專題01數與式、方程、不等式計算

目錄

熱點題型歸納.............................................................................................1

題型01實數計算..........................................................................................1

題型02整式及因式分解的運算.............................................................................4

題型03分式及分式方程...................................................................................9

題型04二元一次方程組的計算............................................................................16

題型05一元二次方程的計算..............................................................................22

題型06一元一次不等式（組）..............................................................................27

中考練場.................................................................................................33

題型01實數計算

01題型綜述________________________________________

實數計算是初中數學的核心基礎內容，分值占比約5%-10%,貫穿代數、幾何等綜合題型。

1.考查重點：四則運算（含乘方、開方）、絕對值化簡、運算律靈活應用；

2.高頻題型：混合運算題、數軸結合比較題；

3.高頻考點：乘方與開方符號處理、絕對值非負性、運算順序規范；

4.能力要求：運算順序的嚴格執行、符號敏感度（如負號與括號）、估算驗證能力、步驟規范性；

5.易錯點：混淆乘方符號（如—32=-9與（-3）2=9）、運算順序跳步等錯誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.實數的運算法則：

先乘方，再乘除，最后加減。有括號的先算括號，先算小括號，再算中括號，最后算大括號。

2.絕對值的運算：

時?"；一：：），常考形式：卜-4=伏-小）。

3.根式的化簡運算：

①利用二次根式的乘除法逆運算化簡。乘除法：/a-4b=4ab-,*=1?,

②二|4；③=a。

自A用右拜小用1______-千，加_____._4a+4b

4a±4b[^±4b^]~a+4b^ct-b

④二次根式的加減法：a4m±b4m=（a±b）4m。

4.0次幕、負整數指數幕以及-1的奇偶次幕的運算：

①J=l（aw0）；?a-n=—；?-lw=-l；④（T）"HfL。

'，an[-1（"是奇知

5.特殊角的銳角三角函數值（附加）：

三角函數30°45°60°

J_V3

sinaV2

2~^2~r

V3

cosaV2

~2~~2~~2

V3

tana1V3

3

【典例分析】

例1.（2024.湖南長沙.中考真題）計算：（^）-1+|-V31-2cos30°-（7t-6.8）°.

【答案】3

【分析】本題考查了實數的混合運算，先根據絕對值、零指數塞、負整數指數幕的意義，特殊角的三角函值化簡，再

算加減即可.

【詳解】解：原式=4+&-6-1=3.

【變式演練】

1.（2025?廣東陽江?模擬預測）計算：（-3）°+1；）X4-|73-2|.

【答案】73

【分析】本題考查實數的混合運算，根據零指數累、有理數的乘方，以及化簡絕對值，求解即可.

【詳解】解：（兀一3）°+[-；]、4_|函一21

=1+1X4-（2-A/3）

=1+1-2+73

=A/3

0（萬丫2

2.（2025?陜西西安?一模）計算：（括—1）。+二+sin60°+|l-^|.

I2J

【答案】2+巫

2

【分析】本題主要考查了實數的運算，零指數累，負整數指數累，特殊角的三角函數值，絕對值的化簡，熟練掌握運

算法則是解題的關鍵.根據運算法則進行計算即可.

【詳解】解：原式=1+2+與g

2

=2+坦

2

3.（2025?廣東?模擬預測）計算：阿-2%（無-2024）°+-4cos45°.

【答案】3

【分析】本題考查了實數的運算，根據特殊角的三角函數值，零指數累，負整指數累以及二次根式的化簡即可解答本

題.

【詳解】原式=我-2+1+4-4X走

2

=20-2+1+4-20

=3.

4.（2025?湖南婁底?一模）計算：-1-21+f-——+2tan60°-至

1112024J

【答案】-1

【分析】此題考查了實數的混合運算能力，關鍵是能準確確定運算順序和方法，并能進行正確地計算.

先計算零次累、二次根式、絕對值和特殊角的三角函數值，再計算加減.

