熱點01數與式

明考情.知方向

中考數學中數與式部分主要考向分為四類：

一、實數與特殊角的三角函數值（每年2~4道，9~16分）

二、整式與因式分解（每年2~4道，7~10分）

三、分式（每年1~3題，3~13分）

四、二次根式（每年1~3題，3~12分）

在數學中考中，數與式部分主要考察實數及其運算、數的開方與二次根式、整式與因式分解、分式及

其運算；而這些考點中，對實數包含的各種概念的運用的考察占了大多數，但是試題難度設置的并不大，

屬于中考中的基礎“送分題”，題目多以選擇題、填空題以及個別計算類簡單解答題的形式出現；但是，由于

數學題目出題的多變性，雖然考點相同，并不表示出題方向也相同，所以在復習時，需要考生對這部分的

知識點的原理及變形都達到熟悉掌握，才能在眾多的變形中，快速識別問題考點，拿下這部分基礎分。

熱點題型解讀

【題型1】實數內的基本概念

考向一：實數及其運算

【題型1實數內的基本概念】

實數內的基本概念包括：數軸、相反數、絕對值、倒數、有理數、無理數、科學記數法；

做這種概念類題目時記牢以下4點：①熟悉各概念的基本定義，特別注意各概念中0的特殊存在；②必

須讀對題意，問的是什么就想對應的考點；③如果是選擇題，確保4個選項都要全看完，再說選哪個選

項；④做到數軸、絕對值相關的問題，注意需不需要分類討論。

1.（2024.青海?中考真題）—2024的相反數是（）

11

A.-2024B.2024C.一——D.—

20242024

2.（2024.寧夏.中考真題）下列各數中，無理數是（）

A.-1B.-C.V4D.兀

3

3.（2024?甘肅蘭州?中考真題）-2024的絕對值是（）

11

A.----B.-------C.2024D.-2024

20242024

4.（2024.天津.中考真題）估計質的值在（）

A.1和2之間B.2和3之間C.3和4之間D.4和5之間

5.（2024?山西?中考真題）中國空間站位于距離地面約400km的太空環境中.由于沒有大氣層保護，在太陽

光線直射下，空間站表面溫度可高于零上150。。其背陽面溫度可低于零下100冤.若零上150冤記作

+150℃,則零下100冤記作（）

A.+100℃B.-100℃C.+50℃D.-50℃

6.（2024.江蘇無錫.中考真題）4的倒數是（）

1

A.-B.-4C.2D.+2

4一

【題型2實數的比較大小】

實數比較大小的常見方法：①法則法：正數＞0＞負數；②數軸法：數軸上的數，右邊的總比左邊的大；

③絕對值法：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；④平方法：兩個正數比較大小，誰的平方大，誰

本身就大，兩個負數比較大小，誰的平方大，誰本身反而小；

注意：個別實數的比較大小會結合其他基本概念或計算，這類問題要同時兼顧結合考點的性質再做比較

1.（2024.西藏.中考真題）下列實數中最小的是（）

1

A.-2B.0C.-D.1

2

2.（2024.山東德州.中考真題）實數〃，b在數軸上對應點的位置如圖所，下列結論正確的是（）

___?a?b?A

-1012

A.\a\>\b\B.a+b<0

C.a+2>b+2D.\CL-1|>\b-11

3.（2024.四川資陽?中考真題）若代<m<VTU,則整數機的值為（）

A.2B.3C.4D.5

4.（2024?內蒙古包頭.中考真題）若2zn-1,小，4-爪這三個實數在數軸上所對應的點從左到右依次排列,

則小的取值范圍是（）

A.m<2B.m<1C.1<m<2D.1<m<-

3

5.（2024.山西.中考真題）比較大小：V62（填“〈”或

【題型3實數的運算】

實數的運算是實數內各種概念法則運算的結合，一般以簡答題為主，個別會出填空題，這也就決定了實

數的運算需要我們注意的三個方面：

①實數的運算必須熟悉的幾個法則：零指數塞運算、負指數塞運算、絕對值的化簡、根式的化簡計算、

特殊角的三角函數值計算等；

②實數的運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號的先算括號里面的；

③實數的運算，先確定化簡的正負，再進行合并計算。

1.（2024?山東淄博?中考真題）下列運算結果是正數的是（）....................................!

A.3TB.-32C.-|-3|D.-V3

2.（2024.內蒙古赤峰?中考真題）如圖，數軸上點A,M,B分別表示數a,a+b,b,那么下列運算結果一

定是正數的是（）

AMB

-------1----------------------1-----------1------->

A.a+bB.a-bC.abD.|a|-b

3.（2024?山東青島?中考真題）計算：V18+（I）-1-2sin45°=.

