專題01數(shù)與式、方程、不等式計算

目錄

熱點題型歸納.............................................................................................1

題型01實數(shù)計算..........................................................................................1

題型02整式及因式分解的運算.............................................................................3

題型03分式及分式方程...................................................................................5

題型04二元一次方程組的計算.............................................................................8

題型05一元二次方程的計算..............................................................................10

題型06一元一次不等式（組）...............................................................................12

中考練場.................................................................................................14

題型01實數(shù)計算

01題型綜述________________________________________

實數(shù)計算是初中數(shù)學(xué)的核心基礎(chǔ)內(nèi)容，分值占比約5%-10%,貫穿代數(shù)、幾何等綜合題型。

1.考查重點：四則運算（含乘方、開方）、絕對值化簡、運算律靈活應(yīng)用；

2.高頻題型：混合運算題、數(shù)軸結(jié)合比較題；

3.高頻考點：乘方與開方符號處理、絕對值非負(fù)性、運算順序規(guī)范；

4.能力要求：運算順序的嚴(yán)格執(zhí)行、符號敏感度（如負(fù)號與括號）、估算驗證能力、步驟規(guī)范性；

5.易錯點：混淆乘方符號（如—3?=-9與（-3）2=9）、運算順序跳步等錯誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.實數(shù)的運算法則:

先乘方，再乘除，最后加減。有括號的先算括號，先算小括號，再算中括號，最后算大括號。

2.絕對值的運算：

同=<"；一：：）,常考形式：,一母=（大一小）。

3.根式的化簡運算：

①利用二次根式的乘除法逆運算化簡。乘除法：?、巧=疝；*=

②V?=14；③V?二〃。

1

③分母有理化。即=/啊，\=正王邁0

<a±Nb卜/a±Yb卜/a斗Yb）a-b

④二次根式的加減法：a4rn±=（a±b）4m。

4.0次幕、負(fù)整數(shù)指數(shù)幕以及-1的奇偶次幕的運算：

①/=l（"0）；@an=—；?-ln=-l；④（-1）〃=[1伊"L。

'，an1-1（〃是奇數(shù)）

5.特殊角的銳角三角函數(shù)值（附加）：

三角函數(shù)30°45°60°

j_

sinaV2正

~2~2~

cosaV3V2

~2~2~~2

V3

tanc1V3

"V

【典例分析】

例1.（2024?湖南長沙?中考真題）計算:

【變式演練】

2

0

1.（2025?廣東陽江?模擬預(yù)測）計算：（TT-3）I+X4-|73-2|

2.（2025?陜西西安?一模）計算：（6一1）°+［彳］+sin60°+|l-A/3|.

3.（2025?廣東?模擬預(yù)測）計算：出一2卜（兀一2024）°+,￡|-4cos45°.

4.（2025?湖南婁底?一模）計算：-|-2|+f--L］+2tan60o-V12

1112024J

題型02整式及因式分解的運算

01題型綜述________________________________________

整式及因式分解的計算是初中數(shù)學(xué)代數(shù)運算的基礎(chǔ)內(nèi)容，涉及代數(shù)式的化簡、變形與分解，分值占比約5%-10%（以中

考卷為例）。

1.考查重點：整式的四則運算、乘法公式的靈活應(yīng)用，以及因式分解的基本方法（提公因式法、公式法、分組分解法

等）。

2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的化簡求值或綜合因式分解題。

3.高頻考點：完全平方公式與平方差公式的應(yīng)用、多項式因式分解的徹底性、代數(shù)式化簡中的符號處理。

4.能力要求：準(zhǔn)確快速的計算能力、代數(shù)式結(jié)構(gòu)觀察能力、公式逆用與變形的邏輯思維能力。

5.易錯點：運算中符號錯誤（如負(fù)號遺漏）、公式混淆（如（。-6）2誤寫為因式分解不徹底、混淆乘法公式

展開與因式分解方向。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.合并同類型:

法則：“一相加，兩不變”，即系數(shù)相加，字母與字母的指數(shù)不變照寫。

2.整式的加減的實質(zhì)：

合并同類項。

3.整式的乘除運算:

