試題猜想03數(shù)式和數(shù)形綜合—定義新運算與數(shù)、形、式規(guī)律探索

【命題說明】

定義新運算是指運用某種特殊符號來表示特定的意義，從而解答某些算式的一種運算，

它是一種人為的、臨時性的運算形式，它使用的是一些特殊的運算符號，如：*、△、⊙等

，這是與四則運算中的“＋、－、×、÷”不同的。

小升初中的新運算考察形式較為簡單，關鍵是要正確地理解新定義的算式含義，然后嚴

格按照新定義的計算程序，將數(shù)值代入，轉化為常規(guī)的四則運算算式進行計算。

數(shù)形規(guī)律也是常考察題型之一，主要以數(shù)字數(shù)列、圖形圖表、算式等式等形式為主，考

點和題型探索性和抽象性較強，一般學生解決起來稍顯吃力，可著重進行強化訓練。

【預測命題方向1】定義新運算其一。

如果規(guī)定a*b=13′a-b+8，那么17*24的最后結果是()。

【對應練習】

1．如果規(guī)定a?b=a′b-a+b，那么(3?4)?5=()。

2．已知1※3=1′2′3，4※5=4′5′6′7′8，那么6※4?3※4=()。

3．（2022·四川綿陽·小升初真題）定義新運算“@”如下：當a>b時，a@b=b；當a<b時，

a@b=a。則當x=2時，1@x@3@x的值為()。

【預測命題方向2】定義新運算其二。

1.對任意的數(shù)a，定義：f（a）＝2a＋1。已知f（x＋1）＝21，則x＝()。

2.如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結果為24，第

2次輸出的結果為12，……第20次輸出的結果為()。

A．24B．12C．6D．3

【對應練習】

1.（2023·全國·小升初模擬）已知字母n代表某一個數(shù)，按圖所示程序輸入計算，當?shù)谝淮?/p>

輸入n為30時，那么第8次輸出的結果應為()。

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2.對自然數(shù)n，定義n！＝1×2×3×…×n，那么算式2019！－4！的結果的個位數(shù)字是()。

【預測命題方向3】數(shù)式關系與運算。

鞋的尺碼通常用“碼”或“厘米”表示，它們之間的換算關系式是b＝2a－10（b表示碼數(shù)，a表

示厘米數(shù)），小麗買了一雙34碼的鞋，鞋長()cm。

【對應練習】

b

1．我們所穿的鞋的尺碼通常用“碼”或“厘米”作單位，它們之間的換算關系是a＝＋5（a表

2

示厘米數(shù)，b表示尺碼數(shù)）。那么36碼的鞋子用“厘米”作單位就是()厘米。

2．（2023·山東聊城·小升初真題）蟋蟀的鳴叫是大自然的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率與

氣溫有著很大的關系，可以用C＝4t－16表示，其中C表示蟋蟀每分鐘叫的次數(shù)，t表示溫

度。氣溫是30攝氏度時，蟋蟀每分鐘叫()次。

3．（2020·江蘇蘇州·小升初模擬）測量溫度常用℃（攝氏度）作單位，有時還使用℉（華氏

度）作單位。華氏溫度和攝氏溫度可以用下面的公式進行換算：華氏溫度＝攝氏溫度×1.8＋

32那么，30℃是()℉，77.9℉是()℃。

【預測命題方向4】數(shù)形規(guī)律探索。

（2023·貴州銅仁·小升初真題）把邊長為1厘米的正方形紙片，按下面的規(guī)律拼成長方形：

則用5個正方形拼成的長方形的周長是()厘米，用a個正方形拼成的長方形的周長

是()厘米。

【對應練習】

1．（2022·四川成都·小升初真題）如圖所示的點陣圖中，圖①中有3個點，圖②中有7個

點，圖③中有13個點，圖④中有21個點，按此規(guī)律，圖⑩中有()個點。

……

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2．下面是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個基礎圖形組成，第2個圖案由7個基礎圖

