產一批童裝，甲童裝廠單獨做要15天完成，乙童裝廠單獨做要20天完成。現在甲童

裝廠先做9天后，剩下的由乙童裝廠單獨完成，乙童裝廠還要做多少天才能完成任務？

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2．一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做用30天完成。甲、乙兩隊合修3天后，余下的

由乙隊做，需要多少天才能完成？

【考點二十五】請假問題。

1．甲乙合作完成一項工作，一共用了11天，期間甲因事請假3天，如果乙單獨完成這項工

作需要15天。甲單獨完成需要多少天？

2．工廠加工一批零件，李師傅單獨做要12天完成，王師傅單獨做要8天完成，兩人合作3

天后，李師傅有事請假離開，剩下的由王師傅單獨完成，王師傅還要幾天完成？

3．一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成，現兩人合作，若干天后，乙因事請

假，甲繼續做完，從開工到結束共用14天，甲、乙合作了多少天？

【考點二十六】工程問題“拓展型”。

1．甲、乙、丙三人承包一項任務，發給他們的工資是180元，三人完成這項任務的情況是：

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11

甲、乙兩人合作6天完成了這項任務的；因甲有事，乙、丙合作2天完成了余下任務的；

34

以后3人合作5天完成了這項任務。按完成工作量的多少付酬，甲、乙、丙各應得多少元？

2．甲、乙、丙、丁四名工人承擔一項工程任務，若由這4人中的某人單獨完成全部任務，則

甲需24小時，乙需20小時，丙需16小時，丁需12小時。

（1）如果甲、乙、丙、丁四人同時作業，那么需要多少小時完成？

（2）如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的次序輪流作業，每輪中每人各工作1小

時，那么需要多少小時完成？

3．搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時。有同樣的倉庫A

和B，甲在A倉庫，乙在B倉庫同時開始搬運，丙幫助兩庫搬運，最后兩個倉庫貨物同時搬

完。問丙幫助甲、乙各多少時間？

【考點二十七】稅率問題。

1．李林為一家公司設計平面廣告圖，公司付給他報酬5400元，按照規定超過1000元的部分

應按20%的稅率繳納個人所得稅。李林在這次設計工作中，實際獲得報酬多少元？

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2．李玲爸爸2022年全年工資總額是105000元，其中72000元不需納稅。超過72000元的部

