易錯點01數與式

易錯陷阱一：錯誤理解實數的有關概念

一、實數的分類:

'正有理數'

有理數零有限小數和無限循環小數.

實數負有理數

‘正無理數'

無理數無限不循環小數.

負無理數

二、絕對值：一個數的絕對值就是表示這個數的點與原點的距離，a>0o零的絕對值是它本身，也可看

成它的相反數，若時=a,則。之0；若時=一。，則aWO,。

三、相反數：只有符號不同的兩個數叫做互為相反數

四、倒數：如果。與6互為倒數，則有乃=1,反之亦成立

易錯提醒：

（1）需要牢記與三者有關的概念以及相關概念之間的的包含與被包含的關系才能避免出錯；

（2）幾個特殊值注意：0的相反數還是0；。沒有倒數，1的倒數是1,—1的倒數是一1；一個正數的

絕對值是它本身，一個負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值還是0.

例1-1.（2024?上海?模擬預測）實數中絕對值最小的數是

【答案】0

【分析】本題考查了實數的性質，絕對值的概念，正確理解實數的性質及絕對值的概念是解題的關鍵.根

據絕對值的定義，絕對值是數軸上表示一個數的點到原點的距離，距離是非負數進行解答.

【詳解】實數中絕對值最小的數是0.

故答案為：0.

HI

易錯警示：

這道題考查實數性質和絕對值概念，易錯點如下：

絕對值概念模糊：如果對絕對值數軸上表示一個數的點到原點的距離"這一概念理解不透徹，可

能無法準確判斷出哪個實數的絕對值最小。例如，不能正確理解距離是非負的，就可能會考慮負數的

絕對值情況，導致思維混亂。

忽略特殊值：部分同學在思考過程中，容易忽略這個特殊的實數。可能在腦海中先想到其他實

數，如1、-1-等，沒有全面考慮到0的絕對值是0,而其他實數的絕對值都大于0。

例1-2.（2024?上海.二模）下列數是有理數的是（）

—22

A.兀B.y/3C.^/24D.—

【答案】D

【分析】本題主要考查了實數的分類，有理數的概念，根據有理數包括整數和分數求解即可.

【詳解】解：A.兀是無理數，故本選項不符合題意；

B.石是無理數，故本選項不符合題意；

C.泅是無理數，故本選項不符合題意；

D.羊是分數，屬于有理數，故本選項符合題意；故選：D.

易錯警示：這道題主要考查有理數和無理數的概念，其易錯點如下：

概念混淆：若對有理數和無理數的概念理解不清晰，就可能誤選。比如，乃是一個無限不循環

小數，屬于無理數，但如果不了解其性質，可能會錯誤地認為它是有理數；也開方開不盡，也是無理

數，若不清楚無理數的定義，就可能判斷失誤；#五同樣是開方開不盡的數，為無理數，若對此認知

不足，也容易出錯。

對分數是有理數理解不深：三22是分數，屬于有理數。然而部分同學可能會因為

7

三22《3.142857…是無限循環小數，在判斷時產生猶豫，甚至錯誤地將其歸為無理數。

7

變式1-1.（2024?上海?模擬預測）-2024的相反數是（)

A.-2024B.2024C.一——

20242024

【答案】B

【分析】本題考查相反數定義.根據題意利用相反數定義即可得到本題答案.

【詳解】解：???-2024的相反數是2024,

故選：B.

變式1-2.（2024?上海嘉定?二模）下列實數中.屬于有理數的是（）

22

A.—B.27rC.V27D.sin60°

7

【答案】A

【分析】根據整數和分數統稱有理數，計算判斷即可.

本題考查了有理數，無理數的區別，熟練掌握概念是解題的關鍵.

【詳解】A.學是有理數，符合題意；

B.2兀是無理數，不符合題意;

C.收=3百是無理數，不符合題意；

D.sin60。=更是無理數，不符合題意；

2

故選A.

變式1-3.（2024?上海?模擬預測）數軸上到0距離為3的點表示的數為

【答案】+3

【分析】本題考查了數軸上到點距離的問題.根據數軸上兩點間的距離公式，即可求解.

【詳解】解：數軸上到0距離為3的點表示的數為±3.