【詳解】解：-|-2|+f+2tan600-V12

1112024J

=-2+1+273-2^

=-1.

題型02整式及因式分解的運算

01題型綜述

整式及因式分解的計算是初中數學代數運算的基礎內容，涉及代數式的化簡、變形與分解，分值占比約5%-10%（以中

考卷為例）。

1.考查重點：整式的四則運算、乘法公式的靈活應用，以及因式分解的基本方法（提公因式法、公式法、分組分解法

等）。

2.高頻題型：選擇題、填空題中的直接計算題，解答題中的化簡求值或綜合因式分解題。

3.高頻考點：完全平方公式與平方差公式的應用、多項式因式分解的徹底性、代數式化簡中的符號處理。

4.能力要求：準確快速的計算能力、代數式結構觀察能力、公式逆用與變形的邏輯思維能力。

5.易錯點：運算中符號錯誤（如負號遺漏）、公式混淆（如（a-6）2誤寫為標一/，因式分解不徹底、混淆乘法公式

展開與因式分解方向。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.合并同類型:

法則：“一相加，兩不變”，即系數相加，字母與字母的指數不變照寫。

2.整式的加減的實質：

合并同類項。

3.整式的乘除運算：

①單項式X單項式：系數相乘，同底數募相乘，其中一個因式單獨存在的字母連同它的指數作為積的一個因式。

②單項式義多項式：單項式乘以多項式的每一項，變成單項式乘以單項式。

③多項式義多項式：用其中一個多項式的每一項乘以另一個多項式的每一項，變成單項式乘以單項式。

④單項式+單項式：系數相除，同底數幕相除，被除數中單獨存在的字母連同它的指數作為商的一個因式。

⑤多項式小單項式：多項式的每一項除以單項式，變成單項式除以單項式。

4.乘法公式：

①平方差公式：口+為口―6)=。2—62。

②完全平方公式：｛a+bf=a1+2ab+b2.

5.因式分解的方法：

①提公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)；

②公式法：平方差公式：a^-b2=(a+b^a-b)

完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+bf.

③十字相乘法：在f+bx+c中，若C=7儂且加+〃=從加，”均為整匏，貝I」：

x2+bx+c=[x+m^x+n)o

【典例分析】

例1.(2024?云南?中考真題)分解因式：a3-9a=()

A.a(a-3)(a+3)B.a(a2+9)C.(a-3)(a+3)D.a2(a-9)

【答案】A

【分析】本題考查了提取公因式和公式法進行因式分解，熟練掌握知識點是解題的關鍵.

將/一9。先提取公因式，再運用平方差公式分解即可.

【詳角軍：/_9a=a(a~-9)=a(a+3)(a-3),

故選：A.

例2.(2024?江蘇常州?中考真題)先化簡，再求值：(尤+以-尤(尤+1),其中尤=百一1.

【答案】x+1,6

【分析】本題主要考查了整式的化簡求值，實數的運算，先根據完全平方公式和單項式乘以多項式的計算法則去括號，

然后合并同類項化簡，最后代值計算即可.

【詳解】解：(x+1)2-x(x+l)

=x2+2x+1—x~—x

=x+l,

當x=A/3—1時，原式=A/3—1+1=5/3.

例3.(2024.山東濟寧.中考真題)先化簡，再求值：

x(y-4x)+(2x+y)(2x-y),其中％y=2.

2

【答案】-3

【分析】先將原式利用多項式乘以多項式，以及平方差公式化簡，去括號合并同類項得到最簡結果，再把x與y的值代

入計算即可求出結果.

此題考查了整式的混合運算及化簡求值，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

【詳解】解：x(y—4x)+(2x+y)(2尤一y)

二孫-4x2+4x2-y2

2

=xy-yf

當x=2，y=2時，

2

原式=：x2-22=1-4=一3.

【變式演練】

1.（2024?內蒙古通遼?中考真題）因式分解3a無2-6ovy+3ay2=.

【答案】3a（x-y）2

【分析】先提公因式，再利用完全平方公式進行因式分解即可.

