專題7.1不等式的基本性質【十大題型】【滬科版2024】TOC\o"1-3"\h\u【題型1不等式的概念】 1【題型2不等式的實際應用】 3【題型3不等式的解集】 4【題型4根據不等式的基本性質判斷不等式的正誤】 6【題型5根據不等式的性質比較大小】 8【題型6不等式的性質與數軸的綜合運用】 10【題型7根據不等式的解集求參數的取值范圍】 13【題型8根據不等式的性質求代數式的取值范圍】 14【題型9根據不等式的性質求最值】 17【題型10利用不等式的性質進行證明】 19知識點1：不等式及其解集①不等式：用符號“<”或“>”表示大小關系的式子，叫做不等式.②不等式的解：使不等式成立的未知數的值，都叫做不等式的解③不等式的解集：一般地，一個含有未知數的不等式的所有解，組成這個不等式的解集.【題型1不等式的概念】【例1】（23-24七年級·貴州六盤水·期中）下列式子：①3<5；②x>0；③2x≠3；④a=3；⑤2a+1；⑥1?x5>1；其中是不等式的有（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】本題考查了不等式的定義，有理數的大小比較，熟練掌握不等式的定義是解題的關鍵．根據不等式的定義，逐一判斷即可解答．【詳解】解：下列式子：①3<5；②x>0；③2x≠3；④a=3；⑤2a+1；⑥1?x5故選：B．【變式1-1】（23-24七年級·遼寧沈陽·期末）某發酵乳的包裝瓶上標注“每100克含鈣>87毫克”，它的含義是（

）A．每100克含鈣高于87毫克 B．每100克含鈣低于87毫克C．每100克含鈣不低于87毫克 D．每100克含鈣不超過87毫克【答案】A【分析】本題考查不等式的定義，根據不等式的定義求解即可．【詳解】解：“每100克含鈣>87毫克”的含義是每100克含鈣高于87毫克，故選：A．【變式1-2】（23-24七年級·山東淄博·期末）若x+y□5是不等式，則符號“□”不能是（

）A．? B．≤ C．> D．<【答案】A【分析】本題考查了不等式的定義，根據不等式的定義判斷即可．熟練掌握用符號“>”或“<”表示大小關系的式子，叫做不等式，像a+2≠a?2這樣用符號“≠”表示不等關系的式子也是不等式．【詳解】解：∵x+y≤5，x+y>5，x+y<5都是不等式，∴選項B，C，D都不符合題意；∵x+y?5不是不等式，∴選項A符合題意．故選：A．【變式1-3】（23-24七年級·湖南婁底·期末）對于下列結論：①x為自然數，則x>1；②x為負數，則x<0；③x不大于10，則x>10；④m為非負數，則m≥0，正確的有．【答案】②④/④②【分析】根據自然數定義即可判斷①，根據負數定義即可判斷②，不大于10，即小于或等于可判斷③，根據非負數定義即可判斷④．【詳解】解：x為自然數，則x≥0，錯誤，不合題意；②x為負數，則x<0，正確，符合題意；③x不大于10，則x≤10，錯誤，不合題意；④m為非負數，則m≥0，正確，符合題意；故答案為：②④．【點睛】本題考查了列不等式的知識，正確理解負數定義，非負數定義，自然數定義，不大于即小于或等于．【題型2不等式的實際應用】【例2】（23-24七年級·山西晉中·期中）2024年2月25日，國家糧食和物資儲備局發布消息稱，全國累計收購秋糧超1.5億噸．若用x（億噸）表示我國今年秋糧收購的數量，則x滿足的關系為（）A．x≥1.5 B．x>1.5 C．x≤1.5 D．x<1.5【答案】B【分析】本題考查了不等式，熟練掌握不等式的定義，理解題干中“超1.5億”即“大于1.5億”是解題的關鍵．根據不等式的定義解答即可．【詳解】解：根據題意得：x>1.5，故選：B．【變式2-1】（23-24七年級·四川宜賓·期末）如圖，是校園內限速標志，若用V表示速度，請用含字母V的不等式表示這個標志的實際意義．【答案】V≤5【分析】本題考查列不等式．正確的識圖，是解題的關鍵．根據題意，列出不等式即可．【詳解】解：由圖可知：V≤5；故答案為：V≤5．【變式2-2】（23-24七年級·甘肅武威·開學考試）針織衫洗滌要求：水溫不高于30°C．根據以上信息，寫出一個關于溫度x°C【答案】x≤30【分析】此題主要考查不等式的定義．根據“水溫不高于30°C”可以寫為x≤30【詳解】解：根據“水溫不高于30°C”可以寫為x≤30故答案為：x≤30．【變式2-3】（23-24七年級·山東淄博·期末）一種藥品的說明書上寫著：“每日用量60~120mg，分3~4次服用”，一次服用這種藥品的有效劑量不可以為（