故答案為：±3

變式1-4.（2024?上海寶山?一模）一個數的倒數等于它本身的數可能是（）

A.1B.兀C.0D.2

【答案】A

【分析】本題考查了倒數，直接開平方法解一元二次方程.熟練掌握倒數的定義，直接開平方法解一元

二次方程是解題的關鍵.

設這個數為。，依題意得，aa=l,計算求解，然后作答即可.

【詳解】解：設這個數為。，

依題意得，a-a=l,

解得，a=±l,

???一個數的倒數等于它本身的數可能是b

故選：A.

易錯陷阱二：混淆平方根、算術平方根、立方根

一、平方根

若x2=a（aN0）,那么x叫做。的平方根，記作x=±&.一個正數有兩個平方根，它們互為相反數;

0的平方根是0；負數沒有平方根。

二、算術平方根

若/=。（。20）,了20,那么犬叫做a的算術平方根，記作一個正數的算術平方根是一個正數，0

的算術平方根是0。

三、立方根

若x3=a，那么％叫做。的立方根，記作x=任何實數都有且只有一個立方根，正數的立方根

是正數，負數的立方根是負數，0的立方根是0。

易錯提醒：

(1)計算時易忽略平方根有正負兩個值，直接將平方根等同于算術平方根，如求9的平方根，錯寫為3,

而正確答案是±3o

(2)對算術平方根的非負性認識不足，在一些根式方程中，沒有對求出的根進行檢驗，導致出現增根。例

如在Jx+1=%一1中,解得x=0或1=3,但當x=0時，Vo+l=1,0-1=-1,等式不成立，尤=0是

增根，應舍去。

(3)混滑立方根和平方根的性質，比如認為負數沒有立方根，或者將立方根的求解方法與平方根混滑。

舉一反三

例2.(2024.上海.模擬預測)癇的平方根為°,若壇…

【答案】45

【分析】本題主要考查銳角三角函數，先求的立方根和平方根，再結合被開方數的特點得到。的值，進

1

一步計算得到的值，根據其值倒退得到余弦值的角度.

【詳解】解：???癇=4的平方根為a,

;?a=±2,

,*,V?=-a'

??ct=-2,

..Ae-Oe

?cos45=----,

2

故答案為：45

這道題綜合考查了立方根、平方根、二次根式的性質、負指數塞以及銳角三角函數值等知識點,

以下是易錯點分析:

立方根與平方根計算錯誤：計算唬時，若對立方根概念不熟悉，可能無法準確得出癇=4；

在求4的平方根得到。的值時，易忽略一個正數有兩個平方根，只得出0=2,而遺漏a=-2.

二次根式性質運用不當：根據必確定。的值時，需要明確J戶斗。當府=_。時，

意味著aWO。但部分同學可能對這一性質理解不深，不能正確判斷。的正負，從而在a=±2的情況

下，無法準確得出Q=—2。

負指數累計算出錯

三角函數值記憶有誤：得出等后，需要找到對應的余弦值角度。若對特殊銳角三角

函數值記憶不準確，可能無法快速判斷出cos45°=立，或者會與其他角度的三角函數值混清。

2

變式2-1.（23-24九年級下?上海徐匯?期中）100的平方根是；

【答案】±10

【分析】根據平方根的性質計算，即可得到答案.

【詳解】loo的平方根=±7155=±io

故答案為：±10.

【點睛】本題考查了平方根的知識；解題的關鍵是熟練掌握平方根的定義：如果一個數X的平方等于

那么這個數x就叫做。的平方根.

變式2-2.（2024?上海?模擬預測）計算：2°->/9=.

【答案】-2

【分析】本題考查了實數運算，先根據零指數塞和算術平方根運算，然后進行減法運算即可，解題的關

鍵是熟練掌握零指數幕和算術平方根運算法則.

【詳解】解：原式=1-3,

=—2，

故答案為：-2.

變式2-3.（2024?上海徐匯?二模）下列實數中，有理數是（）

A.6B.74C.V5D.A/6

【答案】B

【分析】本題主要考查實數的分類及算術平方根，熟練掌握實數的分類及算術平方根是解題的關鍵；根

據實數的分類可進行排除選項.

【詳解】解：："=2，

是有理數，而心、逐、卡是無理數；

故選B.