①單項式X單項式：系數(shù)相乘，同底數(shù)募相乘，其中一個因式單獨存在的字母連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

②單項式X多項式：單項式乘以多項式的每一項，變成單項式乘以單項式。

③多項式X多項式：用其中一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，變成單項式乘以單項式。

④單項式+單項式：系數(shù)相除，同底數(shù)暴相除，被除數(shù)中單獨存在的字母連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

⑤多項式+單項式：多項式的每一項除以單項式，變成單項式除以單項式。

4.乘法公式：

①平方差公式：?=/—廿。

②完全平方公式：｛a+bf=a2+2ab+b1.

5.因式分解的方法：

①提公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)；

②公式法：平方差公式：a2-b2=(a+b^a-b)

完全平方公式：c^+lab+b1=[a±bf.

③十字相乘法：在+c中，若c=mn且m+n=〃均為整勃，貝!J：

x1+bx+c=(x+ni^x+?)o

【典例分析】

例1.(2024?云南?中考真題)分解因式：°3_94=()

A.a(a—3)(a+3)B.a(a?+9)C.(a—3)(a+3)D.9)

例2.(2024.江蘇常州?中考真題)先化簡，再求值：(尤+1)2-尤(尤+1),其中石一1.

例3.(2024?山東濟寧?中考真題)先化簡，再求值：

x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),其中％=y=2.

2

【變式演練】

1.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）因式分解3。必一6叼+3緲2=.

2.（2025?河南鄭州?模擬預(yù)測）先化簡，再求值：3a（6Z2+2a+l）-（-a+4?+l）,其中。=1.

3.（2024?浙江臺州?二模）先化簡，再求值：（5o2-3/72）+2（2/72-3a2）,其中a=—l,6=2.

4.（2024?內(nèi)蒙古通遼?中考真題）先化簡，再求值：（2a+b）（2a-b）-（a+b）（4"b）,其中”=-0/=2.

5.（2025?陜西?■模）先化簡，再求值：y（3xy+2xy2）-14xy^7xy2,其中x=2,>=-1.

6.（2025?湖南長沙?模擬預(yù)測）先化簡，再求值，（x-y）（x+y）+（x+>）2-2/,其中工=-2,y=1.

題型03分式及分式方程

01題型綜述___________________________________________

分式及分式方程的計算是初中數(shù)學(xué)代數(shù)運算與方程應(yīng)用的核心內(nèi)容，分值占比約8%-12%（以中考卷為例）。

1.考查重點：分式的基本性質(zhì)（約分、通分）、分式四則運算、分式方程的解法（去分母法）。

2.高頻題型：分式化簡與求值題、分式方程的計算。

3.高頻考點：分式有意義的條件（分母不為零）、分式方程增根的檢驗、復(fù)雜分式化簡中的因式分解技巧。

4.能力要求：分式運算的細(xì)致性（符號、通分順序）、方程變形中的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性。

5.易錯點：忽略分母為零的情況、去分母時漏乘項或未檢驗增根、分式化簡過程中符號或運算順序錯誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.分式的概念及性質(zhì):