A．12mg B．18mg C．24mg【答案】A【分析】本題考查的是不等式的定義，本題需注意應找到每天服用60mg時4次每次的劑量；每天服用120mg【詳解】解：根據題意，由“每日用量60~120mg，分3~4用60÷4=15（mg/次），120÷3=40（mg/次）得到一次服用這種藥的劑量為：15mg則12mg故選：A．【題型3不等式的解集】【例3】（23-24七年級·河北保定·期末）下列說法中，正確的是（

）A．x=1是不等式3x>5的解 B．x=2是不等式3x>5的唯一解C．x=2是不等式3x>5的解集 D．x=2是不等式3x>5的一個解【答案】D【分析】本題考查了不等式，解集，唯一解，一個解的定義的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．所有滿足不等式的數的全體稱為這個不等式的解集，x=a(a是不等式解集中的一個數)我們僅可以說它是滿足這個不等式的一個解，所有解的全體稱為解集，解集中的一個數稱為不等式的一個解，當不等式的解有且只有一個時，則稱它為這個不等式的唯一解，根據解集，唯一解，一個解的定義，以此判斷四個選項即可選出正確答案．【詳解】解：解不等式3x>5，可得x>5A.由于x=1<53，故x=1不是不等式B.由于x=2>53，故x=2是不等式C.由于x=2>53，故x=2不是不等式D.由于x=2>53，故x=2不是不等式故選D．【變式3-1】（23-24七年級·江蘇泰州·期末）若x=1是某不等式的一個解，則該不等式可以是（

）A．x>2 B．x>3 C．x<3 D．x<1【答案】C【分析】本題考查了不等式的解，逐個判斷各選項即可．【詳解】解：A、x>2中不包含x=1，不符合題意；B、x>3中不包含x=1，不符合題意；C、x<3中包含x=1，符合題意；D、x<1中不包含x=1，不符合題意；故選：C．【變式3-2】（23-24七年級·廣東揭陽·期中）請寫出一個關于x的不等式，使?2，3都是它的解．【答案】x<4（答案不唯一）【分析】本題主要考查不等式的解集．由?2，3均小于4可得x<4．【詳解】解：由?2，3均小于3可得x<4，所以符合條件的不等式可以是x<4，故答案為：x<4（答案不唯一）．【變式3-3】（23-24七年級·湖南·期中）已知當x≥3時x的最小值為a，當x≤?4時x的最大值為b，則ab=.【答案】?12【分析】本題主要考查了不等式的解，根據不等式的定義求出a、b的值，然后代值計算即可．【詳解】解：∵當x≥3時x的最小值為a，當x≤?4時x的最大值為b，∴a=3，∴ab=3×?4故答案為：?12．知識點2：不等式的基本性質不等式的性質1：不等式兩邊都加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變.用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c.不等式的性質2：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變.用式子表示：如果a＞b，c＞0,那么ac＞bc.不等式的性質3：不等式兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變.用式子表示：如果a＞b，c＜0,那么ac＜bc.【題型4根據不等式的基本性質判斷不等式的正誤】【例4】（23-24七年級·寧夏銀川·期末）若3x>?3y，則下列不等式中一定成立的是（

）A．x?y>0 B．x+y>0 C．?x2>【答案】B【分析】本題考查不等式的性質．不等式的基本性質：不等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個正數，不等號的方向不變；不等式的兩邊同時乘以(或除以)同一個負數，不等號的方向改變，由此即可得到答案．【詳解】解：∵3x>?3y，∴x>?y，∴x+y>?y+y，∴x+y>0．故選：B．【變式4-1】（16-17七年級·云南紅河·階段練習）若m>?1，則下列各式中錯誤的是（