易錯陷阱三：有效數字和精確度識別錯誤

一、有效數字

從一個數的左邊第一個非0數字起，到末位數字止，所有的數字，包括0,都是這個數的有效數字。用

科學記數法表示的數。義10"(14|。|<10,〃為整數)，有效數字只看。中的數字。

二、精確度

一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位。對于用科學記數法表示的數axlO”,先

將其還原，再看。中最后一位數字在還原后的數中的位置，確定其精確度。

易錯提醒：

(1)確定有效數字時，易把0在數字中間或末尾的情況忽略。

(2)判斷精確度時，對于科學記數法表示的數容易出錯。

例3.(2024.上海.中考真題)科學家研發了一種新的藍光唱片，一張藍光唱片的容量約為2X1()5GB,

一張普通唱片的容量約為25GB,則藍光唱片的容量是普通唱片的倍.(用科學記數法表示)

【答案】8xl03

【分析】本題考查科學記數法，按照定義，用科學記數法表示較大的數時，一般形式為4X10",其中

l<|a|<10,〃為整數，按要求表示即可得到答案，確定。與〃的值是解決問題的關鍵.

【詳解】解：藍光唱片的容量是普通唱片的烏也=8000=8x103倍，

25

故答案為：8xl03.

這道題主要考查科學記數法以及倍數運算，以下是易錯點分析:

?科學記數法概念不清：對于科學記數法ax10"（1＜|a］＜10,”為整數）的形式掌握不牢。在計算

出倍數為8000后，要寫成科學記數法，部分同學可能會出現。的值不在1到10之間的情況，比如寫

成80x102;或者確定九的值時出錯，錯誤寫成8x102等。

運算錯誤：在計算主竺時，可能出現計算失誤。有的同學對1（）5.代表的數值理解不準確，

25

導致計算錯誤。

變式3-1.（2025?上海寶山?模擬預測）在2024年4月，中國自主研發的第三代超導量子計算機“本源悟

空”正式接入國家超算互聯網平臺，截至10月，“本源悟空”已經完成近270000個量子計算任務.用科學

記數法表示270000,正確的是

【答案】2.7x10s

【分析】本題考查了科學記數法表示較大的數，科學記數法的表示形式為axl（T,其中"。＜0,〃為整

數，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

根據科學記數法表示即可.

［詳解］解：270000=2.7xlO5

故答案為：2.7x105.

變式3-2.（2024?上海奉賢.三模）節約糧食勢在必行，據統計，我國每年浪費糧食約是3500000噸，將

3500000用科學記數法表示為.

【答案】3.5x10?

【分析】本題考查科學記數法，熟練掌握科學記數法的表示方法是解題的關鍵，科學記數法的表現形式

為axlO"的形式，其中14間（1。，〃為整數，確定〃的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少

位，〃的絕對值與小數點移動的位數相同，當原數絕對值大于等于10時，w是正數，當原數絕對值小于

1時〃是負數；由此進行求解即可得到答案.

【詳解】解:3500000=3.5xlO6，

故答案為：3.5xlO6.

4.（2024.上海崇明.三模）去年12月8日，2023世界新能源汽車大會“碳中和愿景下的全面電動化解決方

案”論壇在我國海南國際會展中心隆重召開，隨后，中國汽車工業協會發布了《2024中國汽車市場整體

預測報告》.預測2024年中國新能源汽車銷量將達1150萬輛左右，1150萬用科學記數法表示為.

【答案】1.15X107

【分析】本題主要考查科學記數法.科學記數法的表示形式為4X10"的形式，其中1〈時＜10,〃為整數.

【詳解】解：1150萬用科學記數法表示為1.15x107.

故答案為：1.15xIO,.

變式3-3.（2024?上海?模擬預測）用科學記數法表示：123456789=.（保留4位有效數字）

【答案】1.235x10s

【分析】此題考查了科學記數法與有效數字，把已知數字變成為科學記數法即可.

【詳解】123456789=1.23456789xlO8?1.235xlO8.

故答案為：1.235x108.

易錯陷阱四：運算順序錯誤

實數運算：在實數范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方及開方運算，而且有理數的運算法則和運算

律在實數范圍內仍然成立

易錯提醒：

在有理數混合運算中不注意運算導致計算錯誤，所以要牢記運算順序避免出錯：①先算乘方，再算乘除,

最后算加減；②有括號先算括號里面的，再算括號外面的；先算小括號，再算中括號，后算大括號.