A

形如4,A、5都是整式的式子叫做分式。簡單來說，分母中含有字母的式子叫做分式。

B

分式的分子與分母同時乘上（或除以）同一個不為0的式子，分式的值不變。即：

4=紅，4=生￡小0）。

BBCBB+C7

2.分式的通分：

把幾個異分母的分式利用分式的性質(zhì)化成分式值不變的幾個同分母的分式的過程叫做通分。這個相同的分母叫做

分母的最簡公分母。

公分母=系數(shù)的最小公倍數(shù)乘上所有字母（式子）的最高次幕。

3.分式的約分：

利用分式的性質(zhì)約掉分式中分子分母都存在的公因式的過程叫做約分。

公因式=系數(shù)的最大公因數(shù)乘上相同字母（式子）的最低次塞。

分子分母不存在公因式的分式叫做最簡分式。約分時一般把分式化成最簡分式。

4.分式的加減運算：

①同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減。即：白+：=士士。

BBB

②異分母的分式相加減，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式進(jìn)行加減。即：

_A_1_DAC—|_BD_A__C_+__B__D_

BC-BCBC-BC

5.分式的乘除運算：

AnAn

①分式的乘法：分子乘分子得到積的分子，分母乘分母得到積的分母。即：——=—。

BCBC

ADACAC

②分式的除法：除以一個分式，等于乘上這個分式的倒數(shù)式。即：

BCBDBD

6.分式方程的定義：

分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。

7.分式方程的解：

使分式方程成立的未知數(shù)的值叫做分式方程的解。

8.解分式方程。

具體步驟：

①去分母一一分式方程的兩邊同時乘上分母的最簡公分母。把分式方程化成整式方程。

②解整式方程。

③檢驗一一把解出來的未知數(shù)的值帶入公分母中檢驗公分母是否為0。若公分母不為0,則未知數(shù)的值即是原分式

方程的解。若公分母為0,則未知數(shù)的值是原分式方程的曾根，原分式方程無解。

【典例分析】

'2+a

例L（2024?甘肅臨夏?中考真題）化簡：+l+

Va-\）,a—1

例2.（2024?寧夏?中考真題）先化簡，再求值：fl-一二1-，其中a=l-/.

）a

例3.（2024?黑龍江大慶?中考真題）先化簡，再求值：[13）X2-9_,-

+-6x+9'其中x—2.

例4.（2024?陜西?中考真題）解方程：k2匚+Txnl.

x-1x-1

3x

例5.（2024?福建?中考真題）解方程：T+l=—.

x+2x-2

【變式演練】

1_x3

1.（2025?陜西西安?一模）解方程：—=^--1.

x+1X-1

x-21

2.（2025.陜西西安.一模）解方程：一-1.

x+2x-4

3.（2025?陜西西安?一模）先化簡，再求值；110]m2-4m+4_,

:2，其中

（m-1Jm-m

4.（2025?江西?模擬預(yù)測）先化簡2一1一-\,再從絕對值小于3的整數(shù)中，選一個合適的數(shù)代入求值.

m-1\m+1）

5-（2025?湖南郴州?模擬預(yù)測）先化簡,再求值：（3+士）+月3,其中片忘-L

題型04二元一次方程組的計算

01題型綜述

二元一次方程組的計算是初中數(shù)學(xué)方程與代數(shù)應(yīng)用的核心內(nèi)容，分值占比約5%-10%（以中考卷為例）。

1.考查重點：方程組的解法（代入消元法、加減消元法）

2.高頻題型：解答題中二元一次方程組的計算。

3.高頻考點：消元法的靈活運用、方程組的特殊解（無解/無窮解）。

4.能力要求：精準(zhǔn)的計算能力。

5.易錯點：消元過程中符號錯誤、代入時未化簡導(dǎo)致計算復(fù)雜

02解題攻略

【提分秘籍】

定義

（1）概念：具有相同未知數(shù)的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.

伍1尤+6iy=ci，

（2）一般形式：\"（01,。2,bi,均不為零）.

加十。2y=C2

（3）二元一次方程組的解

一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

解法

代入法解二元一次方程組的一般步驟：

從方程組中任選一個方程，將方程中的一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的代數(shù)式表示出來；

A將這個代數(shù)式代入另一個方程，消去一個未知數(shù)，得到含有一個未知數(shù)的一元一次方程；

c.解這個一元一次方程，求出一個未知數(shù)的值；

d將所求得的這個未知數(shù)的值代入原方程組的任一方程中，求出另一個未知數(shù)的值，從而得到方程組的解.

加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：

a.方程組的兩個方程中，如果同一個未知數(shù)的系數(shù)不互為相反數(shù)又不相等，就用適當(dāng)?shù)臄?shù)去乘方程的兩邊，使它們中同

一個未知數(shù)的系數(shù)相等或互為相反數(shù)；

b.把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程；

c.解這個一元一次方程；

d.將求出的未知數(shù)的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數(shù)，從而得到方程組的解.