形組成，那么第5個圖案由()個基礎圖形組成，第n個圖案由()個基礎圖形組成。

3．用大小一樣的圓形畫圖，先觀察前四幅圖陰影部分面積與1個圓面積的關系，再根據(jù)這

個規(guī)律推算第五幅圖陰影部分的面積相當于()個圓的面積。

【預測命題方向5】數(shù)式規(guī)律探索。

已知：9×7＝63，9.9×67＝663.3，9.99×667＝6663.33，按此規(guī)律9.999×6667＝()。

【對應練習】

1．（2023·江蘇宿遷·小升初真題）已知：3×6＝18

33×66＝2178

333×666＝221778

3333×6666＝22217778

333×××3′666×××6

1424314243的積里有()個數(shù)字是偶數(shù)。

20232023

2．（2022·四川綿陽·小升初真題）觀察下列各式：

152=1′1+1′100+52；252=2′2+1′100+52；352=3′3+1′100+52…依此規(guī)律，第n個等式

（n為正整數(shù)）為()。

3．找出下面算式的規(guī)律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52＝6＋5；

(1)請你再寫一個這樣的算式：()。

(2)運用規(guī)律計算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12＝()。

【預測命題方向6】數(shù)列規(guī)律探索。

（2023·廣東河源·小升初真題）找規(guī)律，填一填：4，9，16，25，()，49，64。

【對應練習】

1．（2023·廣東汕尾·小升初真題）找規(guī)律填數(shù)。

111111

，，，，，，()。

49162549

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2．如圖，第5行第1個數(shù)是()，第20行第5個數(shù)是()。

3．有一列由兩個數(shù)組成的數(shù)組：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），

（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（5，1）…

(1)第72組的兩個數(shù)之和是()。

(2)在前55組中，“5”這個數(shù)出現(xiàn)了()次。

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試題猜想03數(shù)式和數(shù)形綜合—定義新運算與數(shù)、形、式規(guī)律探索

【預測命題方向1】定義新運算其一。

如果規(guī)定a*b=13′a-b+8，那么17*24的最后結果是()。

【答案】205

【分析】題目中的“*”實際上是定義了一種新的運算，只要把17和24分別代入a和b的位置

并進行計算就行了。

【詳解】由題意知︰a*b＝13×a－b＋8

則：17*24

＝13×17－24＋8

＝221－24＋8

＝205

【點睛】此題定義一種新的運算，直接代入計算即可。

【對應練習】

1．如果規(guī)定a?b=a′b-a+b，那么(3?4)?5=()。

【答案】15

【分析】根據(jù)題意可知，3?4＝3′4－3＋4，也就是5；據(jù)此可知(3?4)?5=5?5，

5?5＝5′5－5＋5，據(jù)此計算出結果即可。

【詳解】3?4

＝3′4－3＋4

＝3′4－7

＝12－7

＝5

(3?4)?5

=5?5

＝5′5－5＋5

＝5′5－10

＝25－10

＝15

如果規(guī)定a?b=a′b-a+b，那么(3?4)?5=15。

2．已知1※3=1′2′3，4※5=4′5′6′7′8，那么6※4?3※4=()。

【答案】8.4

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【分析】根據(jù)定義新運算分別得到小括號內6※4和3※4的值，再用除法計算即可解答。

【詳解】6※4?3※4

＝6′7′8′9?3′4′5′6

6′7′8′9

＝

3′4′5′6

42

＝

5

＝8.4

【點睛】本題考查新定義型問題，參考已知條件先計算出括號內的值是解題的關鍵。

3．（2022·四川綿陽·小升初真題）定義新運算“@”如下：當a>b時，a@b=b；當a<b時，

a@b=a。則當x=2時，1@x@3@x的值為()。

【答案】1

【分析】利用規(guī)定的運算方式，按照運算順序計算即可，注意區(qū)分定義新運算“@”前后數(shù)據(jù)

的大小，代入不同的運算。

【詳解】當x=2時，1@x=1@2＝1

3@x=3@2=2

1@2@3@2=1@2=1

【點睛】關鍵是要正確地理解定義新運算的算式含義，分別得出結果。

【預測命題方向2】定義新運算其二。

1.對任意的數(shù)a，定義：f（a）＝2a＋1。已知f（x＋1）＝21，則x＝()。

解析：9

2.如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為48，我們發(fā)現(xiàn)第一次輸出的結果為24，第

2次輸出的結果為12，……第20次輸出的結果為()。

A．24B．12C．6D．3

解析：D

【對應練習】

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1.（2023·全國·小升初模擬）已知字母n代表某一個數(shù)，按圖所示程序輸入計算，當?shù)谝淮?/p>