例4.（2023?上海?中考真題）計算：%+

【答案】-6

【分析】根據立方根、負整數指數幕及二次根式的運算可進行求解.

【詳解】解：原式=2+君-2-9+3-斯

【點睛】本題主要考查立方根、負整數指數幕及二次根式的運算，熟練掌握立方根、負整數指數累及二

次根式的運算是解題的關鍵.

易錯警示：這道題涉及立方根、負整數指數幕、二次根式以及絕對值的運算，以下是易錯點分

析：

根式化簡錯誤：取應化簡為2,但如果對立方根的概念不熟悉，可能無法準確化簡，導致后續

計算出錯。

分母有理化出錯：對金萬進行分母有理化時，要利用平方差公式，分子分母同乘2-得

到6-2。若不熟悉分母有理化的方法或計算過程粗心，就容易出現計算錯誤。

?負整數指數累計算錯誤：根據負整數指數累的運算法則a-為正整數），

ap

=9,若記錯公式，比如錯誤地計算成[g[2=g,就會導致結果錯誤。

絕對值化簡錯誤：因為&〉3,所以|0-3|=3-6，若對絕對值內數的正負判斷失誤，比如

認為石〉3,從而得出3|=褥-3,就會造成計算錯誤。

運算順序混亂：在混合運算中，若不按照先算根式、指數幕、絕對值，再進行加減運算的順序,

就可能出現計算順序上的錯誤，影響最終結果。

變式4-1.（2024?上海靜安?三模）下列計算正確的是（）

CCU111

A.3x3=3B.35-38=36

C.23X33=66D.（33）2=35

【答案】B

【分析】本題主要考好了同底數嘉乘除法計算，分數指數累，積的乘方的逆運算，幕的乘方計算，熟知

相關計算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：A、32X33=35,原式計算錯誤，不符合題意；

B、313：=3Y=3=原式計算正確，符合題意；

C、23X33=（2X3）3=63,原式計算錯誤，不符合題意;

D、（33）2=36,原式計算錯誤，不符合題意；

故選：B.

變式4-2.（23-24九年級下?上海?期中）計算：sin45°-cos450+2-2-（72-1）°-1-2|.

【答案】-49

【分析】此題考查了實數的混合運算，利用特殊角的三角函數值、零指數幕、負整數指數累、絕對值進

行計算即可.

【詳解】解：sin45°-cos45°+2-2--1）°-1-2|

V2V21

=--x---1---1-2

224

111C

=—I--1—2

24

9

~~4

變式4-3.（2024?上海?模擬預測）計算：|班-2卜p24+2cos60?.

【答案】1-V3

【分析】本題主要考查了求特殊角三角形值，零指數幕，負整數指數幕和化簡絕對值，先計算特殊角三

角形值，零指數幕，負整數指數幕和化簡絕對值，再計算加減法即可.

【詳解】原式=2-1+2?11

2

=1-6.

變式4-4.（2024?上海松江?三模）計算：-『四+J話+亞百-|石-3|

【答案】際-4

【分析】本題考查了實數的運算，絕對值，準確熟練地進行計算是解題的關鍵.

先計算乘方與開方，并去絕對值符號，再計算加減即可解答；

【詳解】解：原式=-1+4+（-4）-（3-6）

=-1+4—4—3+s/s

=V5-4.

變式4-5.（2024.上海?模擬預測）計算：|有一3卜6]-V20+V3cos300

【答案】y-3x/5

【分析】本題考查了實數的混合運算，利用絕對值的性質、負整數指數塞、二次根式的性質、特殊角的

三角函數值分別運算，再合并即可求解，掌握實數的運算法則是解題的關鍵.

【詳解】解：原式=3-百+2-2百+出

=5—3A/5H—,

2

=--3^.