）A．6m>?6 B．m+1>0 C．?5m<?5 D．1?m<2【答案】C【分析】本題主要考查了不等式的基本性質．不等式的基本性質：不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變．根據不等式的性質分析判斷即可．【詳解】解：A、在m>?1兩邊都乘上6可得，6m>?6，故選項正確，此選項不符合題意；B、在m>?1兩邊都加上1可得，m+1>0，故選項正確，此選項不符合題意；C、在m>?1兩邊都乘上?5可得，?5m<5，故選項錯誤，此選項符合題意；D、根據不等式性質3可知，m>?1兩邊同乘以?1時，可得?m<1，兩邊都加上1可得1?m<2，故選項正確，此選項不符合題意．故選：C．【變式4-2】（23-24七年級·重慶江津·期末）若m<n<0，p>0，則下列各式中正確的是（）A．m?p>n?p B．m+p>p+n C．mn<pn D．m【答案】D【分析】考查不等式的基本性質，熟練掌握不等式的3個基本性質是解題的關鍵．根據不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變；等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變，可得答案．【詳解】解：若m<n<0，p>0，A．m?p<n?p，故A錯誤；B．m+p<n+p，故B錯誤；C．mp<pn，不能得出mn<pn，故C錯誤；D．mp故選：D．【變式4-3】（23-24七年級·福建廈門·期末）如果a>b，m<?1，那么下列不等式不成立的是（）A．ma<mb B．am2>bm2【答案】D【分析】本題考查不等式的性質，掌握不等式的性質定理是解題的關鍵，注意不等式兩邊同時乘或除同一個負數，不等號的方向發生改變．本題根據不等式的兩條性質即可得出答案．【詳解】解：A、根據“不等式的兩邊同時乘以同一個負數，不等號的方向發生改變”，可得am<mb，故原題正確，不符合題意；B、根據“不等式的兩邊同時除以同一個正數，不等號的方向不發生改變”，可得amC、根據“不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數，不等號的方向不發生改變”，可得a+m>b+m，故原題正確，不符合題意；D、a+m與b?m，無法判斷大小，故原題錯誤，符合題意．故選：D．【題型5根據不等式的性質比較大小】【例5】（2024七年級·江蘇·專題練習）比較大小：已知m>n，則?2m+1?2n+1．【答案】<【分析】本題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的三個性質是關鍵．由不等式的性質：兩邊同時乘以?2得?2m<?2n，兩邊同時加1得?2m+1<?2n+1．【詳解】解：∵m>n，∴?2m<?2n，∴?2m+1<?2n+1．故答案為：<．【變式5-1】（23-24七年級·陜西西安·期中）已知x>y，請比較下列各式的大小，并說明理由．(1)x2+1與(2)4?x與4?y．【答案】(1)x2(2)4?x<4?y，見解析【分析】本題考查的是不等式的基本性質，熟知①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變是解題的關鍵．（1）根據不等式的基本性質解答即可．（2）根據不等式的基本性質解答即可．【詳解】（1）解：∵x>y，∴x2∴x2（2）∵x>y，∴?x<?y，∴4?x<4?y．【變式5-2】（23-24秋·廣東惠州·七年級校考階段練習）若a?b>0，則a>b；若a?b=0，則a=b；若a?b<0，則a<b，這是利用“作差法”比較兩個數或兩個代數式值的大小．(1)試比較代數式5m2?4m+2(2)已知代數式3a+2b與2a+3b相等，試用等式的性質比較a，(3)已知12m?1【答案】(1)5(2)a=b(3)m>n【分析】（1）把兩個多項式作差比較大小即可；（2）等式兩邊同時減去2a+3b即可得到a?b=0，由此即可得到結論；（3）等式的性質兩邊同時乘以6可得5m?n=6，【詳解】（1）解：5∵不論m為何值，都有m∴5（2）解：∵3a+2b=2a+3b，∴等式兩邊同時減去2a+3b，得3a+2b?2a+3b整理得a?b=0，∴a=b．（3）解：∵12根據等式的性質兩邊同時乘以6可得3m?2n?6=3n?2m整理得5m?5n=6，即5m?n∴m?n>0，∴m>n．【點睛】本題主要考查了等式的性質和不等式的性質，正確理解題意是解題的關鍵．【變式5-3】（23-24七年級·北京大興·期末）比較5a?3b?3a2【答案】5a?3b?3【分析】兩個整式相減，用它們的差和零作比較即可做出判斷．【詳解】解：5a?3b?3理由如下：5a?3b=5a?3b?3=?3a∵a∴?3a∴?3a?3a∴?3a∴5a?3b∴5a?3b【點睛】本題考查了整式加減應用，不等式的性質，準確算出兩個整式的差和零作比較是解答本題的關鍵．【題型6不等式的性質與數軸的綜合運用】【例6】（23-24七年級·山東威海·期末）實數a，b，c在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論錯誤的是（）A．a>b>c B．c?b>c?a C．b2>ab 【答案】D【分析】本題考查了數軸、不等式的基本性質，熟練掌握數軸的定義是解題關鍵．先根據數軸的定義可得c<b<0<a，且c>【詳解】解：由實數a，b，c在數軸上的對應點的位置可知，c<b<0<a，且c>A．a>b>c，是成立的，因此選項A不符合題意；B．由于c?b<0,c?a<0，而c?b<c?a，所以C．由于b<0，則b2>0，而a>0,b<0，則ab<0，所以D．由于b<0，則b2>0，而c<a，所以故選：D．【變式6-1】（23-24·四川內江·中考真題）如圖，數軸上的兩點A、B對應的實數分別是a、b，則下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0【答案】A【分析】根據數軸得出a＜b，根據不等式的性質對四個選項依次分析即可得到答案．【詳解】解：由題意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A選項的結論成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B選項的結論不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴1<a<2∴a<∴a+b＞0，∴C選項的結論不成立；∵a∴a?∴D選項的結論不成立．故選：A．【點睛】本題考查數軸、不等式、絕對值的性質，解題的關鍵是熟練掌握數軸、不等式、絕對值的相關知識．【變式6-2】（13-14七年級·全國·課后作業）如圖，數軸上A、B兩點對應的實數分別為a，b，則下列結論不正確的是（）A．a+b＞0 B．ab＜0 C．a﹣b＜0 D．|a|﹣|b|＞0【答案】D【分析】根據數軸，列出a、b的取值范圍，然后再進行不等式的計算．【詳解】解：根據題意，得﹣1＜a＜0，1＜b＜2，A、0＜a+b＜2；不等式兩邊同時相加，不等式符號不變，故A正確，不符合題意；B、﹣2＜ab＜﹣1，不等式兩邊同時乘以負數，不等式符號改變，故B正確，不符合題意；C、∵﹣2＜﹣b＜﹣1，不等式兩邊同乘以負數，不等式符號改變，∴﹣3＜a﹣b＜﹣1＜0，故C正確，不符合題意；D、由上式得0＜|a|＜1，1＜|b|＜2，∴|a|＜|b|，即a|﹣|b|＜0，故D錯誤，符合題意．故選D．【點睛】本題主要考查的是實數的絕對值的性質，解題關鍵是利用絕對值的幾何意義和不等式的性質．【變式6-3】（23-24·浙江杭州·中考真題）已知數軸上的點A,B分別表示數a,b，其中?1<a<0，0<b<1．若a×b=c，數c在數軸上用點C表示，則點A,B,C在數軸上的位置可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】先由?1<a<0，0<b<1，a×b=c，根據不等式性質得出a<c<0，再分別判定即可．【詳解】解：∵?1<a<0，0<b<1，∴a<ab<0∵a×b=c∴a<c<0A、0<b<c<1，故此選項不符合題意；B、a<c<0，故此選項符合題意；C、c>1，故此選項不符合題意；D、c<?1，故此選項不符合題意；故選：B．【點睛】本題考查用數軸上的點表示數，不等式性質，由?1<a<0，0<b<1，a×b=c得出a<c<0是解題的關鍵．【題型7根據不等式的解集求參數的取值范圍】【例7】（23-24·河北保定·模擬預測）已知數軸上兩點A，B表示的數分別為a?2，1，那么關于x的不等式a?2x+a>2A．若點A在點B左側，則解集為x<?1B．若點A在點B右側，則解集為x<?1C．若解集為x<?1，則點A必在點B左側D．若解集為x<?1，則點A必在點B右側【答案】C【分析】根據不等式的性質化簡求值即可.【詳解】關于x的不等式a?2x+a>2化為a?2當a?2<0時，解集為x<?1，此時點A在原點左側，故A，B，D選項錯誤，C選項正確，故選C．【點睛】此題考查了不等式性質，解題的關鍵是熟悉不等式的基本性質.【變式7-1】（23-24七年級·四川遂寧·期中）不等式m?2x>2的解集是x<2m?2A．m<2 B．m>2 C．m>0 D．m<0【答案】A【分析】在不等式兩邊都除以m?2后，不等號的方向改變了，可得到m?2＜0，從而可得答案．【詳解】解：∵m?2x>2的解集是x<∴在不等式的兩邊都除以：m?2，不等號的方向發生了改變，∴m?2＜0∴m＜2故選A．【點睛】本題考查的是不等式的基本性質以及解不等式，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式7-2】（23-24春·福建泉州·七年級校考期末）若x<y，且a?2x>a?2y，則a【答案】a<2【分析】根據不等式的性質，兩邊同時乘一個負數不等號改變，求出a的取值范圍．【詳解】解：∵x<y，且a?2x>∴a?2<0，∴a<2，故答案為：a<2．【點睛】本題考查不等式的性質，解題的關鍵是掌握不等式的性質．【變式7-3】（23-24春·廣西南寧·七年級統考期末）若關于x的不等式mx﹣x＞1﹣m的解集是x＜﹣1，則m的取值范圍是（