輸入n為30時，那么第8次輸出的結果應為()。

解析：4

2.對自然數(shù)n，定義n！＝1×2×3×…×n，那么算式2019！－4！的結果的個位數(shù)字是()。

解析：2019！＝1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×…×2019，個位是0；

4！＝1×2×3×4＝24，個位是4；

2019！－4！的結果的個位數(shù)字是0－4，相當于10－4＝6，個位數(shù)字是6。

【預測命題方向3】數(shù)式關系與運算。

鞋的尺碼通常用“碼”或“厘米”表示，它們之間的換算關系式是b＝2a－10（b表示碼數(shù)，a表

示厘米數(shù)），小麗買了一雙34碼的鞋，鞋長()cm。

【答案】22

【分析】把34代入到b＝2a－10中，然后根據(jù)等式的性質解方程即可。

【詳解】2a－10＝34

解：2a－10＋10＝34＋10

2a＝44

2a÷2＝44÷2

a＝22

則小麗買了一雙34碼的鞋，鞋長22cm。

【點睛】本題考查解方程，熟練運用等式的性質是解題的關鍵。

【對應練習】

b

1．我們所穿的鞋的尺碼通常用“碼”或“厘米”作單位，它們之間的換算關系是a＝＋5（a表

2

示厘米數(shù)，b表示尺碼數(shù)）。那么36碼的鞋子用“厘米”作單位就是()厘米。

【答案】23

b

【分析】把b＝36代入a＝＋5，求出a即可。

2

b

【詳解】把b＝36代入a＝＋5得：

2

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a＝36÷2＋5

＝18＋5

＝23（厘米）

36碼的鞋子用“厘米”作單位就是23厘米。

【點睛】本題考查用字母表示數(shù)以及含有字母的式子化簡求值，注意計算的準確性。

2．（2023·山東聊城·小升初真題）蟋蟀的鳴叫是大自然的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率與

氣溫有著很大的關系，可以用C＝4t－16表示，其中C表示蟋蟀每分鐘叫的次數(shù)，t表示溫

度。氣溫是30攝氏度時，蟋蟀每分鐘叫()次。

【答案】104

【分析】將t＝30代入C＝4t－16，求出C的值即可。

【詳解】當t＝30時，C＝4t－16＝4×30－16＝104(次)

氣溫是30攝氏度時，蟋蟀每分鐘叫（104）次。

【點睛】解答本題需熟練掌握用字母表示數(shù)及利用代入法求值的方法。

3．（2020·江蘇蘇州·小升初模擬）測量溫度常用℃（攝氏度）作單位，有時還使用℉（華氏

度）作單位。華氏溫度和攝氏溫度可以用下面的公式進行換算：華氏溫度＝攝氏溫度×1.8＋

32那么，30℃是()℉，77.9℉是()℃。

【答案】8625.5

【詳解】當攝氏溫度是30℃時，華氏溫度＝30×1.8＋32；當華氏溫度是77.9℉時，代入原式

，得77.9＝攝氏溫度×1.8＋32，再求解。

【預測命題方向4】數(shù)形規(guī)律探索。

（2023·貴州銅仁·小升初真題）把邊長為1厘米的正方形紙片，按下面的規(guī)律拼成長方形：

則用5個正方形拼成的長方形的周長是()厘米，用a個正方形拼成的長方形的周長

是()厘米。

【答案】122a＋2

【分析】根據(jù)長方形的周長＝（長＋寬）×2，據(jù)此先求出拼成的長方形的長、寬，然后按

公式解答即可。

用5個正方形拼成的長方形，長＝5×1＝5厘米，寬＝1厘米，則這個長方形的周長＝（長＋

寬）×2＝（5＋1）×2＝12厘米；

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用a個正方形拼成的長方形，長＝a×1＝a厘米，寬＝1厘米，用a個正方形拼成的長方形的