2

易錯陷阱五：混淆代數式的運算法則

整式加減法的實質是合并同類項，同類項是指所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項。合并同

類項時，系數相加減，字母和字母的指數不變。

單項式與單項式相乘，把它們的系數、同底數幕分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同

它的指數作為積的一個因式；單項式與多項式相乘，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加;

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加。

易錯提醒：

在整式運算中，易混淆易的運算法則

在代數式化簡求值時，代入數值時容易忽略符號，或者沒有先化簡就直接代入計算，使計

算過程繁瑣且容易出錯。

例5-1.（2024?上海?中考真題）計算：（4—）3=.

【答案】64元6

【分析】本題考查了積的乘方以及幕的乘方，掌握相關運算法則是解題關鍵.先將因式分別乘方，再結

合幕的乘方計算即可.

【詳解】解：（4尤2）3=64/,

故答案為：64x6.

這道題主要考查積的乘方和塞的乘方運算法則，以下是易錯點分析：

積的乘方運算法則應用錯誤：積的乘方（〃為整數），對于（4/）3,需要將4和

分別進行乘方。部分同學可能只對一進行乘方，而忽略4,得到（4/）3=4/；或者在計算對時出現

錯誤，算錯4的立方值。

事的乘方運算法則混淆：塞的乘方（m〃為整數），在對爐.進行乘方運算時，可能會

把指數相乘的規則記錯，比如錯誤地計算成而不是好,3=%6.運算順序混亂：沒有清晰地

按照先進行積的乘方，再進行事的乘方的順序計算，導致運算過程混亂而出錯。

例5-2.（2023?上海?中考真題）下列運算正確的是（）

523336

A.a4-a=aB.a+a=aC.?=a，D.=a

【答案】A

【分析】根據同底數幕的除法，合并同類項，嘉的乘方，二次根式的化簡等計算即可.

【詳解】解：A、a^a2=a\故正確，符合題意；

B、a3+a3=2a3,故錯誤，不符合題意；

C、（/『nd,故錯誤，不符合題意；

D、V7=|a|,故錯誤，不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了同底數幕的除法，合并同類項，塞的乘方，二次根式的化簡，熟練掌握累的運算法

則是解題的關鍵.

這道題綜合考查了同底數塞的除法、合并同類項、塞的乘方以及二次根式的化簡，以下是易錯

點分析：

同底數嘉除法法則運用錯誤：選項4考查同底數暴的除法法則優'+優為整

數）。部分同學可能對該法則不熟悉，導致無法正確判斷"5+々2=43是否正確；或者在其他類似題目中，

出現如/+/=〃（應為46-3="3這樣的計算錯誤。

合井同類項錯誤：對于選項3,合并同類項時，同類項的系數相加，字母和字母的指數不變。

?3+?3,系數1+1=2,結果應為2a3.但有的同學可能會把指數相加，錯誤地得到d，這是對合并同

類項法則理解不到位。

塞的乘方法則混淆：選項C涉及幕的乘方法則（。,"二相"（加〃為整數）。在這里（/J應是

/*2=46,若記錯法則，比如算成病,就會做出錯誤判斷。

二次根式性質理解有誤：選項。中，根據二次根式的性質而引可，而不是簡單的因為a

的正負不確定。部分同學可能忽略。為負數的情況，對二次根式性質理解不全面，從而認為，/是

正確的。

變式5-1.（2025.上海靜安.一模）下列代數式中，不是單項式的是（）

1a+b

A.3nmB.—C.0D.——

2TI2

【答案】D

【分析】本題考查單項式的定義，較為簡單，要準確掌握定義.數與字母的積的形式的代數式是單項式,

單獨的一個數或一個字母也是單項式，分母中含字母的不是單項式.

【詳解】解：解：A.3〃血是單項式；

B.是單項式；

27

C.0,是單項式；

D.等，是多項式.

故選：D.

變式5-2.（2024?上海?中考真題）計算（0+力（＞-°）=.

【答案】b2-a2

【分析】根據平方差公式進行計算即可.

【詳解】解:(a+b^b-a)

=S+a)(b—a)

=/_Q2,

故答案為：b2-a2.

【點睛】本題考查平方差公式，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握.

22

變式5-3.(2025?上海靜安?一模)計算：(-fl)\a=_.

【答案】-/

【分析】本題主要考查了事的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握運算法則.根據幕的乘方和同底數幕除

法運算法則進行計算即可.

【詳解】解：(-a?)'

故答案為：-a4.