【典例分析】

lx—y=5

例1.（2024?浙江?中考真題）解方程組:

4x+3y=-10

x+2y=3

例2.（2024?廣西?中考真題）解方程組:

x-2y=l

2x+y=l

例3.（2024.江蘇蘇州.中考真題）解方程組:

2x-3y=3

【變式演練】

x+y=7

1.（2024?江蘇南京.二模）解方程組：Lj,

---------=1

[23

2x-y=3①

2.（2025?廣西?一模）解方程:

x+2y=-1?

1_2±1=1

3.（2024?新疆烏魯木齊?模擬預(yù)測）解方程組：23

3x+2y=10

3%—5y=10

4.（2024?甘肅金昌?一模）解方程組：x_y=l

、6~2~3

3x+4y=11

5.（2025?廣東揭陽?一模）解方程:

x+2y=5

題型05一元二次方程的計算

01題型綜述

一元二次方程的計算是初中數(shù)學(xué)代數(shù)與方程思想的核心內(nèi)容，分值占比約12%-18%（以中考卷為例）。

1.考查重點：一元二次方程的解法（因式分解法、配方法、公式法）、根的判別式與根的性質(zhì)分析、實際應(yīng)用問題

中的方程建模與解的意義驗證。

2.高頻題型：選擇題和填空題中的直接解方程或判斷根的情況，解答題中的綜合應(yīng)用題（如幾何、經(jīng)濟問題）或與

函數(shù)、不等式結(jié)合的題目。

3.高頻考點：求根公式的靈活運用、根的判別式（△）判斷根的存在性、實際問題中解的合理取舍（如非負(fù)解或整

數(shù)解）。

4.能力要求：準(zhǔn)確的計算技巧、代數(shù)變形能力（如配方）、實際問題抽象為方程的建模能力及多解情境的分析能力。

5.易錯點：求根公式代入時系數(shù)符號錯誤、忽略二次項系數(shù)不為零的條件、應(yīng)用題中未剔除不符合實際的解。

02解題攻略

【提分秘籍】

概念

（1）只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)是二次，且系數(shù)不為o的整式方程，叫做一元二次方程.

（2）一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（"0）,其中辦2叫做二次項，區(qū)叫做一次項，c叫做常數(shù)項，.是二次

項的系數(shù)，b是一次項的系數(shù)，注意存0.

解法

①直接開平方法：（無+加）2=〃（論0）的根是x=-m±4n

②配方法:將0+法+/0（存0）化成[x+2]。的形式,當(dāng)時，用直接開平方法求解

（2a）4a"2a

③公式法:ax2+6x+c=0（a/））的求根公式為％=--——一而。＞0）

2a

④因式分解法:將方程右邊化為0,左邊化為兩個一次因式的積，令每個因式等于0,得到兩個一元一次方程，解這兩個

一元一次方程就得到原方程的解

根的判別式

⑴當(dāng)b2-4ac>0時，方程有的實數(shù)根;

（2）當(dāng)爐一4就=0時，方程有的實數(shù)根;

（3）當(dāng)爐-4ac<0時,方程.

【典例分析】

例1.（2024.江蘇徐州?中考真題）解方程：X2+2X-1=0；

例2.（2024?江蘇無錫?中考真題）（1）解方程：（X-2）2-4=0；

例3.（2024?青海?中考真題）解一元二次方程：f-4x+3=0;

【變式演練】

1.（2025?江蘇無錫?一模）解方程：2/-3x-l=0.

2.（2025?新疆烏魯木齊?三模）解方程：尤2-4尤-1=0.

3.（2025?山西長治?模擬預(yù)測）解方程：3x（x-l）=2（l-x）.

4.（2025?廣東深圳?一模）（1）解方程：（2X-1）2=4

（2）解方程：（尤+3）2=2X+5.