分按照下表規定納稅。李玲爸爸應繳納個人所得稅多少元？

級數全年應納稅所得額稅率（%）

1不超過36000元的3

2超過36000元至144000元的部分10

3超過144000元至300000元的部分20

4超過300000元至420000元的部分25

5超過420000元至660000元的部分30

6超過660000元至960000元的部分35

7超過960000元的部分45

【考點二十八】利率問題。

1．壓歲錢是漢族的傳統年俗，一般在新年倒計時由長輩將錢裝在紅包內給晚輩。壓歲錢有很

好的寓意，通常認為有辟邪驅鬼，保佑平安。隨著生活水平的提高，長輩們給的壓歲錢也逐

漸提高了。六年級二班全體同學2024年春節期間共收到壓歲錢48000元。

（1）比去年同期增加了20%，請問同學們去年共收到多少元壓歲錢？

（2）同學們在班長的帶領下，打算集體存到銀行，明年春節將本息一起取出，捐給貧困山區

的孩子們買衣服和文具。定期一年，年利率是1.75%，到期后同學們可以獲得本息共多少元？

2．今年銀行的利率分別是：定期一年1.8%，定期兩年2.15%，小明家要存20000元定期。

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爸爸媽媽有不同的方案。

（1）媽媽計劃用20000元先存一年定期，到期后連本帶利再存一年定期，兩年一共可得多少

利息？

（2）爸爸認為用20000元直接存兩年的定期。到期可得利息多少？如果你是小明，你會支持

誰的方案

【考點二十九】促銷問題。

1．火鍋是我國獨創的美食之一，老少皆宜。周末，樂樂一家三口去吃火鍋，總消費在200元

以上。結賬時有兩種優惠方式（如圖）。

①團購代金券70元一張，可抵100元消費，每桌限用2張，多余部分不找零錢，不足部分

用現金補齊。

②享受總消費七五折優惠。（兩種優惠方式不能同時使用）

（1）使用代金券，樂樂一家最多可節省多少元？

（2）如果采用打折的方式，要想節省與使用代金券同樣多的錢，樂樂一家要消費多少元？

（3）樂樂一家如果消費220元，使用優惠方式（）更劃算。（填序號）

2．某公司需要更換50張辦公桌，通過調查，甲、乙、丙三個商場都有相同的辦公桌，價格

都是每張500元。甲商場：打八五折銷售。乙商場：買30張以上的（含30張），每張辦公

桌優惠60元，不贈送。丙商場：每購買10張辦公桌免費贈送2張，不足10張不贈送。你認

為應選擇哪家商場最劃算？最少需要多少元？

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【考點三十】利潤問題“基礎型”。

1．商品買賣中有成本、銷售價、利潤率，它們的關系是：利潤率＝（銷售價－成本）÷成本

×100%。現某種商品，每件成本120元，售價是150元，請問這件商品的利潤率是多少？

2．如果以每千克12元的進價買進4000千克桃子，以15%的利潤銷售，除去運費100元，共

得利潤多少元？

【考點三十一】利潤問題“提高型”。

1．書店以每本30元的價格買進了250本圖書。銷售時，先以每本35元的定價賣了150本，

其余的按定價的八折全部賣完。這個商店賺了（或虧了）多少元？

2．服裝店有甲、乙兩件羽絨服，成本價一共是2200元，甲羽絨服按20%的利潤定價，乙羽

絨服按15%的利潤定價。后來甲、乙兩件羽絨服都按定價的九折出售，賣出后一共仍可獲利

131元。甲羽絨服的成本價是多少元？

3．購進一批青菜，按30%利潤定價。當賣出這批青菜的80%后。為了盡快賣完，決定將剩

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下的所有青菜半價出售。售完后實際的利潤率是多少？

4．甲乙兩件商品的進價共600元，甲商品按45%的利潤率定價，乙商品按40%的利潤率定

價，后來甲打八折售出，乙打九折售出，兩件商品共盈利110元，兩件商品的進價各是多

少？

【考點三十二】利潤問題“拓展型”。

1．水果店進了一批水果，希望賣出去之后得到50%的利潤．當售出六成數量的水果時，由于

天氣原因水果無法保存，于是商店決定打折處理，結果還是有一成數量的水果爛了，最終只

得到了所期望利潤的34%．請問：商店打折處理時打了幾折？

2．某玩具廠生產某種款式的變形金剛，如果按原定價銷售，每個可獲利潤48元．現在打八

八折促銷，結果銷售量增加了一倍，獲得的利潤增加了25%．請問：打折后每個變形金剛的

售價是多少元？

3．第八屆中國（重慶）國際園林博覽會吉祥物“山娃”深受市民喜歡。某特許商品零售商銷售