變式5-4.(2024?上海浦東新?三模)下列計算正確的是()

A.2a2+2a3=2a5B.9^z64-3t22=3d3

B.C.2a273a36a6D.fa--=a2—a+—

I2j4

【答案】D

【分析】本題考查了整式的混合運算，完全平方公式.根據合并同類項，單項式除以單項式，單項式乘

單項式的法則，完全平方公式進行計算，逐一判斷即可解答.

【詳解】解：A、2a2與2/不能合并，故A不符合題意；

B、9a6+3/=3/w3d,故B不符合題意；

C、2a2-3a3=6a5^6a6,故C不符合題意；

D、故D符合題意；

故選：D.

易錯陷阱六：忽略了分式的分母不能為零

分式有意義的條件

A

對于分式一（A、3是整式，3中含有字母），其有意義的前提是分母BW0。當6=0時，分式無意

B

義。

易錯提醒：

在涉及分式的各類問題中，一定要時刻牢記分母不能為。這個關鍵條件。無論是求字母取

值范圍、解分式方程，還是分式化簡求值，都要仔細檢查是否存在使分母為。的情況，避

免出現錯誤。

2—x

例6-1.（2024.上海.中考真題）函數的定義域是（）

x-3

A.x=2B.XH2C.x=3D.尤H3

【答案】D

【分析】本題考查求函數定義域，涉及分式有意義的條件：分式分母不為0,解不等式即可得到答案,

熟練掌握求函數定義域的方法是解決問題的關鍵.

【詳解】解：函數〃尤）=上式的定義域是x-3w0,解得xw3,

x-3

故選：D.

這道題考查函數定義域以及分式有意義的條件，以下是易錯點分析：

分式有意義條件理解不足：部分同學對分式的分母不能為0這一條件理解不深刻，在看到函數

/（》）=二三時，可能意識不到需要根據分母不為0來確定x的取值范圍，從而無從下手。

尤-3

受分子干擾：函數表達式中分子為2-x,有的同學可能會錯誤地認為分子也會對定義域產生限

制，從而在判斷x的取值范圍時，除了考慮分母，還去分析分子，導致思路混亂，錯選其他選項。

2lx

例6-2.（2023?上海?中考真題）化簡：4-盧的結果為______.

1-x\-x

【答案】2

【分析】根據同分母分式的減法計算法則解答即可.

【詳解】解：一盧生=2（匕2=2；

1-X1-X1-X1-x

故答案為：2.

【點睛】本題考查了同分母分式減法計算，熟練掌握運算法則是解題關鍵.

這道題考查同分母分式的減法運算及化簡，以下是易錯點分析：

分式減法法則運用錯誤：同分母分式相減，分母不變，分子相減，即0-2=巴心（°，0）.但

CCC

部分同學可能對該法則不熟悉，出現錯誤。

（—無）

化簡過程出錯：在得到2上-2士x后，需要對分子提取公因式2進行化簡，即2有1的同學

1-xx

可能不會提取公因式，或者在提取過程中出現錯誤；還有的同學在約分時，可能會因為粗心，出現約

分不完全或約錯的情況，比如約分時保留2（1—*=2Q_X）.

I-X

忽略分母條件：在整個運算過程中，要保證分母1-XWO,雖然本題化簡結果為常數2,不受分

母取值影響，但部分同學在做這類題時，可能完全不考慮分母不能為這個條件，在其他更復雜的分式

運算中就容易出現錯誤。

變式6-1.（2023?上海?中考真題）函數〃的定義域為.

【答案】x*23

【分析】根據分式有意義的條件可進行求解.

【詳解】解：由/（同=」^可知：彳一23二0,

x—23

xw23；

故答案為XX23.

【點睛】本題主要考查函數及分式有意義的條件，熟練掌握函數的概念及分式有意義的條件是解題的關

鍵.

變式62（2024?上海嘉定?三模）化簡：+：=__________

Ix-2）x-2

【答案】工

x-1

【分析】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握分式混合運算的法則是解題的關鍵.

先化簡小括號內分式，再將除法轉化為乘法計算.

【詳解】解：原式=("-匚1)?產余

x—2x—2(%—1)

x—1x—2

x—2(x—I)2

1

x-1'

故答案為：----.

x-1

變式6-3.(2024?上海崇明?三模)計算J4+土上,=_____.

x-4x+42x-4x

【答案】-

X

【分析】本題主要考查分式的計算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.根據平方差公式，完全平方公式

進行計算即可.

