專題7.4一元一次不等式（組）的應用【十大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1工程問題】 1【題型2銷售利潤問題】 2【題型3運輸問題】 4【題型4水費電費問題】 5【題型5行程問題】 6【題型6得分問題】 7【題型7古文問題】 8【題型8數字問題】 9【題型9幾何問題】 10【題型10方案問題】 12知識點：一元一次不等式（組）的應用（1）審：認真審題，分清已知量、未知量；（2）設：設出適當的未知數；（3）找：找出題中的不等關系，要抓住題中的關鍵字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超過”“超過”等關鍵詞的含義；（4）列：根據題中的不等關系，列出不等式（組）；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：檢驗是否符合題意，寫出答案.【易錯點剖析】列一元一次不等式解應用題時，經常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超過”、“不大于”、“不小于”等表示不等關系的關鍵詞語，弄清它們的含義是列不等式解決問題的關鍵.【題型1工程問題】【例1】（23-24七年級·全國·期末）在實施“城鄉危舊房改造工程”中，某區計劃推出A，B兩種新戶型．根據預算，建成10套A戶型和30套B戶型共需資金480萬元，建成30套A戶型和10套B戶型共需資金400萬元．(1)在實施“城鄉危舊房改造工程”中，建成一套A戶型和一套B戶型所需資金分別為多少元？(2)該區共800套房屋需要改造，改造資金由國家危舊房補貼和地方財政共同承擔．若國家補貼撥付的改造資金不少于2100萬，該區財政投入額資金不超過7700萬元，其中，國家財政投入A，B兩種戶型的改造資金分別為每套2萬元和3萬元．請你通過計算，表示出A種戶型可以建造的數量的范圍．【變式1-1】（2024七年級·河南·學業考試）為實現“鄉村振興”的戰略目標，幸福鄉實施了“村村亮化”工程．計劃投入40萬元分三批次購買甲、乙兩種型號的路燈（每種型號的路燈單價不變）安裝在村公路兩旁．第一批次購買甲型路燈300盞、乙型路燈400盞，共花資金150000元；第二批次購買甲型路燈400盞，乙型路燈300盞，共花資金144000元．(1)求甲、乙兩種型號路燈的單價分別是多少元；(2)由于工程的需要，第三批次購買的甲型路燈不能少于350盞，那么第三批次最多能購進乙型路燈多少盞？【變式1-2】（23-24七年級·安徽合肥·期中）為了保護環境，某化工廠一期工程完成后購買了3臺甲型和2臺乙型污水處理設備，共花費資金54萬元，且每臺乙型設備的價格是每臺甲型設備價格的75%．（1）請你計算每臺甲型設備和每臺乙型設備的價格各是多少元？（2）今年該廠二期工程即將完成，產生的污水將大大增加，于是該廠決定再購買甲、乙兩種型號設備共8臺用于二期工程的污水處理，預算本次購買資金不超過84萬元；實際運行中發現，每臺甲型設備每月能處理污水200噸，每臺乙型設備每月能處理污水160噸，預計二期工程完成后每月將產生不少于1300噸污水，請你求出用于二期工程的污水處理設備的所有購買方案．（3）經測算：每年用于每臺甲型設備的各種維護費和電費為1萬元，每年用于每臺乙型設備的各種維護費和電費為1．5萬元．在（2）中的方案中，哪種購買方案使得設備的各種維護費和電費總費用最低？【變式1-3】（2024春·廣西南寧·七年級統考期末）2022年9月28日上午，伴隨著盾構機隆隆轟鳴聲，南寧市軌道交通4號線“五象火車站一清平坡站”區間盾構順利始發，標志著4號線續建工程正式進入區間據進施工階段，待此次工程建設完工后，將實現4號線全線貫通運營，目前，地鐵4號線續建工程正在有序進行施工，工地現有大量的泥土需要運輸，某車隊有載重量為8噸、10噸的卡車共12輛，全部車輛滿載運輸一次可以運輸110噸泥土．