【詳解】解：原式=3a（f-2盯+力=3°（無-y）2；

故答案為:3a（x-y）2.

【點睛】本題考查因式分解.解題的關鍵是掌握因式分解的方法.

2.（2025?河南鄭州?模擬預測）先化簡，再求值：3a（a2+2a+l）-（-a+4a+l）,其中。=1.

【答案】8

【分析】本題主要考查整式的混合運算，單項式乘以多項式，化簡求值，先根據單項式乘以多項式的法則將括號去掉,

然后再進行合并同類項，最后將a的值代入化簡后的式子得出答案.

【詳解】解：原式=3。3+6。2+3。+。一4。-1=3（/+6。2_1,

當〃=1時，原式=3xl+6xl—l=8.

3.（2024?浙江臺州?二模）先化簡，再求值：（5a2-3b2）+2（2b2-3a2）,其中.=6=2.

【答案】b2-a2,3

【分析】本題考查整式的化簡求值，將原式去括號，合并同類項后代入數值計算即可.

【詳解】解：（5/-3從）+2（2斤一3/）

=54-362+4/一6a2

=b~-a1>

當a=T,6=2時，

原式=2y-l）2=4-1=3.

4.（2024.內蒙古通遼.中考真題）先化簡,再求值：（2。+6）（2。叫-（〃+媚4。-6）,其中〃=-應力=2.

【答案】-3ab,6立

【分析】本題考查的是整式的混合運算，化簡求值，先計算整式的乘法運算，再合并同類項，最后代入計算即可；

【詳解】解：（2a+b）（2a-b）-（a+b）（4a-b）

=4a2—Z?2-4o2+ab-4ab+b2

=—3ab,

當〃=—Z?=2時，

原式=-3、卜閭x2=60；

5.（2025?陜西?一模）先化簡，再求值：J（3xy+2xy2）-14x2y44-7xy2,其中x=2,y=T.

【答案】孫2+2孫3,_2

【分析】此題考查了整式的混合運算.先根據單項式乘以多項式和多項式除以單項式運算法則進行化簡，再把x=2,

y=-i代入計算即可.

【詳解】解：y（3xy+2xy2）-14x2y4^xy2

=3盯2+2xy3-2xy2

=xy2+2xy3,

將尤=2,,=_］代入得原式=2*(_1)2+2*2*(_1)3=2_4=_2.

6.（2025?湖南長沙?模擬預測）先化簡，再求值，（%-y）（x+y）+（x+y）2-2%2,其中x=-2,>=

【答案】2孫，-1

【分析】本題主要考查了整式混合運算-化簡求值，熟練掌握整式混合運算法則是解題的關鍵.

先根據平方差公式和完全平方公式計算，再合并，然后把x=-2,y代入，即可求解.

4

【詳解】解：（工-田口+/+0+丫/—

=x2-y2+x2+2xy+y2-2x2

二2犯，

當x=-2,y=:時，

4

原式=2x（—2）x—=—1.