2

S叩尤2-4X+2X1_(X+2)(X-2)2(X-2)1_21_1

【詳角牛】角牛：-------7--------------=---；----------；------=-----=一，

x-4%+42%-4x(x-2)x(x+2)xxxx

故答案為：一.

x

易錯陷阱七：因式分解不徹底致錯

一、因式分解的定義與方法

因式分解是把一個多項式在一個范圍化為幾個整式的積的形式。常見方法有：

(一)提公因式法

如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，如

ma+mb+me—m(a+b+c).

(二)公式法

利用平方差公式儲-/=(a+8)(q-))，完全平方公式片+2ab+Z?2=(a土b)2進行因式分解。

(三)十字相乘法

二、常見不徹底情況及原因

(一)提公因式不完全

在多項式中，公因式可能是一個單項式，也可能是一個多項式。例如對3Mx-2)-6(2-x)因式分解,

部分同學只看到數字和字母部分的公因式，提出3得到3[x(x-2)-2(2-%)]就停止，忽略了(x-2)與

(2—%)的關系，可進一步變形為3x(x—2)+6(%—2),再提出公因式3(x—2),得到3(x—2)(x+2).

(二)公式運用不熟練

1.對于一些復雜的多項式，需要多次運用公式。比如16,先用平方差公式得到(尤2+4)(/—4),但部

分同學就到此為止，沒有發現4還能繼續用平方差公式分解為(x+2)(x-2),最終應分解為

(爐+4/工+2)(%-2).

2

2對公式的結構特征把握不準確，導致不能正確運用公式。例如把%+4x+4分解為(x+2)(%+2)后，

沒有寫成完全平方形式(X+2)2；或者在使用平方差公式時，對于類似4爐-9產，不能準確識別出

a=2x,b—3y,從而分解錯誤。

(三)多種方法結合混亂

當一個多項式需要綜合運用多種因式分解方法時，容易出現思路混亂的情況。比如2d—8爐+8達應

先提取公因式2x得到2%(/一4x+4),再對括號內的式子用完全平方公式進一步分解為2x(x-2>.

但有的同學可能先嘗試用公式法，發現無法直接分解后又不知所措，或者提取公因式不徹底就開始使用

其他方法，導致因式分解不徹底。

易錯提醒：

在進行因式分解時，要按照“一提、二套、三檢查”的步驟進行。先看多項式各項是否有公因式，若

有先提公因式；再看剩余部分能否運用公式法或其他方法繼續分解；最后檢查分解后的每一個因式是否

還能繼續分解，確保因式分解徹底。

例7.(2024?上海楊浦?模擬預測)因式分解：.

【答案】[(尤-y『+l](x-y+l)(x-yT)

【分析】本題考查了利用平方差公式進行因式分解，直接利用平方差公式分解因式即可，熟練掌握公式

法因式分解是解題的關鍵.

【詳解】解：原式=/7)2+1]/7)2-1]

=[(x-y)2+l](x-y+l)(x-y-l),

故答案為：[(X-y)2+1](x-y+1)(x-y-1).

這道題主要考查利用平方差公式進行因式分解，以下是易錯點分析：

平方差公式識別與運用錯誤：平方差公式為^二色+加色一切，對于(刀—丁葉―],需將

(x->)4看作：“2(即a=@—m2,再運用公式。部分同學可能無法準確識別出該式子符合平方差公

式的形式，導致不知道從何下手分解因式；或者在運用公式時出現計算錯誤，如錯誤地寫成

(x-y)4-1=[(X-y)2-1][(X-y)2_1].

因式分解不徹底：在第一次運用平方差公式得到[(x-y)2+l][(x-y)2-1]后，部分同學沒有

注意到(x-y)2-1還能繼續使用平方差公式分解。因為此時可將(x-y)看作一個整體，(x-y)2-1符

合平方差公式形式，能進一步分解為(x-y+l)(x-y-1),若忽略這一步，就會導致因式分解不徹底。

整體思想運用不熟練：本題中多次將(x-y)看作一個整體進行運算，若對整體思想運用不熟練,

在分解過程中容易出現混亂，比如在對(x-'『-I分解時，可能會把(x-y)拆開，使計算變得復雜且

容易出錯。

變式7-1.(2024?上海?模擬預測)因式分解：孫6_02=

【答案】xy2(y-i)(y+i)(/+i)

【分析】本題考查了提取公因式法和公式法分解因式，首先提取公因式與"再利用平方差公式分解因

式即可，正確運用乘法公式分解因式是解題的關鍵.