A、B兩種山娃紀念品，其中A種紀念品的利潤率為10%，B種紀念品的利潤率為30%。當

售出的A種紀念品的數量比B種紀念品的數量少40%時，該零售商獲得的總利潤率為20%；

當售出的A種紀念品的數量與B種紀念品的數量相等時，該零售商獲得的總利潤率是多少？

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（利潤率＝利潤÷成本）

【考點三十三】濃度問題“基礎型”。

1．要將濃度為25%的酒精溶液1020克，配制成濃度為17%的酒精溶液，需加水多少克？

2．配制一種藥液，該藥液的濃度是3%。

（1）如果藥粉有90克，那么加水多少克？

（2）配制藥液2千克，要多少克藥粉？

【考點三十四】濃度問題“提高型”。

1．為預防冬季傳染病，學校安穩辦每天都要配置不同濃度的消毒水對校園物品和環境進行消

毒。現有大小兩個瓶子裝滿消毒水，已知大瓶中消毒水的質量是小瓶的3倍，大小瓶消毒水

的濃度分別是5%、4%，現將兩瓶消毒水混合在一起，混合后的消毒水的濃度是多少？

2．甲、乙兩瓶鹽水，甲瓶鹽水的濃度是乙瓶鹽水濃度的3倍。將100克甲瓶鹽水與300克乙

瓶鹽水混合后得到濃度為15%的新鹽水，求：

（1）甲瓶鹽水的濃度是多少？

（2）若現在有400克15%的鹽水中依次加入5%的鹽水100克、10%的鹽水100克。則混合

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溶液中鹽和水的比是多少？

【考點三十五】濃度問題“拓展型”。

1．甲、乙、丙3個試管中各盛水10克、20克、30克，把某種濃度的藥水10克，倒入甲管

中，混合后取10克倒入乙管中。再混合后從乙管中取出10克倒入丙管中，現在丙管中藥水

濃度為2%。最早倒入甲管中的藥水濃度是多少？

2．甲桶中有若干千克純水，乙桶中有若干千克純酒精，第一次從甲桶往乙桶倒水，使得乙桶

中液體的質量增加2倍；第二次從乙桶往甲桶倒，使乙桶中液體的質量減少四分之一；第三

次再從甲桶往乙桶倒，使甲桶中液體的質量減少五分之一．最后甲桶中液體的質量恰好等于

最初乙桶中液體的質量，請問：最后甲、乙兩桶中液體的濃度分別等于多少？

3．現有甲、乙、丙三種硫酸溶液．如果把甲、乙按照3：4的質量比混合，得到濃度為17.5%

的硫酸；如果把甲、乙按照2：5的質量比混合，得到濃度為14.5%的硫酸；如果把甲、乙、

丙按照5：9：10的質量比混合，可以得到濃度為21%的硫酸，請求出丙溶液的濃度．

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【考點三十六】雞兔同籠問題。

1．把一些雞和兔放在一只籠子里，從上面數有29個頭，從下面數有92只腳，問雞和兔各有

多少只？

2．某中學利用暑假進行軍訓活動，晴天每日行15千米，雨天每日行10千米，10天共行135

千米，這期間雨天多少天？

3．為迎接建黨100周年，某校舉行了一次有關黨史的知識競賽，共15道題，每做對1道題

得8分，每做錯1道題倒扣4分，小苗做完15道題，共得了72分，她做對了多少道題？

4．某玻璃工藝品公司委托專業運輸公司運送400只工藝品。雙方約定：每只運費2.5元，如

果打破一只，不但不給運費，還要賠償12.5元。結果運輸公司共得到勞務費955元，搬運途

中打破了幾只工藝品？

【考點三十七】植樹問題。

1．有一條公路全長500米，在公路的兩側從頭到尾每隔5米種一棵楊樹，一共要種多少棵？

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2．陽光小學六年級師生共342人排成兩列縱隊去烈士陵園祭掃，相鄰的前后兩排相距0.4米，

隊伍每分鐘行50米。現在要通過一座長850米的大橋，從排頭兩人上橋到排尾兩人離開橋，

共需要多少分鐘？

3．學校將舉行運動會，何老師沿操場一周插上彩旗。如果每隔10米插上一面彩旗，那么何

老師至少需要多少面彩旗才能完成任務？

4

4．把一根木頭鋸成兩段用了分鐘，把這根木頭鋸成11段，需要多少分鐘？

5

【考點三十八】盈虧問題。

1．六一兒童節這天，中一班的王老師買來了一袋糖果準備分給小朋友們。如果每名小朋友分

4個，那么還剩10個；如果每名小朋友分5個，那么就差5個。有多少名小朋友？

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2．臥龍自然保護區管理員把一些竹子分給若干只大熊貓，若每只大熊貓分7棵，還缺60棵