周長＝（長＋寬）×2＝（a＋1）×2＝（2a＋2）厘米

【詳解】5個正方形拼成的長方形的周長：

（5＋1）×2

＝6×2

＝12（厘米）

用a個正方形拼成的長方形的周長：

（a＋1）×2＝（2a＋2）厘米

則用5個正方形拼成的長方形的周長是（12）厘米，用a個正方形拼成的長方形的周長是（

2a＋2）厘米

【對應練習】

1．（2022·四川成都·小升初真題）如圖所示的點陣圖中，圖①中有3個點，圖②中有7個

點，圖③中有13個點，圖④中有21個點，按此規(guī)律，圖⑩中有()個點。

……

【答案】111

【分析】根據(jù)給出的幾幅圖的點數(shù)，我們可以得到：第②比第①多4；第③比第②多6；

第④比第③多8…由此可得，從第②幅圖開始，每一幅圖比前一幅多的點數(shù)分別為4、6、

8…

據(jù)此總結規(guī)律求解即可。

【詳解】觀察題圖可知：

圖①中點的個數(shù)為3=1+2=1′2+1；

圖②中點的個數(shù)為7=1+2+4=2′3+1；

圖③中點的個數(shù)為13=1+2+4+6=3′4+1；

圖④中點的個數(shù)為21=1+2+4+6+8=4′5+1L；

圖n中點的個數(shù)為1+2+4+6+8+L+2n=n(n+1)+1；

當n=10時，圖中點的個數(shù)有1+2+4+6+L+20=10′11+1=111（個）點。

【點睛】考查數(shù)與形，能總結出一般規(guī)律是解題關鍵。

2．下面是一組有規(guī)律的圖案，第1個圖案由4個基礎圖形組成，第2個圖案由7個基礎圖

形組成，那么第5個圖案由()個基礎圖形組成，第n個圖案由()個基礎圖形組成。

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【答案】163n＋1/1＋3n

【分析】觀察圖形，每個圖案都在上個圖案的基礎上加上3個基礎圖形。第1個圖案由1＋

3×1＝4（個）基礎圖形組成，第2個圖案由1＋3×2＝7（個）基礎圖形組成，第3個圖案由

1＋3×3＝10（個）基礎圖形組成。據(jù)此類推，第5個圖案由1＋3×5＝16（個）基礎圖形組

成，第n個圖案由（1＋3×n）個基礎圖形組成。

【詳解】1＋3×5

＝1＋15

＝16（個）

1＋3×n＝1＋3n＝3n＋1

所以，第5個圖案由16個基礎圖形組成，第n個圖案由（3n＋1）個基礎圖形組成。

【點睛】本題考查了數(shù)與形，有一定觀察總結能力是解題的關鍵。

3．用大小一樣的圓形畫圖，先觀察前四幅圖陰影部分面積與1個圓面積的關系，再根據(jù)這

個規(guī)律推算第五幅圖陰影部分的面積相當于()個圓的面積。

5

【答案】

2

【分析】觀察圖示可知：陰影部分是由幾個扇形組成的，且扇形的半徑與所在圓的半徑相等

，扇形內角和可通過三角形內角和、四邊形內角和推得，扇形的面積由半徑和圓心角決定，

據(jù)此可推算出第五幅圖陰影部分的面積相當于幾個圓的面積。

【詳解】①三角形內角和為180°，陰影部分由三個扇形組成，扇形半徑與圓的半徑相等，

每個扇形的圓心角均是三角形的一個內角，三個圓心角的和就等于三角形內角和180°，則S

180o1

陰影＝×S圓＝S圓；

360o2

②四邊形內角和為360°，陰影部分由四個扇形組成，扇形半徑與圓的半徑相等，每個扇形

360o

的圓心角均是四邊形的一個內角，四個圓心角的和就等于四邊形內角和360°，則S陰影＝

360o

×S圓＝S圓；

第10頁共15頁

③四邊形內角和為360°，陰影部分由四個扇形和一個半圓組成，扇形半徑與圓的半徑相等

，每個扇形的圓心角均是四邊形的一個內角，四個圓心角的和就等于四邊形內角和360°，再

360o+180o3

加上一個半圓圓心角為180°，則S陰影＝×S圓＝S圓；

360o2

④四邊形內角和為360°，陰影部分由四個扇形和兩個半圓組成，扇形半徑與圓的半徑相等

，每個扇形的圓心角均是四邊形的一個內角，四個圓心角的和就等于四邊形內角和360°，再

360o+360o

加上兩個半圓圓心角之和為360°，則S陰影＝×S圓＝2S圓；

360o

⑤四邊形內角和為360°，陰影部分由四個扇形和三個半圓組成，扇形半徑與圓的半徑相等

，每個扇形的圓心角均是四邊形的一個內角，四個圓心角的和就等于四邊形內角和360°，再

360o+540o5

加上三個半圓圓心角之和180°×3＝540°，則S陰影＝×S圓＝S圓；

360o2

5

推算第五幅圖陰影部分的面積相當于（）個圓的面積。

2

【點睛】本題考查了圖形變化的規(guī)律，需要對于多邊形內角和比較熟悉，同時能夠準確計算

扇形的面積，還要善于發(fā)現(xiàn)圖形之間的聯(lián)系，找到變化的規(guī)律。

【預測命題方向5】數(shù)式規(guī)律探索。

已知：9×7＝63，9.9×67＝663.3，9.99×667＝6663.33，按此規(guī)律9.999×6667＝()。

【答案】66663.333

【分析】觀察前三個算式可知：前一個因數(shù)小數(shù)點后面多一個9，后一個因數(shù)前面多一個6

，結果的整數(shù)部分和小數(shù)部分就分別多一個6和3；據(jù)此解答即可。

【詳解】9×7＝63

9.9×67＝663.3

9.99×667＝6663.33

所以可得9.999×6667＝66663.333。

【點睛】在數(shù)學算式中探索規(guī)律，應認真對比觀察各算式與結果的特點，找出其中隱含的規(guī)