題型03分式及分式方程

01題型綜述___________________________________________

分式及分式方程的計算是初中數學代數運算與方程應用的核心內容，分值占比約8%-12%（以中考卷為例）。

1.考查重點：分式的基本性質（約分、通分）、分式四則運算、分式方程的解法（去分母法）。

2.高頻題型：分式化簡與求值題、分式方程的計算。

3.高頻考點：分式有意義的條件（分母不為零）、分式方程增根的檢驗、復雜分式化簡中的因式分解技巧。

4.能力要求：分式運算的細致性（符號、通分順序）、方程變形中的邏輯嚴謹性。

5.易錯點：忽略分母為零的情況、去分母時漏乘項或未檢驗增根、分式化簡過程中符號或運算順序錯誤。

02解題攻略

【提分秘籍】

1.分式的概念及性質：

A

形如4、3都是整式的式子叫做分式。簡單來說，分母中含有字母的式子叫做分式。

B

分式的分子與分母同時乘上（或除以）同一個不為0的式子，分式的值不變。即：

4=①，2=生￡（%。）。

BBCBB+C7

2.分式的通分：

把幾個異分母的分式利用分式的性質化成分式值不變的幾個同分母的分式的過程叫做通分。這個相同的分母叫做

分母的最簡公分母。

公分母=系數的最小公倍數乘上所有字母（式子）的最高次幕。

3.分式的約分：

利用分式的性質約掉分式中分子分母都存在的公因式的過程叫做約分。

公因式=系數的最大公因數乘上相同字母（式子）的最低次幕。

分子分母不存在公因式的分式叫做最簡分式。約分時一般把分式化成最簡分式。

4.分式的加減運算：

ACA+C

①同分母的分式相加減，分母不變，分子相加減。即：-+-=--O

BBB

②異分母的分式相加減，先通分成同分母的分式，再按照同分母的分式進行加減。即：

ADACBDAC+BD

BC―BCBC-BC°

5.分式的乘除運算：

AnAj~）

①分式的乘法：分子乘分子得到積的分子，分母乘分母得到積的分母。即：——=—O

BCBC

ADACAC

②分式的除法：除以一個分式，等于乘上這個分式的倒數式。即：O

BCBDBD

6.分式方程的定義：

分母中含有未知數的方程叫做分式方程。

7.分式方程的解：

使分式方程成立的未知數的值叫做分式方程的解。

8.解分式方程。

具體步驟：

①去分母一一分式方程的兩邊同時乘上分母的最簡公分母。把分式方程化成整式方程。

②解整式方程。

③檢驗一一把解出來的未知數的值帶入公分母中檢驗公分母是否為0。若公分母不為0,則未知數的值即是原分式

方程的解。若公分母為0,則未知數的值是原分式方程的曾根，原分式方程無解。

【典例分析】

例1.（2024.甘肅臨夏.中考真題）化簡：（a+l+—+土耳

（a-\）a-\

【答案】士

【分析】本題考查分式的混合運算，掌握分式的混合運算法則是解題關鍵.根據分式的混合運算法則計算即可.

【詳解】解：

1a-1Ja-1

（〃一1）（〃+1）1+

=------------1-----H------------------

ci—1a—1a—1

Q2—1+1ci—1

=-------X-----

a-1+

Q?Q—1

----x—----

Q-lQ（Q+1）

a

a+l

例2.（2。24.寧夏.中考真題）先化簡,再求值：1-占二^，其中a=l-萬

a

【答案】a-1,—y/2

【分析】本題主要考查分式的化簡求值，解題的關鍵是掌握分式的混合運算順序和運算法則.

先將先括號內通分，去括號，除式分子分解因式，再約分化簡，繼而將。的值代入計算可得.

【詳解】解：磊a?—1a

VTJ.,

aa+la

當a=l-忘時,

原式=1—y[2—1=—\/2.

例3.（2024?黑龍江大慶?中考真題）先化簡，再求值：［1+義］+其中》=-2.

1x-3Jx-6x+9

【答案】上；，-2

x+3

【分析】本題考查了分式的化簡求值.原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，同時利用除法法則變

形，約分得到最簡結果，把X的值代入計算即可求出值.

3YX2-9

【詳解】解:[尤-3)x2-6x+9

^-3,3Y(x+3)(x-3)

1%-3x—3j(x-3)2

xx-3

x-3x+3

x+3

當％=—2時，原式==_2.

-2J+3

2x

例4.（2024?陜西?中考真題）解方程：^—+——=1.

x-1x-1

【答案】%=-3

【分析】本題主要考查了解分式方程，先去分母變分式方程為整式方程，然后再解整式方程，最后對方程的解進行檢

驗即可.

【詳解】解：—2+*x=1,

X-1x-1

去分母得：2+1（％+1）=—1,

去括號得：2+/+%=%2-1,

移項，合并同類項得：%=-3,

檢驗：把％=-3代入(x+l)(x-1)得：(—3+1)(—3—1)=80,

*e?i=-3是原方程的解.