）A．m＞1 B．m＜1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1【答案】B【分析】根據不等式的性質可得，兩邊同除以一個負數，不等號方向發生改變，即可求得結果．【詳解】解：將不等式mx?x>1?m化為x(m?1)>1?m，∵不等號兩邊同時除以m?1得到x<?1，∴m?1<0，解得m<1，故選：B．【點睛】本題考查了不等式的解集，熟練掌握不等式的基本性質是解題的關鍵．【題型8根據不等式的性質求代數式的取值范圍】【例8】（23-24七年級·四川德陽·期末）若6a=2b?6=3c，且b≥0，c≤2，設t=2a+b?c，則t的取值范圍為【答案】0≤t≤6【分析】由條件可得2b?6≤6，先求解b的取值范圍，再把t=2a+b?c化為t=1【詳解】解：∵6a=2b?6=3c，c≤2，∴2b?6≤6，解得：b≤6而b≥0，∴0≤b≤6，∵6a=2b?6=3c，∴a=1∴t=2a+b?c=2==b∵0≤b≤6，∴t的取值范圍是：0≤t≤6，故答案為：0≤t≤6．【點睛】本題考查的是不等式的性質，方程思想的應用，求解0≤b≤6及t=b是解本題的關鍵．【變式8-1】（23-24七年級·安徽合肥·期中）若6a=3b+12=2c，且b≥0，c≤9，設t=2a+b?c，（1）用只含有a的代數式表示t，則t=；（2）t的取值范圍為．【答案】a?4?2≤t≤?1【分析】本題主要考查不等式的基本性質，二元一次方程中用一個未知數表示另一個未知數；（1）根據6a=3b+12=2c得到3a=c，代入t=2a+b?c計算即可；（2）根據b≥0，c≤9，把3a=c，b=2a?4代入得到2≤a≤3，再確定t的取值范圍．【詳解】解：（1）∵6a=3b+12=2c，∴b=2a?4，c=3a．∴t=2a+b?c=2a+2a?4?3a=a?4．故答案為：a?4；（2）∵b≥0，c≤9，∴2a?4≥0，a≤3．∴a≥2，3a≤9．∴2≤a≤3．∴?2≤a?4≤?1，∵t=a?4∴?2≤t≤?1．故答案為：?2≤t≤?1．【變式8-2】（23-24·安徽·模擬預測）若實數a,b滿足ab≥0,a≠0,2a+b+3=0，令m=a+2b，則m的取值范圍是（