律，從而根據(jù)規(guī)律填出這一類算式的結果。

【對應練習】

1．（2023·江蘇宿遷·小升初真題）已知：3×6＝18

33×66＝2178

333×666＝221778

3333×6666＝22217778

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333×××3′666×××6

1424314243的積里有()個數(shù)字是偶數(shù)。

20232023

【答案】2023

【分析】觀察算式可得，從第二個算式起，積的第一位都是2，且2的個數(shù)比因數(shù)的位數(shù)少

1，同時7的個數(shù)和2的個數(shù)相同，最后一位都為8，中間都只有1個1；據(jù)此求解即可。

333×××3′666×××6

【詳解】1424314243的積里有2的個數(shù)：2023－1＝2022（個），有1個8，所以積中數(shù)

20232023

字是偶數(shù)有：2022＋1＝2023（個）。

【點睛】解答此題的關鍵是觀察所給出的算式，得出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解決問題。

2．（2022·四川綿陽·小升初真題）觀察下列各式：

152=1′1+1′100+52；252=2′2+1′100+52；352=3′3+1′100+52…依此規(guī)律，第n個等式

（n為正整數(shù)）為()。

【答案】10n+52=n′n+1′100+52

【分析】通過觀察可知，等式左邊依次為：152、252、352，規(guī)律是第n個數(shù)為（10n＋5）2

；

等式右邊的規(guī)律是n（n＋1）×100＋52；據(jù)此作答即可。

【詳解】由分析可得：

152=1′1+1′100+52；252=2′2+1′100+52；352=3′3+1′100+52…依此規(guī)律，第n個等式

（n為正整數(shù)）為10n+52=n′n+1′100+52。

【點睛】本題考查式子的變化規(guī)律，能夠根據(jù)所給式子，觀察出等式兩邊各數(shù)的規(guī)律是解題

關鍵。

3．（2022·江蘇揚州·小升初）找出下面算式的規(guī)律：22－12＝2＋1；42－32＝4＋3；62－52

＝6＋5；

(1)請你再寫一個這樣的算式：()。

(2)運用規(guī)律計算：1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12＝()。

【答案】(1)72－62＝7＋6

(2)5050

【分析】（1）觀察題意可知，兩個相鄰的數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和，也就是（n＋1）

－n＝（n＋1）2－n2（n為自然數(shù)），據(jù)此解答；

（2）根據(jù)題意得出的規(guī)律，將算式變?yōu)?00＋99＋98＋97＋96＋…＋1，然后首尾依次相加

，將算式變?yōu)椋?00＋1）×50進行簡算即可。

【詳解】（1）再寫一個這樣的算式：72－62＝7＋6（答案不唯一）

第12頁共15頁

（2）1002－992＋982－972＋962－952＋…＋22－12

＝100＋99＋98＋97＋96＋…＋1

＝（100＋1）×50

＝101×50

＝5050

結果是5050。

【點睛】本題要觀察算式中的規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題。

【預測命題方向6】數(shù)列規(guī)律探索。

（2023·廣東河源·小升初真題）找規(guī)律，填一填：4，9，16，25，()，49，64。

【答案】36

【分析】4＝2×2；9＝3×3；16＝4×4；25＝5×5；49＝7×7；64＝8×8，由以上數(shù)列發(fā)現(xiàn)：數(shù)

列是從2開始的連續(xù)自然數(shù)的平方數(shù)，由此解答。

【詳解】由分析可得：6×6＝36

所以這組數(shù)列是：4，9，16，25，36，49，64。

【點睛】本題考查數(shù)列中的規(guī)律，關鍵是：觀察給出的數(shù)列，找出數(shù)與數(shù)之間的關系，總結

規(guī)律，再由規(guī)律解決問題。

【對應練習】

1．（2023·廣東汕尾·小升初真題）找規(guī)律填數(shù)。

111111

，，，，，，()。

49162549

1

【答案】36；

64

【分析】觀察這組分數(shù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律，分子都是1，分母分別是22、32、42、52…，據(jù)此規(guī)律解

答。

11

【詳解】＝

224

11

＝

329

11

＝

4216

11

＝

5225

1

1＝

6236

第13頁共15頁

11

＝

7249

11

＝

8264

1111111

所以，，，，，，，。

491625364964

【點睛】本題是找規(guī)律的題型，從已知的數(shù)據(jù)中找到規(guī)律，并按規(guī)律解題。

2．如圖，第5行第1個數(shù)是()，第20行第5個數(shù)是()。

【答案】17366

【分析】通過觀察可知，第1行最后一個數(shù)是1，第