3x

例5.(2024.福建?中考真題)解方程：一=+1=；

x+2x-2

【答案】x=10.

【分析】本題考查解分式方程，掌握解分式方程的步驟和方法，將分式方程化為整式方程求解，即可解題.

3x

【詳解】解：17r「三，

方程兩邊都乘(x+2)(x—2),得3(%—2)+(x+2)(%—2)=x(x+2).

去括號得：3X-6+X2-4=X2+2X,

解得了=10.

經檢驗，1=10是原方程的根.

【變式演練】

1_r3

1.(2025?陜西西安?一模)解方程：--=-^--1.

x+1x-1

【答案】X=1

【分析】本題主要考查解分式方程，掌握分式的性質，解分式方程的方法是解題的關鍵.

先去分母，移項，合并同類項，系數化為1,檢驗根，由此即可求解.

1-x31

【詳解】解:------=~?-------1

%+1x—1

等式兩邊同時乘以(x+D(x—l)去分母得，(l-x)(x-l)=3-(x+l)(x-l),

去括號得，-X2+2%-1=3-X2+1,

移項、合并同類項得，2x=5,

系數化為1得，尤=g,

檢驗，當x=g時，原分式有意義，

???原分式方程的解為％=二.

2

x-21

2.（2025?陜西西安?一模）解方程：一--^-=1.

x+2x-4

7

【答案】x=-

【分析】本題主要考查分式方程，熟練掌握解分式方程的方法是解題的關鍵.根據分式方程進行求解即可，注意要檢

驗.

x—21

【詳解】解:=1

x+2(x-2)(x+2)

兩邊同時乘以(X-2)(X+2),得：(X-2)2-1=(X+2)(X-2),

x2-4x+4-l=x2-4

-4x=-7，

7

X~4,

7

將彳=—代入（尤-2）（彳+2）與0,

4

7

故x=：是原分式方程的解.

4

m2-4m+4_,

3.（2025?陜西西安?一模）先化簡，再求值;1—————---------,其中加=-1

m—1m-m

m1

【答案】

m-2'3

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則成為解題的關鍵.

先根據分式的混合運算法則化簡，然后將m=-1代入計算即可.

m2—4m+4

【詳解】解:

m—1m—m

m—11

^m—1m—1)m(

m2xm(m-1)

m

m-2

-11

當根=一1時，原式=-----

m-2-1-23

m—2m+1(])

4.(2025?江西?模擬預測)先化簡一r--1——-,再從絕對值小于3的整數中，選一個合適的數代入求值.

m-1v機+1)

【答案】—;當相=2時，原式=!

【分析】本題主要考查了分式的化簡求值、分式有意義的條件、絕對值等知識點，掌握分式的混合運算法則成為解題

的關鍵.先根據分式的混合運算法則化簡，再根據絕對值確定機的取值范圍，然后取分式有意義的根的值代入計算即

可.

m1-2m+l

【詳解】解:+1-

m2-1m+1

(m-1)2

m-l

???根是絕對值小于3的整數,

??m的值為-2,-1,0,1,2,

??,當加的值為-1,0,1時，分式無意義.

，當機=2時，原式=m==

m2

5.（2025?湖南郴州?模擬預測）先化簡,再求值：黃J,其中-④--

【答案】三7，收

【分析】本題考查分式的化簡求值，掌握分式的性質和分式的運算法則是解題的關鍵.

先將括號內的分式通分并相加，再利用分式的除法法則進行計算即可得到化簡結果，代入X的值即可求解.