）A．?5<m≤?12 B．?6<m≤?32 C．【答案】B【分析】本題考查了不等式的性質．熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．由題意知a<0,b≤0,a=?b+32,b=?2a?3，則m=a+2b=?【詳解】解：∵ab≥0,a≠0,2a+b+3=0，∴a<0,b≤0,a=?b+3∴m=a+2b=?b+32+2b=∴?6<m≤?3故選：B．【變式8-3】（17-18七年級·安徽合肥·期末）已知y＞1，x＜﹣1，若x﹣y＝m成立，求x+y的取值范圍(結果用含m的式子表示)．【答案】m+2＜x+y＜﹣m﹣2【分析】由x-y=m得x=y+m，由x＜-1得知y＜-m-1，根據y＞1得1＜y＜-m-1，同理得出m+1＜x＜-1，相加即可得出答案．【詳解】由x﹣y＝m得x＝y+m，由x＜﹣1得y+m＜﹣1，y＜﹣m﹣1，又∵y＞1，∴1＜y＜﹣m﹣1，由x﹣y＝m得y＝x﹣m，由y＞1得x﹣m＞1，x＞m+1，又∵x＜﹣1，∴m+1＜x＜﹣1，∴m+2＜x+y＜﹣m﹣2，故答案為m+2＜x+y＜﹣m﹣2．【點睛】本題主要考查不等式的性質，應用不等式的性質應注意的問題：在不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，一定要改變不等號的方向；當不等式的兩邊要乘以（或除以）含有字母的數時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．【題型9根據不等式的性質求最值】【例9】（23-24七年級·全國·專題練習）若x+y=3，x≥0，y≥0，則2x+3y的最小值為（