竹子；若每只大熊貓分5棵，還缺4棵竹子。問有大熊貓多少只？竹子多少棵？

3．用繩子測量一口井的深度，把繩子三折來量，井外每折余16米，把繩子四折來量，井外

每折余4米，井深和繩長各是多少？

【考點三十九】容斥問題。

1．希望小學三年級1班有學生36人，其中參加美術班的有24人，參加書法班的有18人，

這兩個班都沒有參加的有4人，兩個班都參加的有多少人？

2．李老師給三（2）班出了兩道數學題，批改后發現，全班每人至少做對一題，第1題做對

的有26人，第2題做對的有24人，兩道題都做對的有8人，三（2）班一共有多少人？

【考點四十】鴿巢問題與最不利原則。

1．盒子里裝有數量足夠多的大小、質地完全相同的紅、黃、白三種顏色的玻璃球，每次摸出

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2個球。為了保證有5次摸出的結果相同，則至少需要摸多少次？

2．把紅、藍、黃3種顏色的筷子各3根混在一起。如果讓你閉上眼睛，從中最少拿出幾根才

能保證一定有2根同色的筷子？如果要保證有2雙不同色的筷子（指一雙筷子為其中一種顏

色，另一雙筷子為另一種顏色）呢？

【考點四十一】沏茶問題。

1．爸爸媽媽上了一天班很辛苦。晚飯時，小麗要為父母做一個韭菜炒雞蛋，這道菜有以下幾

道工序：敲蛋（半分鐘）、攪蛋（1分鐘）、切韭菜（1分鐘）、洗鍋（半分鐘）、炒蛋（4

分鐘）、燒熱油（1分鐘）、熱鍋（1分鐘）。她做好這個菜至少需要()分鐘。

2．周末，媽媽讓康康幫忙做三件事，所需時間：燒開水8分鐘，洗茶杯2分鐘，拖地10分

鐘。他完成這些事最少需要()分鐘。

【考點四十二】烙餅問題。

1．小明在平底鍋里煎雞翅，每次只能煎2個雞翅，兩面都要煎，每面需要2分鐘，煎5個雞

翅至少需要()分鐘。

2．小軍煎魚，一口鍋最多能煎2條魚，每煎一面要2分鐘，一口鍋煎完6條魚（正、反都要

煎）最少需要()分鐘。

【考點四十三】租車租船問題。

1．四（2）班30名同學和3名老師租船去游玩。

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大船：限乘5人，48元/條

小船：限乘3人，35元/條

（1）紅紅列出算式（30＋3）÷3×35＝385（元），你覺得她解決的問題是？

（2）怎樣租船最省錢？最少要花多少錢？

2．學校組織校外研學活動，有老師14人和學生326人參加。其中，每輛大客車可坐40人，

租金每天900元；每輛小客車可坐20人，租金每天500元。為滿足所有師生需求而且最省錢，

大客車和小客車各需要租多少輛？

【考點四十四】必勝的策略。

1．有30張卡片。兩人輪流從中取，每次至少取1張，最多取3張，誰取到最后一張誰就輸。

讓你先取，你有必勝的策略嗎？怎樣取才能獲勝？

2．有60粒珠子，小明、小紅輪流從中取(小明先取)，每次至少取1粒，至多取5粒，不許

不取，誰取到最后一粒誰就輸．你認為小明有必勝的策略嗎？該怎樣取才能獲勝？

【考點四十五】過河問題。

1．小明騎在馬背上趕馬過河，共有甲、乙、丙、丁四匹馬，甲馬過河需2分鐘，乙馬過河需

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3分鐘，丙馬過河需6分鐘，丁馬過河需7分鐘。每次只趕兩匹馬過河，要把4匹馬都趕到