(1)求該車隊有載重量8噸、10噸的卡車各多少輛？(2)隨著工程的進展，該車隊需要一次運輸泥土不低于163噸，為了完成任務，該車隊準備再購進這兩種卡車共6輛，則最多購進載重量為8噸的卡車多少輛？【題型2銷售利潤問題】【例2】（23-24七年級·甘肅定西·期末）某電器商場銷售每臺的進價分別為2599元、7300元的A，B兩種型號的空調，下表是近兩周的銷售情況：銷售時段銷售數量/臺銷售收入/元A種型號B種型號第一周4336296第二周5555495（進價、售價均保持不變，利潤=銷售收入?進貨成本）(1)求A，B兩種型號的空調的銷售單價．(2)若該電器商場準備用不多于151182元的金額再采購這兩種型號的空調共30臺，則B種型號的空調最多能采購多少臺？(3)在（2）的條件下，該電器商場銷售完這30臺空調能否實現利潤超過16000元的目標？若能，請給出相應的采購方案；若不能，請說明理由．【變式2-1】（23-24七年級·重慶·期末）小語種文化節展示周，校學生會設計并制作了一定數量的特色文化書簽、特色中性筆，在恩來廣場舉行義賣活動，將獲得的所有利潤全部捐獻給家庭困難的老人．已知每個特色文化書簽、每支特色中性筆的成本分別為1元、1.5元，每個特色文化書簽比每支特色中性筆售價少1元，并且，當賣出特色文化書簽20個和特色中性筆30支時，獲得總利潤90元．(1)求每個特色文化書簽、每支特色中性筆的售價分別為多少元？(2)校學生會同學制作的特色文化書簽、特色中性筆的數量之和為900，并且投入的總成本不超過1200元，獲得的總利潤不少于1648元，請你通過計算說明共有哪幾種制作方案？(3)義賣剛開始的半個小時，學生會的同學們發現他們已經獲得了150元的利潤，但由于銷售量較多，同學們只記得售出特色文化書簽的數量a個滿足40≤a≤50，則a的值可能為多少？說明理由．【變式2-2】（2024春·福建漳州·七年級校考期中）為響應陽光體育運動的號召，學校決定從體育用品商店購買一批籃球和足球，按標價若購買2個籃球和3個足球需600元，若購買3個籃球和1個足球需550元．(1)求籃球、足球每個分別是多少元？(2)由于購買數量較多，商店決定給予一定的優惠，籃球每個優惠20%，足球每個優惠10【變式2-3】（23-24七年級·湖北武漢·期末）用1塊A型鋼板可恰好制成2塊C型鋼板和1塊D型鋼板；用1塊B型鋼板可恰好制成1塊C型鋼板和3塊D型鋼板．(1)若需14塊C型鋼板和12塊D型鋼板，則恰好用A型鋼板、B型鋼板各多少塊？(2)現準備購買A、B型鋼板共50塊，并全部加工成C、D型鋼板，要求C型鋼板不超過86塊，D型鋼板不超過90塊，求A、B型鋼板的購買方案共有多少種？(3)在（2）的條件下，若出售C型鋼板每塊利潤為100元，D型鋼板每塊利潤為120元，則全部售出C、D型鋼板可獲得的最大利潤為_______元．【題型3運輸問題】【例3】（23-24七年級·湖南湘西·期末）中國第一條具有自主知識產權的長沙磁浮線連接了長沙火車南站和黃花國際機場兩大交通樞紐，沿線生態綠化帶走廊的建設尚在進行中，屆時將給乘客帶來美的享受．星城渣土運輸公司承包了某標段的土方運輸任務﹐擬派出大、小兩種型號的渣土運輸車運輸土方，已知2輛大型渣土運輸車與3輛小型渣土運輸車一次共運輸土方31噸，4輛大型渣土運輸車與5輛小型渣土運輸車一次共運輸土方57噸．(1)一輛大型渣土運輸車和一輛小型渣土運輸車一次各運輸土方多少噸？(2)該渣土運輸公司決定派出大，小兩種型號的渣土運輸車共10輛參與運輸土方，每輛大型渣土車一次需費用200元，每輛小型渣土車一次需費用180元．若運輸土方總量不少于65噸，且總費用小于1960元．你作為渣土運輸公司的經理，列出所有運輸方案，并指出哪種方案所需費用最少，最少費用是多少？