）A．0 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】把問題轉化為2x+3y=6?2y+3y=6+y，利用不等式的性質解決最值問題．【詳解】解：∵x+y=3，∴x=3?y，∴2x+3y=6?2y+3y=6+y，∵x≥0，∴3?y≥0，即y≤3，∵y≥0∴0≤y≤3，∴6≤y+6≤9，即6≤2x+3y≤9，∴y=0時，2x+3y的值最小，最小值為6．故選：C．【點睛】本題考查代入消元法、不等式的性質，靈活運用所學知識解決問題是解題的關鍵．【變式9-1】（23-24七年級·江蘇南通·期末）已知實數aa≥0，b滿足a?23=1?b2，若m=a+3bA．9 B．7 C．5 D．7【答案】B【分析】先根據題意用a表示出b，再代入m=a+3b，由a≥0即可得出結論．【詳解】解：∵a?23∴2a?2∴3b=7?2a，∴m=a+3b=a+7?2a=7?a，∵a≥0，∴當a=0時，m有最大值，最大值為7．故選：B．【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關鍵是把b當做一個已知數求解，用a表示b．【變式9-2】（2019·江蘇鎮江·二模）已知：6a＝3b+12＝2c，且b≥0，c≤9，則a﹣3b+c的最小值為．【答案】6【分析】首先根據6a＝3b+12＝2c，分別用b表示出a、c；然后根據b≥0，c≤9，求出a﹣3b+c的最小值為多少即可．【詳解】∵6a＝3b+12＝2c，∴a＝0.5b+2，c＝1.5b+6，∴a﹣3b+c＝（0.5b+2）﹣3b+（1.5b+6）＝﹣b+8∵b≥0，c≤9，∴3b+12≤18，∴b≤2，∴﹣b+8≥﹣2+8＝6，∴a﹣3b+c的最小值是6．故答案為：6．【點睛】此題主要考查了不等式的基本性質：（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變；（3）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變．【變式9-3】（2024七年級·全國·競賽）a，b，c，d都是整數，且a<2b，b<3c，c<4d，d<20，則a的最大值為（

）A．447 B．455 C．471 D．479【答案】A【分析】主要考查了不等式的運用．根據題意分別求出對應的值利用不等關系求解．根據d<20，d都整數，就可以求出d的值，進而就可以得到a，b，c的值．【詳解】解：∵a，b，c，d都是整數，且a<2b，b<3c，c<4d，d<20，∴d≤19，∴c<4d≤4×19=76，∴c≤75，b<3c≤3×75=225，∴b≤224，a<2b≤2×224=448，∴a≤447，即a最大是447．故選：A．【題型10利用不等式的性質進行證明】【例10】（23-24七年級·福建福州·期末）已知a,b,c都是實數，若a=c?3,b>c．求證：b>a+2b【答案】見解析【分析】利用a=c?3,b>c，消去c，得到b>a+3，然后利用不等式的性質變形即可求解．【詳解】證明：∵a=c?3∴c=a+3∵b>c∴b>a+3∴b+2b>a+2b+3∴3b>a+2b+3∴b>【點睛】本題考查了不等式的性質，熟練掌握不等式的性質是解題的關鍵．【變式10-1】（2024·江蘇揚州·七年級期末）閱讀感悟：代數證明題是數學中常見的一種題型，它要求運用邏輯推理和代數知識來證明某個數學命題的正確性，如下例題：例：已知實數x、y滿足x>y>0，證明：x2證明：因為x>y且x，y均為正，所以x2>______，所以x2解決問題：(1)請將上面的證明過程填寫完整．(2)嘗試證明：若a<b，則a+b2【答案】(1)xy,(2)見解析【分析】本題考查不等式的性質，關鍵是掌握不等式的性質．（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變，由此即可證明問題；（2）不等式的兩邊同時加上同一個數b得a+b<b+b=2b，不等式的兩邊同時除以同一個正數2，由此即可證明問題．【詳