【詳解】解:

\x+1x—1Jx—2x+1

X—1+X+11)

(X+1)(JC-1)(JC-1)2

2xx-1

(x+l)(x-l)X

2

x+1'

當％=后一i時，原式~

題型04二元一次方程組的計算

01題型綜述________________________________________

二元一次方程組的計算是初中數學方程與代數應用的核心內容，分值占比約5%-10%（以中考卷為例）。

1.考查重點：方程組的解法（代入消元法、加減消元法）

2.高頻題型：解答題中二元一次方程組的計算。

3.高頻考點：消元法的靈活運用、方程組的特殊解（無解/無窮解）。

4.能力要求：精準的計算能力。

5.易錯點：消元過程中符號錯誤、代入時未化簡導致計算復雜

02解題攻略

【提分秘籍】

（1）概念：具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組.

\a\x-\-b\y-c\,

（2）一般形式：\（°1，如bi，62均不為零）.

十b2y=。2

（3）二元一次方程組的解

一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.

解法

代入法解二元一次方程組的一般步驟：

a.從方程組中任選一個方程，將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來；

h將這個代數式代入另一個方程，消去一個未知數，得到含有一個未知數的一元一次方程；

c.解這個一元一次方程，求出一個未知數的值；

d將所求得的這個未知數的值代入原方程組的任一方程中，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解.

加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：

a.方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數不互為相反數又不相等，就用適當的數去乘方程的兩邊，使它們中同

一個未知數的系數相等或互為相反數；

b.把兩個方程的兩邊分別相減或相加，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；

c.解這個一元一次方程；

d.將求出的未知數的值代入原方程組的任意一個方程中，求出另一個未知數，從而得到方程組的解.

【典例分析】

2x-y=5

例1.（2024?浙江?中考真題）解方程組:

4x+3y=-10

1

x=—

【答案】2

y=-4

【分析】此題考查了解二元一次方程組，利用①x3+②得，10x=5,解得x=再把x代入①求出y=T即可.

22

2x-y=5①

【詳解】解:

4x+3y=-10②

①x3+②得，10%=5

解得

把代入①得

解得y=-4

1

x=一

2

y=-4

x+2y=3

例2.（2024?廣西?中考真題）解方程組:

x—2y=l

x=2

【答案】1

)=-

2

【分析】本題考查的是二元一次方程組的解法，直接利用加減消元法解方程組即可.

x+2y=3①

【詳解】解:

x-2y=1②

①+②得：2]=4,

解得：x=2,

把％=2代入①得:

1

-V=I

x=2

???方程組的解為：1.

2x+y=7

例3.（2024?江蘇蘇州?中考真題）解方程組:

2x-3y=3

x=3

【答案】

y=i

【分析】本題考查的是解二元一次方程組，解題的關鍵是掌握加減消元法求解.根據加減消元法解二元一次方程組即

可.

2x+y=7①

【詳解】解:

2x-3y=3②

①-②得，4y=4,解得，y=l.

將>=1代入①得x=3.

x=3

方程組的解是

y=i

【變式演練】

x+y=7

1.（2024.江蘇南京.二模）解方程組：＜Y_?=1

[23

x=4

【答案】

y=3

【分析】本題考查解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法一加減消元法，代入消元法是解題的關鍵.利

用加減消元法解方程組即可得答案.

%+y=7

【詳解】解：%>1

—=i

123

將②x6,得3x-2y=6,③

將①x2,得2x+2y=14,④

③+④，得5x=20,x=4,

將X=4帶入①，得y=3,

（x=4

???方程組得解為.

[y=3

2x-y=3①

2.（2025?廣西?一模）解方程:

x+2y=-1?

fx=l

【答案】I

[y=T

【分析】利用加減消元法進行解方程組即可得到答案.本題主要考查解二元一次方程組，掌握解方程組的方法是解題

的關鍵.

f2x-y=3①

【詳解】解:[x+2y=-1②

.?.①x2+②，得5x=5,

解得x=1,

把尤=1代入①，貝°2xl_y=3,

解得y=-i,

原二元一次方程組的解為

二2±1=1

3.（2024?新疆烏魯木齊?模擬預測）解方程組：23

3%+2y=10

x=3

【答案】1

【分析】本題主要考查了解二元一次方程組.先化簡，再利用加減消元法解答，即可求解.