【詳解】解：xy6-xy2

=xy2(y4-l)

=xy2

=xy2(y-l)(y+l)(y2+l).

變式7-2.(2024?上海嘉定?三模)因式分解：%2-2xy-(4-/)=

【答案】(x-y+2)(x-y-2)

【分析】本題主要考查運用分組分解法和公式法分解因式，原式先去括號，再運用公式法進行因式分解

即可

【詳解】解：%2-2^-(4-/)

=x2-2xy+y2-4

=(x-y)2-4

=(x_y+2)(x_y-2)

故答案為：(x-y+2)(x-y-2)

變式7-3.(2024?上海?模擬預測)若x=y-2020。，貝口?-2孫+/=

【答案】1

【分析】本題考查了零指數幕的運算，利用完全平方公式因式分解，熟練掌握完全平方公式是解題的關

鍵.先計算2020。的值，得到=再根據完全平方公式將/-2盯+V化為(了一?,最后將

=代入,即得答案.

【詳解】解：門=，-2020。=〉-1,

/.x-y=_1,

x1-2xy+y2=(x-y)2=(-1)2=1.

故答案為：1.

變式7-4.(2024?上海金山?二模)下列多項式分解因式正確的是()

A.a2-b2=(a-b^2B.a2+b2=(a+Z?)2

C.儲+2a—3=a(a+2)—3D.2a—4=2(。—2)

【答案】D

【分析】本題考查了因式分解的定義，把一個多項式表示成幾個多項式積的形式；根據因式分解的定義

逐項判斷即可.

【詳解】解：A、a1-b1={a+b){a-b)^^a-b^,故分解錯誤；

B、B+J不能分解,故錯誤；

C、不是因式分解，故錯誤；

D、分解正確；

故選：D.

易錯通關?練

一、單選題

1.（2024?上海?模擬預測）下列運算正確的是（）

A.J4+9=2+3B.74^9=72^3C.再=3。D.屈=0.7

【答案】C

【分析】本題考查了平方根，熟練掌握運算法則是解題的關鍵.

根據平方根的定義進行逐項判斷即可.

【詳解】解：A、709=713,則A不符合題意.

B、74^9=736=6,則B不符合題意.

C、再=屈=9=33則C符合題意?

D、衣？片0.7,則D不符合題意.

故選：C.

2.（2025?上海靜安?一模）下列各組數中，不相等的一組是（）

A.（-2）3和_23B.（-2『和-2?

C.卜2『和23D.2和一正/

【答案】B

【分析】本題主要考查了有理數的乘方運算，求一個數的立方根，根據有理數的乘方運算法則和立方根

定義，逐項進行判斷即可.

【詳解】解：A.（-2?=-8和-2?=-8,相等，故A不符合題意；

B.（-2『=4和一?2=T，4/T,故B符合題意；

<2.卜2『=8和23=8,相等，故C不符合題意；

D.2和-廿=-（-2）=2,相等，故D不符合題意.

故選：B.

二、填空題

3.(2025?上海奉賢?一模)函數y=展的定義域是_________.

x+2

【答案】XW-2

【分析】本題考查了分式有意義的條件、求函數的定義域，根據分式有意義的條件得出x+2w0,求解

即可.

【詳解】解：要使分式一'有意義，則分母*+2#0,

即％w-2,

；?函數>的定義域是XH—2,

故答案為：XW—2.

4.(2025?上海寶山?模擬預測)分解因式：ax4-ax2=

【答案】ax2(x+l)(x-l)

【分析】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵，根據因式分解的方法：1、提公

因式法；2、公式法(完全平方式，平方差公式)；3、“十字相乘”法對其分解即可得到答案.

【詳解】解：ax-ax2=av2(x2-1)=ax2,

故答案為：ac2(x+l)(x