5.（2025?遼寧撫順?一模）解方程

（1）尤2_6彳-1=0（配方法）

(2)3X2-5X+1=0(公式法)

題型06一元一次不等式（組）

01題型綜述

一元一次不等式（組）的計算是初中數(shù)學(xué)代數(shù)與實際問題分析的基礎(chǔ)內(nèi)容，分值占比約5%-8%（以中考卷為例）。

1.考查重點：不等式的基本性質(zhì)、解集表示（數(shù)軸法）、不等式組的公共解確定，以及實際應(yīng)用中的最值問題或范

圍限制分析。

2.高頻題型：選擇題和填空題中的不等式（組）求解，解答題中結(jié)合實際問題（如方案設(shè)計、費用優(yōu)化）或與方程、

函數(shù)綜合的題目。

3.高頻考點：不等式變形中的符號方向變化、解集公共部分的提取、特殊解（如整數(shù)解）的篩選、含參數(shù)不等式的

分類討論。

4.能力要求：嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆柼幚砟芰Α?shù)形結(jié)合分析解集的能力、實際問題轉(zhuǎn)化為不等式模型的抽象能力。

5.易錯點：乘除負(fù)數(shù)時未改變不等號方向、解集端點取舍錯誤（如是否包含等號）、應(yīng)用題中忽略隱含條件（如非

負(fù)性）。

02解題攻略

【提分秘籍】

不等式的基本性質(zhì)

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變

（2）不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變

（3）不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變

四種不等式組的解集解法

不等式組3<b）解集圖示口訣

x>a

x>b_J__I—?同大取大

x>bah

x<a

<x<a__1___同小取小

x<ba

x>a

a<x<b__1___大小小大取中間

x<ba

x<a

無解大大小小就無解

x>bah

【典例分析】

'2x-l<-9

例1.（2024.寧夏.中考真題）解不等式組，2+x.

1-x>------

I3

4x>2（x-l）?

例2.（2024.山東濟南.中考真題）解不等式組：x+2x+5…，并寫出它的所有整數(shù)解.

----<----②

123

例3.（2024?天津?中考真題）解不等式組。，-

請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

⑴解不等式①，得;

⑵解不等式②，得;

（3）把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來：

-4-3-2-1012

（4）原不等式組的解集為.

【變式演練】

2x+9>6x+l

1.（2025?陜西西安?二模）解不等式組:

x-2<l

3（^-2）<4x-5

2

-（2。25?上海寶山?模擬預(yù)測）解不等式組：^2<1+x并寫出其整數(shù)解

x-3（x—2）＜4

3.（2025?山東濟南?二模）解不等式組：2x-l3x+2］，并寫出該不等式組的最小整數(shù)解.

--------2----------1

136

4.（2025?陜西?模擬預(yù)測）解不等式1*＞3,并將其解集在數(shù)軸上表示出來.

~4—3-2—1012

區(qū)＞1①

5.（2024?上海虹口.三模）解不等式組2?并將其解集表示在所給數(shù)軸上.

7尤一8V9②

-5-4-3-2-10123

03中考練場

1.（2025.廣東陽江.模擬預(yù)測）計算：（7r-3）°+|-1jx4-|^-2|

2.(2025?廣東?模擬預(yù)測)計算：|V8-2|+(7i-2024)°+f-|j-4cos45°.

41

3.（2025?上海閔行?一模）計算:-(cos300)+|-tan45°|+^°

1+6

4.（2025?上海徐匯?模擬預(yù)測）計算：3tan30°-tan60°+W二-2025°

5.（2025?江蘇無錫?一模）計算:

⑴(-2『+(%-2024)°-4cos30°+卜2闋;

(2)(6?-2)2-(a-4)(?+l).

3x>4-2x

6.（2025?陜西咸陽?模擬預(yù)測）解不等式組：Jx-12尤+1.

1--------<--------

I23

13

7.（2025?陜西西安?二模）解方程：--+1=^—

8.（2025?河南安陽?模擬預(yù)測）（1）計算：|-l|-2025°+W+/；

（2）化簡：?

\X）X

9.（2025?陜西?模擬預(yù)測）化簡：

\a-la〃+1

10.（2025?陜西?一模）先化簡，再求值：y（3孫+2孫2）-14尤2y4+7肛2,其中x=2,y=T.

11.（2025?陜西?模擬預(yù)測）先化簡，再求值：（x—yp-尤（尤+2y）,其中尤=2,y=-l.

12.（2025?湖南婁底?一模）先化簡，再求值：二^+一：以+4」,其中X=T.

xx+2x