對岸去，最少要幾分鐘？

2．小剛騎在馬背上過河，共有甲、乙、丙、丁4匹馬，甲馬過河需7分鐘，乙馬過河要2分

鐘，丙馬過河要3分鐘，丁馬過河要8分鐘。每次只能兩匹馬過河，要把4匹馬都趕到對岸

去，最少要多少分鐘？

【考點四十六】排隊問題。

1．甲、乙、丙、丁4個人都在自來水前等候打水，他們打水所需的時間分別是3分鐘、2分

鐘、1分鐘、和5分鐘。如果只有一個水龍頭，怎樣適當安排他們的打水順序，才能使他們

的排隊和打水所需的時間總和最少？最少需要多長時間？

2．3名同學排隊打水，只有一個水龍頭，甲同學需要2分鐘，乙同學需要3分鐘，丙同學需

要5分鐘，他們都打完水，等待時間的總和最少是多少分鐘？

【考點四十七】邏輯推理問題。

1．狼人殺是一款多人參與，通過語言描述推動、較量口才和分析判斷能力的策略類游戲。黑

夜，狼人偷偷地殺掉一個角色，白天到來，被殺的角色被淘汰，其他角色通過一些線索進行

分析信息、邏輯推理找到狼人。下面是一場對局中四人的精彩對決，A說：“我不是狼人。”B

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說：“D是狼人。”C說：“B是狼人。”D說：“我不是狼人。”已知他們四人分別是狼人、預言

家、守衛、平民，并且他們四人中只有一人說的是假話。你能推斷出誰是狼人嗎？

2．有甲、乙、丙三個人，一個姓張，一個姓李，一個姓王；他們一個是銀行職員，一個是計

算機程序員，一個是秘書；又知甲既不是銀行職員也不是秘書；丙不是秘書；張不是銀行職

員；乙和丙都不姓王。問：甲、乙、丙三人分別姓什么？各是什么職業？

3．麗麗給一個正方體的六個面分別貼上了1～6這六個數字，擲第一次麗麗看到的是

，擲第二次麗麗看到的是，你能幫麗麗找到1對面的數字是幾，2對面的數

字是幾，3對面的數字是幾嗎？

【考點四十八】還原問題。

1．水果店運來一筐梨子，第一天賣出這筐梨子的一半多2個，第二天賣出第一天余下的一半

多1個，第三天賣出第二天余下的一半少1個，最后還剩下3個。這筐梨子原來有多少個？

1

2．一只猴子在山上摘桃子吃。第一天吃了一棵樹上桃子數的，以后兩天分別吃了當天這

10

11

棵樹上剩下桃子數的、。這樣，這棵樹上還留下48個桃子。這棵樹原有多少個桃子？

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專題11典型應用題·三十種典型問題【四十八大考點】

【考點一】歸一問題。.........................................................................................33

【考點二】歸一問題與正比例。...........................................................35

【考點三】歸總問題。.........................................................................................36

【考點四】歸總問題與反比例。...........................................................38

【考點五】和倍問題。.....................................................................................39

【考點六】差倍問題。.....................................................................................40

【考點七】和差問題。.....................................................................................41

【考點八】年齡問題。.....................................................................................42

【考點九】和差倍問題與小數點移動規律。............................................44

【考點十】一般行程問題。.................................................................................44

【考點十一】行程問題與比例尺、比例、按比例分配。...............46

【考點十二】一般相遇問題。.........................................................................47

【考點十三】中點相遇問題。...............................................................48

【考點十四】多次相遇問題。...........................................................49

【考點十五】動態距離問題。...............................................................50

【考點十六】動態相遇問題。...........................................................51

【考點十七】相遇問題與按比例分配問題。...................................53

【考點十八】一般追及問題。.........................................................................55

【考點十九】動態追及問題。...........................................................55

【考點二十】指針重合問題。....................................................................59

【考點二十一】列車過橋問題。...........................................................60

【考點二十二】流水行船問題。...........................................................61

【考點二十三】工程問題“基礎型”。.............................................................63

【考點二十四】工程問題“提高型”。....................................................64

【考點二十五】請假問題。...............................................................65

【考點二十六】工程問題“拓展型”。...........................................67

【考點二十七】稅率問題。.............................................................................71

【考點二十八】利率問題。........................................................................72