【變式3-1】（23-24七年級·黑龍江雞西·期末）在今年的新冠疫情期間，政府緊急組織一批物資送往武漢．現已知這批物資中，食品和礦泉水共410箱，且食品比礦泉水多110箱．(1)求食品和礦泉水各有多少箱？(2)現計劃租用A、B兩種貨車共10輛，一次性將所有物資送到群眾手中，已知A種貨車最多可裝食品40箱和礦泉水10箱，B種貨車最多可裝食品20箱和礦泉水20箱，試通過計算幫助政府設計幾種運輸方案？(3)在（2）條件下，A種貨車每輛需付運費600元，B種貨車每輛需付運費450元，政府應該選擇哪種方案，才能使運費最少？最少運費是多少？【變式3-2】（2024·四川攀枝花·二模）為響應習總書記“扶貧先扶志，扶貧必扶智”的號召，攀枝花市教體局向木里縣中小學捐贈一批書籍和實驗器材共360套，其中書籍比實驗器材多120套(1)求書籍和實驗器材各有多少套？(2)現計劃租用甲、乙兩種型號的貨車共8輛，一次性將這批書籍和實驗器材運往該縣，已知每輛甲種貨車最多可裝書籍40套和實驗器材10套，每輛乙種貨車最多可裝書籍30套和實驗器材20套，運輸部門安排甲、乙兩種型號的貨車時，有幾種方案？請你幫助設計出來【變式3-3】（23-24七年級·重慶·期末）為了支持一次大型活動，某物流公司需要運輸一批展覽材料．根據調查得知，3輛重型卡車與2輛輕型卡車可以一次共同運輸800箱：7輛重型卡車與4輛輕型卡車可以一次共同運輸1800箱．(1)求1輛重型卡車和1輛輕型卡車分別能夠單獨運輸多少箱展覽材料？(2)計劃用兩種類型的貨車總共15輛來完成這批物資的運輸任務，每趟每輛重型貨車的費用為6000元，每趟每輛輕型貨車的費用為4000元．如果要求至少使用7臺重型貨車，并且總費用不超過78000元，請列出所有可能的配送方案，并指出哪種方案最經濟實惠以及所需最低費用是多少？【題型4水費電費問題】【例4】（23-24七年級·江蘇鎮江·期末）為了增強公民的節水意識，合理利用水資源，某市采用價格調控手段來引導市民節約用水：每戶居民每月用水不超過15立方米時，按基本價格x元/立方米進行收費；超過15立方米時，加價收費，超過的部分按y元/立方米收費.該市某戶居民今年3、4、5月份的用水量和水費如下表所示：月份用水量(立方米)水費(元)31650420705m不低于36元且不超過95元（1）求x、y的值；（2）求該居民5月份用水量m的范圍.【變式4-1】（23-24七年級·福建龍巖·期末）為鼓勵市民節約用電，某市對居民用電實行“階梯收費”（總電費=第一階梯電費+第二階梯電費），規定．用電量不超過200度按第一階梯電價收費，超過200度的部分按第二階梯電價收費，用電度數均取整數．下表是劉先生家2022年4月和5月所交電費的清單．戶名電表號月份用電量（度）金額（元）劉××12054220112劉××12055265139(1)該市規定的第一階梯電費和第二階梯電費單價分別為多少元/度?(2)劉先生家6月份家庭支出計劃中電費不超過160元，他家最大用電量為多少度？【變式4-2】（廣西南寧市興寧區新興學校2024年七年級數學中考模擬試卷）為響應國家節能減排的號召，鼓勵居民節約用電，各省市先后出臺了居民用電“階梯價格”制度，下表是某市的電價標準（每月）.階梯一戶居民每月用電量x（單位：度）電費價格（單位：元/度）一檔0＜x≤180a二檔180＜x≤280b三檔x＞2800.82（1）已知小華家四月份用電200度，繳納電費105元；五月份用電230度，繳納電費122.1元，請你根據以上數據，求出表格中a，b的值；（2）六月份是用電高峰期，小華家計劃六月份電費支出不超過208元，那么小華家六月份最多可用電多少度？【變式4-3】（2024·浙江杭州·一模）甲市居民生活用水收費按階梯式水價計量：20立方米及以下，按基本水價計收，20﹣30立方米（包括30立方米）的部分，按基本水價的1.5倍計收，30立方米以上的部分，按基本水價的2倍計收．