3%-2（y+l）=6

【詳解】解：原方程組可化為

3x+2y=10

3x-2y=8①

即

3x+2y=10②'

①+②得，6x=18,

解得：x=3.

①-②得，Ty=-2,

解得：

x=3

所以原方程組的解為1.

y=一

2

3x-5y=10

4.（2024?甘肅金昌?一模）解方程組：＜,■xj_1

、6~2~3

元=5

【答案】

)=1

【分析】本題考查解二元一次方程組，掌握其解法是解題的關鍵.

先化簡方程②，再根據加減消元法求解即可.

3x-5y=10f①

【詳解】解："②

方程②去分母，得x-3y=2,③.

①-③x3,得4y=4,即y=l,

將V=1代人③，解得x=5.

x=5

故方程組的解是

)=1

3x+4y=11

5.（2025?廣東揭陽?一模）解方程:

x+2y=5

?fx=l

【答案】.

[y=2

【詳解】解：二「3x+24；y=51②1①，

由②得：x=5-1y@,

將③代入①得：3（5—2y）+4y=ll,

解得:y=2,

將V=2代入③得：x=5-2x2=l,

fx=1

所以原方程組的解為C；

題型05一元二次方程的計算

01題型綜述________________________________________

一元二次方程的計算是初中數學代數與方程思想的核心內容，分值占比約12%-18%（以中考卷為例）。

1.考查重點：一元二次方程的解法（因式分解法、配方法、公式法）、根的判別式與根的性質分析、實際應用問題

中的方程建模與解的意義驗證。

2.高頻題型：選擇題和填空題中的直接解方程或判斷根的情況，解答題中的綜合應用題（如幾何、經濟問題）或與

函數、不等式結合的題目。

3.高頻考點：求根公式的靈活運用、根的判別式（△）判斷根的存在性、實際問題中解的合理取舍（如非負解或整

數解）。

4.能力要求：準確的計算技巧、代數變形能力（如配方）、實際問題抽象為方程的建模能力及多解情境的分析能力。

5.易錯點：求根公式代入時系數符號錯誤、忽略二次項系數不為零的條件、應用題中未剔除不符合實際的解。

02解題攻略

【提分秘籍】

概念

（1）只含有一個未知數，未知數的最高次數是二次，且系數不為0的整式方程，叫做一元二次方程.

（2）一元二次方程的一般形式：tzx2+te+c=0（存0）,其中ax?叫做二次項，fct叫做一次項，c叫做常數項，。是二次

項的系數，b是一次項的系數，注意存0.

解法

①直接開平方法:（尤+根）2="（論0）的根是x=-m±4n

②配方法:將aN+6x+c=0（存0）化成J+的形式，當〃-4acK）時，用直接開平方法求解

（la）4a2

③公式法:aN+6x+c=0（<#0）的求根公式為％=一"~也心竺~舊-4ac>0）

2a

④因式分解法:將方程右邊化為0,左邊化為兩個一次因式的積，令每個因式等于0,得到兩個一元一次方程，解這兩個

一元一次方程就得到原方程的解

根的判別式

（1）當62一4公>0時，方程有兩個不相等的實數根；

（2）當b2-4ac=0時,方程有兩個相等的實數根；

（3）當加-4ac<0時，方程無實數根.

【典例分析】

例1.（2024?江蘇徐州?中考真題）解方程：X2+2X-1^0；

【答案】西=血一1,%=—上一1

【詳解】解：尤2+2X-1=0,

x2+2x-l7

x~+2x+1=1+1,

（尤+1）2=2,

x+1=±A/2，

..玉=>/2—1?%=~—1；

例2.（2024?江蘇無錫?中考真題）（1）解方程：（X-2）2-4=0；

【答案】%）=4,x2=0

【詳解】解：（X-2）2-4=0,

(X-2)2=4,

x—2=2或x—2=—2，

解得：占=4,9=。.