4.（2024.寧夏.中考真題）先化簡，再求值：（1—W1?1，其中a=l—a.

5.（2024.西藏?中考真題）計算：（-1）3+2tan60°^V12+（7T-2）0.

考向二：整式與因式分解

【題型4代數式求值】

代數式求值類問題解題步驟：①根據已知條件轉化含字母的整體部分的值；②轉化待求式，得上一步整

體表達式的倍數的表達式；③將整體部分的值代入計算。

1.（2024?西藏?中考真題）若x與y互為相反數，z的倒數是-3,則2x+2y-3z的值為（~）

A.-9B.-1C.9D.1

2.（2024.山東德州?中考真題）2知°和匕是方程%2+2024久-4=0的兩個解,則a?+2023a—6的值

為.

3.（2024?江蘇徐州?中考真題）若mn=2,m—n=1,則代數式ni2rl—小n2的值是.

4.（2024.廣東廣州?中考真題）若a?—2a—5=0,則2a2—4a+l=.

【題型5整式的計算與化簡求值】

完全拿下這部分分數，首先需要我們完全熟悉整式中的所有計算公式，特別是完全平方公式與平方差公

式，變形也得掌握；其次要掌握整式的混合運算的順序；最后，整式的化簡求值，必須先化簡，再帶入

數據求值。

1、常見必會計算公式：①/WnaM716”,"是正整數）②（〃"）"=i"（機，"是正整數）

③（ah'）n=anbn（"是正整數）@a,n-ran=am'n（>>n,〃是正整數，m>n）⑤（a±b）2=a2±2ab+b2

⑥（a+b）（a-6）=“2-從

2、完全平方公式的常見變形：

〃+/=（,+_2abab=（〃+，”/+〃）缶+"2=L'+4ab

=（a-b）2+2ab

_（a+b）2+{a-bf~2

2_（?+Z?）2-[a-j

一4

3、其他技巧：整式的化簡計算，其實就是去括號法則與合并同類項法則的聯合應用，所以兩個法則的注

意事項也是整式化簡的注意事項。

1.（2024.山東德州?中考真題）下列運算正確的是（）

A.a2+a2=a4B.a（a+1）=a2+1

C.a2-a4—a6D.(a—1)2=a?—i

2.(2024?江蘇常州?中考真題)先化簡，再求值：(x+l)2-x(x+l),其中％*皆一1.

3.(2024.江蘇南通?中考真題)“趙爽弦圖”巧妙利用面積關系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是由

四個全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個大正方形.設直角三角形的兩條直角邊長分別為相,

n(jn>n).若小正方形面積為5,(m+n)2=21,則大正方形面積為()

A.12B.13C.14D.15

4.(2024?四川德陽?中考真題)若一個多項式加上y2+3孫-4,結果是3孫+2/-5,則這個多項式為

5.(2024.江蘇常州.中考真題)先化簡，再求值：(x+l)2-x(x+l),其中％=舊一1.

【題型6因式分解】

完全拿下這部分分數，首先需要我們完全熟悉掌握常見的因式分解公式，如平方差、完全平方、立方和

差等；其次要掌握因式分解的順序，優先提取多項式中的最大公因式；最后，檢查是否完全分解。

1、常見必會計算公式：

①平方差公式：a2—b2=(a+b)(a—b)

②完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2

a2—2ab+b2=(a-b)

③十字相乘法：x2pqxpq(x+p)(x+q)

1.(2024?四川自貢?中考真題)分解因式：7—3%=.

2.(2024?四川眉山?中考真題)分解因式：3a3—12a=.

3.(2024?山東淄博?中考真題)若多項式4/—mxy+9y2能用完全平方公式因式分解,則爪的值是

考向三：二次根式

【題型7二次根式有意義的條件】

在中考中二次根式有意義的條件主要在選擇題或填空題考查，是“送分題”。

對于形如瓜■的二次根式，要求*0。如果二次根式在分母中，如則要求a>0（因為分母不能為零）。

1.（2024.江蘇徐州?中考真題）若有意義，則x的取值范圍是（""T"

A.xN—1B.x4-1C.x>—1D.x<-1

2.（2024.黑龍江大興安嶺地.中考真題）在函數y=靠中，自變量尤的取值范圍是.