從2018年7月1日起，該市居民生活用水基本水價將進行調整，收費方式仍按原來階梯式水價計量．小明讀到有關新聞后立刻對他家兩個月的水費進行計算，得到下表：請根據以上信息，回答以下問題：月份用水量（立方米）按調整前水價計費（元）若按調整后水價計費（元021645.652.832265.5575.9（1）求本次基本水價調整提幅的百分率？（保留3個有效數字）（2）小明家07年7月的水費是128.25元，該月用水量若按調整后水價計費需繳多少元？（3）小明又上網查了有關資料發現：甲市取水點分散，引水管線合計350千米，而同類城市乙市只有一座水庫供水，引水管線合計70千米．若兩市每年每千米引水管線的運行成本都為150萬元，乙市的現行基本水價為2.35元，甲市共有200萬戶家庭，乙市共有180萬戶家庭．若甲乙兩市都按平均每戶每月用水量為11.21立方米計算，請你確定出甲市的基本水價至少調整為多少時甲市自來水公司的年收入（全市居民總水費﹣引水管線運行成本）不低于乙市？（保留3個有效數字）【題型5行程問題】【例5】（23-24七年級·重慶永川·期末）甲、乙兩人共同設計了一條從A地到B地，B地到C地，C地到D地的路線．某一天上午10點，甲騎自行車從A地出發，沿該路線勻速行駛40千米后恰好到達B地，到達B地的時間是當天中午12點，在B地原地休息30分鐘后，以原來的速度沿該路線勻速行駛40千米后恰好到達C地，到達C地后立即以原來的速度按原行駛路線勻速行駛返回A地．在甲出發x小時后，乙開小汽車從A地出發，沿該路線勻速行駛直接到達C地，到達C地后立即沿該路線勻速行駛5千米恰好到達D地，在D地休息y小時后，立即以原來的速度按原行駛路線勻速行駛返回A地．已知在行駛的過程中，乙的速度是甲的3倍．(1)求甲、乙兩人行駛的速度；(2)在甲從B地到C地的行駛過程中，若乙與甲第一次相遇，且相遇地點不與B地和C地重合，求x的取值范圍；(3)當x=3時，甲、乙兩人能否在B地與C地之間（不包括B地與C地）相遇2次？如果能，請求出y的取值范圍，如果不能，請說明理由．【變式5-1】（23-24七年級·全國·課后作業）2個小組計劃在10天內生產1000個零件，并且每天的生產量相同，且生產的零件數為整數，按原來的生產速度，不能完成任務；如果每個小組每天比原來多生產2個零件，就能提前完成任務，求每個小組原來平均每天生產多少個零件．【變式5-2】（2024春·吉林四平·七年級統考期末）星期天，小明騎自行車去姥姥家，速度為每小時12km【變式5-3】（2024春·江蘇連云港·七年級統考期末）有a名居民在排隊等候檢查．檢查開始后，仍有居民繼續前來排隊檢查，設居民按m人/分鐘的速度增加，每個窗口的檢查速度為n人/分鐘．若開放一個檢查窗口，則需要25分鐘將排隊等候檢查的居民全部檢查完畢；若同時開放兩個檢查窗口，則需要10分鐘將排隊等候檢查的居民全部檢查完畢．(1)若a=100，求m和n的值；(2)根據（1）的結果猜想m與n的數量關系，并說明理由；(3)如果要在5分鐘內將排隊等候檢查的居民全部檢查完畢，以便后來的居民能隨到隨檢，則至少要同時開放幾個檢查窗口？【題型6得分問題】【例6】（23-24七年級·重慶·期中）學校工會舉行了一場趣味排球比賽，比賽為單循環制，即所有參賽選手彼此只比賽一場．記分規則是：每場比賽勝者得2分、負者扣1分，平局各得1分．賽后統計結果，發現所有參賽者的得分總和為32分，且平局數至少有5局，那么本次趣味排球賽共有參賽選手人．【變式6-1】（23-24七年級·山東濰坊·期中）小亮和小穎共下了8盤圍棋（沒有平局），兩人商定的規則為：小亮勝一盤記1分，小穎勝一盤記2分．下完第7盤后，小亮得分高于小穎；下完第8盤后，小穎得分高于小亮，小亮最終勝（