例3.（2024?青海?中考真題）解一元二次方程：X2-飄+3=0；

【答案】x=l或x=3

【詳解】解：%2-4X+3=0

(x-l)(x-3)=0

%=1或%=3；

【變式演練】

1.（2025?江蘇無錫?一模）解方程：2d—3x-1=0.

3+7173-V17

【答案】（1）%=

4—，“24

【詳解】解：2/-3x-l=0,

a=2,b=—3,c——1f

AA=(-3)2-4X2X(-1)=17,

?3±#7

??x—

4

.3+#73-#7

??西=-------%

4

2

2.（2025?新疆烏魯木齊?三模）解方程：X-4X-1=0.

【答案】玉=2+石，%=2-石.

【詳解】解：x2—4x—l—0,

A=(^l)2-4xlx(-l)=20>0,

方程有兩個不相等的實數根，

.0二4士而二2±有,

2x1

??=2+-y5，XQ=2-^5.

3.(2025?山西長治?模擬預測)解方程：3x(x-l)=2(l-x).

2

【答案】為=1,x2=-j

【詳解】3x(x-l)=2(l-x)

貝(|3x(x-l)+2(x-l)=0

(x-l)(3x+2)=0

貝l|x-l=0或3x+2=0

2

解得乂=1,無2=-：

4.(2025?廣東深圳?一模)(1)解方程：(2x-iy=4

(2)解方程：(x+3)~=2x+5.

【答案】(1)X]=L5,x2=—0.5；(2)xt=x2=—2；

【詳解】解：(1)兩邊直接開平方得：2x-l=±2,

則2x—1=2,2x—l=—2,

解得：再=16,%=-0.5；

(2)(X+3)2=2X+5,

整理得：x2+4x+4=0,

即(x+2?=0,

兩邊直接開平方得：石=々=-2.

5.（2025?遼寧撫順?一模）解方程

(1)尤2-6%-1=0(配方法)

(2)3X2-5X+1=0(公式法)

【答案】⑴玉=3+而，9=3-瓦

5+V135-V13

6

【分析】本題考查了解一元二次方程，選擇合適的方法進行計算是解此題的關鍵.

（1）利用配方法解一元二次方程即可;

（2）利用公式法解一元二次方程即可.

【詳解】(1)解：X2-6X+9=1+9,

(尤一3)2=10,

尤-3=+\/10,

.,.%=3+VIU,w=3-

(2)解：〃=3,b=—5ic=l

A=Z?2-4QC=(-5)2-4x3xl=13>0,

???方程有兩個不相等的實數根,

-b±y/b2-4ac_5±A/13

2a6

5+如5-V13

—,Xc=

66

題型06一元一次不等式（組）

01題型綜述

一元一次不等式（組）的計算是初中數學代數與實際問題分析的基礎內容，分值占比約5%-8%（以中考卷為例）。

1.考查重點：不等式的基本性質、解集表示（數軸法）、不等式組的公共解確定，以及實際應用中的最值問題或范

圍限制分析。

2.高頻題型：選擇題和填空題中的不等式（組）求解，解答題中結合實際問題（如方案設計、費用優化）或與方程、

函數綜合的題目。

3.高頻考點：不等式變形中的符號方向變化、解集公共部分的提取、特殊解（如整數解）的篩選、含參數不等式的

分類討論。

4.能力要求：嚴謹的符號處理能力、數形結合分析解集的能力、實際問題轉化為不等式模型的抽象能力。

5.易錯點：乘除負數時未改變不等號方向、解集端點取舍錯誤（如是否包含等號）、應用題中忽略隱含條件（如非

負性）。

02解題攻略

【提分秘籍】

不等式的基本性質

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個整式，不等號的方向不變

（2）不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變

（3）不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變

四種不等式組的解集解法

不等式組3<b）解集圖示口訣

x>a

x>b_J__I—?同大取大

x>bah

x<a

<x<a__1___同小取小

x<ba

x>a

a<x<b__1___大小小大取中間

x<ba

x<a

無解大大小小就無解

x>ba