【題型8二次根式的運算】

二次根式的運算主要在選擇題，填空題或計算題考查，屬于基礎題，要完全拿下這分數，需要我們熟悉

掌握以下做題步驟：

①化簡根式:將根式化為最簡形式，如返=2挺o

②合并同類項:只有同類二次根式才能直接相加減，如27^+36=5百0

③有理化分母:若分母有根式，乘以共朝根式有理化，如吃1

412

④運用公式:熟練運用平方差、完全平方等公式簡化運算。

⑤檢查結果:運算后檢查是否為最簡形式避免遺漏。

1.（2024.江蘇南通?中考真題）計算內x的結果是（）

A.9B.3C.3V3D.V3

2.（2024.內蒙古呼倫貝爾?中考真題）實數a,b在數軸上的對應位置如圖所示，則J（a—6尸一（6—a—2）的

化簡結果是（）

I[III?I1A

-3-2-1012

A.2B.2a—2C.2—2bD.-2

3.（2024.四川樂山.中考真題）已知化簡—1）2+|%—2|的結果為（）

A.-1B.1C.2%—3D.3—2%

4.（2024?甘肅?中考真題）計算：VT8-V12X3

考向四：分式及其運算

【題型9分式有意義及分式值為0]

0O飛

這個考點主要在選擇題和填空題中考查，做這種提醒需要牢記下面幾個注意事項：

分式有意義：分母不為零:解分式時，先確定分母不為零，排除使分母為零的值；

分式值為0：①分子為零:令分子等于零，求出可能的解；②驗證解:將求得的解代入分母，確保分母不為

零；③分式化簡:復雜分式先化簡，再求解。④注意隱藏條件:分母中含根式或絕對值時，需額外考慮定

義域

1.（2。24?江蘇鎮江?中考真題）使分式專有意義的”的取值范圍是二:

【答案】x豐2

【分析】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關鍵.

分式有意義，則分母X-2力0,由此易求x的取值范圍.

【詳解】解：當分母久-2。。，艮"2時，分式￡有意義.

故答案為：久K2.

【題型10分式的計算與化簡求值】

0O混

這中題型在考試中主要以解答題為主，個別也會出現在選擇題或填空題，要把這部分的分完全拿下，需

要我們做到一下幾點：①熟記公式（平方差，完全平方等）；②先化簡后求值；③注意定義域；④檢查結

果。

1.（2024?四川雅安?中考真題）已知三+工=l（a+%H0）.則厘=（）

aba+b

1

A.5B.1C.2D.3

2.（2024?黑龍江大慶?中考真題）先化簡，再求值：（1+持）+金，其中％=-2.

3.（2024?四川達州?中考真題）先化簡：（￡-2）+造，再從一2,-1，0,1,2之中選擇一個合適的數

作為無的值代入求值.

限時提升練

（建議用時：15分鐘）

1.（2024?四川達州?中考真題）有理數2024的相反數是（）

11

A.2024B.-2024C.—D.

20242024

2.（2024?重慶?中考真題）估計62（魚+B）的值應在（

A.8和9之間B.9和10之間C.10和11之間D.11和12之間

3.（2024.寧夏?中考真題）已知|3-a|=a-3,則a的取值范圍在數軸上表示正確的是（）

4.（2024?四川廣元?中考真題）將-1在數軸上對應的點向右平移2個單位，則此時該點對應的數是（）

-----1----1------------>

-io

A.-1B.1C.-3D.3

5.（2024.北京?中考真題）實數a,b在數軸上的對應點的位置如圖所示，下列結論中正確的是（）

ba

-4-3-2-101234

A.b>—1B.\b\>2C.a+b>0D.ab>0

6.（2024?四川眉山?中考真題）如圖，圖1是北京國際數學家大會的會標，它取材于我國古代數學家趙爽的

“弦圖”，是由四個全等的直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現將

這四個直角三角形拼成圖2,則圖2中大正方形的面積為（）

圖1圖2

A.24B.36C.40D.44

7.（2024?云南?中考真題）按一定規律排列的代數式：2%,3%2,4久3,5%4,6%5,…，第九個代數式是（）

A.2xnB.（n—l）xnC.nxn+1D.（n+l）xn

8.（2024?重慶?中考真題）已知根=何一則實數小的范圍是（）

A.2<m<3B.3<m<4C.4<m<5D.5<m<6

9.（2024.重慶?中考真題）烷妙是一類由碳、氫元素組成的有機化合物質，下圖是這類物質前四種化合物的

分子結構模型圖，其中灰球代表碳原子，白球代表氫原子.第1種如圖①有4個氫原子，第2種如圖

②有6個氫原子，第3種如圖③有8個氫原子，……按照這一規律，第10種化合物的分子結構模型中

氫原子的個數是（）

X//部

①②③④

A.20B.22C.24D.26

10.（2024.寧夏?中考真題）地球上水（包括大氣水，地表水和地下水）的總體積約為14.2億kn?.請將數據

1420000000用科學記數法表示為.

11.（2024?山東淄博.中考真題）計算：V27-2V3=.

12.（2