）A．2盤 B．3盤 C．4盤 D．5盤【變式6-2】（23-24七年級·河北承德·期末）一次智力測驗，共設20道選擇題，評分標準為：對1題得a分，答錯或不答1題扣b分．下表記錄了2名參賽學生的得分情況．參賽學生答對題數答錯或不答題數得分甲17379乙11937(1)若參賽學生小亮只答對了16道選擇題，則小亮的得分是多少？(2)參賽學生至少要答對幾道題，總分才不會低于60分．(3)參賽學生小王獲得二等獎（75~85分），請你算算小王答對了幾道題？【變式6-3】（23-24七年級·河南鄭州·期中）“天空課堂”開課以來，受到廣大青少年的喜愛．某校利用課后服務時間開展“追尋‘天宮’”知識競賽，共有15個班級參加．(1)比賽規定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積5分，負一場積3分，某班級在14場比賽中獲得總積分54分，該班級勝、負場數分別是多少？(2)比賽中設置了20道多選題，全部選對可得3分，選對但選不全可得2分，其余情況均不得分．某班在一場比賽中，共答對了18道題（選對但選不全的也算在內），其中選對但選不全的題目至少比全部選對的多2道，且多選題所得的總分不少于41分，該班級在這場比賽中多選題最多能得多少分？【題型7古文問題】【例7】（2024七年級·全國·專題練習）我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有牛五、羊二，直金十九兩；牛二、羊五，直金十六兩．問牛、羊各直金幾何？”譯文：“假設有5頭牛、2只羊，值19兩銀子；2頭牛、5只羊，值16兩銀子．問每頭牛、每只羊分別值銀子多少兩？”根據以上譯文，提出以下兩個問題：(1)求每頭牛、羊各值多少兩銀子？(2)若某商人準備用50兩銀子買牛和羊共20只，要求羊的數目不超過牛的數目的兩倍，且銀兩可以有剩余，請問商人有幾種購買方法？列出所有可能的購買方案．【變式7-1】（23-24七年級·黑龍江大慶·階段練習）我國古代《易經》記載，遠古時期人們通過在繩子上打結來記錄數量，即“結繩記數”．如圖，一位婦女在從右到左依次排列的繩子上打結，滿五進一，用來記錄采集到野果的個數．若她采集到的一筐野果不少于46個則在第2根繩子上的打結數至少是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【變式7-2】（2024·廣東深圳·模擬預測）程大位是明代商人、珠算發明家．在其杰作《算法統宗》（如圖）中記載有如下問題：“以繩測井，若將繩三折測之，繩多五尺；若將繩四折測之，繩多一尺，繩長、井深各幾何？”(1)請你求出上述問題的解；(2)若在（1）中的井底有一只青蛙，青蛙在井底想要爬出井外．第一天向上爬m尺；第二天休息，下滑2尺；第三天向上再爬m尺；第四天休息，下滑2尺…這只青蛙按照這樣的規律向上爬與休息，若它想要在9天內（包括第9天）爬出井外，求m至少要為多少尺？【變式7-3】（23-24七年級·福建龍巖·期末）我國傳統數學名著《九章算術》記載：“今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？”譯文：有若干只雞與兔在同一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問籠中各有幾只雞和幾只兔？根據以上譯文，回答以下問題：(1)籠中雞、兔各有多少只？(2)若還是94只腳，但不知道頭多少個，籠中雞兔至少30只且不超過32只．雞每只值80元，兔每只值60元，問這籠雞兔最多值多少元？最少值多少元？【題型8數字問題】【例8】（23-24七年級·重慶·階段練習）若一個自然數，其十位數字比個位數字大3，百位數字比十位數字大3，千位數字比百位數字大3，…，這樣的數，我們稱為“大3數”．例如：52，9630．寫出一個兩位數，要求既是奇數又是“大3數”．將一個兩位的“大3數”，再加上這個“大3數”各位數字之和的2倍，所得的結果能被4整除，求滿足條件的兩位“大3數”的和．【變式8-1】（23-24七年級·重慶長壽·期末）有一個兩位數，其十位數字比個位數字大2，且這個兩位數在50和70之間，則這個兩位數是．【變式8-2】（23-24七年級·江蘇常州·期末）2024年央視春晚上的撲克牌魔術不僅是一場視覺盛宴，還是數學文化的傳播．受此啟發，小麗設計了一個魔術：從代表數字1到9的撲克牌中，依次抽出兩張牌，記下牌面上的數字．將第一個數乘7后加6，然后乘3，再加上第二個數，最后減去8，得到計算結果．根據計算結果，可以知道抽出兩張牌的牌面數字．(1)如果小明依次抽出兩張牌的牌面數字是2和5，則計算結果是______；(2)如果小明得到的計算結果是143，求小明抽出兩張牌的牌面數字；(3)如果小明得到的計算結果是106，小圖思考片刻后，認為小明算錯了．你贊成小圖的觀點嗎？請說明理由．【變式8-3】（2024·四川達州·二模）一個正數N的各位數字不全相等，且都不為為0，現要將N的各位數字重新排列，必可得到一個最大數和一個最小數，此最大數與最小數的差記為N的“差數”，此最大數與最小數的和記為N的“和數”，例如，245的“差數”為542-245=297，“和數”為：542+245=787，一個四位數M，其中千位數字和百位數字為a，十位數字為1，個位數字為b（且a≥1，b≥1）若它的“和數”是6666，求M的“差數”．【題型9幾何問題】【例9】（23-24七年級·江蘇宿遷·期末）【項目式學習】項目主題：數學智慧拼圖項目背景：為了緩解同學們的學習壓力，提高思維能力，增強學習興趣，并促進同學們的全面發展．王老師將數學學習小組分成三組，每組領取一些矩形卡片，開展“數學智慧拼圖”為主題的項目式學習．任務一：觀察建模如圖1，第一小組領了8個大小、形狀完全相同的小矩形，拼成一個大矩形，每個小矩形的長和寬分別分別為x、y（x<y），小組同學測得拼成的大矩形長為30，寬為16，可得方程組5x=30x+y=16，則：x=，y=任務二：推理分析第二小組也領了8個大小、形狀完全相同的小矩形，把它們按圖2方式放置在一個大矩形中，求圖2中陰影部分的面積；任務三：設計方案第三小組領了A、B、C三種類型的矩形卡片，它們的長為18，寬分別為a、b、c，其中a<b<c且a、b、c均為正整數，分別取A、B、C卡片2、3、4張，把它們按圖3方式放置在一個邊長為36的正方形中，則陰影部分的面積為144；若分別取A、B、C卡片3、2、5張，能否把它們放置在邊長為36的正方形中（不能有重疊），如果能，請你在圖4中畫出放置好的示意圖，并標注a、b、c的值，如果不能，請說明為什么．【變式9-1】（2024春·江蘇淮安·七年級校考期末）已知用于國際比賽的足球場的長在100～110m之間，寬在64～75m之間．一個長方形足球場的長為xm，寬為70m，如果它的周長大于350m【變式9-2】（23-24七年級·內蒙古興安盟·期末）如圖，正方形ABCD的邊長是2厘米，E為CD的中點，Q為正方形ABCD邊上的一個動點，動點Q以每秒1厘米的速度從A出發沿A→B→C→D運動，最終到達點D，若點Q運動時間為x秒．（1）當x=1時，SΔAQE=平方厘米；當x=32時，（2）在點Q的運動路線上，當點Q與點E相距的路程不超過14厘米時，求x（3）若ΔAQE的面積為13平方厘米，直接寫出x【變式9-3】（23-24七年級·江蘇泰州·期中）如圖所示的矩形包書紙中，虛線是折痕，陰影是裁剪掉的部分，四個角均為大小相同的正方形，正方形的邊長為折疊進去的寬度．（1）設課本的長為acm，寬為bcm，厚為ccm，如果按如圖所示的包書方式，將封面和封底各折進去3cm，用含a，b，c的代數式，分別表示滿足要